% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : François Kriegk
% relecture :
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 1 : 2026-07-11
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
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%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
allbordercolors = white,
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}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
language=Python,
basicstyle=\ttfamily\small,
keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
commentstyle=\color{gray}\itshape,
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numberstyle=\tiny\color{gray},
breaklines=true,
frame=single,
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}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
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%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Antilles, Guyane}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Antilles, Guyane -- 12 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

\subsection*{Question 1}
	Factorisons :\quad $\begin{aligned}[t]
		9x^2 - \dfrac{1}{9} &= (3x)^2 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^2 \quad \text{on reconnaît alors une expression de la forme } a^2 - b^2\\
		&=\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right) \quad \text{qui se factorise en } (a - b)(a + b)
	\end{aligned}$

	\textbf{Bonne réponse : B.}

\subsection*{Question 2}
	Effectuons les calculs : \quad $E = \dfrac{x - y}{zt} = \dfrac{3 - (-2)}{(-3)\times(-4)} = \dfrac{3 + 2}{12} = \dfrac{5}{12}$.

	\textbf{Bonne réponse : C.}

\subsection*{Question 3}
On n'a pas besoin de lectures graphiques très précises pour déterminer le signe de $A$.

On voit \quad $f(-4) \approx 1,5$,\quad donc \quad $f(-4)>0$;

et \quad $f(-1) = -2$,\quad donc \quad $f(-1) < 0$.

$A$ est donc le quotient de deux nombres de signes contraires, le numérateur étant non nul (et le dénominateur aussi, bien sûr), donc on a :\quad $A < 0$.

\textbf{Bonne réponse : B.}

\subsection*{Question 4}
	Résolvons $(I)$ :\quad $\begin{aligned}[t] -2x + 2 \geqslant 0
		&\iff -2x \geqslant -2\\
		&\iff x \leqslant \dfrac{-2}{-2}\quad \text{car on divise par } -2 < 0\\
		&\iff x \leqslant 1
	\end{aligned}$

	L'ensemble des solutions est donc $S = ]-\infty ; 1]$.

	\textbf{Bonne réponse : A.}

\subsection*{Question 5}
	Les propositions sont des fonctions polynômes du second degré, présentées sous une forme factorisée.

	On veut ici une fonction qui aura deux racines : $-3$ et 2, et dont le coefficient dominant doit être positif, car les images sont positives, sauf entre les deux racines.

	On peut donc éliminer les propositions \textbf{B.} (les racines de cette proposition sont $-2$ et $3$) et \textbf{D.} (les racines sont $-2$ et $-3$).

	Les propositions \textbf{A.} et \textbf{C.} présentent les bonnes racines, mais la proposition \textbf{A.} a un coefficient dominant négatif : si on développe, on trouvera :\quad $-x^2 -x + 6$.

	Finalement, la seule fonction qui admet le tableau de signe donné dans l'énoncé est $f$, dont une expression est :\quad $f(x) = (x - 2)(x + 3)$.

	\textbf{Bonne réponse : C.}

\subsection*{Question 6}
	Une baisse de 50\,\% se calcule en multipliant par :\quad $c_1 = 1 - \dfrac{50}{100} = 0,5$;

	la hausse de 40\,\% en multipliant par :\quad $c_2 = 1 + \dfrac{40}{100} = 1,4$;

	L'évolution globale a donc un coefficient multiplicateur de :\quad $c_g = c_1  \times c_2 = 0,5 \times 1,4 = 0,7$.

	Le taux d'évolution global est donc de :\quad $t_g = c_g - 1 = 0,7 - 1 = -0,3 = -\dfrac{30}{100}$.

	L'évolution globale du prix est donc une baisse de 30\,\%.

	\textbf{Bonne réponse : D.}

\subsection*{Question 7}
	Si 40\,\% sont des hommes, alors les femmes représentent le complément à 100\,\%, c'est-à-dire 60\,\% des adhérents de l'association.

	30 femmes représentent donc 60\,\%, donc une personne représente 2\,\% des adhérents de l'association.

	Il y a donc en tout 50 adhérents à cette association.

	\emph{Variante :} 30 femmes représentent 60\,\% des adhérents, donc 10 femmes représentent 20\,\% des adhérents. Ainsi $10 \times 5 = 50$ personnes représentent 100\,\% des adhérents.

	\textbf{Bonne réponse : D.}

\subsection*{Question 8}
	On applique les formules de puissances :
	\begin{itemize}
		\item $\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^{8 - (-5)} = a^{13} \neq a^3$;
		\item $\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{30 - 2} = a^{28} \neq a^{15}$;
		\item $\big(a^{10}\big)^3 = a^{10 \times 3} = a^{30} \neq a^{13}$;
		\item $\dfrac{a\times a^5}{a^2} = \dfrac{a^1\times a^5}{a^2} = a^{1 + 5 - 2} = a^4$.
	\end{itemize}

	\textbf{Bonne réponse : D.}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}
\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item En janvier 2026, il s'est passé un an, donc la valeur de la voiture a perdu 10\,\% de sa valeur initiale.

		Appliquer une baisse de 10\,\%, c'est multiplier par :\quad $q = 1 - \dfrac{10}{100} = 1 - 0,1 = 0,9$.

		$\np{10000} \times 0,9 = \np{9000}.$\quad	La valeur de la voiture en janvier 2026 est de \np[\euro]{9000}.

		\item Pour l'année $n+1$, la valeur de la voiture ($u_{n+1}$) est égale à la valeur de l'année précédente ($u_n$), diminuée de 10\,\% (donc multipliée par $q = 0,9$),

		donc on a bien :\quad $u_{n+1} = 0,9u_n$.
	\end{enumerate}

	\item La relation de récurrence ainsi établie est caractéristique d'une suite géométrique.

	Ainsi, $(u_n)$ est une suite géométrique, de premier terme $u_0 = \np{10000}$ et de raison $q = 0,9$.

	\item On applique la formule qui donne le terme général d'une suite géométrique.

	Pour tout $n$ entier naturel, on a donc :\quad $u_n = u_0\times q^n$

	Soit, ici:\quad $u_n = \np{10000}\times 0,9^n$.

	\item On a :\quad $2030 = 2025 + 5$.

	On cherche donc à calculer $u_5$.

	On a donc :\quad $u_5 = \np{10000}\times 0,9^5 = \np{10000} \times \np{0,59049} = \np{5904,9}$.

	En janvier 2030, la valeur de la voiture est de \np[\euro]{5904,9}.

	\item Ici, la variable \texttt{U} contient la valeur \np{10000}, c'est-à-dire la valeur du terme d'indice 0 de la suite $(u_n)$, la variable \texttt{N} contient l'indice correspondant.

	Tant que la valeur contenue dans \texttt{U} n'est pas strictement inférieure à \texttt{A}, c'est-à-dire tant que cette valeur est supérieure ou égale à \texttt{A}, alors on va remplacer dans \texttt{U} la valeur par la valeur du terme suivant dans la suite $(u_n)$, en appliquant la relation de récurrence, et on va mettre à jour l'indice correspondant.

	On obtient ainsi le programme :

\begin{lstlisting}[style=python,numbers=none,xleftmargin=5cm,xrightmargin=5cm]
def seuil(A) :
	N = 0
	U = 10000
	while U >= A :
		U = 0.9*U
		N = N+1
	return N
\end{lstlisting}

	\item l'appel \texttt{seuil(5000)} renvoie 7. Cela signifie que la valeur de la voiture est strictement inférieure à \np[\euro]{5000} pour la première fois après 7 ans, c'est-à-dire en 2032.

	\item Si la voiture perd plus des trois quarts de sa valeur, cela signifie qu'elle vaut désormais strictement moins d'un quart de sa valeur initiale de \np[\euro]{10000}, soit strictement moins de \np[\euro]{2500}.

	D'après l'appel \texttt{seuil(2500)}, ceci arrivera 14 ans après 2025, c'est-à-dire en 2039.
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 2 (5 points)}
\begin{enumerate}
	\item Comme on interroge un spectateur au hasard, on est en situation d'équiprobabilité, et les proportions données dans l'énoncé sont assimilables à des probabilités.

	On peut donc compléter l'arbre ci-dessous :

	% Arbre pondéré (tikz)
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=-1,
			grow = right,
			level distance=3cm,
			level 1/.style={sibling distance=2cm},
			level 2/.style={sibling distance=1cm},
			edge from parent/.style={draw},
			edge from parent path=
			{(\tikzparentnode.east)--(\tikzchildnode.west)},
			every node/.style={fill=white}]
			\node {}
			child {
				node {$A$}
				child { node {$J$} edge from parent node {0,4} }
				child { node {$\overline{J}$} edge from parent node {0,6} }
				edge from parent node {0,6}
			}
			child {
				node {$\overline{A}$}
				child { node {$J$} edge from parent node {0,2} }
				child { node {$\overline{J}$} edge from parent node {0,8} }
				edge from parent node {0,4}
			};
		\end{tikzpicture}
		%		%PSTricks
		%		\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
		%		{\pstree{\TR{$A~$~}\taput{\ldots}}
			%			{\TR{$J$} \taput{\ldots}
				%				\TR{$\overline{J}$} \tbput{\ldots}
				%			}
			%			\pstree{\TR{$\overline{A~}~$}\taput{\ldots}}
			%			{\TR{$J$} \taput{\ldots}
				%				\TR{$\overline{J}$} \tbput{\ldots}
				%			}
			%
			%		}
		%		%fin PSTricks
	\end{center}

	\item On a, d'après la propriété des probabilités conditionnelles :

	$P(A \cap J) = P(A) \times P_{A}(J) = 0,6 \times 0,4 = 0,24$.

	Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que 24\,\% des spectateurs sont des personnes à la fois jeunes et abonnées.

	\item Les évènements $A$ et $\overline{A}$ forment une partition de l'univers, donc, d'après la loi des probabilités totales, on a :

	$P\big(J\big) = P\big(A \cap J\big) + P\big(\overline{A} \cap J \big) = 0,24 + 0,4 \times 0,2 = 0,24 + 0,08 = 0,32$.

	On a bien trouvé $P(J) = 0,32$. Cela signifie que 32\,\% des spectateurs sont jeunes.

	\item L'affirmation peut être traduite sous forme d'inégalité mathématique :\quad $P_J(A) > \dfrac{1}{2}$.

	Or, d'après la définition des probabilités conditionnelles :\quad $P_{J}(A) = \dfrac{P(A \cap J)}{P(J)} = \dfrac{0,24}{0,32} = \dfrac{24}{32} = \dfrac{3}{4} > \dfrac{1}{2}$.

	L'affirmation est donc correcte, quand on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a trois chances sur quatre, donc plus d'une sur deux, qu'il soit abonné.

	\item \begin{enumerate}
		\item La variable aléatoire $X$ prend trois valeurs : 5, 2 et 0.

		On a dès lors la loi de probabilité pour $X$ :

		\begin{center}
		\begin{tblr}{width=0.8\linewidth,hlines, vlines, colspec={c*3{X[c]}}}
			$k$                           & 0          & 2                       & 5              \\
			évènement $\big\{X = k\big\}$ & $A \cap J$ & $A \cap \overline{J}$   & $\overline{A}$ \\
			$P(X = k)$                    & 0,24       & $0,6 \times 0,6 = 0,36$ & 0,4
		\end{tblr}
		\end{center}

		\item On applique la formule qui définit l'espérance :

		$\mathrm{E}(X) = 0 \times P(X = 0) + 2 \times P(X = 2) + 5 \times P(X = 5) = 0 + 2 \times 0,36 + 5 \times 0,4 = 0 + 0,72 + 2 = 2,72$.

		Dans le contexte de l'exercice, cela signifie que le prix moyen payé par les spectateurs de ce cinéma est de 2,72\,\euro{}.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
% saut de page si moins de 10 lignes disponibles
\section*{Exercice 3 (4 points)}
\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation 1 : Fausse.}

	Calculons les coordonnées des vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$.

	Les coordonnées de $\vectt{AB}$ sont \quad $\begin{pmatrix}x_{\mathrm{B}} - x_{\mathrm{A}}\\ y_{\mathrm{B}} - y_{\mathrm{A}} \end{pmatrix} $
	\quad soit, avec les valeurs données : \quad $\begin{pmatrix} 3 - 2\\2-0 \end{pmatrix} $.

	Finalement :\quad $\vectt{AB} \begin{pmatrix} 1\\2 \end{pmatrix} $.

	De même, on a :\quad $\vectt{AC} \begin{pmatrix} 0 - 2\\4 - 0 \end{pmatrix} $,\quad soit \quad $\vectt{AC} \begin{pmatrix} -2\\4 \end{pmatrix} $.

	Comme le repère est orthonormé, on peut utiliser la formule analytique du produit scalaire :

	$\vectt{AB}\cdot\vectt{AC} = x_{\vectt{AB}}x_{\vectt{AC}} + y_{\vectt{AB}}y_{\vectt{AC}} = 1 \times (-2) + 2 \times 4 = -2 + 8 = 6.$

	Le produit scalaire n'est pas nul, donc les vecteurs $\vectt{AB}$ et $\vectt{AC}$ ne sont pas orthogonaux, et donc les droites (AB) et (AC), que ces vecteurs dirigent, ne sont pas perpendiculaires.

	\item Déterminons l'expression de la fonction dérivée $f'$. $f$ est un produit, et donc on applique la formule pour dériver un produit.

On peut poser :\quad $u : x \longmapsto 3x - 1$ \quad et $v$ la fonction exponentielle.

On a alors :\quad $u': x \longmapsto 3$\quad et $v'$ également la fonction exponentielle (celle-ci étant, par définition, égale à sa dérivée).

On a alors :\quad $f = uv$\quad et donc \quad $f' = u'v + uv'$.

On en déduit, pour tout $x$ réel :\quad $f'(x) = 3\e^{x} + (3x - 1)\e^{x} = (3 + 3x - 1)\e^{x} = (3x + 2)\e^{x}$.

\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation 2. a. : Fausse.}

En effet, la fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, donc $f'(x)$ est du signe de $(3x + 2)$, mais cette expression change de signe.

$\begin{aligned}
3x + 2 > 0 &\iff 3x > -2\\
			&\iff x > -\dfrac{2}{3} \quad \text{ car on divise par }3>0
\end{aligned}$

On a donc le tableau de signes pour $f'$:

\hfill~\begin{tikzpicture}
\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1, signe de $f'(x)$/1}{$-\infty$,$-\dfrac{2}{3}$,$+\infty$}
\tkzTabLine{,-,z,+,}
\end{tikzpicture}\hfill~

On peut en déduire que la fonction $f$ est strictement décroissante sur l'intervalle $\left]-\infty ; -\dfrac{2}{3}\right] $, ce qui contredit que la fonction serait croissante sur cet intervalle. Ainsi la fonction n'est pas croissante sur $\R$ tout entier.

\item \textbf{Affirmation 2. b. : Vraie.}

On applique la formule pour obtenir une équation de la tangente :\quad $y = f'(a) (x - a) + f(a)$.

Ici, la fonction $f$ est celle de l'énoncé, et l'abscisse $a$ est égale à 0.

On va donc calculer :\quad $f(0) = (3\times 0 - 1)\e^{0} = -1 \times 1 = -1$\quad et \quad $f'(0) = (3\times 0 + 2)\e^{0} = 2\times 1 = 2$.

Ainsi, une équation de la tangente cherchée est :\quad $y = 2 \times (x - 0) + (-1)$.

Une fois simplifiée, cette équation réduite est bien :\quad $y = 2x - 1$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\end{document}
