% préambule APMEP - Annales
%
%%% Auteurs
% tapuscrit : François Kriegk
% relecture :
% figures TikZ : François Kriegk
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
%%%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Première, Série sans spécialité},
	pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 0},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Épreuve anticipée sans spécialité}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité -- Métropole -- 12 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}


\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}
	\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.}

	\textbf{Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

	Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}
	Le nombre \quad $\dfrac{2}{5}$ \quad est égal à :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} 0,2&
		\textbf{B.} 0,25&
		\textbf{C.} 0,4&
		\textbf{D.} 0,5
	\end{tblr}

	\subsection*{Question 2}
	$30\,\%$ de 150 est égal à :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} 15&
		\textbf{B.} 30&
		\textbf{C.} 45&
		\textbf{D.} 60
	\end{tblr}

	\subsection*{Question 3}
	\begin{minipage}{0.4\linewidth}
		On donne ci-contre la

		représentation graphique

		d'une fonction $f$.

	Lequel de ces nombres est un antécédent de 3 ?

	\begin{tblr}{@{}X[3]X[2]}
		\textbf{A.} 0,5&
		\textbf{B.} 1\\
		\textbf{C.} 1,5&
		\textbf{D.} 2
	\end{tblr}
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)}]
		\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=0.5, ystep = 0.5] (-4.4,-2.4) grid (5.4,3.9);
		\draw (-4.4,0) -- (5.4,0);
		\foreach \x in {-4,...,-1,1,2,...,5}
		\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\np{\x}$};
		\draw (0,-2.4) -- (0,3.9);
		\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
		\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\np{\y}$};
		\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
		\draw[line width=1.2pt,red]
		(-4,-0.5) .. controls (-3.75,0.75) and (-3.3,1.5) ..
		(-3,1.5)  .. controls (-2.1 ,1.5 ) and (-2.4,-1.5) ..
		(-1.5,-1.5) .. controls (-1.25,-1.5 ) and (-1.1,-1.1) ..(-1,-1) --
		(0.5,2)  .. controls (0.6,2.15 ) and (0.8,3) ..
		(1,3)    .. controls (1.2,3) and (1.4,2.15 ) ..
		(1.5,2)  .. controls (1.6,1.8) and (2.4,1.2) ..
		(2.5,1)  .. controls (2.7,.8) and (2.8,0.5) ..
		(3,0.5)  .. controls (3.2,0.5) and (3.3,0.8) ..
		(3.5,1) -- (5,2.5);
	\end{tikzpicture}

	\subsection*{Question 4}
	La solution de l'équation \quad $7 x+4=5 x+6$ \quad est :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} $x=-1$&
		\textbf{B.} $x=0$&
		\textbf{C.} $x=2$&
		\textbf{D.} $x=1$
	\end{tblr}

	\subsection*{Question 5}
	Un article coûte initialement $50$\,\euro{}.

	Son prix diminue de $10\,\%$ puis augmente de $10\,\%$.

	Son prix final est de :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} 49,50 \euro{}&
		\textbf{B.} 49,90 \euro{}&
		\textbf{C.} 50 \euro{}&
		\textbf{D.} 50,10 \euro{}
	\end{tblr}

	\subsection*{Question 6}
	On considère la courbe d'équation \quad $y=2 x^{2}-x+3$.

	Le point d'abscisse $-1$ de la courbe est :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} $\mathrm{A}(-1 ; 0)$&
		\textbf{B.} $\mathrm{B}(-1 ; 2)$&
		\textbf{C.} $\mathrm{C}(-1 ; 4)$&
		\textbf{D.} $\mathrm{D}(-1 ; 6)$
	\end{tblr}

	\subsection*{Question 7}
	Une droite passe par les points A$(-1 ; 2)$ et $\mathrm{B}(-3 ; 4)$.

	Son coefficient directeur est :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} $-2$&
		\textbf{B.} $-1$&
		\textbf{C.} 1&
		\textbf{D.} 2
	\end{tblr}

	\subsection*{Question 8}
	On s'intéresse au confort d'un hôtel.

	Les six dernières notes obtenues sont : \quad $2 ; 3 ; 5 ; 4 ; 2 ; 3$

	La médiane de cette série de notes est :

	\begin{tblr}{@{}XXXX}
		\textbf{A.} 2&
		\textbf{B.} 3&
		\textbf{C.} 3,5&
		\textbf{D.} 4
	\end{tblr}

	\section*{DEUXIÈME PARTIE (14 points)}
	\section*{Exercice 1 (6 points)}
	Dans un lycée, 120 élèves sont sportifs de haut niveau et sont séparés en deux sections : la section aquatique et la section judo.

	Pour chaque section, les élèves peuvent être en seconde, en première ou en terminale.

	La répartition de ces 120 élèves est donnée dans le tableau ci-dessous.

	\begin{center}
		\begin{tblr}{colspec={l *{3}{X[c,2cm]}X[c,1cm]},
				hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},
				vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid}}
			                  & Seconde & Première & Terminale & Total \\
			Section judo      &         &          & 8         & 24    \\
			Section aquatique & 40      &          &           &       \\
			Total             & 50      &          & 14        & 120
		\end{tblr}
	\end{center}

On choisit au hasard un élève parmi les sportifs de haut niveau.

On considère les évènements suivants :

\begin{multicols}{2}
	\begin{itemize}[label={\textbullet~}]
	\item $S$ : «\,l'élève est en seconde\,»
	\item $P$ : «\,l'élève est en première\,»
	\item $T$ : «\,l'élève est en terminale\,»
	\item $A$ : «\,l'élève est en section aquatique\,»
	\item $J$ : «\,l'élève est en section judo\,»
	\end{itemize}

	~~
	\end{multicols}

	Pour un évènement quelconque $E$ : on note $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_{F}(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'évènement $F$.

	\begin{enumerate}
		\item Reproduire le tableau ci-dessus en complétant les données manquantes.
	\end{enumerate}

	\emph{Dans les questions qui suivent, les résultats seront donnés sous forme de fraction.}

	\begin{enumerate}[resume]
		\item Décrire l'évènement $A \cap S$ à l'aide d'une phrase puis calculer sa probabilité.

		\item On choisit au hasard un élève sportif en seconde, calculer la probabilité qu'il soit en section aquatique.

		\item \begin{enumerate}
			\item Calculer la probabilité de l'évènement $J$.
			\item Calculer $\mathrm{P}_{T}(J)$.
			\item Les évènements\, $J$ et $T$ sont-ils indépendants ?

			Justifier votre réponse.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

	\section*{Exercice 2 (8 points)}
	En 2025, Emma et Pierre disposent d'un capital initial de $\np{20000} $\,\euro{}.

	Pour réaliser un projet, ils ont besoin que le capital s'élève à $\np{22000} $\,\euro{}.

	Ils souhaitent donc placer leur capital durant plusieurs années.

	Ils ont le choix entre deux placements :

	\subsection*{A -- Premier placement.}
	Avec ce placement A, le capital augmente chaque année de $200 $\,\euro{} par rapport au capital de l'année précédente.

	On note $a_{n}$ la somme disponible en $2025+n$.

	On a donc $a_{0}=\np{20000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_{1}$ et $a_{2}$\,.
		\item \begin{enumerate}
			\item Exprimer $a_{n+1}$ en fonction de $a_{n}$ pour tout entier naturel $n$.

			\item En déduire la nature de la suite $\left(a_{n}\right)$.

			Préciser sa raison.
		\end{enumerate}

		\item Exprimer $a_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.

		\item À partir de quelle année auront-ils la somme nécessaire pour leur projet ?
	\end{enumerate}

	\subsection*{B -- Second placement.}
	Avec le placement B, le capital augmente chaque année de $2\,\%$ par rapport au capital de l'année précédente.

	On note $b_{n}$ la somme disponible en $2025+n$.

	On a donc $b_{0}=\np{20000}$.

	\begin{enumerate}
		\item Détailler le calcul qui permet d'obtenir $b_{1}=\np{20400}$.

		\item \begin{enumerate}
			\item Exprimer $b_{n+1}$ en fonction de $b_{n}$ pour tout entier naturel $n$.

			\item En déduire la nature de la suite $\left(b_{n}\right)$.

			Préciser sa raison.
		\end{enumerate}
		\item Exprimer $b_{n}$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item \begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
			Grâce à l'extrait de tableur ci-contre, on visualise le capital arrondi à l'euro près.

		Déterminer à partir de quelle année ils auront la somme nécessaire pour leur projet.
		\end{minipage}
		\hfill
		\begin{tblr}[T]{colspec = {X[1cm,c]X[2cm,c]},hlines, vlines,cell{2-Z}{2}={cmd=\np}}
			$n$ & $b_{n}$ \\
			0   & 20000   \\
			1   & 20400   \\
			2   & 20808   \\
			3   & 21224   \\
			4   & 21649   \\
			5   & 22082   \\
			6   & 22523   \\
			7   & 22974   \\
			8   & 23433   \\
			9   & 23902   \\
			10  & 24380
		\end{tblr}
	\end{enumerate}

\subsection*{C -- Bilan}
	Quel placement conseiller à Emma et Pierre afin qu'ils puissent réaliser leur projet le plus tôt possible ? Justifier.
\end{document}