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%%% Tapuscrit : François Hache sur une base d'Olivier Reboux 
%%% Corrigé : François Hache
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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du baccalauréat  STI2D et STL}
\lfoot{\small{Métropole -- La Réunion}}
\rfoot{\small{16 juin 2017}}
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\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat STI2D et STL spécialité SPCL~\decofourright\\[5pt]Métropole - La Réunion -- 16 juin 2017}}
\end{center}

\section*{Exercice 1 \hfill 6 points}

%\begin{Enonce}
  La climatisation d'un véhicule automobile est un système qui a une double fonction, refroidir ou réchauffer l'habitacle. Ce système  fonctionne grâce à une certaine masse de gaz réfrigérant stocké dans un réservoir.
On suppose que, par défaut d'étanchéité, le système perd naturellement $0,1$ gramme de gaz chaque jour.
 Un automobiliste possède un véhicule pour lequel la masse de gaz dans le réservoir est initialement de $660$ grammes.

  \subsection*{Partie A}

  Le constructeur préconise de recharger le réservoir lorsque la masse  de gaz est inférieure à $440$ grammes.

Le système perd $0,1$ gramme chaque jour donc en $n$ jours il perd $0,1\times n$ grammes.

À pleine charge le réservoir contient $660$~grammes et on doit le recharger dès que la masse de gaz est inférieure à $440$~grammes; il faut donc chercher $n$ pour que $660-0,1\times n < 440$ ce qui équivaut à $220 < 0,1\times n$ ou encore $n>\np{2200}$.

Il faut donc recharger le réservoir au bout de $\np{2200}$~jours.

%  Au bout de combien de jours le constructeur préconise-t-il à  l'automobiliste de recharger ce réservoir ?

\subsection*{Partie B}

Lors d'une visite d'entretien, le garagiste signale à  l'automobiliste que le système de climatisation de son véhicule  présente une baisse significative de masse de gaz : en plus de la  perte naturelle de $0,1$ gramme, le système perd $1\,\%$  de sa masse chaque jour.
Le garagiste recharge alors complètement le réservoir.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la masse de gaz dans le  réservoir au bout de $n$ jours après cette visite.

On a donc, $u_0 = 660$ et on admet que pour tout entier naturel $n$, on a : $u_{n+1} = 0,99u_n -0,1$.

  \begin{enumerate}
  \item $u_1=0,99\times u_0 - 0,1 = 0,99\times 660 - 0,1 = 653,3$ grammes.
  
 $u_2 = 0,99\times u_1 - 0,1 = 0,99\times 653n3 - 0,1 \approx 646,7$ grammes.

  \item Voici un algorithme qui, lorsque l'on saisit un nombre $N$ non nul de jours écoulés, calcule et affiche la masse de gaz restant dans le système:

\begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Variables}        \\
\hspace*{0.5cm} $N$ : un nombre entier naturel \hspace*{0.5cm}  \\
\hspace*{0.5cm} $k$ : un nombre entier naturel \\
\hspace*{0.5cm} $u$ : un nombre  réel\\
\textbf{Entrée}         \\
\hspace*{0.5cm} Saisir $N$\\
\textbf{Initialisation}\\
\hspace*{0.5cm} $u$ prend la valeur $660$\\
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à \ldots\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur \ldots \hspace*{0.5cm}  \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\textbf{Sortie} \\
\hspace*{0.5cm} Afficher $u$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

    \begin{enumerate}

    \item On complète la partie relative au \textbf{traitement} de cet algorithme:
  
  \begin{center}
\begin{tabular}{| l |}
\hline
\textbf{Traitement} \\
\hspace*{0.5cm} Pour $k$ allant de 1 à {\red $N$}\\
\hspace*{0.5cm} \hspace*{0.5cm}  $u$ prend la valeur {\red $0,99u - 0,1$} \hspace*{0.5cm}  \\
\hspace*{0.5cm} Fin pour\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}  
    
    \item Au bout de $20$ jours il restera $u_{20} \approx 538$ grammes (à la calculatrice).
%      Arrondir au gramme près.
    \end{enumerate}

  \item Soit la suite $ \left(v_n\right)$ définie pour tout entier    naturel par $v_n = u_n +10$.
    \begin{enumerate}
    \item $v_0 = u_0+10 = 660+10=670$.    
    \item On admet que $(v_n)$ est une suite géométrique de raison      $0,99$; alors, pour tout entier naturel $n$, $v_n=v_0 \times q^n = 670 \times 0,99^n$. 
%      Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
    \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n= u_n +10$ donc $u_n=v_n-10$; d'après la question précédente, $v_n=670 \times 0,99^n$ donc, pour tout entier naturel $n$, 
$u_n = 670 \times 0,99^n -10$.
    \item% À l'aide de cette expression, vérifier le résultat obtenu à  la \textbf{question 2.b.}
$u_{20} =  670 \times 0,99^{20} -10 \approx 538$, ce qui est le résultat obtenu à la question 2.b.
    \end{enumerate}    
  \item On rappelle que le constructeur préconise de recharger le  réservoir au plus tard lorsque la masse de gaz est inférieure à $440$~g.
Le coût d'une recharge est de $80$ euros. Le garagiste propose de  réparer le système pour $400$~euros.
  
%    Pourquoi est-il plus économique pour cet automobiliste de réparer   le système ? Justifier la réponse.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item
Si le système est en état de marche correcte, c'est-à-dire réparé, il faut recharger au bout de \np{2200}~jours ; si l'automobiliste répare son système, il va dépenser 400~euros de réparation et 80~euros de recharge, soit un total de 480~euros. Il sera tranquille ensuite pour \np{2200} jours.
\item
Si l'automobiliste ne fait pas réparer son système, on va chercher au bout de combien de jours il doit recharger sa climatisation et combien de fois il le fera en \np{2200} jours.

En utilisant la calculatrice, on trouve $u_{39} \approx 443$ et $u_{40} \approx 438$ donc la masse devient inférieure à 440 grammes au bout de 40 jours; le conducteur doit donc recharger sa climatisation tous les 40 jours.

$\dfrac{\np{2200}}{40\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} = 55$ donc il faut recharger le système 55 fois en \np{2200} jours, ce qui coûte $ 55\times 80=\np{4400}$ euros.
\end{list}

En faisant réparer, l'automobiliste dépense 480 euros pour $\np{2200}$ jours; s'il ne fait pas réparer, ça lui coûterait $\np{4400}$ euros pour la même durée.

Il est donc nettement plus économique pour l'automobiliste de réparer son système. 

  \end{enumerate}
%\end{Enonce}


\section*{Exercice 2 \hfill 5 points}

%\begin{Enonce}
  \def\intervalleA{\texttt{[}0\,;\,+\infty\texttt{[}{}}

La fonte GS (graphite sphéroïdal) possède des caractéristiques mécaniques élevées et proches de celles des aciers. Une entreprise fabrique des pièces de fonte GS qui sont utilisées dans l'industrie automobile.

Ces pièces sont coulées dans des moules de sable et ont une température de $\np{1400}$\,\degres{}C à la sortie du four. Elles sont entreposées dans un local dont la température ambiante est maintenue à une température de $30$\,\degres{}C. Ces pièces peuvent être démoulées dès lors que leur température est inférieure à $650$\,\degres{}C.

La température en degrés Celsius d'une pièce de fonte est une fonction du temps $t$, exprimé en heures, depuis sa sortie du four. On admet que cette fonction $f$, définie et dérivable sur l'intervalle $\intervalleA$, est une solution sur cet intervalle de l'équation différentielle: $y'+0,065y = 1,95$.

\begin{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item On veut résoudre sur $\intervalleA$ l'équation différentielle $y'+0,065y = 1,95$.
  
  D'après le cours, l'équation différentielle $y'+ay=b$ (avec $a\neq 0$) admet pour solution générale les fonctions $f$ définies par $f(t)= C\times \e^{-0,065t} +\dfrac{b}{a}$ où $C$ est un réel quelconque; ici $a=0,065$ et $b=1,95$ donc $\dfrac{b}{a} = \dfrac{1,95}{0,065} = 30$.
  
Les solutions de l'équation différentielle $y'+0,065y = 1,95$ sont donc les fonctions $f$ définies sur $\intervalleA$ par $f(t)=C \e^{-0,065t} + 30$.
  
  \item %Donner $f(0)$ et vérifier que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle $\intervalleA$ par  $f(t) = \np{1370}\e^{-0,065t}+30$.
D'après le texte, la température à la sortie du four, c'est-à-dire pour $t=0$, est de \np{1400}\,\degres{}C, donc $f(0)=\np{1400}$.

On cherche donc le réel $C$ tel que $f(0)=\np{1400}$ ce qui équivaut à
$C \e^{-0,065\times 0} + 30 = \np{1400} \iff C=1370$.

La solution de l'équation différentielle vérifiant $f(0)=0$ est la fonction $f$ définie sur $\intervalleA$ par 
$f(t)=\np{1370} \e^{-0,065t} + 30$.  
  \end{enumerate}
\item
  \begin{enumerate}
  \item% Étudier mathématiquement le sens de variation de la fonction  $f$ sur l'intervalle $\intervalleA$.
Sur $\intervalleA$, $f'(t)= \np{1370}\times(-0,065)\e^{-0,065t} + 0 = -89,05 \e^{-0,065}<0$.

Donc la fonction $f$ est strictement décroissante sur $\intervalleA$.
  \item% Pourquoi ce résultat était-il prévisible ?
La fonction $f$ représente la température de la pièce après sa sortie du four; la pièce refroidit en sortant du four donc la température diminue et donc la fonction $f$ est décroissante.  
  \end{enumerate}
\item% La pièce de fonte peut-elle être démoulée après avoir été entreposée $5$ heures dans le local ?
On cherche la température de la pièce après avoir été  entreposée 5 heures dans le local:

$f(5)= \np{1370} \e^{-0,065\times 5} + 30 \approx \np{1020} > 650$ 

donc la pièce ne peut pas être démoulée après 5 heures.
\item
  \begin{enumerate}
  	\item% Déterminer au bout de combien de temps au minimum la pièce  pourra être démoulée. Arrondir le résultat à la minute près.
 La pièce pourra être démoulée après un temps $t$ tel que $f(t) < 650$; on résout cette inéquation:
 
$f(t) < 650 
\iff 
\np{1370} \e^{-0,065\times t} + 30 <650
\iff
\np{1370} \e^{-0,065\times t} < 620
\iff $

$\e^{-0,065\times t} < \dfrac{620}{\np{1370}}
\iff
-0,065 t < \ln\left ( \dfrac{620}{\np{1370}}\right )
\iff
t> \dfrac{\ln\left ( \dfrac{620}{\np{1370}}\right )}{-0,065}$.  

Or $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{620}{\np{1370}}\right )}{-0,065\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 12,20$ donc on pourra démouler la pièce au bout de $12,20$~h soit 12 heures et 12 minutes.
  
  \item Pour éviter la fragilisation de la fonte, il est préférable de  ne pas démouler la pièce avant que sa température ait atteint $325$\,\degres{}C.

On résout l'inéquation $f(t)<325$:   

$f(t) < 325 
\iff 
\np{1370} \e^{-0,065\times t} + 30 <325
\iff
\np{1370} \e^{-0,065\times t} <295
\iff$

$\e^{-0,065\times t} < \dfrac{295}{\np{1370}}
\iff
-0,065 t < \ln\left ( \dfrac{295}{\np{1370}}\right )
\iff
t> \dfrac{\ln\left ( \dfrac{295}{\np{1370}}\right )}{-0,065}
$.  

Or $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{295}{\np{1370}}\right )}{-0,065\rule[-5pt]{0pt}{0pt}} \approx 23,63$ qui n'est pas le double de $12,20$; il ne faudra donc pas attendre exactement deux fois plus de temps que précédemment.

    
%Dans ce cas faudra-t-il attendre exactement deux fois plus de temps que pour un démoulage à $650$\,\degres{}C?  Justifier la réponse.
  \end{enumerate}
\end{enumerate}
%\end{Enonce}

\section*{Exercice 3 \hfill 4 points}

 Un chef cuisinier décide d'ajouter un \og menu terroir\fg{} à la carte de son restaurent. S'appuyant sur sa longue expérience, le restaurateur pense qu'environ $30$\,\% des clients choisiront ce menu. Ceci le conduit à faire l'hypothèse que la probabilité qu'un client pris au hasard commande le \og menu terroir\fg{} est de $p = 0,3$.


\subsection*{Partie A}

Afin de tester la validité de son hypothèse, le restaurateur choisit au hasard $100$ clients et observe que $26$ d'entre eux ont commandé un \og menu terroir\fg.

Après discussion avec son comptable, le restaurateur décide d'accepter l'hypothèse que $p=0,3$.

%À l'aide d'un intervalle de fluctuation à $95\,\%$, justifier cette décision.

$n=100\geqslant 30$, $np=100\times 0,3 = 30 \geqslant 5$ et $n(1-p)=70\geqslant 5$; les conditions sont réalisées donc on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique à 95\,\%:

$\left [ p-1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right ]=
\left [ 0,3-1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{100}}~;~0,3+1,96 \dfrac{\displaystyle\sqrt{0,3\times 0,7}}{\sqrt{100}}\right ]$

$\approx \texttt{[} 0,21~;~0,39 \texttt{]}.$

Dans l'échantillon de 100 clients, il y en a 26 qui ont choisi le \og menu terroir\fg, ce qui fait une fréquence de $0,26$;
or $0,26 \in \texttt{[} 0,21~;~0,39 \texttt{]}$ donc le restaurateur a raison d'accepter l'hypothèse que $p=0,3$.

\subsection*{Partie B}

Une agence de voyage a réservé toutes les tables du restaurant pour la semaine à venir. Le restaurateur sait ainsi que $\np{1000}$ clients viendront déjeuner chacun une fois durant la semaine.

Le nombre de \og  menu terroir\fg{} qui seront alors commandés est une variable aléatoire $X$.

On considère que la probabilité qu'un des clients commande un \og menu terroir\fg{} est $p = 0,3$.

\begin{enumerate}
\item On admet que la variable aléatoire $X$ suit une loi binomiale.
	\begin{enumerate}
		\item% Donner ses paramètres.
Les paramètres de la loi binomiale sont $n=\np{1000}$ et $p=0,3$.

		\item La probabilité que le nombre de \og menus terroir\fg{} commandés soit inférieur ou égal à $315$ est
  $P(X \leqslant 315) \approx 0,857$ (à la calculatrice).

	\end{enumerate}
\item On décide d'approcher la loi binomiale précédente par la loi  normale d'espérance $\mu = 300$ et d'écart-type $\sigma = 14,49$.

D'après le cours, $\mu=np=300$ et $\sigma=\displaystyle\sqrt{np(1-p)} \approx 14,49$.

%Justifier les valeurs de $\mu$ et $\sigma$.
\end{enumerate}

  \emph{Dans la suite de l'exercice, on utilisera cette approximation par la loi normale.} %Les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ près.}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}  
\item
	\begin{enumerate}
		\item On obtient à la calculatrice $P(285 \leqslant X \leqslant 315) \approx 0,70$.
		\item On obtient à la calculatrice $P(X \geqslant 350)\approx 0$, donc il n'y a aucune chance qu'il y ait 350 clients ou plus qui commandent le \og menu terroir\fg. 
  \end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 4 \hfill 5 points}

\def\intervalleA{\texttt{[}0~;~2 \texttt{]}}

% Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse choisie. Toute trace de recherche, même incomplète ou non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation. \emph{Une réponse non justifiée ne rapporte aucun  point.}

\begin{enumerate}
\item
\textbf{Proposition 1}~-- 
    Le nombre complexe $z$ de module $4 \sqrt{3}$ et dont un argument est $\dfrac{2\pi}{3}$ a pour forme algébrique $-2 \sqrt{3}+6\i$.

\medskip

$z=4 \sqrt{3} \left (  \cos \dfrac{2\pi}{3} + \i \sin \dfrac{2\pi}{3}\right )
= 4 \sqrt{3} \left (  -\dfrac{1}{2} + \i \dfrac{\sqrt{3}}{2}\right )
= -2\sqrt{3} +6\i$

\textbf{Proposition 1 vraie}

\medskip

 \item Le plan est muni d'un repère orthonormé direct \Ouv. Les   points A, B et C ont pour affixes respectives : $z_{\text A} = 2\e^{\i     \frac{\pi}{2}}$, $z_{\text B} = -1 + \i \sqrt{3}$ et $z_{\text C} = z_{\text A} \times z_{\text B}$.
   
\textbf{Proposition 2}~-- 
     Le point C appartient au cercle de centre O et de rayon $4$.

\medskip

On calcule la distance OC qui est le module du nombre complexe $z_{\text C}$:
$| z_{\text C} | = |z_{\text A} \times  z_{\text B}| = |z_{\text A} |\times | z_{\text B}|$

$ z_{\text A} = 2 \e^{\i\frac{\pi}{2}}$ donc $| z_{\text A}| = 2$;
$ z_{\text B} = -1+\i\sqrt{3}$ donc $| z_{\text B}| = \displaystyle\sqrt{(-1)^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$

Donc $| z_{\text C} | = 2\times 2 = 4$ et donc le point C appartient au cercle de centre O et de rayon 4.

\textbf{Proposition 2 vraie}

\medskip

 \item On a tracé ci-dessous dans un repère orthonormé \Oij{} la   courbe représentative $\mathcal{C}$ de la fonction $f$ définie sur   $\intervalleA$ par $f(x) = - \dfrac{1}{2}x + 1$.

\begin{center}
\psset{unit=5cm,comma}
\def\xmin {-0.1}   \def\xmax {2.1}
\def\ymin {-0.22}   \def\ymax {1.2}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psframe[fillstyle=hlines](0,0)(0.56,0.72)
\psgrid[subgriddiv=5, gridlabels=0,gridcolor=lightgray] 
{\scriptsize
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt, labels=none ]%Dx=0.2,Dy=0.2
                               (0,0)(0,0)(\xmax,\ymax) 
}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)[$\vect\imath$,d][$\vect\jmath$,l]
%\uput[dr](1,0){$I$} \uput[l](0,1){$J$}
\def\f{x neg 2 div 1 add}
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=red]{0}{2}{\f} \uput[60](1.1,0.45){\red $\mathcal{C}$}
\multido{\n=-0.2+0.2}{12}{
\uput*[d](\n,0){\scriptsize \np{\n}}
}
\multido{\n=-0.2+0.2}{7}{
\uput*[l](0,\n){\scriptsize \np{\n}}
}
\uput{10pt}[dl](0,0){O}
\uput[dl](0.56,0){H}
\uput[ur](0.56,0.72){M}
\uput[l](0,0.72){K}
\end{pspicture}
\end{center}

On considère le point M de coordonnées  $\left (x~;-\dfrac{1}{2}x+1\right )$ sur la courbe $\mathcal{C}$, ainsi que   les points H\:$(x~;0)$ et K\:$\left (0~;~-\dfrac{1}{2}x + 1\right )$.

\textbf{Proposition 3}~-- 
L'aire, en unités d'aire, du rectangle OHMK est maximale     lorsque M a pour abscisse $1$.

\medskip

L'aire du rectangle OHMK est $\text{OH}\times \text{OK} = x \times \left ( -\dfrac{1}{2}x +1\right ) = -\dfrac{1}{2}x^2 + x$ de la forme $ax^2+bx+c$ (trinôme du second degré).

$a=-\dfrac{1}{2} <0$ donc cette aire est maximale pour $x=-\dfrac{b}{2a}= -\dfrac{1}{2\times \left (-\frac{1}{2}\right )} = 1$.

L'aire est donc maximale pour $x=1$ autrement dit lorsque M a pour abscisse 1.

\textbf{Proposition 3 vraie}

\medskip

\item On veut modéliser le temps  d'attente d'un client, en minutes, à  la caisse d'un supermarché par une variable aléatoire $T$ qui suit  une loi exponentielle de paramètre $\lambda$.

Des études statistiques montrent que la probabilité qu'un client  attende plus de $7$ minutes à cette caisse est de $0,417$.

On rappelle que, pour tout réel $t$ positif, $P(T > t) = \e^{-  \lambda t}$.
   
\textbf{Proposition 4}~-- 
     Le temps d'attente moyen à cette caisse de supermarché est $9$ minutes.

\medskip

Le temps d'attente moyen est l'espérance mathématique $E(T)= \dfrac{1}{\lambda}$.

On détermine $\lambda$ en utilisant les données du texte: la probabilité qu'un client  attende plus de $7$ minutes à cette caisse est de $0,417$ ce qui équivaut à $P(X > 7) = 0,417$.

$P(T > 7) = 0,417
\iff
\e^{-7\lambda} = 0,417
\iff
-7\lambda = \ln(0,417)
\iff
\lambda = \dfrac{\ln(0,417)}{-7}
$ donc $\lambda\approx 0,125$

$\dfrac{1}{0,125}= 8$ donc le temps d'attente moyen est de 8 minutes.

\textbf{Proposition 4 fausse}
\end{enumerate}
\end{document}