% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : François Kriegk % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 1 : 2026-07-11 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Première, Série avec spécialité}, pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %--------------------------------------------------------- % Réglage entête, pied de page %--------------------------------------------------------- \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Antilles, Guyane}} \rfoot{\small{12 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %--------------------------------------------------------- % Titre %--------------------------------------------------------- \begin{center}\Large \bfseries \decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt] Voie générale -- avec spécialité -- Antilles, Guyane -- 12 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Corrigé \end{center} \section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)} \subsection*{Question 1} Factorisons :\quad $\begin{aligned}[t] 9x^2 - \dfrac{1}{9} &= (3x)^2 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \quad \text{on reconnaît alors une expression de la forme } a^2 - b^2\\ &=\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right) \quad \text{qui se factorise en } (a - b)(a + b) \end{aligned}$ \textbf{Bonne réponse : B.} \subsection*{Question 2} Effectuons les calculs : \quad $E = \dfrac{x - y}{zt} = \dfrac{3 - (-2)}{(-3)\times(-4)} = \dfrac{3 + 2}{12} = \dfrac{5}{12}$. \textbf{Bonne réponse : C.} \subsection*{Question 3} On n'a pas besoin de lectures graphiques très précises pour déterminer le signe de $A$. On voit \quad $f(-4) \approx 1,5$,\quad donc \quad $f(-4)>0$; et \quad $f(-1) = -2$,\quad donc \quad $f(-1) < 0$. $A$ est donc le quotient de deux nombres de signes contraires, le numérateur étant non nul (et le dénominateur aussi, bien sûr), donc on a :\quad $A < 0$. \textbf{Bonne réponse : B.} \subsection*{Question 4} Résolvons $(I)$ :\quad $\begin{aligned}[t] -2x + 2 \geqslant 0 &\iff -2x \geqslant -2\\ &\iff x \leqslant \dfrac{-2}{-2}\quad \text{car on divise par } -2 < 0\\ &\iff x \leqslant 1 \end{aligned}$ L'ensemble des solutions est donc $S = ]-\infty ; 1]$. \textbf{Bonne réponse : A.} \subsection*{Question 5} Les propositions sont des fonctions polynômes du second degré, présentées sous une forme factorisée. On veut ici une fonction qui aura deux racines : $-3$ et 2, et dont le coefficient dominant doit être positif, car les images sont positives, sauf entre les deux racines. On peut donc éliminer les propositions \textbf{B.} (les racines de cette proposition sont $-2$ et $3$) et \textbf{D.} (les racines sont $-2$ et $-3$). Les propositions \textbf{A.} et \textbf{C.} présentent les bonnes racines, mais la proposition \textbf{A.} a un coefficient dominant négatif : si on développe, on trouvera :\quad $-x^2 -x + 6$. Finalement, la seule fonction qui admet le tableau de signe donné dans l'énoncé est $f$, dont une expression est :\quad $f(x) = (x - 2)(x + 3)$. \textbf{Bonne réponse : C.} \subsection*{Question 6} Une baisse de 50\,\% se calcule en multipliant par :\quad $c_1 = 1 - \dfrac{50}{100} = 0,5$; la hausse de 40\,\% en multipliant par :\quad $c_2 = 1 + \dfrac{40}{100} = 1,4$; L'évolution globale a donc un coefficient multiplicateur de :\quad $c_g = c_1 \times c_2 = 0,5 \times 1,4 = 0,7$. Le taux d'évolution global est donc de :\quad $t_g = c_g - 1 = 0,7 - 1 = -0,3 = -\dfrac{30}{100}$. L'évolution globale du prix est donc une baisse de 30\,\%. \textbf{Bonne réponse : D.} \subsection*{Question 7} Si 40\,\% sont des hommes, alors les femmes représentent le complément à 100\,\%, c'est-à-dire 60\,\% des adhérents de l'association. 30 femmes représentent donc 60\,\%, donc une personne représente 2\,\% des adhérents de l'association. Il y a donc en tout 50 adhérents à cette association. \emph{Variante :} 30 femmes représentent 60\,\% des adhérents, donc 10 femmes représentent 20\,\% des adhérents. Ainsi $10 \times 5 = 50$ personnes représentent 100\,\% des adhérents. \textbf{Bonne réponse : D.} \subsection*{Question 8} On applique les formules de puissances : \begin{itemize} \item $\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^{8 - (-5)} = a^{13} \neq a^3$; \item $\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{30 - 2} = a^{28} \neq a^{15}$; \item $\big(a^{10}\big)^3 = a^{10 \times 3} = a^{30} \neq a^{13}$; \item $\dfrac{a\times a^5}{a^2} = \dfrac{a^1\times a^5}{a^2} = a^{1 + 5 - 2} = a^4$. \end{itemize} \textbf{Bonne réponse : D.} \needspace{10\baselineskip} \section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 pts)} \section*{Exercice 1 (5 points)} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item En janvier 2026, il s'est passé un an, donc la valeur de la voiture a perdu 10\,\% de sa valeur initiale. Appliquer une baisse de 10\,\%, c'est multiplier par :\quad $q = 1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$. $\np{10000} \times 0,9 = \np{9000}.$\quad La valeur de la voiture en janvier 2026 est de \np[\euro]{9000}. \item Pour l'année $n+1$, la valeur de la voiture ($u_{n+1}$) est égale à la valeur de l'année précédente ($u_n$), diminuée de 10\,\% (donc multipliée par $q = 0,9$), donc on a bien :\quad $u_{n+1} = 0,9u_n$. \end{enumerate} \item La relation de récurrence ainsi établie est caractéristique d'une suite géométrique. Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique, de premier terme $u_0 = \np{10000}$ et de raison $q = 0,9$. \item On applique la formule qui donne le terme général d'une suite géométrique. Pour tout $n$ entier naturel, on a donc :\quad $u_n = u_0\times q^n$ Soit, ici:\quad $u_n = \np{10000}\times 0,9^n$. \item On a :\quad $2030 = 2025 + 5$. On cherche donc à calculer $u_5$. On a donc :\quad $u_5 = \np{10000}\times 0,9^5 = \np{10000} \times \np{0,59049} = \np{5904,9}$. En janvier 2030, la valeur de la voiture est de \np[\euro]{5904,9}. \item Ici, la variable \texttt{U} contient la valeur \np{10000}, c'est-à-dire la valeur du terme d'indice 0 de la suite $(u_n)$, la variable \texttt{N} contient l'indice correspondant. Tant que la valeur contenue dans \texttt{U} n'est pas strictement inférieure à \texttt{A}, c'est-à-dire tant que cette valeur est supérieure ou égale à \texttt{A}, alors on va remplacer dans \texttt{U} la valeur par la valeur du terme suivant dans la suite $(u_n)$, en appliquant la relation de récurrence, et on va mettre à jour l'indice correspondant. On obtient ainsi le programme : \begin{lstlisting}[style=python,numbers=none,xleftmargin=5cm,xrightmargin=5cm] def seuil(A) : N = 0 U = 10000 while U >= A : U = 0.9*U N = N+1 return N \end{lstlisting} \item l'appel \texttt{seuil(5000)} renvoie 7. Cela signifie que la valeur de la voiture est strictement inférieure à \np[\euro]{5000} pour la première fois après 7 ans, c'est-à-dire en 2032. \item Si la voiture perd plus des trois quarts de sa valeur, cela signifie qu'elle vaut désormais strictement moins d'un quart de sa valeur initiale de \np[\euro]{10000}, soit strictement moins de \np[\euro]{2500}. D'après l'appel \texttt{seuil(2500)}, ceci arrivera 14 ans après 2025, c'est-à-dire en 2039. \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 2 (5 points)} \begin{enumerate} \item Comme on interroge un spectateur au hasard, on est en situation d'équiprobabilité, et les proportions données dans l'énoncé sont assimilables à des probabilités. On peut donc compléter l'arbre ci-dessous : % Arbre pondéré (tikz) \begin{center} \begin{tikzpicture}[yscale=-1, grow = right, level distance=3cm, level 1/.style={sibling distance=2cm}, level 2/.style={sibling distance=1cm}, edge from parent/.style={draw}, edge from parent path= {(\tikzparentnode.east)--(\tikzchildnode.west)}, every node/.style={fill=white}] \node {} child { node {$A$} child { node {$J$} edge from parent node {0,4} } child { node {$\overline{J}$} edge from parent node {0,6} } edge from parent node {0,6} } child { node {$\overline{A}$} child { node {$J$} edge from parent node {0,2} } child { node {$\overline{J}$} edge from parent node {0,8} } edge from parent node {0,4} }; \end{tikzpicture} % %PSTricks % \pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}} % {\pstree{\TR{$A~$~}\taput{\ldots}} % {\TR{$J$} \taput{\ldots} % \TR{$\overline{J}$} \tbput{\ldots} % } % \pstree{\TR{$\overline{A~}~$}\taput{\ldots}} % {\TR{$J$} \taput{\ldots} % \TR{$\overline{J}$} \tbput{\ldots} % } % % } % %fin PSTricks \end{center} \item On a, d'après la propriété des probabilités conditionnelles : $P(A \cap J) = P(A) \times P_{A}(J) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que 24\,\% des spectateurs sont des personnes à la fois jeunes et abonnées. \item Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales, on a : $P\big(J\big) = P\big(A \cap J\big) + P\big(\overline{A} \cap J \big) = 0,24 + 0,4 \times 0,2 = 0,24 + 0,08 = 0,32$. On a bien trouvé $P(J) = 0,32$. Cela signifie que 32\,\% des spectateurs sont jeunes. \item L'affirmation peut être traduite sous forme d'inégalité mathématique :\quad $P_J(A) > \dfrac{1}{2}$. Or, d'après la définition des probabilités conditionnelles :\quad $P_{J}(A) = \dfrac{P(A \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0,24}{0,32} = \dfrac{24}{32} = \dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2}$. L'affirmation est donc correcte, quand on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a trois chances sur quatre, donc plus d'une sur deux, qu'il soit abonné. \item \begin{enumerate} \item La variable aléatoire $X$ prend trois valeurs : 5, 2 et 0. On a dès lors la loi de probabilité pour $X$ : \begin{center} \begin{tblr}{width=0.8\linewidth,hlines, vlines, colspec={c*3{X[c]}}} $k$ & 0 & 2 & 5 \\ évènement $\big\{X = k\big\}$ & $A \cap J$ & $A \cap \overline{J}$ & $\overline{A}$ \\ $P(X = k)$ & 0,24 & $0,6 \times 0,6 = 0,36$ & 0,4 \end{tblr} \end{center} \item On applique la formule qui définit l'espérance : $\mathrm{E}(X) = 0 \times P(X = 0) + 2 \times P(X = 2) + 5 \times P(X = 5) = 0 + 2 \times 0,36 + 5 \times 0,4 = 0 + 0,72 + 2 = 2,72$. Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le prix moyen payé par les spectateurs de ce cinéma est de 2,72\,\euro{}. \end{enumerate} \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} % saut de page si moins de 10 lignes disponibles \section*{Exercice 3 (4 points)} \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 1 : Fausse.} Calculons les coordonnées des vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$. Les coordonnées de $\vectt{AB}$ sont \quad $\begin{pmatrix}x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}}\\ y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}} \end{pmatrix} $ \quad soit, avec les valeurs données : \quad $\begin{pmatrix} 3 - 2\\2-0 \end{pmatrix} $. Finalement :\quad $\vectt{AB} \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} $. De même, on a :\quad $\vectt{AC} \begin{pmatrix} 0 - 2\\4 - 0 \end{pmatrix} $,\quad soit \quad $\vectt{AC} \begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix} $. Comme le repère est orthonormé, on peut utiliser la formule analytique du produit scalaire : $\vectt{AB}\cdot\vectt{AC} = x_{\vectt{AB}}x_{\vectt{AC}} + y_{\vectt{AB}}y_{\vectt{AC}} = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = -2 + 8 = 6.$ Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas orthogonaux, et donc les droites (AB) et (AC), que ces vecteurs dirigent, ne sont pas perpendiculaires. \item Déterminons l'expression de la fonction dérivée $f'$. $f$ est un produit, et donc on applique la formule pour dériver un produit. On peut poser :\quad $u : x \longmapsto 3x - 1$ \quad et $v$ la fonction exponentielle. On a alors :\quad $u': x \longmapsto 3$\quad et $v'$ également la fonction exponentielle (celle-ci étant, par définition, égale à sa dérivée). On a alors :\quad $f = uv$\quad et donc \quad $f' = u'v + uv'$. On en déduit, pour tout $x$ réel :\quad $f'(x) = 3\e^{x} + (3x - 1)\e^{x} = (3 + 3x - 1)\e^{x} = (3x + 2)\e^{x}$. \begin{enumerate} \item \textbf{Affirmation 2. a. : Fausse.} En effet, la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, donc $f'(x)$ est du signe de $(3x + 2)$, mais cette expression change de signe. $\begin{aligned} 3x + 2 > 0 &\iff 3x > -2\\ &\iff x > -\dfrac{2}{3} \quad \text{ car on divise par }3>0 \end{aligned}$ On a donc le tableau de signes pour $f'$: \hfill~\begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1, signe de $f'(x)$/1}{$-\infty$,$-\dfrac{2}{3}$,$+\infty$} \tkzTabLine{,-,z,+,} \end{tikzpicture}\hfill~ On peut en déduire que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ; -\dfrac{2}{3}\right] $, ce qui contredit que la fonction serait croissante sur cet intervalle. Ainsi la fonction n'est pas croissante sur $\R$ tout entier. \item \textbf{Affirmation 2. b. : Vraie.} On applique la formule pour obtenir une équation de la tangente :\quad $y = f'(a) (x - a) + f(a)$. Ici, la fonction $f$ est celle de l'énoncé, et l'abscisse $a$ est égale à 0. On va donc calculer :\quad $f(0) = (3\times 0 - 1)\e^{0} = -1 \times 1 = -1$\quad et \quad $f'(0) = (3\times 0 + 2)\e^{0} = 2\times 1 = 2$. Ainsi, une équation de la tangente cherchée est :\quad $y = 2 \times (x - 0) + (-1)$. Une fois simplifiée, cette équation réduite est bien :\quad $y = 2x - 1$. \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}