% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements : Sujet aimablement fourni par Marc Incamps
% version 1 : 2026-07-05
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Troisième, Série professionnelle},
    pdftitle = {Diplôme National du Brevet -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{26 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \Large \bfseries
	\decofourleft~ Diplôme National du Brevet ~\decofourright\\[10pt]
	Série professionnelle -- Polynésie -- 26 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{\centering Partie 1 : Automatismes (6 pts)}

\subsection*{Question 1}
	1 km vaut \np{1000} mètres, donc 32,5 km valent $32,5 \times \np{1000} = \np{32300}$~m.

\subsection*{Question 2}
	$0,25 = \dfrac{25}{100} = \dfrac{25 \times 1}{25 \times 4} = \dfrac14$ :

	Sur un verre doseur, la graduation correspond à 0,25 L est 1/4 L.

\subsection*{Question 3}
	$\np{0,00647} = \np{0,00647} \times 10^3 \times 10^{-3} = \left(\np{0,00647} \times 10^3 \right)\times 10^{-3} = 6,47 \times  10^{-3}$.

	On ne change pas le nombre en déplaçant la virgule de trois rangs vers la droite puis trois rangs vers la gauche ou en multipliant par $\np{1000} = 10^3$ puis par $0,001 = 10^{-3}$.

	\textbf{Bonne réponse : D}.

\subsection*{Question 4}
	Rangés dans l'ordre croissant : 6~;~13~;~18~;~43~;52.

	Il y a 5 nombres, la médiane est le 3\up{e}, soit 18.

\subsection*{Question 5}
	Comme les boules sont indiscernables au toucher, on est en situation d'équiprobabilité. La probabilité d'un évènement est le quotient du nombre d'issues favorables à l'évènement par le nombre total d'issues.

	La probabilité $p$ de tirer une boule bleue est :\quad
	$p = \dfrac{\text{nombre de boules bleues}}{\text{nombre de boules  total}} = \dfrac36 = \dfrac{3 \times 1}{3 \times 2} = \dfrac12 = 0,5$.

	\textbf{Bonne réponse : C}.

\subsection*{Question 6}
	Le triangle est bien rectangle, on peut appliquer les formules de trigonométrie.

	Par définition :\quad $\cos \widehat{\text{BCA}} = \dfrac{\text{mesure du côté adjacent}}{\text{mesure de l'hypoténuse}} = \dfrac{\text{BC}}{\text{AC}}$.

	\textbf{Bonne réponse : C}.

\subsection*{Question 7}
	Les 10\,\% de 80 valent : \quad $\dfrac{10}{100} \times 80 =  \dfrac{10 \times 80}{100} = \dfrac{10 \times 8 \times 10}{10 \times 10} = 8$.

	\textbf{Bonne réponse : C}.

\subsection*{Question 8}
	Pour $x= 1$,\quad on a :\quad $4 \times 1 = 4$,\quad puis \quad $A = 4 + 5 =  9$.

\subsection*{Question 9 – Question d'algorithmique}
	On obtient :
	\begin{itemize}
		\item \ovalvariable{x} prend la valeur 4;
		\item \ovalvariable{Produit 1} prend la valeur :\quad $4 + 3 = 7$;
		\item \ovalvariable{Produit 2} prend la valeur :\quad $4 - 2 = 2$;
		\item \ovalvariable{Résultat} prend la valeur :\quad \ovalvariable{Produit 1} $\times$ \ovalvariable{Produit 2} = $7 \times 2 = 14$.
	\end{itemize}

	Avec 4 au départ, le script affiche 14 pendant 2 secondes.

\newpage
\section*{\centering Partie 2 -- Raisonnement et résolution de problèmes -- 14 points}
\section*{Exercice 1 \hfill 4 points}
	\begin{enumerate}
		\item En 2000, la production mensuelle a varié de sa valeur minimale : 43 à sa valeur maximale : 248.

		Soit une étendue de :\quad $248 - 43 = 205$ tonnes.

		\item En 2018 la production mensuelle moyenne a été de :

		$\overline{p} = \dfrac{128,3 + 176,3 + \ldots + 263,6}{2} = \dfrac{\np{2540,9}}{12} \approx 211,74$ tonnes (arrondi au centième).

		\item De 2000 à 2018, la production a augmenté de \quad $\np{2540,9} - \np{2052} = 488,9$ tonnes.

		$\dfrac{488,9}{\np{2052}} \times 100 \approx 23,825$.

		Cette évolution représente donc une augmentation en pourcentage de $23,8~\%$, au dixième près : l'affirmation est vraie.
	\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 \hfill 3,5 points}
	\begin{enumerate}
		\item Les point A, E et C sont alignés, donc :\quad
		$\mathrm{AE} = \mathrm{AC} - \mathrm{EC} = 24 - 16 = \np[cm]{8}$.

		\item Le triangle BAE est rectangle en A; le théorème de Pythagore appliqué à ce triangle s'écrit :

		$\mathrm{BE}^2 = \mathrm{BA}^2 + \mathrm{AE}^2$,\quad soit $\mathrm{BE}^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100 = 10^2$.

		BE étant une longueur, c'est un nombre positif, il en résulte que $\mathrm{BE}= \np[cm]{10}$.

		\item \begin{enumerate}
			\item Les trois dernières données de l'énoncé montrent que l'on est dans une configuration de Thalès : les mesures des côtés des triangles AEB et CED sont proportionnelles ; en particulier :

			$\dfrac{\text{AE}}{\text{EC}} = \dfrac{\text{AB}}{\text{CD}}$.

			Les produits en croix sont égaux soit \quad $\text{AE} \times \text{CD} = \text{AB} \times \text{EC}$.

			Cette égalité traduit l'égalité des quotients proposée en deuxième soit : \quad
			$\dfrac{\text{EC}}{\text{EA}} = \dfrac{\text{DC}}{\text{AB}}$.

			\item En remplaçant dans l'égalité précédente par les valeurs connues on obtient :
			\quad
			$\dfrac{16}{8} = \dfrac{\text{DC}}{6}$.

			En multipliant chaque membre par 6, on obtient :\quad
			$6 \times \dfrac{16}{8} = \text{DC} = 6 \times 2 = 12$.

			On a donc DC = 12~cm.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 \hfill 4,5 points}
	\begin{enumerate}
		\item \begin{tblr}[T]{width=0.99\linewidth,colspec={X[c,m,4.6cm]*{2}{X[c,m]}},row{2,3} = {10mm},hlines,vlines,cell{2}{3}={fg=red},cell{3}{2}={fg=red}}
			Nombre de séances \linebreak dans le mois &  3 &  10 \\
			Montant à payer avec le \linebreak tarif A (en F) & \np{5700}& $\np{1900} \times 10 = \np{19000}$ \\
			Montant à payer avec \linebreak le tarif B (en F) &$\np{5900} + 720 \times 3 = \np{8060}$ & \np{13100}  \\
		\end{tblr}

		\needspace{10\baselineskip}
		\item \begin{enumerate}
			\item Voici le graphique :

				%Début Tikz
				\hspace*{-1cm}
				\begin{tikzpicture}[x=14mm,y=0.009mm,>=stealth,line cap=round]
					\fill[yellow!30] (7,10940)--(11.6,10940)--(11.6,12000)--(8.472,12000)--cycle;
					\fill[yellow!30] (7,0) -- (7,-15pt)--(11.6,-15pt)--(11.6,0)--cycle ;
					\draw [color = gray!55, line width = 0.3pt, xstep=0.2, ystep = 200] (0,0) grid (11.6,12000);
					\draw [color = gray!85, line width = 0.6pt, xstep=1, ystep = 1000] (0,0) grid (11.6,12000);
					\draw[line width=1.2pt,<->] (0,12000)node[below right]{Prix en F} -- (0,0) -- (11.6,0)node[above left]{Nombre de séances dans le mois};
					\foreach \x in {1,...,11}
					\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\np{\x}$};
					\foreach \y in {1000,2000,...,11000}
					\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$};
					\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
					\begin{scope}
						\clip (0,0) rectangle (11.6,12000);
						\draw[line width=1.2pt,color=red] (0,0)--(7,13300);
						\draw[<-, line width=3pt,shift={(1.4,2600)}] (0,0) to [out=-90, in=150] (0.4,-600)
						node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=35mm,right]{\rule{0mm}{5mm}TARIF {\color{red}A}\dotfill};
						\draw[line width=1.2pt,color=teal] (0,5900)--(9,12380);
						\draw[<-, line width=3pt,shift={(3.4,8408)}] (0,0) to [out=90, in=-30] (-0.4,600)
						node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=35mm,left]{\rule{0mm}{5mm}TARIF {\color{teal}B}\dotfill};
						\draw[line width=1.2pt,color=purple] (0,10940)--(12,10940);
						\draw[<-, line width=3pt,shift={(8.6,10880)}] (0,0) to [out=-90, in=150] (0.4,-600)
						node[inner xsep=6pt,draw,line width=0.8pt, fill=gray!30,text width=30mm,right]{\rule{0mm}{5mm}TARIF {\color{purple}C} \dotfill};
					\end{scope}
					\draw[line width=1.5pt] (5,-10pt) circle (10pt);
					\draw[line width=1.5pt,dashed] (5,0)--(5,9500)--(0,9500) node[left]{\np{9500}} ;
					\draw[line width=1.5pt,dashed, black!30!yellow!70] (7,10940)--(7,0);
				\end{tikzpicture}
				%Fin tikz
%			%%Début PSTricks
%			\begin{center}
%			\psset{xunit=1cm,yunit=0.00125cm,arrowsize=2pt 3}
%			\begin{pspicture*}(-1.5,-400)(12,12000)
%				\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=1000,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(12,12000)
%				\multido{\n=0+1}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,12000)}
%				\multido{\n=0+1000}{13}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(12,\n)}
%				\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{12}{x 1900 mul}
%				\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{720 x mul 5900 add}
%				\psline(0,11000)(12,11000)
%				\rput{67}(2,3000){\red TARIF A}
%				\rput{39}(2,7600){\blue TARIF B}
%				\rput(10,10700){TARIF C}
%				\uput[u](9.,0){Nombre de séances dans le mois}
%				\uput[r](0,11800){Prix en F}
%				\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,ArrowInside=->](5,0)(5,9500)(0,9500)
%				\psline[linewidth=1.5pt,linestyle=dashed,linecolor=blue,ArrowInside=->](8,0)(8,11660)(0,11660)
%				\uput[l](0,9500){\np{9500}}\uput[l](0,11660){\blue \np{11660}}
%			\end{pspicture*}
%			\end{center}
%			%Fin PSTricks

			\item Graphiquement, on cherche l'abscisse du point où les droites représentant les tarifs A et B se croisent.

			C'est pour $x = 5$.

			Pour 5 séances il en coûtera la même somme \np{9500}~F avec les tarifs A ou B.

			\item $\np{1900}\,x = \np{5900} + 720\,x$

			en ajoutant $- 720x$ à chaque membre :\quad
			$\np{1900}\,x - 720\,x= \np{5900}$, \quad soit $\np{1180}~x = \np{5900}$

			en multipliant chaque membre par $\dfrac{1}{\np{1180}}$,
			\quad $x = \dfrac{\np{5900}}{\np{1180}} = 5.$

			\item Graphiquement, on cherche à partir de quand la droite représentant le tarif C est en dessous de celle représentant le tarif B.

			À partir de 7 séances le tarif C est le moins cher

			\emph{Remarque }: pour 7 séances mensuelles exactement, les tarifs B et C sont au même prix :

			$\np{5900} + 7 \times 720 = \np{5900} + \np{5040} = \np{10940}$.

			Le tarif B est \textbf{strictement} plus cher que le tarif C à partir de 8 demi-journées par mois.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{document}
