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%Tapuscrit : Denis Vergès
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\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{}
\lhead{\small L'année 2022}
\rfoot{\small Métropole, Antilles-Guyane}
\lfoot{\small 8 septembre 2022}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} {\huge \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat spécialité Jour 1 \decofourright\\[7pt]
Métropole Antilles-Guyane 8  septembre 2022}}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Exercice 1  \quad 7 points\hfill Thèmes : fonctions, suites}

\medskip

%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point.\\
%Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par : 

\[ g(x) = \dfrac{2\text{e}^x}{\text{e}^x +1}.\]

\smallskip

%La courbe représentative de la fonction $ g$ admet pour asymptote en $+ \infty$ la droite d'équation :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{X X X X}
%\textbf{a.~} $x = 2$ ;&\textbf{b.~} $y = 2$ ;&\textbf{c.~} $y = 0$ ;&\textbf{d.~} $x = - 1$\\
%\end{tabularx}
%\end{center}

On a pour tout réel $x$, \: $g(x) = \dfrac{\text{e}^x \times 2 }{\text{e}^x\left(1 + \text{e}^{-x}\right)} = \dfrac{2}{1 + \text{e}^{-x}}$.

Or $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \text{e}^{-x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} 1 + \text{e}^{-x} = 1$ et enfin $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} g(x) = \dfrac{2}{1} = 2$. \hfill Réponse \textbf{b.}

\item La dérivée seconde $f''$ est positive sur les intervalles $]- \infty~;~-1[$ et $[2~;~+ \infty[$, donc la fonction $f$ est convexe sur ces intervalles. \hfill Réponse \textbf{c.}

\item %On donne la suite $\left(u_n\right)$ définie par : $u_0 = 0$ et pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = \dfrac12 u_n + 1$.

%La suite $\left(v_n\right)$, définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n  - 2$, est :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~} arithmétique de raison $- 2$ ;&\textbf{b.~} géométrique de raison $- 2$ ;\\
%\textbf{c.~} arithmétique de raison 1 ;&\textbf{d.~}géométrique de raison  $\dfrac12$.\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
On a pour tout naturel $n$ :

$b_{n+1} = a_{n+1} - 2 = 0,5a_n + 1 - 2 = 0,5a_n - 1 = 0,5\left(a_n - 2 \right) = 0,5b_n$.

L'égalité $b_{n+1} = 0,5b_n$ montre que la suite $\left(b_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,5. 

\hfill Réponse \textbf{d.}

\item %On considère une suite $\left(u_n\right)$ telle que, pour tout entier naturel, on a :

%\[1  + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}\]

%On peut affirmer que la suite $\left(u_n\right)$ :
%
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~} converge vers 2 ; &\textbf{b.~} converge vers 1 ;\\
%\textbf{c.~} diverge vers $+ \infty$ ;&\textbf{d.~} n'a pas de limite.\\
%\end{tabularx}
%\end{center}
$\bullet~~$Comme $- 1 < \dfrac{1}{4} < 1$, on sait que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}\left(\dfrac14\right)^n = 0$ et donc $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}1 + \left(\dfrac14\right)^n = 1$ ;

$\bullet~~$On a $\dfrac{n}{n + 1} = \dfrac{1}{1 + \frac1 n}$.
Or $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} \frac1 n = 0 \Rightarrow \displaystyle\lim_{n \to + \infty} \dfrac{n}{n + 1} = 1$ et $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}2 - \dfrac{n}{n + 1} = 1$.

%$\bullet~~$L'encadrement vrai pour tout naturel $n$, donne : $1 \leqslant \displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n \leqslant 1$.

On a donc  $1  + \left(\dfrac14\right)^n \leqslant u_n \leqslant 2 - \dfrac{n}{n+1}$ avec  $\displaystyle\lim_{n \to + \infty}1 + \left(\dfrac14\right)^n = \displaystyle\lim_{n \to + \infty}2 - \dfrac{n}{n + 1} = 1$. 

D'après le théorème des gendarmes, on peut dire que la suite $(u_n)$ est convergente et que $\displaystyle\lim_{n \to + \infty} u_n=1$.\hfill
Réponse \textbf{b.}

\item Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = x^2 \ln x$.

%Une primitive $F$ de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est définie par :

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~} $F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$ ;&\textbf{b.~} $F(x) = \dfrac13 x^3 (\ln x - 1)$ ;\\
%\textbf{c.~} $F(x) = \dfrac13 x^2$ ;&\textbf{d.~} $F(x) = \dfrac13 x^2 (\ln x - 1)$.\\
%\end{tabularx}
%\end{center}

Si $F(x) = \dfrac13 x^3 \left(\ln x - \dfrac13 \right)$, alors 
$F'(x) = x^2\left(\ln x - \dfrac13 \right) + \dfrac13 x^3 \times \dfrac{1}{x} = x^2 \ln x - \dfrac13 x^2  + \dfrac13 x^2 = x^2 \ln x = f(x)$. \hfill Réponse \textbf{a.}

\item %Pour tout réel $x$, l'expression $2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1}$ est égale à : 

%\begin{center}
%\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
%\textbf{a.~} $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ;&\textbf{b.~} $\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$ ;\\
%\textbf{c.~} $\dfrac{5 + 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$ ;&\textbf{d.~} $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 - \text{e}^x}$.\\
%\end{tabularx}
%\end{center}

$2 + \dfrac{3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{2\text{e}^{-x} + 2  + 3\text{e}^{-x} - 5}{\text{e}^{-x} + 1} = \dfrac{5\text{e}^{-x} - 3}{\text{e}^{-x} + 1}$ ; en multipliant chaque terme par $\text{e}^x$, on obtient : $\dfrac{5 - 3\text{e}^x}{1 + \text{e}^x}$. \hfill Réponse \textbf{a.}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 2 \quad  7 points\hfill Thème probabilités}

\medskip

%Un hôtel situé à proximité d'un site touristique dédié à la préhistoire propose deux visites dans les environs, celle d'un musée et celle d'une grotte.
%
%\medskip
%
%Une étude a montré que 70\,\% des clients de l'hôtel visitent le musée. De plus, parmi les clients visitant le musée, 60\,\% visitent la grotte.
%
%Cette étude montre aussi que 6\,\% des clients de l'hôtel ne font aucune visite.
%
%On interroge au hasard un client de l'hôtel et on note :
%
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement : \og le client visite le musée \fg{} ;
%\item[$\bullet~~$] $G$ l'évènement : \og le client visite la grotte \fg.
%\end{itemize}
%
%On note $\overline{M}$ l'évènement contraire de $M$,\: $\overline{G}$ l'évènement contraire de $G$, et pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ la probabilité de $E$.
%
%Ainsi, d'après l'énoncé, on a : $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$.
%
%\medskip
%
%\begin{minipage}{0.53\linewidth}
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$, où $p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)$ désigne la probabilité que le client interrogé ne visite pas la grotte sachant qu'il ne visite pas le musée.
On a $p(M) = 0,7$, donc $p\left(\overline{M}\right) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Or $p\left(\overline{M} \cap \overline{G}\right) = 0,06$ donc 

$p\left(\overline{M} \right) \times p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0,06 \iff 
 0,3 \times p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right)=0,06 \iff p_{\overline{M}}\left(\overline{G}\right) = 0,2$.

		\item ~%L'arbre pondéré ci-contre modélise la situation. Recopier et compléter cet arbre en indiquant sur chaque branche la probabilité associée.
On complète l'arbre pondéré:		
		
		
		\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$M$~}\taput{0,7}}
{\TR{$G$}\taput{0,6}
\TR{$\overline{G}$}\tbput{0,4}
}
\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{0,3}}
{\TR{$G$}\taput{0,8}
\TR{$\overline{G}$}\tbput{0,2}
}}
\end{center}
		
		\item La probabilité de l'évènement \og le client visite la grotte et ne visite pas le musée \fg{} est:
		$p\left(\overline{M} \cap G\right) = p\left(\overline{M}\right)\times p_{\overline{M}}(M) = 0,3 \times 0,8 = 0,24$.

		\item %Montrer que $p(G) = 0,66$.
On a de même $p(M \cap G) = p(M) \times p_M(G) = 0,7 \times 0,6 = 0,42$.

D'après la loi des probabilités totales :

$p(G) = p(M \cap G) + p\left(\overline{M} \cap G\right) = 0,42 + 0,24 = 0,66$.
	\end{enumerate}

%\end{minipage}\hfill
%\begin{minipage}{0.43\linewidth}
%\begin{center}
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=2.5pt,treesep = 1cm,levelsep=2.5cm]{\TR{}}
%{\pstree{\TR{$M$~}\taput{\ldots}}
%{\TR{$G$}\taput{\ldots}
%\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
%}
%\pstree{\TR{$\overline{M}$~}\tbput{\ldots}}
%{\TR{$G$}\taput{\ldots}
%\TR{$\overline{G}$}\tbput{\ldots}
%}}
%\end{center}
%\end{minipage}

\item Le responsable de l'hôtel affirme que parmi les clients qui visitent la grotte, plus de la moitié visitent également le musée.% Cette affirmation est-elle exacte ?

On calcule $p_G(M) = \dfrac{p(G \cap M}{p(G)} = \dfrac{p(M \cap G}{p(G)} = \dfrac{0,42}{0,66} = \dfrac{42}{66} = \dfrac{21}{33} = \dfrac{7}{11} \approx 0,64 > 0,5$. \\
L'affirmation est exacte.

\item %Les tarifs pour les visites sont les suivants:

%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] visite du musée : 12 euros;
%\item[$\bullet~~$] visite de la grotte : 5 euros.
%\end{itemize}
%
%On considère la variable aléatoire $T$ qui modélise la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites.
	\begin{enumerate}
		\item %Donner la loi de probabilité de $T$. On présentera les résultats sous la forme d'un tableau.
On a le tableau de probabilités suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
évènement	&$M \cap G$	&$M \cap \overline{G}$	&$\overline{M} \cap G$	&$\overline{M} \cap \overline{G}$\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
probabilité	&0,42		&0,28					&0,24					&0,06\\ \hline
dépense		&17			&12						&5						&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item %Calculer l'espérance mathématique de $T$.
D'après le tableau précédent :
		
$E(T) = 17 \times 0,42 + 12 \times 0,28 + 5 \times 0,24 + 0 \times 0,06 = 7,14 + 3,36 + 1,2 = 11,7$.

Ceci signifie que sur un grand nombre de visiteurs la dépense moyenne par visiteur est égale à 11,70~\euro.
		\item %Pour des questions de rentabilité, le responsable de l'hôtel estime que le montant
%moyen des recettes des visites doit être supérieur à $700$~euros par jour.

%Déterminer le nombre moyen de clients par journée permettant d'atteindre cet objectif.
Soit $x$ le nombre minimum de visiteurs , $x$ doit vérifier :

$11,7 \times x > 700 \iff x > \dfrac{700}{11,7}$. Or $\dfrac{700}{11,7} \approx 59,8$.

Il faut donc qu'il y ait au moins 60 visiteurs.
	\end{enumerate}
\item %Pour augmenter les recettes, le responsable souhaite que l'espérance de la variable aléatoire modélisant la somme dépensée par un client de l'hôtel pour ces visites passe à 15 euros, sans modifier le prix de visite du musée qui demeure à $12$ euros. 

%Quel prix faut-il fixer pour la visite de la grotte afin d'atteindre cet objectif ? (On admettra que l'augmentation du prix d'entrée de la grotte ne modifie pas la fréquentation des deux sites).
Soit $g$ le prix à payer pour visiter la grotte ; le tableau de probabilités devient :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
évènement&$M \cap G$&$M \cap \overline{G}$&$\overline{M} \cap G$&$\overline{M} \cap \overline{G}$
\rule[-3mm]{0mm}{9mm}\\ \hline
probabilité&0,42&0,28&0,24&0,06\\ \hline
dépense&12 + g&12&$g$&0\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

L'espérance devient :

$E = 0,42(12 + g) + 12 \times 0,28 + 0,24 \times g + 0 \times 0,06 = 5,04 + 0,42g + 3,36 + 0,24g = 8,4 + 0,66g$.

Le responsable veut que :

$8,4 + 0,66g = 15 \iff 0,66g = 6,6 \iff g = 10$.

Le prix d'entrée à la grotte doit passer à 10 euros.
\item %On choisit au hasard $100$ clients de l'hôtel, en assimilant ce choix à un tirage avec remise.

%Quelle est la probabilité qu'au moins les trois quarts de ces clients aient visité la grotte à l'occasion de leur séjour à l'hôtel ?

%On donnera une valeur du résultat à $10^{-3}$ près.
Le nombre de visiteurs étant suffisamment grand pour que le tirage puisse être considéré avec remise, chaque visiteur a donc en moyenne une probabilité de 0,66 de visiter la grotte.

La variable aléatoire $G$ égale au nombre de visiteurs de la grotte suit donc une loi binomiale $\mathcal{B}(100~;~0,66)$.

Il faut donc trouver $p(G \geqslant 75)$.

La calculatrice donne $p(G\leqslant 74) \approx \np{0,9660}$, donc

$p(G \geqslant 75) = 1 - p(G\leqslant 74) \approx 1 - \np{0,9660}\approx 0,034$ au millième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 3 \quad  7 points\hfill Thème fonctions logarithmes et exponentielles, suites}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = \dfrac{\ln x}{x},\]

où $\ln$ désigne la fonction logarithme népérien.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Donner la limite de la fonction $f$ en $+\infty$.
On sait que $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0$, donc $\displaystyle\lim_{x \to + \infty} f(x) = 0$.

L'axe des abscisses est asymptote horizontale au graphe de la fonction$f$ au voisinage de plus l'infini.
\item On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ et on note $f'$ sa fonction dérivée.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, pour tout nombre réel $x \geqslant 1,\:f'(x) = \frac{1 - \ln x}{x^2}$.
En dérivant $f(x)$ comme un quotient, on obtient pour $x \geqslant 1$ :
		
$f'(x) = \dfrac{\dfrac{1}{x} \times x - 1 \times \ln x}{x^2} = \dfrac{1 - \ln x}{x^2}$.

		\item~ %Justifier le tableau de signes suivant, donnant le signe de $f'(x)$ suivant les valeurs de $x$.
Quel que soit $x$,\: $x^2 \geqslant 0$, le signe de $f'(x)$ est donc celui du numérateur $1 - \ln x$ :

$\bullet~~$ $1 - \ln x > 0 \iff 1 > \ln x \iff \text{e} > x$ : $f'(x) > 0$ sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$ ;

$\bullet~~$ $1 - \ln x < 0 \iff 1 < \ln x \iff \text{e} < x$ : $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $[\text{e}~;~+ \infty[$.

$\bullet~~$ $1 - \ln x = 0 \iff 1 = \ln x \iff \text{e} = x$.

On a donc le tableau de signes de $f'(x)$:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\def\esp{\hspace*{1.5cm}}
$\begin{array}{|c | *{5}{c} |} 
\hline
x  & 1 & \esp & \text e & \esp  & +\infty \\
\hline
f'(x) &  & \pmb{+} &  \vline\hspace{-2.7pt}{0} & \pmb{-} &    \\
\hline
\end{array}$
\renewcommand{\arraystretch}{1}
\end{center}

		\item $f(1)=0$ et $f(\text e) = \dfrac{1}{\text e}$; on dresse le tableau de variations  de la fonction $f$ sur $[1~;~+\infty[$.

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.1}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{\hspace*{2.5cm}}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \esp & \text e & \esp & +\infty \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{\frac{1}{\text e}}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{0} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

	\end{enumerate}
\item %Soit $k$ un nombre réel positif ou nul.
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que, si $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet une unique solution sur l'intervalle $[1~;~\text{e}]$.
D'après le tableau de variations sur l'intervalle [1~;~e], la fonction est strictement croissante de $0$ à $\dfrac{1}{\text{e}}$ : l'équation $f(x) = k$ avec $0 \leqslant k \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$ a donc d'après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires une solution unique.

		\item %Si $k > \dfrac{1}{\text{e}}$, l'équation $f(x) = k$ admet-elle des solutions sur l'intervalle $[1~;~+\infty[$ ?

%Justifier.
D'après le tableau de variations $f(x) \leqslant \dfrac{1}{\text{e}}$ (maximum de $f$) : l'équation $f(x) = k$ avec $k > \dfrac{1}{\text{e}}$ n'a donc pas de solution
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $g$ la fonction définie sur $\R$ par : 
$g(x) = \text{e}^{\frac{x}{4}}.$

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 1$ et, pour tout entier naturel $n$ :

$u_{n+1} = \text{e}^{\frac{u_n}{4}}$ c'est-à-dire : $u_{n+1} = g\left(u_n\right)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item %Justifier que la fonction $g$ est croissante sur $\R$.
La fonction $g$ est dérivable sur $\R$ et sur cet intervalle :

$g'(x) = \dfrac14 \text{e}^{\frac{x}{4}}$ : produit de deux facteurs supérieurs à zéro, cette dérivée est supérieure à zéro, donc $g$ est croissante sur $\R$.
\item %Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, on a : $u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \text{e}$.
Soit $\mathcal{P}_n$ la propriété $u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \text{e}$.

\begin{list}{\textbullet}{}


\item\emph{Initialisation}

$u_0 = 1$ et $u_1 = \text{e}^{u_0} = \text{e}^{1} = \text{e}$.
On a bien : $u_0 \leqslant u_1 \leqslant \text e$; la propriété est vraie pour $n=0$.

\item\emph{Hérédité}

Supposons que pour $n \in \N$, on ait $u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \text{e}$.

Par croissance de la fonction $g$,
on a: $g\left(u_n\right) \leqslant  g\left(u_{n+1}\right) \leqslant g\left(\text{e}\right)$ soit 

$u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant g\left(\text{e}\right)$

Or $g\left(\text{e}\right) = \text{e}^{\frac{\text{e}}{4}} \approx 1,97$ ; donc $g\left(\text{e}\right) \leqslant \text{e}$ et l'encadrement précédent devient :

$u_{n+1} \leqslant u_{n+2} \leqslant \text{e}$ : la propriété est vraie au rang $n + 1$.

\item\emph{Conclusion}

L'encadrement est vrai au rang 0 et s'il est vrai au rang $n \in \N$, il est vrai au rang $n + 1$; d'après le principe de récurrence :
quel que soit $n \in \N$, \: $u_n \leqslant  u_{n+1} \leqslant \text{e}$.
\end{list}

\item %En déduire que la suite $\left(u_n\right)$ est convergente.
L'encadrement précédent montre :

\begin{itemize}
\item que la suite $\left(u_n\right)$ est croissante ;
\item que la suite $\left(u_n\right)$ est majorée par $\text{e}$.
\end{itemize}

Donc, d'après le théorème de la convergence monotone,  la suite $\left(u_n\right)$ est convergente vers une limite inférieure ou égale à $\text{e}$.

\end{enumerate}

On note $\ell$ la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et on admet que $\ell$ est solution de l'équation :
$\text{e}^{\frac{x}{4}} = x.$

\begin{enumerate}[resume]
\item %En déduire que $\ell$ est solution de l'équation $f(x) = \dfrac14$, où $f$ est la fonction étudiée dans la partie A.
Quel que soit $x > 0$, \:$\text{e}^{\frac{x}{4}} = x \iff \dfrac{x}{4} = \ln x$, par croissance de la fonction ln.

Or $\dfrac{x}{4} = \ln x \iff \dfrac14 = \dfrac{\ln x}{x}$, soit finalement :
$f(x) = \dfrac14$ avec $f$ fonction définie dans la partie A.

\item %Donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près de la limite $\ell$ de la suite $\left(u_n\right)$.

On a: $\text e <4$ donc $\dfrac{1}{4} < \dfrac{1}{\text e}$ donc $0\leqslant \dfrac{1}{4} \leqslant \dfrac{1}{\text e}$.

D'après la question \textbf{3.\:a.} de la partie A, l'équation $f(x) = \dfrac14$ a donc une solution unique sur l'intervalle [1~;~e].

La calculatrice donne : $f(1) = 0$ et $f(2) = \dfrac{\ln 2}{2} \approx 0,346$ ;

$f(1,4) \approx 0,24$ et $f(1,5) \approx 0,27$, donc $1,4 < \ell < 1,5$ ;

$f(1,42) \approx 0,247$ et $f(1,43) \approx 0,251$, donc $1,42 < \ell < 1,43$ ;

$f(1,429) \approx \np{0,2498}$ et $f(1,430) \approx \np{0,2501}$, donc $1,429 < \ell < 1,430$ ;

Finalement $\ell \approx 1,43$ au centième près.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Exercice 4 \quad  7 points\hfill Thème : géométrie dans l'espace}

\medskip

Dans l'espace rapporté à un repère orthonormé \Oijk, on considère les points

\[\text{A}(-1~;~-1~;~3),\qquad \text{B}(1~;~1~;~2),\qquad  \text{C}(1~;~-1~;~7)\]

On considère également la droite $\Delta$ passant par les points D$(-1~;~6~;~8)$ et E$(11~;~- 9~;~2)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item %Vérifier que la droite $\Delta$ admet pour représentation paramétrique: 
		
%\[\left\{\begin{array}{l c l}
%x &=& -1 + 4t\\
%y &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\
%z &=& \phantom{-}8 - 2t
%\end{array}\right.\]
Avec $\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}12\\-15\\-6\end{pmatrix}$, on peut prendre comme vecteur directeur de $\Delta$:
$\dfrac13\vect{\text{DE}}\begin{pmatrix}4\\-5\\-2\end{pmatrix}$.

On a  $M(x~;~y~;~z) \in (\text{DE}) \iff \text{il existe } t \in \R, \: \text{tel que } \: \vect{\text{D}M} = t \dfrac13\vect{\text{DE}}$, soit 

\[\left\{\begin{array}{l c r}
x + 1 &=& 4t\\
y - 6 &=&-5t\\
z - 8 &=& -2t
\end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R
\iff 
\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -1 + 4t\\
y &=& \phantom{-}6 - 5t \\
z &=& \phantom{-}8 - 2t
\end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R\]
		\item La droite $\Delta'$ est parallèle à $\Delta$ donc elle a les mêmes vecteurs directeurs que $\Delta$. De plus, elle passe par l'origine O du repère donc elle a pour représentation paramétrique:

$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x&0+4t\\
y&0-5t\\
z& 0-2t
\end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R$
soit
$\left\{\begin{array}{l !{=} r}
x&4t\\
y&-5t\\
z& -2t
\end{array}\right. \quad\text{avec}\: t \in \R$

		\item %Le point F$(1,36~;~-1,7~;~-0,7)$ appartient-il à la droite $\Delta'$ ?
		F$(1,36~;~-1,7~;~-0,7) \in\Delta' \iff \left\{\begin{array}{l c l}
1,36&=&\phantom{-}4t\\
-1,7&=&-5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\
-0,7&=& -2t
\end{array}\right.$

Les deux premières équations donnent $t = 0,34$ et la dernière $t = 0,35$. \\
Donc F $\notin \Delta$.
	\end{enumerate}	
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que les points A, B et C définissent un plan.
		On a $\vect{\text{AB}}\begin{pmatrix}2\\2\\-1\end{pmatrix}$ et $\vect{\text{AC}}\begin{pmatrix}2\\0\\4\end{pmatrix}$ : ces deux vecteurs ne sont manifestement pas colinéaires, donc les trois points A, B et C définissent un plan.
		\item %Montrer que la droite $\Delta$ est perpendiculaire au plan (ABC).
On a $\dfrac13\vect{\text{DE}} \cdot \vect{\text{AB}} = 8 - 10 + 2 = 0$ ;

De même $\dfrac13\vect{\text{DE}} \cdot \vect{\text{AC}} = 8 + 0 - 8 = 0$.

Donc $\vect{\text{DE}}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan (ABC) ; il est normal à ce plan.

		\item %Montrer qu'une équation cartésienne du plan (ABC) est: $4x - Sy - 2z + 5 = 0$.
		
D'après la question précédente on sait que :

$M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 4x - 5y - 2z + d = 0$ avec $d \in \R$

Or A$(- 1~;~-1~;~3) \in (\text{ABC})$ donc $4\times (-1) - 5\times (-1)  - 2\times 3  + d = 0$ avec $d \in \R$, soit $- 5 + d = 0 \iff d = 5$.

Conclusion : $M(x~;~y~;~z) \in (\text{ABC}) \iff 4x - 5y - 2z + 5 = 0$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le point G(7~;~-4~;~4) appartient à la droite $\Delta$.
		G$(7~;~-4~;~4) \in \Delta \iff \left\{\begin{array}{r c l}
7 &=& -1 + 4t\\
-4 &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\
4 &=& \phantom{-}8 - 2t
\end{array}\right.$

Ces trois équations ont pour solution $t = 2$, donc G$(7~;~-4~;~4) \in \Delta$.
		\item %Déterminer les coordonnées du point H, projeté orthogonal du point G sur le plan (ABC).
Le point H appartient à la droite $\Delta$ et au plan (ABC). Donc ses coordonnées $x,\,y,\:z$ vérifient le système :

$\left\{\begin{array}{l c l}
x &=& -1 + 4t\\
y &=& \phantom{-}6 - 5t \quad\text{avec}\: t \in \R\\
z &=& \phantom{-}8 - 2t\\
4x - 5y - 2z + 5 &=& 0
\end{array}\right.$

En replaçant $x,\:y,\: z$ par leurs valeurs en fonction de $t$ dans la dernière équation, on obtient :

$4(- 1 + 4t) - 5(6 - 5t) - 2(8 - 2t) + 5 = 0\iff -4 + 16t - 30 + 25t - 16 + 4t + 5 = 0\iff 45t -45 = 0 \iff 45t = 45 \iff t = 1$.

Les coordonnées de H sont donc $(-1 + 4~;~6 - 5~;~8 - 2)$ soit H(3~;~1~;~6).
		\item %En déduire que la distance du point G au plan (ABC) est égale à $3\sqrt 5$.
		
		La distance du point G au plan (ABC) est donc égale à GH.
		
		Or GH$^2 = (3 - 7)^2 + (1 + 4)^2 + (6 - 4)^2 = 16 + 25 + 4 = 45$, d'où \\
		GH $= \sqrt{45} = \sqrt{9 \times 5} = \sqrt{9} \sqrt{5} = 3\sqrt{5}$.
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item %Montrer que le triangle ABC est rectangle en A.
D'après la question \textbf{2. a.}, on a $\vect{\text{AB}} \cdot \vect{\text{AC}}  = 2 \times 2 + 2 \times 0 + 4 \times (- 1) = 4 - 4 = 0$ : les vecteurs $\vect{\text{AB}} $ et  $\vect{\text{AC}}$ sont orthogonaux, donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires : le triangle ABC est rectangle en A.

		\item %Calculer le volume $V$ du tétraèdre ABCG.
En prenant comme base le triangle ABC, la hauteur correspondante est GH, donc :

$V = \dfrac13 \times \mathcal{A}(\text{ABC}) \times \text{GH} = \dfrac13 \times \dfrac12 \times \text{AB} \times \text{AC}  \times \text{GH}$.

On a AB$^2 = 2^2 + 2^2 + (- 1)^2 = 4 + 4 + 1 = 9$, donc AB $= 3$ ;

AC$^2 = 2^2 + 0^2 + 4^2 = 4 + 16 = 20$, donc AC $ = \sqrt{20} = \sqrt{4 \times 5} = 2\sqrt{5}$.

Donc $V = \dfrac13 \times \dfrac12 \times 3\times 2\sqrt{5}\times 3\sqrt{5} = 15$.
		
%\emph{On rappelle que le volume V d'un tétraèdre est donné par la formule $V = \dfrac13 \times  B \times h$ où $B$ est l'aire d'une base et $h$ la hauteur correspondant à cette base.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}