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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~ \vect{\jmath},~ \vect{k}\right)$}
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\begin{document}
% entte et bas de page
\lhead{\small Devoir TS}%tapez un titre
\rhead{\small A. Turbergue}
\lfoot{\small{Lyc\'ee Pierre Mend\`es-France Tunis}}
\rfoot{\small  18 d\'ecembre 2007}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{ \Large \textbf{\gray Terminale S -- Devoir surveill\'e -- 3 h}}
 
\vspace{1cm}

\noindent L'énoncé comporte quatre pages numérotées de 1 à 4. Les exercices 1,
2 et 3 sont à traiter par tous les élèves. Traiter l'exercice 4 ou l'exercice 5.\\
 L'utilisation de la calculatrice est autorisée.\\
La présentation et la qualité de la rédaction entreront pour une part
importante dans l'appréciation des copies.

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}\\
On se propose de résoudre l'équation diff\'erentielle
\[y' - 2y = x \text{e}^x \qquad (\text{E})\]
\begin{enumerate}
\item  On admet qu'il existe une unique fonction $v_{0}$ solution de (E) vériant $v_{0}(0) = 1$.\\
Donner une équation de la tangente $T$ à la courbe représentative de $v_{0}$ en son point d'abscisse $0$.
\item  On considère l'équation différentielle
\[y' - 2 y = 0 \qquad (\text{E}_{0})\]
Donner les fonctions solutions de (E$_{0}$).
\item  Soient $a$ et $b$ deux réels et soit $u$ la fonction dénie sur $\R$ par
\[u(x) = (ax + b) \text{e}^x.\]
\begin{enumerate}
\item  Déterminer l'unique couple $(a,~ b)$ tel que $u$ soit solution de l'équation différentielle (E).
\item  Montrer que $v$ est solution de l'équation différentielle (E) si et seulement si $v- u$ est solution de l'équation différentielle (E
$_{0}$).
\item  En déduire l'ensemble des solutions de (E).
\end{enumerate}
\item  Déterminer la solution $v_{0}$ de l'équation (E) qui prend la valeur $1$ en $0$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 2 \hfill 7 points}\\
\noindent \textbf{Partie A : étude d'une fonction auxiliaire}\\
Soit $\varphi$ la fonction dénie sur $\R$ par 
\[\varphi(x) = \left(x^2 + x + 1\right)\text{e}^{-x} - 1.\]
\begin{enumerate}
\item  \begin{enumerate}
\item  Déterminer les limites de $\varphi$ en $-1$ et en $+1$.
\item  Étudier le sens de variations de $\varphi$ puis dresser son tableau de variations sur $\R$.
 \end{enumerate}
\item  Démontrer que l'équation $\varphi(x) = 0$ admet deux solutions dans $\R$, dont l'une dans
l'intervalle $[1 ~; ~+\infty[$, qui sera notée $\alpha$.\\
Déterminer un encadrement d'amplitude $10^{-2}$ de $\alpha$.
\item  En déduire le signe de $\varphi(x)$ sur $\R$ et le présenter dans un tableau.
 \end{enumerate}
 
\noindent \textbf{Partie B : étude de la position relative de deux courbes}\\
Ci-dessous sont tracées les courbes représentatives de deux fonctions $f$ et $g$.\\
Les fonctions $f$ et $g$ sont définies sur $\R$ par :
\[f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}\quad  \text{et}\quad  g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 + x + 1}.\]
Leurs courbes représentatives dans un repère orthogonal \Oij{}  sont notées $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\begin{enumerate}
\item  Démontrer que les deux courbes passent par le point A de coordonnées (0 ; 1) et admettent en ce point la même tangente.
\item  \begin{enumerate}
\item  Démontrer que, pour tout nombre réel $x,~ f(x) - g(x) = \dfrac{(2x + 1)\varphi(x)}{x^2 + x + 1}$ où $\varphi$ est la
fonction étudiée dans la \textbf{partie A}.
\item  À l'aide d'un tableau, étudier le signe de $f(x) - g(x)$ pour $x \in \R$.
\item  En déduire la position relative des courbes $\mathcal{C}_{f}$ et $\mathcal{C}_{g}$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(4,1.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(4,1.4)
\psgrid[gridlabelcolor=white,subgriddiv=2](0,0)(-1,-1)(4,1.5)
\psplot{-0.741}{3.7}{2 x mul 1 add 2.71828 x exp div}
\psplot[linestyle=dashed]{-1}{3.7}{2 x mul 1 add  x 2 exp x add 1 add div}
\uput[dr](0,1){A} \uput[dr](-0.7,-1){$\mathcal{C}_{f}$}
\uput[ul](-1,-1){$\mathcal{C}_{g}$}
\end{pspicture} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}\\
On se donne deux points distincts A$_0$ et B$_0$.\\ 
Soit A$_1$ le milieu du segment [A$_0$B$_0$] et B$_1$ celui  de [A$_0$A$_1]$.\\ De façon générale, pour tout entier naturel $n$, on désigne par 
\begin{center}
A$_{n+1}$ le milieu du segment [A$_n$B$_n$] \qquad et \qquad B$_{n+1}$ celui  de [A$_n$A$_{n+1}$].
\end{center}
\\
On munit la droite (A$_0$B$_0$) du repère $\left(\text{A}_0\,;\vect{\imath\;}\right)$ avec $\vect{\imath\;}=\vect{\text{A}_0\text{B}_0\;}$.\\On note $a_n$ et $b_n$ les abscisses respectives des points A$_n$ et B$_n$ dans le repère $\left(\text{A}_0\,;\vect{\imath\;}\right)$.\\ On a donc $\;a_0=0\;$ et $\;b_0=1\;$

\begin{enumerate}
	\item Construire une droite (A$_0$B$_0$) en prenant A$_0$B$_0$= $10$~cm.\\ Sur cette droite, placer les points A$_1$ et B$_1$, puis les points A$_2$ et B$_2$.\\
Calculer les valeurs de $a_1\,,\;b_1\,,\;a_2$ et $b_2$.
	\item Exprimer $a_{n+1}$ et $b_{n+1}$ en fonction de $a_n$ et $b_n$.
	\item Démontrer que la suite $(u_n)_{n\in\N}$ définie par $u_n=a_n-b_n$ est géométrique.
	\item Démontrer que la suite $(w_n)_{n\in\N}$ définie par $w_n=3\,a_n+2\,b_n$ est constante.
	\item Les suites $(a_n)_{n\in\N}$ et $(b_n)_{n\in\N}$ sont-elles convergentes ?\\ Que peut-on en déduire pour les points $A_n$ et $B_n$ lorsque $n$ tend vers $+\infty$ ?
\end{enumerate}
\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}\\
Le plan complexe $ \mathcal{P}$ est rapporté à un repère
orthonormal direct \Ouv{} d'unité graphique 3 cm. Soit
A,\;B et C les points d'affixes respectives i\,,\;$1+\text{i}\,$ et $\,-1-\text{i}$.\\
On appelle $f$ l'application du plan $\mathcal{P}$
privé de A dans lui-même qui, à tout point $M$ d'affixe
$z\;(z\neq i)$ associe le point $M'$ d'affixe $z'$ définie par :
\[ z'=\dfrac{z^2}{\text{i}-z}.\]

\begin{enumerate}\item
\begin{enumerate}
\item Placer les points A,\,B et C sur une figure qui sera
complétée au fur et à mesure de l'exercice.
Que peut-on dire des points B et C ?
\item Déterminer les affixes des points B$'$ et C$'$ images de B et C par l'application $f$.\\ Placer ces points.
\end{enumerate}
\item Déterminer les affixes des points invariants par $f$
(les points $M$ vérifiant $f(M)=M$).
\item L'application $f$ conserve-t-elle l'alignement ? le milieu ?
\item On pose $z=x+\text{i}\,y\;$ et $\;z'=x'+\text{i}\,y'\;$ avec $x,\;y,\;x'$ et $y'$ réels.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que 
\[x'=\dfrac{- x(x^2+y^2-2y)}{x^2+(1-y)^2}.\]
\item En déduire l'ensemble $\mathcal E$ des points $M(z)$ tels que $z'$ soit un imaginaire pur.\\ Représenter l'ensemble $\mathcal E$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\noindent \textbf{Exercice 5 \hfill 5 points}\\
\noindent \textbf{Partie A : questions préliminaires}\\
\emph{Les résultats de cette partie pourront être admis et utilisés pour traiter la partie} \textbf{B}.
\deb
\item On rappelle le théorème suivant du cours :
\begin{center}
<<Une suite croissante et non majorée diverge vers $+\infty$.>>
\end{center}
En utilisant ce théorème, démontrer que :
\begin{center}
<<Une suite croissante et non convergente diverge vers $+\infty$.>>
\end{center}

\item Calculer les réels $a$ et $b$ tels que :
\[(x+1)(x^2+ax+b)=x^3-x^2+2.\]
En déduire les solutions de l'équation : $\qquad x=x^2+\dfrac{2}{x}$
\fin

\noindent \textbf{Partie B : étude d'une suite}\\
On considère la suite $(u_n)$  définie par : $\;u_0=2\; $ et pour tout $n\in\N,\quad  u_{n+1} = u_n^2 + \dfrac{2}{u_n}$\\
Soit $f$  la fonction définie sur  $[ 1\, ;\, + \infty [ $ par l'expression : 
\[f(x) = x^2 +\frac{2}{x}.\] 
On pourra admettre que $f$ est dérivable et croissante sur  $[1\, ; +\infty[$.
\begin{enumerate}
\item Démontrer que la suite $(u_n)$ est croissante.
\item  Démontrer que si la suite $(u_n)$ converge vers une limite $\ell$, alors $f(\ell) = \ell$
\item Donner la conclusion la plus précise possible sur le comportement de la suite $(u_n)$.
\end{enumerate}
\end{document}