% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Diplôme national du brevet
% Métropole -- Antilles-Guyane -- sujet de remplacement -- 10 septembre 2026 (26GENMATMEAG3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
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%%% codage et police utilisée
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	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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\fi
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% tableaux
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
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% pour le symbole €
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
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% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
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\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé du brevet des collèges}
\lfoot{\small{Métropole -- Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{10 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Diplôme national du Brevet ~\decofourright\\[10pt]
	Métropole -- Antilles-Guyane -- 10 septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé du sujet de remplacement
\end{center}

\section*{\centering PARTIE 1 : AUTOMATISMES (6 points)}

\subsection*{Question 1}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=0.75cm]
		\draw[->,line width=1pt] (-2.8,0) -- (13.2,0);
		\foreach \i in {-2,...,12} \draw (\i,-0.08) -- (\i,0.08);
		\node[below] at (0,-0.05) {4,6};
		\node[below] at (10,-0.05) {4,7};
		\node[above] at (8,0.05) {A};
		\fill[red] (8,0) circle (2pt);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Entre 4,6 et 4,7, il y a un écart de 0,1 partagé en 10 graduations : une graduation vaut donc $0,1\div 10=0,01$.

Le point A est situé 8 graduations après 4,6 :
\[4,6+8\times 0,01=4,6+0,08=4,68.\]
L'abscisse du point A est 4,68.

\subsection*{Question 2 \quad Réponse C}

$4x+6x=10x$.

\subsection*{Question 3}

\og Ne pas obtenir une boule rouge \fg{} est l'évènement contraire de \og obtenir une boule rouge \fg{} :
\[P(\text{non rouge})=1-P(\text{rouge})=1-0,4=0,6.\]

\subsection*{Question 4}

7~h~10~min $+$ 53~min $=$ 7~h~63~min $=$ 8~h~03~min.

La voiture arrive à 8~h~03~min.

\subsection*{Question 5 \quad Réponse D}

Augmenter de 10\,\% revient à multiplier par $1+\dfrac{10}{100}=1,1$.
\[150\times 1,1=165.\]
Le nouveau prix est 165~\euro.

\subsection*{Question 6}

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=0.55cm,y=0.025cm]
		\draw[xstep=2,ystep=20,gray!75,line width=0.5pt] (0,0) grid (22,200);
		\draw[->,line width=1pt] (-0.3,0) -- (23.3,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (0,210);
		\foreach \y in {0,20,...,200} \node[left] at (0,\y) {\footnotesize \np{\y}};
		\foreach \x in {2,4,...,22} \node[below] at (\x,0) {\footnotesize \np{\x}};
		\node[right,fill=white,inner sep=1pt] at (0.3,200) {\small Taille (en cm)};
		\node[above left,fill=white,inner sep=1pt] at (23,2) {\small Âge (en années)};
		\draw[red,line width=1.2pt] plot[smooth,tension=0.4] coordinates
		{(0,50) (1,78) (2,90) (3,98) (4,106) (6,120) (10,140) (13,150) (18,180)};
		\draw[blue,dashed,line width=1pt] (0,140) -- (10,140) -- (10,0);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

La droite horizontale d'équation $y = 140$ coupe la courbe au point d'abscisse 10, et la courbe est au-dessus de cette droite après 10.

La taille de la personne a dépassé 140~cm à partir de 10 ans.

\subsection*{Question 7 \quad Réponse B}

Un nombre est divisible par 3 si la somme des nombres représentés par chacun de ses chiffres est divisible par 3 :

$9+5+4=18=3\times 6$, donc 954 est divisible par 3 ($954=3\times 318$).

\subsection*{Question 8 \quad Réponse A}

La somme des angles d'un triangle vaut $180^{\circ}$ :
\[\widehat{BAC}=180^{\circ}-47^{\circ}-53^{\circ}=80^{\circ}.\]

\subsection*{Question 9 \quad Réponse A}

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[\dfrac{5}{8}\div\dfrac{8}{9}=\dfrac{5}{8}\times\dfrac{9}{8}=\dfrac{5\times 9}{8\times 8}=\dfrac{45}{64}.\]

\newpage
\section*{\centering PARTIE 2 : RAISONNEMENT ET RÉSOLUTION DE PROBLÈMES (14 points)}

\section*{Exercice 1 (3,5 points)}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item La France a obtenu 11 médailles en 2010.

	\item
	\[\overline{m}=\dfrac{11+9+11+15+15+14}{6}=\dfrac{75}{6}=12,5.\]
	En moyenne, la France a obtenu 12,5 médailles lors de ces 6 jeux olympiques.

	\item
	\[\dfrac{13}{25}=0,52=\dfrac{52}{100}.\]
	En 2002, 52\,\% des médailles de la Norvège étaient des médailles d'or.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item Les points A et H étant à la même altitude, H est à l'altitude \np{1814}~m donc :
	\[\text{HB}=\np{2359}-\np{1814}=545~\text{m}.\]

La différence d'altitude entre les points H et B est égale à $545$ m.

	\item Le triangle ABH est rectangle en H. D'après la trigonométrie :
	
\[\sin\left(\widehat{\text{BAH}}\right)=\dfrac{\text{HB}}{\text{AB}}=\dfrac{545}{\np{1600}}\]

donc $\widehat{\text{BAH}}\approx 19,9^{\circ}$ à la calculatrice.

Comme $19,9^{\circ}<30^{\circ}$, la norme de sécurité est respectée.

	\item

\[t=\dfrac{d}{v}=\dfrac{\np{1600}}{5}=320~\text{s}.\]

Or $320=5\times 60 + 20$, donc le trajet dure 5~min~20~s.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (4 points)}

\begin{enumerate}
	\item STVU est un rectangle, donc ses côtés opposés sont de même longueur : ST = UV$=27$~m.

	Les points S, T et M sont alignés dans cet ordre, donc :
	\[\text{TM}=\text{SM} - \text{ST} =36-27=9~\text{m}.\]

	\item STVU étant un rectangle, TV = SU $=12$~m. Le triangle TMV est rectangle en T. D'après le théorème de Pythagore :
	\[\text{MV}^{2}=\text{TM}^{2}+\text{TV}^{2} \]
	\[\text{MV}^{2}=9^{2}+12^{2}\]
	\[\text{MV}^{2}=81+144\]
	\[\text{MV}^{2}=225.\]
	Donc MV$ = \sqrt{225}=15$~m.

	\item Le périmètre du terrain SMVU est
\[\text{SM}+\text{MV}+\text{VU}+\text{US} = 36 + 15 + 27 + 12 = 90~\text{m}.\]
	
En retirant l'ouverture de 3~m pour le portail : $90-3=87$.

	Il faut prévoir 87~m de grillage.

	\item STVU est un rectangle de longueur UV$=27$~m et de largeur SU$=12$~m :

\[\mathcal{A}= \text{UV}\times \text{SU}=27\times 12 = 324~\text{m}^2.\]

	\item Calculons l'aire d'un rouleau : $4\times 2= 8~$(m$^2$).

	Nombre de rouleaux nécessaires : $324\div 8=40,5$ ; il faut donc acheter 41 rouleaux.

	$41\times 86=\np{3526}$~(\euro).
	
Le coût pour l'achat de 41 rouleaux de gazon est de $\np{3526}$~\euro.

	Comme $\np{3526}$ est supérieur à $\np{3500}$, le budget de \np{3500}~\euro{} n'est pas suffisant.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3 (4,5 points)}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item $4 \longrightarrow 4+3=7 \longrightarrow 7^{2}=49 \longrightarrow 49-9=40$.

		On obtient bien 40 avec le programme A avec 4 comme nombre de départ.

		\item $4 \longrightarrow 4+6=10 \longrightarrow 10\times 4=40$.

		On obtient 40 avec le programme B avec 4 comme nombre de départ.
	\end{enumerate}

	\item On saisit en B3 la formule \texttt{=(B1+6)*B1}.

	\item~
	
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[scale=0.45,>=stealth]
		\draw[gray!75,line width=0.4pt] (-7.4,-9.6) grid (3.1,6.1);
		\draw[->,line width=1pt] (-7.4,0) -- (3.3,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,-9.6) -- (0,6.3);
		\draw (1,-0.12) -- (1,0.12); \node[below right] at (0.8,0) {\footnotesize 1};
		\draw (-0.12,1) -- (0.12,1); \node[right] at (0,1) {\footnotesize 1};
		\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
		% --- graduations négatives sur l'axe des abscisses ---
		\draw (-1,-0.12) -- (-1,0.12);
		\node[above] at (-1,0.05) {\footnotesize $-1$};
		\draw (-3,-0.12) -- (-3,0.12); \node[above] at (-3,0.05) {\footnotesize $-3$};
		\draw (-5,-0.12) -- (-5,0.12); \node[above] at (-5,0.05) {\footnotesize $-5$};
		% --- graduations négatives sur l'axe des ordonnées ---
		\draw (-0.12,-5) -- (0.12,-5); \node[right] at (0.08,-5) {\footnotesize $-5$};
		\draw (-0.12,-9) -- (0.12,-9); \node[right] at (0.08,-9) {\footnotesize $-9$};
		\begin{scope}
			\clip (-7.4,-9.6) rectangle (3.1,6.1);
			\draw[red,line width=1.2pt,domain=-7.2:0.9,samples=120] plot (\x,{\x*\x+6*\x});
		\end{scope}
		\draw[blue,dashed,line width=1pt] (-3,0) -- (-3,-9) -- (0,-9);
		\draw[blue,dashed,line width=1pt] (-5,0) -- (-5,-5) -- (-1,-5) -- (-1,0);
	\end{tikzpicture}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Par lecture graphique, l'image de $-3$ par la fonction $f$ est $-9$.

		\item Par lecture graphique, les antécédents de $-5$ par la fonction $f$ sont $-5$ et $-1$.
	\end{enumerate}

	\item En choisissant $x$ comme nombre de départ dans le programme B, le résultat est $x(x+6)$.
	
	Or, un produit est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
	\[x(x+6)=0 \iff x=0 \ \text{ ou } \ x+6=0 \iff x=0 \ \text{ ou } \ x=-6.\]
	Les nombres qui permettent d'obtenir 0 par le programme B sont 0 et $-6$.

	\item
	\begin{enumerate}
		\item $(x+3)(x+3)=x\times x+x\times 3+3\times x+3\times 3=x^{2}+3x+3x+9=x^{2}+6x+9$.

		\item Avec le programme A, on obtient $(x+3)^{2}-9=x^{2}+6x+9-9=x^{2}+6x$.

		Avec le programme B, on obtient $(x+6)\times x=x^{2}+6x$.

		Les deux programmes donnent le même résultat quel que soit le nombre $x$ choisi au départ.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}