% préambule APMEP - Annales
%
%%% Auteurs
% tapuscrit : Aymeric Picaud
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ : Aymeric Picaud
% figures pstricks : François Hache
% modifications :
% Remerciements :
%%%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
	pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve anticipée}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Épreuve anticipée de Première~\decofourright\\[10pt]Voie générale -- Métropole -- 12 juin 2026}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\end{center}

\section*{\centering\textbf{\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsubsection*{Question 1}
	La forme développée de l'expression \mbox{$(3x-2)^2$} est :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{2}
		\item \mbox{$9x^2-4$}
		\item \mbox{$3x^2-12x+4$}
	\end{multicols}
	\begin{multicols}{2}
		\item \mbox{$9x^2-12x+4$}
		\item \mbox{$6x-4$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Question 2}
	\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
	Dans le repère (O,I,J) ci-contre, la droite \mbox{$(\Delta)$} a pour équation :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{2}
		\item \mbox{$y=2x+2$}
		\item \mbox{$y=-2x+2$}
	\end{multicols}
	\begin{multicols}{2}
		\item \mbox{$y=-x+2$}
		\item \mbox{$y=x+2$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}
	\end{minipage}\hfill
	\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0},baseline={(0,2.8)}]
		\clip(-1.6,-1.4)rectangle(3.6,3.2);
		\draw[blue!20, very thin](-1.6,-1.4)grid[xstep=0.2,ystep=0.2](3.6,3.2);
		\draw[blue!30,thick](-1.6,-1.4)grid(3.6,3.2);
		\draw[line width=0.3mm,->, >=triangle 45](-1.6,0)--(3.6,0);
		\draw[line width=0.3mm,->, >=triangle 45](0,-1.4)--(0,3.2);
		\draw[thick,shift={(0,0)}](2pt,0)--(-2pt,0) (0,2pt)--(0,-2pt) node[below left]{O};
		\draw[thick,shift={(1,0)}](2pt,0)--(-2pt,0) (0,2pt)--(0,-2pt) node[below]{I};
		\draw[thick,shift={(0,1)}](2pt,0)--(-2pt,0) (0,2pt)--(0,-2pt) node[left]{J};
		\draw[red, line width=0.3mm](-1.6,3.6)--(3.6,-1.6)node[pos=0.2,below left]{$(\Delta)$};
	\end{tikzpicture}
%%% PsTricks
%\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3,comma}
%\def\xmin{-1.6}   \def\xmax{3.6} \def\ymin{-1.4}   \def\ymax {3.2}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=5,  gridlabels=0, gridcolor=gray, subgridcolor=lightgray](-2,-2)(5,5)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, labels=none, showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput{9pt}[dl](0,0){O}
%\uput[d](1,0){I}  \uput[l](0,1){J}
%\psplot[linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{x neg 2 add}
%\uput[dl](-0.5,2.5){\blue $(\Delta)$}
%\end{pspicture*}
\end{minipage}

\subsubsection*{Question 3}
	Dans une classe de première, 75\,\% des élèves étudient le grec.

	Les autres élèves étudient le latin : ils sont 9.

	Le nombre d'élèves de cette classe de première est égal à :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{4}
		\item \mbox{$24$}
		\item \mbox{$30$}
		\item \mbox{$34$}
		\item \mbox{$36$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Question 4}
	Le prix d'un article augmente de 15\,\%.

	Cela signifie que le prix de l'article a été multiplié par :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{4}
		\item \mbox{$\dfrac{15}{100}$}
		\item \mbox{$\np{1.15}$}
		\item \mbox{$\np{0.85}$}
		\item \mbox{$\np{1.115}$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Question 5}
	Parmi les réponses proposées, la valeur la plus proche de \mbox{$\dfrac{\np{150000}}{\np{3200}}$} est :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{4}
		\item \mbox{$5$}
		\item \mbox{$50$}
		\item \mbox{$500$}
		\item \mbox{$\np{5000}$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Question 6}
	Une vidéo, d'une durée de 1 minute et 40 secondes, contient \np{2400}~images.

	Le nombre d'images par seconde est égal à :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{2}
		\item\np{60} images/seconde
		\item\np{24} images/seconde
	\end{multicols}
	\begin{multicols}{2}
		\item\np{120} images/seconde
		\item\np{15} images/seconde
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Question 7}
	On considère une fonction $f$ définie sur \R{} par :
	\[f(x)=\np{0.5}(x-3)^2+10\]

	On note \mbox{$\mathcal{C}$} sa courbe représentative dans un repère.

	Un seul des quatre points ci-dessous appartient à la courbe \mbox{$\mathcal{C}$}. Lequel ?
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{4}
		\item A~\mbox{$(-3;10)$}
		\item B~\mbox{$(3;\np{10.5})$}
		\item C~\mbox{$(3;10)$}
		\item D~\mbox{$(0;\np{19.5})$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\subsubsection*{Question 8}
	On considère le nombre \mbox{$A=\dfrac{10^{201}\times10^{-4}}{(10^2)^{100}}$}

	On peut affirmer que :
	\begin{enumerate}[label=\textbf{\alph*)}]
	\begin{multicols}{4}
		\item \mbox{$A=-\np{0.001}$}
		\item \mbox{$A=\np{0.0001}$}
		\item \mbox{$A=\np{0.001}$}
		\item \mbox{$A=\np{1000}$}
	\end{multicols}
	\end{enumerate}

\newpage

\section*{\centering\textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}}

\section*{Exercice 1 (5 points)}
Un loueur de bicyclettes propose deux types de bicyclettes : des bicyclettes traditionnelles et des bicyclettes électriques.

Il incite ses clients à prendre une assurance.

On dispose des informations suivantes.
\begin{itemize}[label=$\bullet$]
	\item 60\,\% des clients ont loué une bicyclette traditionnelle, les autres ont loué une bicyclette électrique.
	\item Parmi ceux qui ont loué une bicyclette traditionnelle, 25\,\% ont pris une assurance.
	\item 20\,\% de l'ensemble des clients ont pris une assurance.
\end{itemize}

On choisit un client au hasard et on note les événements :

$T$ : \og{}le client a loué une bicyclette traditionnelle\fg{}.

$A$ : \og{}le client a pris une assurance\fg{}.

\begin{enumerate}
	\item Recopier l'arbre pondéré ci-dessous et compléter les pointillés.

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
		\node(n0)at(0,0){};
		\node(n1_1)at(3,1){$T$};
		\node(n1_2)at(3,-1){$\overline{T}$};
		\node(n2_1)at(6,1.5){$A$};
		\node(n2_2)at(6,0.5){$\overline{A}$};
		\node(n2_3)at(6,-0.5){$A$};
		\node(n2_4)at(6,-1.5){$\overline{A}$};
		\draw(n0.east)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{\dots};
		\draw(n0.east)--(n1_2)node[pos=0.4,fill=white]{\dots};
		\draw(n1_1.east)--(n2_1)node[pos=0.6,fill=white]{\dots};
		\draw(n1_1.east)--(n2_2)node[pos=0.4,fill=white]{\dots};
		\draw(n1_2.east)--(n2_3);
		\draw(n1_2.east)--(n2_4);
	\end{tikzpicture}
	\end{center}

%%% PsTricks
%\begin{center}
%\def\psedge{\ncline{-*}}
%\bigskip
%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt, levelsep=3cm,treesep=1cm]{\TR{}}
% {
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$T$}\naput{$\cdots$}}
% 	  {
% 		  \TR{$A$}\naput{$\cdots$}
% 		  \TR{$\overline{A}$}\nbput{$\cdots$}
% 	  }
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{T}$}\nbput{$\cdots$}}
% 	  {
% 		  \TR{$A$}\naput{}
%          \TR{$\overline{A}$}\nbput{}
%     }
%}
%\bigskip
%\end{center}

	\item Donner, par simple lecture de l'énoncé, la probabilité de l'événement $A$.

	\item Montrer que la probabilité que le client ait loué une bicyclette traditionnelle et qu'il ait pris une assurance est égale à \np{0.15}.

	\item En déduire que la probabilité \mbox{$P\big(\,\overline{T}\cap A\,\big)$} est égale à \np{0.05}.

	\item Déterminer la probabilité que le client ait pris une assurance sachant qu'il a loué une bicyclette électrique.

	On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2 (5 points)}
\textit{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est \textbf{vraie} ou \textbf{fausse}, en \textbf{justifiant} la réponse. Un réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\begin{center}
	\textit{Les trois questions sont indépendantes.}
\end{center}

\begin{enumerate}[itemsep=5mm]
	\item On considère un réel $u$.

	On considère sur \R{} l'équation
	\[(E)\quad x^2+x-u^2=0\]

	\textbf{Affirmation} : Quelle que soit la valeur du réel $u$, l'équation (\textit{E}) possède deux solutions réelles distinctes.

	\item On considère la suite \mbox{$(u_n)$} définie pour tout entier naturel $n$ par
	\[u_n=2^{-n}\]

	\textbf{Affirmation} : La suite \mbox{$(u_n)$} est une suite géométrique de raison \mbox{$\dfrac12$}.

	\item On considère la fonction $f$ définie sur \R{} par
	\[f(x)=\e^x-1\]

	On note \mbox{$\mathcal{C}$} la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère.

	On note \mbox{$\mathcal{T}$} la tangente à la courbe \mbox{$\mathcal{C}$} au point d'abscisse $0$.

	On note A le point de coordonnées \mbox{$(3;3)$.}

	\textbf{Affirmation} : Le point A appartient à la tangente \mbox{$\mathcal{T}$}.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3 (4 points)}
Dans le plan muni d'un repère orthonormal, on considère les points \mbox{P~$(4;0)$} et \mbox{K~$(1;0)$}.

On considère le réel $x$ et on note M le point de coordonnées \mbox{$(x;3)$.}
\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
	\clip(-0.6,-0.6)rectangle(4.6,3.6);
	\draw[blue!30,thick](0,0)grid(4.6,3.6);
	\draw[line width=0.3mm,->, >=triangle 45](-0.6,0)--(4.6,0);
	\draw[line width=0.3mm,->, >=triangle 45](0,-0.6)--(0,3.6);
	\foreach \i in {1,2,...,4}{\draw(\i,-0.2)node{\textbf{\i}};}
		\foreach \j in {1,2,3}{\draw(-0.2,\j)node{\textbf{\j}};}
		\draw(-0.2,-0.2)node{\textbf{0}};
	\draw[fill=black](1,0)circle(0.04)node[above right]{\textbf{K}}(4,0)circle(0.04)node[above right]{\textbf{P}}(2.3,3)circle(0.04)node[above]{\textbf{M}};
\end{tikzpicture}
\end{center}

%%% PsTricks
%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=3pt 3,comma}
%\def\xmin{-0.5}   \def\xmax{4.9} \def\ymin{-0.5}   \def\ymax {3.8}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](0,0)(5,5)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, showorigin=false]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)
%\uput{9pt}[dl](0,0){0}
%\psdots[dotstyle=*,dotscale=1.3](1,0)(4,0)(2.2,3)
%{\bf
%\uput[ur](1,0){K} \uput[ur](4,0){P} \uput[ur](2.2,3){M}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{enumerate}
	\item Donner les coordonnées du vecteur \mbox{$\vectt{KP}$} ainsi que sa norme.

	\item Exprimer en fonction de $x$ les coordonnées du vecteur \mbox{$\vectt{KM}$} ainsi que sa norme.

	\item Montrer que le produit scalaire \mbox{$\vectt{KP}\cdot\vectt{KM}$} est égal à \quad \mbox{$3x-3$.}

	\item Montrer que si l'angle $\widehat{\text{PKM}}$ est égal à \mbox{$\dfrac\pi 3$}, alors le réel $x$ est solution de l'équation
	\[(E)\quad \sqrt{(x-1)^2+9}=2x-2\]

	\item Vérifier que le réel \mbox{$1+\sqrt3$} est solution de l'équation (\textit{E}).
\end{enumerate}
\end{document}