\documentclass[11pt,a4paper,french]{article} %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} %\usepackage{fontspec}%%% Pour Xelatex \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%% chargement des packages utiles \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{esvect} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{makeidx} \makeindex %%% Auteurs %Tapuscrit : %Relecture : %Corrigé : Laurent Hoarau et Pauline Fontaine % %%% pour PsTricks % \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST % \usepackage{pstricks-add} % %%% charge pst-plot, pst-node, pst-3d, pst-math et multido % \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} % \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz} \usepackage{tkz-tab} %%% Définitions ou redéfinitions \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}% le e de l'exponentielle %%%%Styles de numérotation, et autres%%%% \setlist[enumerate,1]{leftmargin=*} % Questions alignées à gauche \setlist[enumerate,2]{leftmargin=0.5cm,topsep=0pt,itemsep=4pt} % Sous questions décalées de 5mm \setlist[itemize,1]{left=0.5cm,itemsep=0pt,topsep=2pt} % Sous questions décalées de 5mm \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} %%% Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} %%% Formatage du pdf \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {DNB corrigé}, pdftitle = {DNB Amérique du Nord 3 juin 2026 (corrigé)}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %%% Redéfinitions \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}% le d de différentiation \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}% le i des complexes \begin{document} \setlength\parindent{0mm} %%% En-tête et pied de page \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Brevet} \lfoot{\small{Amérique du Nord - corrigé}} \rfoot{\small{3 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center}{\Large\textbf{% \decofourleft~Corrigé DNB Amérique du Nord~\decofourright\\[7pt]% 3 juin 2026}} \end{center} \medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{\textsc{Partie 1 - Automatismes} \hfill 6 points} \medskip \begin{enumerate}[label=\textbf{Question \arabic*} :] \item $A= \dfrac23 + \dfrac34 = \dfrac{2\times 4}{3\times 4} + \dfrac{3 \times 3}{4 \times 3} = \dfrac{8 + 9 }{12}$. Donc \fbox{$A =\dfrac{17}{12}$} \item Retrancher 10\,\% c'est multiplier par $1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$ Donc $45 \times 0,9 = 40,5$. Après réduction le prix est de \fbox{$40,50$ euros} \item Ce quadrilatère a ses diagonales : \begin{itemize} \item qui ont le même milieu ; \item et la même longueur. \end{itemize} Réponse \fbox{B : c'est donc un rectangle} \item $5x - 15 = 20$ donne en ajoutant 15 à chaque membre : $5x = 35$ ou $5 \times = 5 \times 7$ et en simplifiant par le facteur 5 non nul : $x = 7$. 7 est la solution de cette équation. \item \begin{enumerate}[label=\alph*)] \item L'abscisse du point $A$ est \fbox{$-4$} \item Les coordonnées du point $B$ sont \fbox{$(-2~;~-1)$} \end{enumerate} \item On a dans l'ordre croissant 1~;~3~;~3~;~8~;~11~;~12~;~12~;~19~;~25 La médiane est le 5\up{e} de ces neuf nombres (4 plus petits et 4 plus grands) soit \fbox{$11$}. \item $[\text{AB}]$ est le côté adjacent à l'angle dont on connait une mesure en degrés et on connait la longueur de l'hypoténuse : il faut donc utiliser la formule du cosinus : $\cos \widehat{\text{ABC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{BC}}$, soit $\cos 60\degres = \dfrac{\text{AB}}{5}$, d'où en multipliant par 5 chaque membre : AB = \fbox{$5\times \cos(60)$}. \item Critère de divisibilité par 3 et 9 : on a $3 + 8 + 7 \longmapsto 18 \longmapsto 9 \longmapsto 0$ ; ce nombre 387 est donc divisible par 3 et par 9. \fbox{3} et \fbox{9} sont des diviseurs de 387. \emph{Rem.} Comme $387 = 360 + 27 = 9 \times 40 + 9 \times 3 = 9 \times (40 + 3) = 9 \times 43 = 3 \times 3 \times 43 = 3 \times 129$. Donc 387 a pour diviseurs : 1, 3, 9, 43, 129 et 387. \end{enumerate} \bigskip %\newpage \textbf{\textsc{Partie 2 - Raisonnement et résolution de problèmes} \hfill 14 points} \\ \textbf{La clarté et la précision des raisonnements ainsi que la rédaction sont évaluées sur 2 points.} \medskip \textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 2,5 points} \medskip \begin{enumerate} \item Dans le triangle AED, $[\text{AD}]$ est le plus grand côté et on a : $\text{AD}^2=7,3^2=53,29$\\ De plus, $\text{AE}^2+\text{ED}^2=5,5^2+4,8^2=30,25+23,04=53,29$\\ donc $\text{AD}^2=\text{AE}^2+\text{ED}^2$\\ et d'après la réciproque du théorème de Pythagore, \fbox{le triangle AED est rectangle en E}. \item Comme il s'agit d'un triangle rectangle, on peut calculer l'aire de AED comme suit:\\ \hfill\\ $\dfrac{\text{AE}\times \text{ED}}{2}=\dfrac{5,5\times4,8}{2}=13,2 \text{cm}^2$ \, donc \fbox{l'aire du triangle AED est 13,2~cm\up{2}}\\ \item Les droites (BC) et (ED) sont perpendiculaires à la même droite (BE), elles sont donc parallèles. \fbox{Les droites (BC) et (ED) sont parallèles}. \item On sait que : \begin{itemize}[label=\(\circ\)] \item $(\text{BC}) // (\text{ED})$ \item $\text{A} \in [\text{BE}]$ \item $\text{A} \in [\text{CD}]$ \end{itemize} donc d'après le théorème de Thalès : $\dfrac{\text{AC}}{\text{AD}}=\dfrac{\text{BA}}{\text{AE}}=\dfrac{\text{CB}}{\text{ED}}$\\ \hfill En remplaçant par les longueurs connues, on a: $\dfrac{\text{AC}}{7,3}=\dfrac{\text{BA}}{5,5}=\dfrac{7,2}{4,8}$ Or $\dfrac{7,2}{4,8} = \dfrac{72}{48} = \dfrac{8 \times 9}{8 \times 6} = \dfrac{8 \times 3 \times 3}{8 \times 3 \times 2} = \dfrac32 = 1,5$ En prenant l'égalité des deux derniers quotients ci-dessus : $\dfrac{\text{BA}}{5,5} = 1,5$ on a en multipliant par 5,5 AB $= 1,5 \times 5,5 = 8,25$. On en déduit que $\text{AB} = 5,5 \times 7,2 \div 4,8=39,6 \div 4,8 = 8,25$ et donc \fbox{la longueur AB est égale à 8,25~cm.} \item Les angles alternes-internes $\widehat{\text{ACB}}$ et $\widehat{\text{ADE}}$ ont la même mesure car les droites (BC) et (ED) sont parallèles. On a donc \fbox{ $\widehat{\text{ADE}} = \widehat{\text{ACB}} \approx 49\degres$} \end{enumerate} \bigskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 3,5 points} \medskip \begin{enumerate} \item On a $f(-4) = (-4-1)(-4+3) = -5 \times (-1) = $ \fbox{$5$} \item Pour répondre à la question, on va résoudre l'équation $g(x) = 2$: $\begin{array}{rl} & g(x) = 2\\ \text{soit} & 2x + 1 = 2\\ \text{soit} &2x = 2-1 \\ \text{soit} &x = \dfrac{1}{2} \end{array}$ L'antécédent de $2$ par $g$ est donc \fbox{ $\dfrac{1}{2}$}. \item \begin{enumerate} \item On doit saisir la formule \fbox{ \texttt{2*B1+1}} \item D'après le tableau, \fbox{$2$} est \textbf{une} solution de $f(x)=g(x)$ \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item La courbe qui représente la fonction \fbox{$f$ est $\mathcal{C}_1$} et celle représente la fonction \fbox{$g$ est $\mathcal{C}_2$} \item Par lecture graphique, les deux courbes ont deux points communs d'abscisses $-2$ et 2 ; les nombres $- 2$ et 2 ont donc la même image par $f$ et par $g$ : \fbox{$-2$ et $2$} sont \textbf{les} deux solutions de l'équation $f(x)=g(x)$ \end{enumerate} \item On résout l'équation \smallskip\\ $\begin{array}{rl} & f(x) = g(x)\\ \text{soit} & (x - 1)(x + 3) = 2x + 1\: \text{et en développant}\\ \text{soit} & x^2 + 3x -x - 3 = 2x + 1 \\ \text{et en réduisant} \text{soit} & x^2 +2x -2x -3 -1 = 0 \\ \text{soit finalement} \text{soit} & x^2 -4 = 0 \end{array}$ Résoudre l'équation $f(x) = g(x)$ revient à résoudre $x^2 -4 = 0$ : Lola a raison. \emph{Remarque }: $x^2 - 4 = 0$ s'écrit $(x + 2)(x - 2) = 0$ qui a pour solutions les nombres $- 2$ et $2$ déjà trouvés. \end{enumerate} \medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 4 points} \medskip \textbf{Partie A} \begin{enumerate} \item Comme $\np{50000} - \np{28000} - \np{12000} - \np{8000} = \np{2000}$ il y a \fbox{$\np{2000}$} images dans la catégorie \og Autres \fg. \item On a $\frac{90}{100}\times \np{28000} = \np{25200}$ donc l'IA reconnait correctement \fbox{$\np{25200}$} \og Objets du quotidien \fg. \item La proportion de \og Véhicules \fg{} reconnue par l'IA vaut: $\dfrac{5600}{8000} = \dfrac{56}{80} = \dfrac{7}{10}$ c'est-à-dire que \fbox{$70\,\%$} des images de cette catégorie sont reconnues. \item La probabilité qu'un des \og Objets du quotidien \fg{} soit tiré au hasard vaut: \medskip $\dfrac{\np{28000}}{\np{50000}} = \dfrac{280}{500} = \dfrac{70}{125} = $ \fbox{$ 0,56 $} \end{enumerate} \medskip \textbf{Partie B} \begin{enumerate} \item La consommation, estimée à \np{82000}~GWh pour l'IA, correspond à %82\,000\,000\,000 Wh ou encore \fbox{$8,2\times 10^{13}$} Wh.\\ Celle d'un collège, estimée à \np{200000}~kWh, correspond à %200\,000\,000 Wh ou encore \fbox{$2\times 10^8$}~Wh. \item Comme $\dfrac{8,2}{2}\dfrac{10^{13}}{10^8} = 4,1\times 10^5 = \np{410000}$ \medskip On pourrait alimenter \fbox{\np{410000} collèges} avec la consommation électrique de l'IA. \item Comme $\dfrac{\np{410000}}{\np{7100}} = \dfrac{\np{4100}}{71} \approx 57,7$ \smallskip l'alimentation de cette intelligence artificielle pendant un an permettrait d'alimenter tous les collèges de France pendant \fbox{57 ans}! \medskip \textbf{Réponse alternative:} La consommation en Wh de \np{7100} collèges par an vaut: $ 7,1 \times 10^3 \times 2\times 10^8 = 14,2 \times 10^{11}$ et la consommation en Wh de l'IA en question pendant un an vaut: $8,2\times 10^{13}$ donc le nombre d'années recherchées vaut: $\dfrac{8,2\times 10^{13}}{14,2 \times 10^{11}} \approx 0,577 \times 10^2 \approx 57,7$ \end{enumerate} \medskip %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 2 points} \begin{enumerate} \item Après le bloc 1, les coordonnées du lutin sont \fbox{$(0~;~0)$} \item \fbox{\textbf{A} $=4$ et \textbf{B} $=90$} \fbox{\textbf{C} $=3$ et \textbf{D} $=120$} \item Le programme \textbf{1} est associé à la \textbf{figure B} ; Le programme \textbf{2} est associé à la \textbf{figure C} ; Le programme \textbf{3} est associé à la \textbf{figure A}. \end{enumerate} \end{document}