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%Tapuscrit : Denis Vergès
%Relecture : 
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat spécialité}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{13 septembre 2021}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large\textbf{\decofourleft~Baccalauréat Métropole 13 septembre 2021 J2~\decofourright\\[6pt] ÉPREUVE D'ENSEIGNEMENT DE SPÉCIALITÉ}\\[7pt]Candidats libres}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{Le candidat traite 4 exercices : les exercices 1, 2 et 3 communs à tous les candidats et un seul des deux exercices A ou B.}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

%Une entreprise reçoit quotidiennement de nombreux courriels (courriers électroniques).
%
%Parmi ces courriels, 8\,\% sont du \og spam \fg, c'est-à-dire des courriers à intention publicitaire, voire malveillante, qu'il est souhaitable de ne pas ouvrir.
%
%On choisit au hasard un courriel reçu par l'entreprise.
%
%Les propriétés du logiciel de messagerie utilisé dans l'entreprise permettent d'affirmer que :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]La probabilité que le courriel choisi soit classé comme \og indésirable\fg{} sachant que c'est un spam est égale à $0,9$.
%\item[$\bullet~~$]La probabilité que le courriel choisi soit classé comme \og indésirable\fg{} sachant que ce n'est pas un spam est égale à $0,01$.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%On note :
%
%\setlength\parindent{1cm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$]$S$ l'évènement \og le courriel choisi est un spam \fg ;
%\item[$\bullet~~$]$I$ l'évènement \og le courriel choisi est classé comme indésirable par le logiciel de messagerie \fg.
%\item[$\bullet~~$]$\overline{S}$ et $\overline{I}$ les évènements contraires de $S$ et $I$ respectivement.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0cm}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Modéliser la situation étudiée par un arbre pondéré, sur lequel on fera apparaître les probabilités associées à chaque branche.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.75cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$S$~~}\taput{0,08}}
	{\TR{$I$}\taput{0,9}
	\TR{$\overline{I}$}\tbput{0,1}
	}
\pstree{\TR{$\overline{S}$~~}\tbput{0,92}}
	{\TR{$I$}\taput{0,01}
	\TR{$\overline{I}$}\tbput{0,99}
	}	
}
\end{center}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la probabilité que le courriel choisi soit un message de spam et qu'il soit classé indésirable est égale à $0,072$.
On a $P(S \cap I) = P(S) \times P_S(I) = 0,08 \times 0,9 = 0,072$
		\item %Calculer la probabilité que le message choisi soit classé indésirable.
On a de même $P\left(\overline{S} \cap I\right) = P\left(\overline{S}\right) \times P_{\overline{S}}(I) = 0,92 \times 0,01 = \np{0,0092}$.

D'après la loi des probabilités totales :

$P(I) = P(S \cap I) + P\left(\overline{S} \cap I\right) = 0,072 + \np{0,0092} = \np{0,0812}$.
		\item %Le message choisi est classé comme indésirable. Quelle est la probabilité que ce soit effectivement un message de spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
Il faut calculer $P_I(S) = \dfrac{P(I \cap S)}{P(I)}  = \dfrac{0,072}{\np{0,0812}}\approx 0,887$ soit 0,89 au centième près.
	\end{enumerate}
\item %On choisit au hasard $50$ courriels parmi ceux reçus par l'entreprise. On admet que ce choix se ramène à un tirage au hasard avec remise de $50$ courriels parmi l'ensemble des courriels reçus par l'entreprise.

%On appelle $Z$ la variable aléatoire dénombrant les courriels de spam parmi les $50$ choisis.
	\begin{enumerate}
		\item %Quelle est la loi de probabilité suivie par la variable aléatoire $Z$, et quels sont ses paramètres ?
		Les tirages étant indépendants les uns des autres et étant assez nombreux on peut considérer que la variable $Z$ suit une loi binomiale de paramètres $n = 50$ et $p = 0,08$.
		\item %Quelle est la probabilité que, parmi les 50 courriels choisis, deux au moins soient du spam ? On donnera un résultat arrondi au centième.
		On a $P(Z = 0) = 0,08^0 \times 0,92^{50} \approx \np{0,015466}$ ;
		
		$P(Z = 1) = \binom{50}{1} \times 0,08 \times 0,92^{49} \approx \np{0,067426}$ , donc 
		
		$P(Z \geqslant 2) = 1 - [P(Z = 0) + P(Z = 1)]  = 1 - (\np{0,015466} + \np{0,067426}) \approx \np{0,917}$, soit $0,92$ au centième près.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\[5pt]
% Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}
%
%\medskip
%
%Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points A(1~;~0~;~2), B(2~;~1~;~0), C(0~;~1~;~2) et la droite $\Delta$ dont une représentation paramétrique est :
%
%$\left\{\begin{array}{l c r}
%x &=& 1 + 2t\\
%y &=& -2 + t\\ 
%z&=&4 - t
%\end{array}\right., t\, \in \R$.
%
%\medskip
%
\begin{enumerate}
\item 

%Parmi les points suivants, lequel appartient à la droite $\Delta$ ?
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{Réponse A :} M$(2~;~1~;~-1)$; & \textbf{Réponse B :} N$(-3~;~-4~;~6)$ ;\\
%\textbf{Réponse C :} P$(-3~;~-4~;~2)$ ; & \textbf{Réponse D :} Q$(-5~;~-5~;~1)$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
Pour $t = - 2$, on trouve les coordonnées de B.
\item 
Le vecteur $\vect{\text{AB}}$ admet pour coordonnées : $\begin{pmatrix}2 - 1~;~1 - 0~;~0 - 2\end{pmatrix}$ soit $\begin{pmatrix}1~;~1~;~- 2\end{pmatrix}$

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{Réponse A :} $\begin{pmatrix}1,5\\0,5\\1\end{pmatrix}$;& \textbf{Réponse B :}$\begin{pmatrix}-1\\-1\\2\end{pmatrix}$ ;\\
%\textbf{Réponse C :} $\begin{pmatrix}1\\1\\-2\end{pmatrix}$& \textbf{Réponse D :} $\begin{pmatrix}3\\1\\2\end{pmatrix}$.
%\end{tabularx}
%\end{center}

\item %Une représentation paramétrique de la droite (AB) est :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{Réponse A :}$\left\{\begin{array}{l c l}x=1+2t\\y = t\\z = 2\end{array}\right., t \in \R$&
%\textbf{Réponse B :} $\left\{\begin{array}{l c l}x =2 - t\\y = 1 - t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \R$\\
%\textbf{Réponse C :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 2 + t\\y = 1 + t\\z = 2t\end{array}\right., t \in \R$&
%\textbf{Réponse D :} $\left\{\begin{array}{l c l}x = 1 + t\\y = 1 + t\\z = 2 - 2t\end{array}\right., t \in \R$
%\end{tabularx}
%\end{center}
$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB})$ s'il existe $t \in \R$ tel que $\vect{\text{A}M} = t\vect{\text{AB}}$ soit :

$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
x - 1& 1\times t\\
y - 0& 1\times t\\
z - 2& - 2\times t
\end{array}\right.\, t \in \R \iff 
\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 1 +  t\\
y &t\\
z & 2 - 2t
\end{array}\right.\, t \in \R 
$.

En posant $t = 1 - u$, on obtient :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{AB}) \iff \left\{\begin{array}{l !{=} r}
x & 2 - u\\
y &1 - u\\
z & 2u
\end{array}\right.\, u \in \R$. Donc réponse B.
\item %Une équation cartésienne du plan passant par le point C et orthogonal à la droite $\Delta$ est :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{Réponse A :} $x - 2y + 4z - 6 = 0$ ;& \textbf{Réponse B :} $2x + y - z + 1 = 0$ ;\\
%\textbf{Réponse C :} $2x + y - z- 1 = 0$ ;& \textbf{Réponse D :} $y + 2z - 5 = 0$.
%\end{tabularx}
%\end{center}
La droite $\Delta$ a pour vecteur directeur $\vect{\delta}\begin{pmatrix}2\\1\\-1\end{pmatrix}$

Soit $\mathcal{P}$ le plan dont on cherche une équation.

$M(x~;~y~;~z) \in \mathcal{P} \iff \vect{\text{C}M} \cdot \vect{\delta} = 0 \iff 2(x - 0) + 1(y - 1) -1(z - 2) = 0 \iff$

$ 2x + y - 1 - z + 2 = 0 \iff 2x + y - z + 1 = 0$.
\item %On considère le point D défini par la relation vectorielle $\vect{\text{OD}} = 3\vect{\text{OA}} - \vect{\text{OB}} - \vect{\text{OC}}$.

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
%\textbf{Réponse A :} \parbox[t]{4cm}{$\vect{\text{AD}},~ \vect{\text{AB}},~ \vect{\text{AC}}$ sont\\ coplanaires ;} &\textbf{Réponse B :} $\vect{\text{AD}} = \vect{\text{BC}}$ ;\\
%\textbf{Réponse C :} \parbox[t]{4cm}{D a pour coordonnées\\ $(3~;~-1~;~-1)$ ;} &\textbf{Réponse D :} \parbox[t]{4cm}{les points A, B, C et D\\ sont alignés.}
%\end{tabularx}
%\end{center}
En faisant apparaître le point A dans chaque vecteur (Chasles), on obtient :

$\vect{\text{OA}} + \vect{\text{AD}}  = 3\vect{\text{OA}}  - \vect{\text{OA}}  - \vect{\text{AB}}  - \vect{\text{OA}}  - \vect{\text{AC}} \iff \vect{\text{AD}}  = - \vect{\text{AB}} - \vect{\text{AC}} $ : le vecteur $\vect{\text{AD}}$ est une combinaison linéaire des vecteurs $\vect{\text{AB}}$ et $\vect{\text{AC}}$, ces trois vecteurs sont donc coplanaires.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{center}\textbf{Partie I}\end{center}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par 

\[f(x) = x - \text{e}^{-2x}.\]

On appelle $\Gamma$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthonormé \Oij.

\medskip

\begin{enumerate}
\item ~%Déterminer les limites de la fonction $f$ en $- \infty$ et en $+ \infty$.
$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to - \infty} x = - \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}\text{e}^{-2x} = + \infty$ et donc $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}-\text{e}^{-2x} = - \infty$ ; donc par somme de limites :

$\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = - \infty$.

$\bullet~~$On a $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} x  = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty}\text{e}^{-2x} = 0$ ; donc par somme de limites  $\displaystyle\lim_{x \to - \infty}f(x) = + \infty$.
\item %Étudier le sens de variation de la fonction $f$ sur $\R$ et dresser son tableau de variation.
la fonction $f$ est dérivable comme somme de fonctions dérivables sur $\R$ et sur cet intervalle :

$f'(x) = 1 - (- 2)\text{e}^{-2x} = 1 + 2\text{e}^{-2x}$.

On sait que quel que soit $x \in \R$, \, $\text{e}^{-2x} > 0$, donc $ 1 + 2\text{e}^{-2x} > 1 > 0$.
La dérivée est positive donc la fonction $f$ est strictement croissante de moins l'infini à plus l'infini.
\item %Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\R$, dont on donnera une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
La fonction $f$ est continue car dérivable et strictement croissante; comme $0 \in \R$, d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires, il existe un réel unique $\alpha \in \R$ telle que $f(\alpha) = 0$.

La calculatrice donne  :

$f(0) = - 1$ et $f(1) \approx 0,865$, donc $0 < \alpha < 1$ ;

$f(0,4) \approx - 0,05$ et $f(0,5) \approx 0,13$, donc $0,4 < \alpha < 0,5$ ;

$f(0,42) \approx - 0,01$ et $f(0,43) \approx 0,007$, donc $0,42 < \alpha < 0,43$.
\item %Déduire des questions précédentes le signe de $f(x)$ suivant les valeurs de $x$.
On a donc :

$\bullet~~$sur $]- \infty~;~\alpha[, \, f(x) < 0$ ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[, \, f(x) > 0$ ;

$\bullet~~$et $f(\alpha) = 0$.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie II}\end{center}


%Dans le repère orthonormé \Oij, on appelle $\mathcal{C}$ la courbe représentative de la fonction $g$ définie sur $\R$ par:
%
%\[g(x) = \text{e}^{-x}.\]
%
%La courbes $\mathcal{C}$ et la courbe $\Gamma$ (qui représente la fonction $f$ de la Partie I) sont tracées sur le \textbf{graphique donné en annexe qui est à compléter et à rendre avec la copie.}

%\smallskip
%
%Le but de cette partie est de déterminer le point de la courbe $\mathcal{C}$ le plus proche de l'origine O du repère et d'étudier la tangente à $\mathcal{C}$ en ce point.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item %Pour tout nombre réel $t$, on note $M$ le point de coordonnées $\left(t~;~\text{e}^{-t}\right)$ de la courbe $\mathcal{C}$.

%On considère la fonction $h$ qui, au nombre réel $t$, associe la distance O$M$.

%On a donc: $h(t) = \text{O}M$, c'est-à-dire :

\[h(t) = \sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}\]

	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $t$,
Soit $u(t) = t^2 + \text{e}^{-2t}$, donc $h(t) = \sqrt{u(t)}$ fonction dérivable car composée de deux fonctions \og racine \fg{}  et $h$ dérivables.

Donc $h'(t) = \dfrac{u'(t)}{2\sqrt{u(t)}} = \dfrac{2t - 2\text{e}^{-2t}}{2\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{t - \text{e}^{-2t}}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}} = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}$.
%\[h'(t) = \dfrac{f(t)}{\sqrt{t^2 + \text{e}^{-2t}}}.\]

%où $f$ désigne la fonction étudiée dans la \textbf{Partie I}.
		\item %Démontrer que le point A de coordonnées $\left(\alpha~;~\text{e}^{-\alpha}\right)$ est le point de la courbe $\mathcal{C}$ pour lequel la longueur O$M$ est minimale.
		
Le dénominateur étant positif, le signe de $h'(t)$ est celui du numérateur soit $f(t)$ dont on a vu le signe dans la partie I.

Donc :

$\bullet~~$sur $]- \infty~;~\alpha[, \, f(t) < 0$ donc $h'(t) < 0$ : la fonction est strictement décroissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$sur $]\alpha~;~+ \infty[, \, f(x) > 0$ donc $h'(t) > 0$ : la fonction est strictement croissante sur cet intervalle ;

$\bullet~~$et $f(\alpha) = 0$, donc $h(\alpha)$ est le minimum de la fonction $h$.

La distance O$M$ est donc minimale pour $t = \alpha$ et l'ordonnée de $M$ est alors $\text{e}^{- \alpha}$.

Le point de la courbe le plus proche de l'origine est donc le point A$\left(\alpha~;~\text{e}^{-\alpha}\right)$.

%Placer ce point sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie}.
$\alpha$ est l'abscisse du point d'intersection de $\Gamma$ avec l'axe des abscisses. Il suffit de tracer la parallèle à l'axe des ordonnées passant par ce point, elle coupe $\mathcal{C}$ au point A
	\end{enumerate}
\item %On appelle $T$ la tangente en A à la courbe $\mathcal{C}$.
	\begin{enumerate}
		\item %Exprimer en fonction de $\alpha$ le coefficient directeur de la tangente $T$.
Le coefficient directeur de la tangente $T$ au point d'abscisse $\alpha$ est $g'(\alpha) = - \text{e}^{- \alpha}$		
%On rappelle que le coefficient directeur de la droite (OA) est égal à $\dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha}$.
%
%On rappelle également le résultat suivant qui pourra être utilisé sans démonstration:
%
%\emph{Dans un repère orthonormé du plan, deux droites $D$ et $D'$ de coefficients directeurs respectifs $m$ et $m'$ sont perpendiculaires si, et seulement si le produit $mm'$ est égal à $-1$.}

		\item %Démontrer que la droite (OA) et la tangente $T$ sont perpendiculaires. 
D'après le rappel le produit des coefficients directeurs est $- \text{e }^{-\alpha} \times \dfrac{\text{e}^{-\alpha}}{\alpha} = -\dfrac{\text{e }^{-2\alpha}}{\alpha}$.

or on sait que $f(\alpha) = 0 \iff \alpha - \text{e}^{-2\alpha} = 0 \iff \alpha = \text{e}^{-2\alpha} \iff \dfrac{\text{e }^{-2\alpha}}{\alpha} = 1$, donc finalement le produit des coefficients directeurs est égal à $- 1$. La droite (OA) et la tangente $T$ sont perpendiculaires.

Voir à la fin.
%Tracer ces droites sur le \textbf{graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{EXERCICE au choix du candidat \hfill 5 points}

\medskip

\textbf{Le candidat doit traiter un seul des deux exercices A ou B.\\[5pt]
Il indique sur sa copie l'exercice choisi: exercice A ou exercice B.\\[5pt]Pour éclairer son choix, les principaux domaines abordés dans chaque exercice sont indiqués dans un encadré.}

\medskip

\textbf{Exercice A}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Suites numériques ; raisonnement par récurrence.\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

%On considère les suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ définies par:

\[u_0 = 16 \quad ;\quad  v_0 = 5 \;;\]

et pour tout entier naturel $n$ :

\renewcommand\arraystretch{2}
\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_{n+1}&=&\dfrac{3u_n + 2v_n}{5}\\
v_{n+1}&=& \dfrac{u_n + v_n}{2}
\end{array}\right.\]
\renewcommand\arraystretch{1}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item %Calculer $u_1$ et $v_1$.

$\bullet~~$ $u_1 = \dfrac{3\times 16 + 2 \times 5}{5} = \dfrac{58}{5}$ ;

$\bullet~~$ $v_1 = \dfrac{16 +5}{2} = \dfrac{21}{2}$.

\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $w_n = u_n - v_n$.
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison 0,1.
		On a quel que soit $n \in \N$, 
		
		$w_{n+1} = u_{n+1} - v_{n+1} = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} - \dfrac{u_n + v_n}{2} = \dfrac{6u_n + 4v_n - 5u_n - 5v_n}{10} = \dfrac{u_n - v_n}{10} = \dfrac{w_n}{10}$.
		
Pour tout $n \in \N$,\, l'égalité $w_{n+1} = \dfrac{1}{10}w_n$ montre que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $\dfrac{1}{10} = 0,1$ et de premier terme $w_0 = u_0 - v_0 = 16 - 5 = 11$.
		
%En déduire, pour tout entier naturel $n$, l'expression de $w_n$ en fonction de $n$.
On sait qu'alors pour tout naturel $n$, \, $w_n = 11 \times (0,1)^n$.
		\item %Préciser le signe de la suite $\left(w_n\right)$  et la limite de cette suite.
		Comme $0,1 > 0 \Rightarrow 0,1^n > 0$ et $11 > 0$, donc la suite $\left(w_n\right)$ est une suite de nombres supérieurs à zéro.
		
		D'autre part $0 < 0,1 < 1$ entraine que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} 0,1^n = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n = 0$.% d'où $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty} v_n$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = - 0,4 w_n$.
		Pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} - u_n = \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} - u_n =  \dfrac{3u_n + 2v_n}{5} - \dfrac{5u_n}{5} = \dfrac{- 2u_n + 2v_n}{5} = - \dfrac{2}{5}\left(u_n - v_n  \right) = - \dfrac{2}{5}w_n = - \dfrac{4}{10}w_n = - 0,4w_n$
		\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
On a vu à la question 2. b. que $w_n > 0$, quel que soit le naturel $n$, donc $- 0,4w_n < 0$ et par conséquent :

$u_{n+1} - u_n < 0 \iff u_{n+1} < u_n$, ce qui montre que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante.
\end{enumerate}
		
On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est croissante. On admet ce résultat, et on remarque qu'on a alors: pour tout entier naturel $n$,\, $v_n \geqslant v_0 = 5$.
\begin{enumerate}[resume]
		\item  On va démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \geqslant 5$. 
		
\emph{Initialisation } : On a $u_0 = 16 \geqslant 5$ : la proposition est vraie au rang $n = 0$.

\emph{Hérédité} : on suppose que pour $n \in \N$, \, on a $u_n \geqslant 5$.

On a donc $3u_n \geqslant 15$ (1) et comme on a admis que $v_n \geqslant 5$, on a $2v_n \geqslant 10$ (2).

On peut ajouter membre à membre (1) et (2) pour obtenir :

$3u_n + 2v_n \geqslant 25$ d'où en multipliant par le nombre positif $\dfrac{1}{5}$ :

$\dfrac{3u_n + 2v_n}{5} \geqslant 5$ et finalement $u_{n+1} \geqslant 5$.

\emph{Conclusion } : la minoration par 5 est vraie au rang 0 et si elle vraie au tang $n$, elle l'est aussi au rang $n + 1$ ; d'après le principe de récurrence on a donc quel que soit $n \in \N$, \, $u_n \geqslant 5$.

%En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente. On appelle $\ell$ la limite de $\left(u_n\right)$.
La suite $\left(u_n\right)$ est décroissante et minorée par 5 : d'après le théorème de la convergence monotone,  elle converge  vers une limite $\ell \geqslant 5$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
On peut démontrer de la même manière que la suite $\left(v_n\right)$ est convergente. On admet ce résultat, et on appelle $\ell'$ la limite de $\left(v_n\right)$.
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Démontrer que $\ell = \ell'$.
		On a vu à la question 2.b. que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} w_n = 0$ ou encore que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left ( u_n - v_n\right ) = 0$.
		
Les deux suites $(u_n)$ et $(v_n)$ étant convergentes, on en déduit que
$\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n  = \lim_{n \to + \infty} v_n $		
		 et donc que  $\ell = \ell'$.
		\item On considère la suite $\left(c_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par : $c_n = 5u_n + 4v_n$.
		
%Démontrer que la suite $\left(c_n\right)$ est constante, c'est-à-dire que pour tout entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = c_n$. 
%Pour tout entier naturel $n$\,  $c_n = 5u_n + 4v_n$

$\text{Donc : }c_{n+1} = 5u_{n+1} + 4v_{n+1} = 3u_n + 2v_n + 2\left(u_n  + v_n \right) = 3u_n + 2v_n + 2u_n  + 2v_n \\
\phantom{\text{Donc : }c_{n+1}}= 5u_n + 4v_n = c_n$. 

Donc la suite  $\left(c_n\right)$ est constante.

%En déduire que, pour tout entier naturel $n$ ,\, $c_n = 100$.
Pour tout $n\in\N$,  $c_n = c_0 = 5u_0 + 4v_0 = 5 \times 16 + 4 \times 5 = 80 + 20 = 100$.
		\item %Déterminer la valeur commune des limites  $\ell$ et $\ell'$.
Puisque $c_n = 5u_n + 4v_n$ et que $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ ont même limite $\ell$, on a donc :

$\displaystyle\lim_{n \to + \infty}c_n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}100 = 100 = 5\ell + 4\ell = 9\ell$.

$9\ell = 100$ donc $\ell = \dfrac{100}{9}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice B}

\medskip

\begin{tabular}{|l|}\hline
Principaux domaines abordés :\\
Fonction logarithme, limites, dérivation.\\ \hline
\end{tabular}

\medskip

\textbf{Partie 1}

\medskip

%Le graphique ci-dessous donne la représentation graphique dans un repère orthonormé de la fonction $f$
%définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = \dfrac{2\ln (x) - 1}{x}.\]

\begin{center}
\psset{unit=1.75cm}
\begin{pspicture*}(-0.6,-2.2)(5,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2.1)(5,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0.1}{5}{x ln 2 mul 1 sub x div}
\end{pspicture*}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Déterminer par le calcul l'unique solution $\alpha$ de l'équation $f(x) = 0$.
Dans $]0~;~+\infty[$, \, $f(x) = 0 \iff \dfrac{2\ln (x) - 1}{x} = 0$, on a donc 

$2\ln (x) - 1 = 0 \iff 2\ln (x) = 1 \iff \ln (x) = \dfrac{1}{2} \iff x  = \text{e}^{\frac{1}{2}}$.

$S = \left\{\text{e}^{\frac{1}{2}}\right\}$.

\emph{Rem. } $\text{e}^{\frac{1}{2}} = \sqrt{\text{e}} \approx 1,649 \approx 1,65$ au centième près.

%On donnera la valeur exacte de $\alpha$ ainsi que la valeur arrondie au centième.
\item %Préciser, par lecture graphique, le signe de $f(x)$ lorsque $x$ varie dans l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
$\bullet~~$Sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$, on a $f(x) < 0$ ;

$\bullet~~$Sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty\right[$, on a $f(x) > 0$ ;

$\bullet~~$ $f\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right) = 0$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie II}

\medskip

%On considère la fonction $g$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par:

\[g(x) = [\ln (x)]^2 - \ln (x).\]

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $0$.
On a $\displaystyle\lim_{x \to 0} \ln x = - \infty$, d'où $\displaystyle\lim_{x \to 0} (\ln x)^2 = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to 0} (-\ln x) = + \infty$, donc par somme de limites :
		
$\displaystyle\lim_{x \to 0} g(x) = + \infty$.
		\item %Déterminer la limite de la fonction $g$ en $+ \infty$.
$g(x) = \ln (x) [\ln (x) - 1]$. Comme 

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln (x)  = + \infty$ et $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \ln (x)  - 1 = + \infty$, on obtient par produit :

$\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x)  = + \infty$.
	\end{enumerate}
\item %On note $g'$ la fonction dérivée de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.
La fonction $g(x) = \ln (x) [\ln (x) - 1]$ est dérivable comme produit de deux fonctions dérivables sur $]0~;~+ \infty[$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac{1}{x} \times [\ln (x) - 1] + \ln (x) \times \dfrac{1}{x} = \dfrac{1}{x} \left[\ln (x) - 1 + \ln (x)\right] = \dfrac{1}{x}\times (2\ln (x) - 1) = \dfrac{2\ln (x) - 1}{x} = f(x)$.
%Démontrer que, pour tout nombre réel $x$ de $]0~;~+\infty[$, on a : $g'(x) = f(x)$, où $f$ désigne la fonction définie dans la partie I.
\item %Dresser le tableau de variations de la fonction $g$ sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$.

Le signe de $f(x) = g'(x)$ a été trouvé à la question 2 de la partie I ; on a donc :

$\bullet~~$Sur $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$, on a $g'(x) < 0$ : la fonction $g$ est strictement décroissante sur cet intervalle

$\bullet~~$Sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty\right[$, on a $g'(x) > 0$ : la fonction $g$ est strictement croissante sur cet intervalle

$\bullet~~$ $g'\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right) = 0$ : $g\left(\text{e}^{\frac{1}{2}}\right) = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{2} = - \dfrac{1}{4}$ est le minimum de la fonction $g$ sur $]0~;~+\infty[$.


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,3)
\psframe(7,3)\psline(0,2)(7,2)(7,3)\psline(0,2.5)(7,2.5)\psline(1,0)(1,3)
\uput[u](0.5,2.4){$x$}~\uput[u](1.15,2.4){$0$}~\uput[u](4,2.4){$\text{e}^{\frac{1}{2}}$}~ \uput[u](6.5,2.4){$+ \infty$}
\uput[u](0.5,1.9){$g'(x)$}\uput[u](2.5,1.9){$-$}\uput[u](4,1.9){$0$}\uput[u](5.5,1.9){$+$}
\psline{->}(1.5,1.5)(3.5,0.5)\psline{->}(4.5,0.5)(6.5,1.5)
\uput[d](1.5,2){$+ \infty$}\uput[u](4,0){$- \frac{1}{4}$}\uput[d](6.5,2){$+ \infty$}
\rput(0.5,1){$g$}
\end{pspicture}
\end{center}

%On fera figurer dans ce tableau les limites de la fonction $g$ en $0$ et en $+\infty$, ainsi que la valeur du minimum de $g$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item %Démontrer que, pour tout nombre réel $m > - 0,25$, l'équation $g(x) = m$ admet exactement deux solutions.
Comme $- \frac{1}{4} = - 0,25$, le tableau de variations montre que l'équation $g(x) = m$, avec $m > -0,25$ a deux solutions, l'une sur l'intervalle $\left]0~;~\text{e}^{\frac{1}{2}}\right[$, l'autre sur $\left]\text{e}^{\frac{1}{2}}~;~+ \infty\right[$.
\item %Déterminer par le calcul les deux solutions de l'équation $g(x) = 0$.
Dans $]0~;~+ \infty[$, \, $g(x) = 0 \iff \ln (x) [\ln (x) - 1] = 0 \iff \left\{\begin{array}{l c l}
\ln (x)&=&0\\
\ln (x) - 1&=&0
\end{array}\right. \iff $

$\left\{\begin{array}{l c l}
\ln (x)&=&0\\
\ln (x) &=&1
\end{array}\right. \iff \left\{\begin{array}{l c l}
x&=&1\\
x &=&\text{e}
\end{array}\right.$

$S = \{1~;~\text{e}\}$.
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}

\textbf{\large Annexe à compléter et à rendre avec la copie}

\vspace{1.5cm}

\textbf{Exercice 3}

\vspace{1.5cm}

\psset{unit=3.25cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1,-0.75)(3.25,2.6)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.08pt](-1,-1)(4,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(-0.99,-0.75)(3.25,2.6)
\uput[l](1.5,1.5){\red $\Gamma$}\uput[ur](-0.75,2){\blue $\mathcal{C}$}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=red,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{x 1 2.71828 2 x mul exp div sub}
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-1}{3.25}{1 2.71828  x  exp div}
\psline[linestyle=dashed,linewidth=1.25pt](0.43,0)(0.43,0.65)(0,0.65)
\uput[ur](0.43,0.65){\blue A}\uput[ul](0.43,0){\red $\alpha$}
\psplotTangent[linecolor=blue]{0.43}{4}{2.71828 x neg exp}
\psplot[plotpoints=200,linewidth=1.25pt]{0}{0.43}{x 1.5128 mul}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}
\end{document}