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%Tapuscrit : Christophe Alavoine Denis Vergès
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité sujet 2}
\lfoot{\small{La Réunion}}
\rfoot{\small{29 mars 2023}}
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\thispagestyle{empty}


\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat LA RÉUNION 29 mars 2023~\decofourright\\[7pt]  Sujet 2\\[7pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1}  \hfill 5 points}

\medskip

Un commerçant vend deux types de matelas: matelas RESSORTS et matelas MOUSSE. 

On suppose que chaque client achète un seul matelas.

On dispose des informations suivantes :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 20\,\% des clients achètent un matelas RESSORTS. 

Parmi eux, 90\,\% sont satisfaits de leur achat.
\item[$\bullet~~$] 82\,\% des clients sont satisfaits de leur achat.
\end{itemize}

%\emph{Les deux parties peuvent être traitées de manière indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

%On choisit au hasard un client et on note les évènements :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$R$ : \og le client achète un matelas RESSORTS \fg,
%\item[$\bullet~~$]$S$ : \og le client est satisfait de son achat \fg.
%\end{itemize}

On note $x = P_{\overline{R}}(S)$, où $P_{\overline{R}}(S)$ désigne la probabilité de $S$ sachant que $R$ n'est pas réalisé.

\begin{minipage}{0.58\linewidth}
\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-contre décrivant la situation.
\end{enumerate}

\end{minipage}\hfill
\begin{minipage}{0.38\linewidth}
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$R$~~}\taput{0,20}}
{\TR{$S$}\taput{0,9}
\TR{$\overline{S}$}\tbput{0,1}
}
\pstree{\TR{$\overline{R}$~~}\tbput{0,80}}
{\TR{$S$}\taput{$x$}
\TR{$\overline{S}$}\tbput{$1 - x$}
}}
\end{center}
\end{minipage}

\begin{enumerate}[start=2]
\item %Démontrer que $x = 0,8$.
D'après la loi des probabilités totales :
$P(S) = P(R \cap S) + P\left(\overline{R} \cap S \right)$ Or :

$\bullet~~P(R \cap S) = P(R) \times P_R(S) = 0,2 \times 0,9 = 0,18$ et 

$\bullet~~P\left(\overline{R} \cap S \right) = P\left(\overline{R}\right) \times P_{\overline{R}}(S) = 0,8 \times x = 0,8x$ et comme $P(S) = 0,82$, on a donc l'équation :

$0,18 + 0,8x = 0,82 \iff 0,8x = 0,64 \iff x = 0,8$.
\item On choisit un client satisfait de son achat.

Quelle est la probabilité qu'il ait acheté un matelas RESSORTS ?

%On arrondira le résultat à $10^{-2}$.
Il faut calculer $P_S(R) = \dfrac{P(S \cap R)}{P(S)} = \dfrac{0,18}{0,82} = \dfrac{18}{82} = \dfrac{9}{41} \approx 0,219$, soit 0,22 au centième près.
\end{enumerate}
\medskip

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit 5 clients au hasard.

On considère la variable aléatoire $X$ qui donne le
nombre de clients satisfaits de leur achat parmi ces 5 clients.
	\begin{enumerate}
		\item %On admet que $X$ suit une loi binomiale. Donner ses paramètres.
Les paramètres de la loi binomiale sont $ n = 5 $ \quad et \quad  $ p=\np{0.82}$.
		\item %Déterminer la probabilité qu'au plus trois clients soient satisfaits de leur achat.
		
%On arrondira le résultat à $10^{-3}$.
Il faut trouver $P(X \leqslant 3) \approx \np{0,2223}$, d'après la calculatrice soit 0,222 au millième près.
	\end{enumerate}
\item %Soit $n$ un entier naturel non nul.

%On choisit à présent $n$ clients au hasard. Ce choix peut être assimilé à un tirage au sort avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item On note $p_n$ la probabilité que les $n$ clients soient tous satisfaits de leur achat.

%Démontrer que $p_n = 0,82^n$.
La probabilité qu'un acheteur soit satisfait est égale à 0,82, la probabilité que deux acheteurs soient satisfaits est $0,82^2$, \ldots, la probabilité que les $n$ acheteurs soient satisfaits est égale à $0,82^n$.
		\item %Déterminer les entiers naturels $n$ tels que $p_n < 0,01$. 
		
%Interpréter dans le contexte de l'exercice.
Il faut donc résoudre dans $\N$ l'inéquation :

$p_n < 0,01 \iff 0,82^n < 0,01 \iff n \ln 0,82 < \ln 0,01$ par croissance de la fonction logarithme népérien soit encore 

$n > \dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,82}$. (car $\ln 0,82 < 0$). Or $\dfrac{\ln 0,01}{\ln 0,82} \approx 23,2$.

Il faut donc au minimum 24 acheteurs.

Moins de 1\,\% des acheteurs seront tous satisfaits si leur nombre dépasse 23.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}  \hfill 5 points}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 8$ et, pour tout entier naturel $n$,
\[u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}.\]

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$.
Pour $n = 0$, on a $u_1 = \dfrac{6 \times 8 + 2}{8 + 5} = \dfrac{50}{13}$.
\item %Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[f(x) = \dfrac{6x + 2 }{x +5}.\]

%Ainsi, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = f\left(u_n\right)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la fonction $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$.
		Le dénominateur étant supérieur à 4 ne s'annule pas : la fonction $f$ est donc dérivable sur $[0~;~+\infty[$ et sur cet intervalle :
		
$f'(x) = \dfrac{6(x + 5) - 1(6x + 2)}{(x + 5)^2} = \dfrac{6x + 30 - 6x - 2}{(x + 5)^2} = \dfrac{28}{(x + 5)^2}$ :quotient de deux nombres supérieurs à zéro cette dérivée est supérieure à zéro : la fonction $f$ est donc strictement croissante sur $[0~;~+\infty[$ et son minimum est $f(0) = \dfrac25 = \dfrac{4}{10} = 0,4$.
		
%En déduire que pour tout réel $x > 2$, on a $f(x) > 2$.
On a $f(2) = \dfrac{6\times 2 + 2}{2 + 5} = \dfrac{14}{7} = 2$.

Or comme $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$ :
$x > 2 \implies f(x) > f(2) = 2$ d'après le calcul précédent.

		\item %Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel n, on a $u_n > 2$.
\emph{Initialisation} : $u_0 = 8 > 2$ : la relation est vraie au rang $0$.
	
\emph{Hérédité} : soit $n \in \N$ tel que $u_n > 2$.

Alors par croissance de la fonction $f$ : $f\left(u_n\right) > f(2) = 2$.

Or $f\left(u_n\right) = u_{n+1}$ : on a donc $u_{n+1} > 2$.

\emph{Conclusion} : la relation est vraie au rang $0$ et si elle est vraie au rang $n, \: n \in \N$ elle l'est aussi au rang $n + 1$. Par le principe de récurrence quel que soit $n \in \N$, \: $u_n > 2$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a :
\[u_{n+1} - u_n = \dfrac{\left(2 - u_n\right)\left(u_n + 1\right)}{u_n +5}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		On a $u_n > 2 \implies u_n + 1 > 2 + 1 > 0$ et $u_n > 2 \implies u_n + 5 > 2 + 5 > 0$.
		
Le signe du quotient précédent est donc celui de $2 - u_n$ ; or $u_n > 2 \implies $

$0 > 2 - u_n$, donc $u_{n+1} - u_n < 0$ ce qui signifie que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
La suite $\left(u_n\right)$ étant décroissante et minorée par 2 est donc convergente vers une limite $\ell$, avec $\ell \geqslant 2$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ pour tout entier naturel par:
\[v_n = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}.\]

	\begin{enumerate}
		\item %Calculer $v_0$.
$v_0 = \dfrac{u_0 - 2}{u_0 + 1} = \dfrac{8 - 2}{8 + 1} = \dfrac{6}{9} = \dfrac{2}{3}$.
		\item %Démontrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
On sait que $u_{n +1} = \dfrac{6u_n + 2}{u_n +5}$
		
Or $v_{n+1} = \dfrac{u_{n+1} - 2}{u_{n+1} + 1}$ et en utilisant la relation précédente :

$v_{n+1} =  \dfrac{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} - 2}{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} + 1} = \dfrac{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} - \frac{2u_n + 10}{u_n + 5}}{\frac{6u_n + 2}{u_n + 5} + \frac{u_n + 5}{u_n + 5}} =\dfrac{4u_n - 8}{7u_n + 7} = \dfrac{4\left(u_n - 2\right)}{7\left(u_n + 1\right)} = \dfrac47 v_n$.

La relation $v_{n+1} = \dfrac47v_n$ vraie pour tout $n \in \N$ signifie que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $\dfrac47$.
		\item %Déterminer, en justifiant, la limite de $\left(v_n\right)$.
$\bullet~~$On sait qu'alors quel que soit $n \in \N$, \: $v_n = v_0\left(\dfrac47\right)^n$ ou encore $v_n = \dfrac{2}{3}\times \left(\dfrac47\right)^n$.

Or comme $- 1 < \dfrac{4}{7} < 1$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \left(\dfrac47\right)^n$ et par produit de limites $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}v_n = 0$.

%En déduire la limite de $\left(u_n\right)$.
On a donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}$ et comme $u_n + 1 > 2 + 1 > 0$, on a $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n - 2 = 0$, soit enfin $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = 2$. Donc $\ell = 2$.

%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{enumerate}[resume]
%On considère la fonction
%Python seuil ci-contre, où A est un nombre réel strictement plus grand que 2.

%Donner, sans justification, la valeur renvoyée par la commande seuil (2.001) puis interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.48\linewidth}
%\begin{center}
%\begin{tabular}{|l l|}\hline
%\textbf{def}&seuil (A) :\\
%&n = 0\\
%&u = 8\\
%&\textbf{while} u $>$ A :\\
%&\qquad u = (6*u + 2)/(u + 5)\\
%&\qquad n = n + 1\\
%&\textbf{return} n\\ \hline
%\end{tabular}
%\end{center}
%\end{minipage}

\item On vérifie à la calculatrice que $u_{14} \approx \np{2,00079}$ est le premier terme inférieur à 2,001. Valeur renvoyée : 14.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

%On se place dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk.

On considère le point A(1~;~1~;~0) et le vecteur $\vect{u}\begin{pmatrix}0\\2\\- 1\end{pmatrix}$.

On considère le plan $\mathcal{P}$ d'équation : $x + 4y + 2z + 1 = 0$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %On note $(d)$ la droite passant par A et dirigée par le vecteur $\vect{u}$.

%Déterminer une représentation paramétrique de $(d)$.
On sait que $M(x~;~y~;~z) \in (d) \iff \vect{\text{A}M} = t \vect{u}$, avec $t \in \R$.

Soit $M(v) \in (d) \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x - 1&=&0t\\
y - 1&=&2t\\
z - 0&=&-t
\end{array}\right., \: t \in \R \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1\\
y&=&1 + 2t\\
z&=&\phantom{1 + } -t
\end{array}\right., \: t \in \R$.
\item %Justifier que la droite $(d)$ et le plan $\mathcal{P}$ sont sécants en un point B dont les coordonnées sont (1~;~-1~;~1).
Un point de coordonnées $(x~;~y~;~z)$ est commun à la droite $(d)$ et au plan $\mathcal{P}$ si ces coordonnées les équations de la droite et du plan soit le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1\\
y&=&1 + 2t\\
z&=&\phantom{1 + } -t\\
x + 4y + 2z + 1&=&0
\end{array}\right., \: t \in \R$.

En remplaçant $x, \:y$ et $z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation on obtient :

$1 + 4(1 + 2t) + 2\times (- t) + 1 = 0 \iff 1 + 4 + 8t - 2t + 1 = 0 \iff 6t + 6 = 0 \iff t = - 1$

En remplaçant $t$ par $- 1$ dans les trois équations de $(d)$, on obtient :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=&1\\
y&=&1 - 2\\
z&=&\phantom{1 + } 1
\end{array}\right.$

On a donc B$(1~;~- 1~;~1) \in (d) \cap \mathcal{P}$.
\item %On considère le point $(1~;~-1~;~-1)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que les points A, B et C définissent bien un plan.
		
		Ona $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}0\\-2\\1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}0\\-2\\- 1\end{pmatrix}$ : ces deux vecteurs ne sont pas colinéaires puisque les deux premières coordonnées sont égales mais pas les troisièmes. ; les points A, B et C non alignés définissent bien le plan (ABC).
		\item %Montrer que le vecteur $\vect{n}\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix}$ est un vecteur normal au plan (ABC).
		On a $\vect{n} \cdot \vect{\text{AB}} = 0 + 0 + 0 = 0$ et 
		
$\vect{n} \cdot \vect{\text{AC}} = 0 + 0 + 0 = 0$.

Conclusion : le vecteur $\vect{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) : il est donc normal à ce plan.
		\item %Déterminer une équation cartésienne du plan (ABC).
On sait qu'alors $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x \times 1 + y\times 0 + z \times 0 + d = 0$, avec $d \in \R$.

Or A$(1~;~1~;~0) \in (\text{ABC}) \iff 1 \times 1 + d = 0  \iff d = - 1$.

On a donc $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff x - 1 = 0$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Justifier que le triangle ABC est isocèle en A.
AB$^2 = \left\|\vect{\text{AB}}\right\|^2 = 0^2 + (- 2)^2 + 1^2 = 4 + 1 = 5$ ;

AC$^2 = \left\|\vect{\text{AB}}\right\|^2 = 0^2 + (- 2)^2 + (- 1)^2 = 4 + 1 = 5$.

On a donc AB$^2 = \text{AC}^2 \implies $ AB = AC : le triangle ABC est isocèle en A.
		\item %Soit H le milieu du segment [BC].
		On a H$\left(\dfrac{1+1}{2}~;~\dfrac{(- 1) + (- 1)}{2}~;~\dfrac{1 - 1}{2} \right)$ soit H$(1~;~- 1~;~0)$.
		
On a donc AH$^2 = (1 - 1)^2 + (- 1 - 1)^2 + (0 - 0)^2 = 4$, d'où AH $ = 2$.

ABC étant isocèle en A, la droite (AH) médiane est aussi hauteur relative au côté [BC].

O a donc $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{\text{BC} \times \text{AH}}{2}$.

Comme BC$^2 = (1 - 1)^2 + (- 1 + 1)^2 + (- 1 - 1)^2 = 0 + 0 + 4$, d'où BC $ = 2$.

Donc $\mathcal{A}(\text{ABC}) = \dfrac{2 \times 2}{2} = 2$.
		
%Calculer la longueur AH puis l'aire du triangle ABC.
	\end{enumerate}
\item Soit D le point de coordonnées $(0~;~-1~;~1)$.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.
		Avec $\vect{\text{BD}}\begin{pmatrix}- 1\\0\\0\end{pmatrix}$, donc $\vect{\text{BD}} = - \vect{n}$ qui est un vecteur normal au plan (ABC), donc $\vect{\text{BD}}$ aussi et par conséquent la droite (BD) est une hauteur de la pyramide ABCD.
		\item %Déduire des questions précédentes le volume de la pyramide ABCD.
		Pour la pyramide ABCD on prend comme base le triangle (ABC) et comme hauteur le segment [BD], d'où :
		
		$\mathcal{V}(\text{ABCD}) = \dfrac{\mathcal{A}\text{ABC}) \times [\text{BD}]}{3}$.
		
		Avec BD$^2 = \left\|\vect{\text{BD}}\right\|^2 = (- 1)^2 + 0^2 + 0^2 = 1$, on a donc BD $ = 1$ et 
		
		$\mathcal{V}(\text{ABCD}) = \dfrac{2\times 1}{3} = \dfrac23$ en unité d'aire.
	\end{enumerate}
	
%\begin{center}On rappelle que le volume $V$ d'une pyramide est donné par: 
%	\[V = \dfrac13 \mathcal{B} \times h,\]
%
%où $\mathcal{B}$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondante.\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 5 points}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\Aucune justification n'est demandée.\\Une réponse fausse, une absence de réponse, ou une réponse multiple, ne rapporte
%ni n'enlève de point.}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 2x\e^x$.

%Le nombre de solutions sur $\R$ de l'équation $f(x) = - \dfrac{73}{100}$ est égal à : 
La fonction $f$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et pour tout réel : $f'(x) = 2\e^x + 2x\e^x = 2\e^x(1 + x)$. Cette dérivée est du signe de $1 + x$.

On a donc $f'(x) < 0 \iff x < - 1$ : la fonction est décroissante sur $]- \infty~;~- 1]$.

On sait que $\displaystyle\lim_{x \to -\infty} x\e^x = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}f(x) = 0$ et $f(-1) = 2 \times (- 1) \times \e{-1} = - 2\e^{-1} \approx - 0,74$.

De même $f'(x) >  \iff x > - 1$ : la fonction est croissante sur $[- 1~;~+ \infty[$.

Or  $\displaystyle\lim_{x \to +\infty}f(x) = + \infty$.

Sur l'intervalle $[- 1~;~+ \infty[$, la fonction $f$ croit de $f(-1) < -0,73$ à plus l'infini.

La fonction $f$ étant continue car dérivable et strictement croissante prend donc une seule fois la valeur $-0,73$ d'après le théorème des valeurs intermédiaires. Réponse \textbf{c.}
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0 &\textbf{b.~~} 1 &\textbf{c.~~}2&\textbf{d.~~}une infinité.
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par :
\[g(x) = \dfrac{x+ 1}{\e^x}.\]

%La limite de la fonction $g$ en $- \infty$ est égale à : 
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} $-\infty$&\textbf{b.~~} $+\infty$ &\textbf{c.~~} 0&\textbf{d}elle n'existe pas.
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a $g(x) = (x + 1) \times \dfrac{1}{\e^x}$. Or :

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}x + 1= - \infty$ et 

$\displaystyle\lim_{x \to -\infty}\dfrac{1}{\e^x} = + \infty$, donc par produit de limites : $\displaystyle\lim_{x \to -\infty}g(x) = - \infty$. Réponse \textbf{a.}

\item %On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par:
\[h(x) = (4x - 16)\e^{2x}.\]

%On note $\mathcal{C}_h$ la courbe représentative de $h$ dans un repère orthogonal.

%On peut affirmer que:

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $h$ est convexe sur $\R$.&\textbf{b.~~} $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion en $x = 3$.\\
%\textbf{c.~~} $h$ est concave sur $\R$.&\textbf{d.~~} $\mathcal{C}_h$ possède un point d'inflexion 
%
%en $x = 3,5$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
La fonction $h$ produit de fonctions dérivables sur $\R$ est dérivable et pour tout réel :

$h'(x) = 4\e^{2x} + 2(4x - 16)\e^{2x} = \e^{2x}(4 + 8x - 32) = \e^{2x}(8x - 28)$.

$h''(x) = 8\e^{2x} + 2(8x - 28)\e^{2x} = \e^{2x}(8 + 16x  - 56) = \e^{2x}(16x - 48) = 16\e^{2x}(x - 3)$.

Comme $4\e^{2x} > 0$ quel que soit le réel $x$, le signe de $h''(x)$ est celui de $x - 3$.

Donc la dérivée seconde s'annule en $x = 3$ en changeant de signe, donc le point de coordonnées $\left(3~;~-4\text{e}^{6}\right)$ est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}_h$. Réponse \textbf{b.}

\item %On considère la fonction $k$ définie sur l'intervalle $]0~;~ +\infty[$ par : 
\[k(x) = 3 \ln (x) - x.\]

%On note $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $k$ dans un repère orthonormé. 

%On note $T$ la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $x = \text{e}$.

Une équation de $T$ est : $M(x~;~y) \in (T) \iff y - k(\e) = f'(\e)(x- \e)$.

Avec $k(\e) = 3\ln \e - \e = 3 - \e$ et 

$k'(x) = \dfrac 3x - 1$, d'où $k'(\e) = \dfrac{3}{\e} - 1 = \dfrac{3 - \e}{\e}$, on obtient donc :

$M(x~;~y) \in (T) \iff y - (3 - \e) = \dfrac{3 - \e}{\e}(x- \e) \iff y  = \dfrac{3 - \e}{\e}x - 3 + \e  + 3 - \e \iff y = \dfrac{3 - \e}{\e}x$ (cette droite contient l'origine). Réponse \textbf{b.}

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~~} $y = (3 - \text{e})x$&\textbf{b.~~} $y = \left(\dfrac{3 - \text{e}}{\text{e}}\right)x$\\
%\textbf{c.~~} $y = \left(\dfrac{3}{\text{e} }- 1\right)x + 1$&\textbf{d.~~}$y = (\text{e} - 1)x + 1$
%\end{tabularx}
%\end{center}
\item %On considère l'équation 
$[\ln (x)]^2 + 10 \ln (x) + 21 = 0$, avec $x \in ]0~;~+\infty[$.

%Le nombre de solutions de cette équation est égal à :
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
%\textbf{a.~~} 0&\textbf{b.~~} 1&\textbf{c.~~} 2&\textbf{d.~~} une infinité.
%\end{tabularx}
%\end{center}
En posant $X = \ln x$, l'équation devient : $X^2 + 10X + 21 = 0$.

Avec $\Delta = 10^2 - 4\times 21 = 100 - 84 = 16 = 4^2$, les solutions sont :

$\left\{\begin{array}{l c l}
X_1 &=&\dfrac{-10 - 4}{2}\\
X_2&=&\dfrac{-10 + 4}{2}
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
X_1 &=&- 7\\
X_2&=&- 3
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\ln x_1 &=&-7\\
\ln x_2&=&-3
\end{array}\right. \iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x_1 &=&\e^{-7}\\
x_2&=&\e^{-3}
\end{array}\right.$

Cette équation a donc deux solutions. Réponse \textbf{c.}
\end{enumerate}


\end{document}
\begin{enumerate}
\item

\begin{itemize}
\item Quand \quad  $ x \to 0 $ \quad (avec  $ x>0 $) :

\begin{itemize}[label=$\triangleright$]

\item $ 3x+1 \to 3 \times 0+1=1 $ \quad par continuité de \quad  $ x\longmapsto3x+1 $.

\item $ x \times \ln(x) \to 0 $ \quad par croissances comparées.

\end{itemize}

Finalement, par produit puis différence : \quad  $ \displaystyle\lim_{ x \to 0 } f(x) = 1$.

\item Pour tout $x\neq0 $, \quad $f(x)= x \times \left( 3 + \dfrac{ 1 }{ x }-2\; \ln(x)  \right)$.

Quand \quad $ x\to +\infty$ :

$ \dfrac{1}{x} \to 0  $ \quad et \quad $ \ln(x) \to +\infty $ \quad donc
 $ \left( 3+\dfrac{ 1 }{ x }-2\; \ln(x) \right) \to -\infty $ 

Finalement, par produit : \quad  $\displaystyle\lim_{ x \to +\infty } f(x)=-\infty$.
\end{itemize}
\item 
\begin{enumerate}
\item 
$f(x)=3x+1-2x\; \ln(x) $ \quad donc \quad 
$ \begin{aligned}[t]
f'(x) & =3+0-\big( 2 \times \ln(x)+2x \times \dfrac{ 1 }{ x }  \big) \\
& =3-2\ln(x)-2= 1 - 2\ln(x)
\end{aligned} $ 
\item %tableau de variations
$ f'(x) > 0 $  \quad équivaut successivement à

$ 1 - 2\ln(x) > 0$ ;

$ 1 > 2\ln(x) $ ;

$ \dfrac{1}{2}>\ln(x)  $ ;

$ \e^{1/2} >x$  \quad (car  $\exp$ strictement croissante sur  $ \R$).

On peut faire de même avec  $ = $ à la place de  $ > $.

$f(\e^{1/2})=3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2}\ln\big( \e^{1/2} \big) =3\e^{1/2}+1-2\e^{1/2} \times \dfrac{1}{2}=2\e^{1/2}+1$.

D'où le tableau suivant :

\begin{center}
\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(9,2.5)
\psframe(9,2.5)\psline(0,1.5)(9,1.5)\psline(0,2)(9,2)
\psline(1,0)(1,2.5)
\uput[u](0.5,1.9){$x$} \uput[u](1.15,1.9){$0$} \uput[u](5,1.9){$\text{e}^{1/2}$} \uput[u](7,1.9){$\alpha$} \uput[u](8.5,1.9){$+\infty$}
\rput(0.5,1.75){$f'(x)$}\rput(0.5,0.75){$f(x)$}
\uput[u](3,1.4){$+$} \uput[u](5,1.4){$0$} \uput[u](7,1.4){$-$}
\uput[u](1.15,0){1}\uput[d](5,1.5){$2\text{e}^{1/2}+1$}\uput[u](8.5,0){$- \infty$}
\rput(7,0.8){0}
\psline{->}(1.5,0.4)(4.2,1.2)\psline{->}(5.8,1.2)(8.5,0.4)
\end{pspicture}
\end{center}

\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item 
\begin{itemize}
\item D'après les résultats précédents, on a \quad  $ f(x)\geqslant 1 $ \quad sur  $ \left[0~;~\e^{1/2}\right]$.

L'équation \quad $ f(x)=0 $ \quad n'a donc pas de solution sur cet intervalle.
\item sur  $\left[\e^{1/2}~;~+\infty \right[$ :

$f$ est dérivable donc continue, et strictement décroissante ; d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, $f$ prend une seule fois toute valeur  dans l'intervalle des bornes 
\quad
$f(\e^{1/2}) = \e^{1/2}+1 > 1$ \quad et \quad $ \displaystyle\lim_{ x \to +\infty } f(x) = -\infty $.

En particulier, l'équation \quad  $f(x)=0 $ \quad admet une unique solution  $\alpha$ sur cet intervalle.
\end{itemize}
$ \alpha$ est donc l'unique solution sur  $]0~;~+\infty[$.
\item D'après les questions précédentes :

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(5,1)
\psframe(5,1)\psline(0,0.5)(5,0.5)\psline(1,0)(1,1)
\uput[u](0.5,0.4){$x$} \uput[u](1.15,0.4){$0$} \uput[u](3,0.4){$\alpha$} \uput[u](4.5,0.4){$+ \infty$}
\rput(0.5,0.25){$f(x)$}\rput(2,0.25){$+$}\rput(3,0.25){0}\rput(4,0.25){$-$}
\psline(1.1,0)(1.1,0.5)\psline(1.2,0)(1.2,0.5)
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}
\item $ F'= f < 0$ \quad sur  $\left[\e^{2}~;~\alpha \right[$ \quad donc  $F$ strictement croissante sur une partie de $\left[\e^{2}~;~+\infty\right[$.

L'affirmation de l'énoncé est donc fausse. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item
 $ f'(x)=1-2\ln(x) $ \quad donc \quad  $ f''(x)=0-2 \times \dfrac{ 1 }{ x }=\dfrac{ -2 }{ x }$.

Sur $[0~;~+\infty[$ \quad on a donc \quad  $ f''(x) < 0 $ : \quad  $f$ est donc concave sur cet intervalle ; la courbe  $ \mathcal{C}_f $ est donc au dessous de ses tangentes.
\item Une équation de  $T$ est \quad  $ y = f(1) +f'(1) \times (x - 1)$.

$ f(1) = 3 \times 1+ 1 - 2 \times 1 \times \ln(1) = 4 $ \quad et

$ f'(1)=1-2\ln(1) =1$ \quad car \quad $ \ln(1) = 0$.

$ f(1)+f'(1) \times (x-1) = 4+1 \times (x-1)= x + 3 $

L'équation réduite de  $ T $ est \quad  $ y = x+3 $.
\item  $\mathcal{C}_f$ d'équation \quad  $y = f(x) $ \quad  est au dessus de  $T$ \quad d'équation \quad  $ y=x+3 $. 

Pour tout  $ x > 0 $, \quad on a  donc \quad  $ f(x)> x+3 $ \quad ce qui équivaut successivement à

$ 3x+1-2x\; \ln(x) > x + 3 $ ;

$2x-2>2x\; \ln(x)$  ;

$ \dfrac{ 2x-2 }{ 2x } > \ln(x)$ \quad car \quad  $ 2x>0 $ ;

$\ln(x) <1-\dfrac{ 1 }{ x } $ \quad car \quad  $ \dfrac{ 2x-2 }{ 2x }=\dfrac{ 2x }{ 2x }-\dfrac{ 2 }{2x }=1-\dfrac{ 1 }{ x }$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}  \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item La valeur de  $ u_2 $  est égale à :

\begin{tabular}{*{2}{p{0.4 \linewidth}}}
\textbf{a.} \quad $ \dfrac{11}{4}  $  & \textbf{b.} \quad $ \dfrac{ 13 }{ 2 }  $\\ 
\textbf{c.} \quad   \np{3.5}   & \textbf{d.} \quad  \np{2.7}  
\end{tabular}

\textbf{a}

\item La suite  $ \big( v_n \big) $ définie, pour tout entier naturel  $ n $ , par \quad  $ v_n=u_n-n $  est :

\begin{tabular}{*{2}{p{0.4 \linewidth}}}
\textbf{a.} \quad   arithmétique de raison  $ \frac{ 1 }{ 2 }  $.  & \textbf{b.} \quad  géométrique de raison  $ \frac{ 1 }{ 2 }  $. \\ 
\textbf{c.} \quad   constante.   & \textbf{d.} \quad   ni arithmétique, ni géométrique. 
\end{tabular}

\textbf{b}
\item \textbf{d}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}

\item Soit $ P_{n} $ la proposition   "$ n \leq u_n  \leq n+3 $" 

\begin{itemize}[label=$\triangleright$]

\item Initialisation pour  $ n = 0$ :

$ u_0=3 $ \quad donc \quad  $ 0 \leq u_0  \leq 0+3$ : \quad   $ P_0 $ est vraie.  

\item Hérédité :

Supposons que  \quad $ n \leq u_n  \leqslant n+3 $ \quad  pour une valeur  $ n\geq  0$ ;

Montrons que \quad  $ n+1 \leqslant u_{n+1}  \leqslant (n+1)+3 $\quad c'est à dire \quad $ n+1 \leqslant u_{n+1}  \leqslant n+4 $
	
$ \begin{aligned}[t]
& n \leq u_n  \leqslant n+3 \\
\Rightarrow  & \frac{ 1 }{ 2 } n \leqslant \frac{ 1 }{ 2 } u_n  \leqslant \frac{ 1 }{ 2 } n+ \frac{ 3 }{ 2 } \quad \text{en multipliant par }\frac{ 1 }{ 2 }  \\
\Rightarrow  &  n+1 \leqslant \frac{ 1 }{ 2 } u_n  +\frac{ 1 }{ 2 } n +1\leqslant n+ \frac{ 5 }{ 2 } \quad \text{en ajoutant  }\frac{1}{2}n +1\\
\end{aligned} $

Comme  \quad $ n+ \frac{ 5 }{ 2 } <n+4 $ \quad on obtient bien le résultat annoncé.

\item Conclusion : par récurrence, la proposition  $P_{n}$ est bien vraie pour tout entier \quad $ n \geqslant 0 $.

\end{itemize}
\item Pour tout $ n\geqslant 0 $, \quad on a \quad  $ n \leqslant u_n$.

Par comparaison, on en déduit que \quad  $\displaystyle\lim_{ n \to +\infty} u_n=+\infty $ 
\item Pour tout $ n\geqslant 0 $, \quad on a \quad  $ n \leqslant u_n  \leqslant n+3 $.

Pour tout $ n>0 $, \quad on   en déduit que \quad $ 1 \leq \dfrac{ u_n }{ n } \leqslant \dfrac{ n+3 }{ n }  $

Comme \quad  $ \dfrac{ n+3 }{ n }=1+\dfrac{ 3 }{ n }$, \quad on a \quad  $\displaystyle\lim_{ n \to +\infty} \dfrac{n+3}{n} =1$.

Par encadrement, on en déduit que \quad  $ \displaystyle\lim_{ n \to +\infty} \dfrac{ u_n }{ n } =1$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}  \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}

\item  $ F\Cddd{1}{1}{1} $ \quad et \quad  $ C\Cddd{0}{1}{0} $  
\item  $ M $ est le milieu de  $ \Segment{F}{C} $ :

$ x_M=\dfrac{ x_F+x_C }{ 2 }=\dfrac{ 1+0 }{ 2 }=\dfrac{ 1 }{ 2 }    $ ;  

$ y_M=\dfrac{ y_F+y_C }{ 2 }=\dfrac{ 1+1 }{ 2 }=1    $ ;

$ z_M=\dfrac{ z_F+z_C }{ 2 }=\dfrac{ 1+0 }{ 2 }=\dfrac{ 1 }{ 2 }    $ ; 

On a donc  $ M\Cddd{\frac{ 1 }{ 2 } }{ 1}{\frac{ 1 }{ 2 }} $.

De même,  le milieu de  $ H\Cddd{1}{0}{0} $ et  $ F\Cddd{1}{1}{1} $     est  $ N\Cddd{1}{\frac{ 1 }{ 2 } }{\frac{ 1 }{ 2 } } $.
\item
\begin{enumerate}

\item $ \vect{AG}\CdddV{1}{1}{-1} $ \quad  $ \vect{HF}\CdddV{0}{1}{1} $ \quad et \quad  $ \vect{HC}\CdddV{-1}{1}{0} $

$ \vect{AG}\cdot \vect{HF}=1 \times 0+1 \times 1 +(-1) \times 1=0$ \quad et \quad  $ \vect{AG}\cdot \vect{HC}=1 \times (-1)+1 \times 1 +(-1) \times 0=0$.

$ \vect{AG} $ est donc orthogonal à   $ \vect{HF} $ et  $ \vect{HC} $ qui sont deux vecteurs directeurs non colinéaires du plan  $ (HFC $ ;

$ \vect{AG} $ est donc normal à  $ (HFC) $.
\end{enumerate}
\item $ (AG) $ passe par \quad  $ A\Cddd{0}{0}{1} $ \quad et est dirigée par  \quad  $ \vect{AG} \CdddV{1}{1}{-1}$.

Une représentation paramétrique de  $ (AG) $ est donc \quad  $ \left\{
\begin{array}{l}
x=k  \\
y=k	 \\
z=1-k
\end{array}
\right. \quad k \in \R  $
\item  $ R $ est l'intersection entre  $ (HFC) $ et la droite $ (AG) $  passant  par  $ A $ et orthogonale à  $ (HFC)$.

On a donc   $ R\Cddd{x}{y}{z} $ \quad avec \qquad $ x=k $, \quad $ y=k $, \quad  $ z=1-k $ \qquad et \quad  $ x+y-z=1 $.

Par substitution on obtient \quad  $ k+k-(1-k)=1 $ \quad d'où \quad  \quad $3k=2 $ \quad puis \quad  $ k=\frac{2}{3}$.

On a alors \quad  $ x=k=\frac{2}{3}  $, \quad  $ y=k=\frac{ 2 }{ 3 } $ \quad et \quad  $ z=1-k=1-\frac{ 2 }{ 3 } =\frac{1}{3}  $.

On a bien \quad  $R \Cddd{\frac{2}{3} }{\frac{2}{3} }{\frac{1}{3} } $.
\item Soit \quad  $ K\Cddd{1}{1}{t} $ \quad un point de  $ (FG $.
 
Comme $ M\Cddd{\frac{ 1 }{ 2 } }{ 1}{\frac{ 1 }{ 2 }} $\quad et \quad  $ N\Cddd{1}{\frac{ 1 }{ 2 } }{\frac{ 1 }{ 2 } } $ \quad on en déduit

$ \vect{KM}\CdddV{-\frac{ 1 }{ 2 } }{0}{\frac{ 1 }{ 2 } -t} $ \quad et \quad  $ \vect{KN}\CdddV{0}{-\frac{ 1 }{ 2 } }{\frac{ 1 }{ 2 } -t} $  \quad puis

$ \vect{KM} \cdot\vect{KN}=-\frac{ 1 }{ 2 }  \times 0+0 \times (-\frac{ 1 }{ 2 } )+(\frac{ 1 }{ 2 }-1)  \times (\frac{ 1 }{ 2 } -t)=(\frac{ 1 }{ 2 } -t)^2$. 

$ KMN $ est rectangle  $ K $ \quad équivaut successivement à

$ \vect{KM} \cdot\vect{KN}=0 $  ;

$ (\frac{ 1 }{ 2 } -t)^2 $ ;

$ t=\frac{1}{2} $.

L'unique point de  $ (FG) $ tel que  $ KMN  $ soit rectangle en K est donc \quad  $ K\Cddd{1}{1}{\frac{1}{2} } $.
\item Prenons  $ NKM $ comme base de FNKM; elle est dans le plan (horizontal) d'équation \quad $ z=\frac{1}{2} $ qui est orthogonal à $ (FG)$.

Son aire est \quad $ \dfrac{ NK \times KM }{2} =\dfrac{ \frac{1}{2}  \times \frac{1}{2}}{2}=\dfrac{1}{8}$.

La hauteur correspondante est \quad $KF=\dfrac{1}{2}$.

La volume de FNKM est donc \quad $ \dfrac{1}{3} \times \dfrac{1}{8} \times \dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{ 48 }$.

Ce volume représente donc $ \dfrac{1}{ 48 }  $ du volume (1) du cube ABCDEFGH.
\end{enumerate}
\end{document}