% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Hubert Proton
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
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% Remerciements :
% version 1 : 2026-07-10
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
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  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Polynésie -- 12 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}	\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{\centering Partie 1 : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

\subsection*{Question 1}

	Prendre 30\,\% d'une quantité, c'est la multiplier par $\dfrac{30}{100} = 0,3$.

	L'augmentation est de {$\np{0.3}\times40=12$ \euro},

	donc le prix final est de $40 + 12 = \np[\euro]{52}$.

	\textbf{Bonne réponse : B}.


\subsection*{Question 2}

	Un produit est nul si et seulement si l'un (au moins) de ses facteurs est nul :
	 \begin{itemize}
	 	\item {$-\np{0.5}x + 3=0\iff x=3\div\np{0.5}=6$}
	 	\item {$-5x-4=0\iff x=-4\div5=-\np{0.8}$}
	 \end{itemize}

	Les deux solutions sont {$6\text{ et }-\np{0.8}$}.

	\textbf{Bonne réponse : D}.

\subsection*{Question 3}
	20\% c'est un cinquième, donc si 8 joueurs représentent $\dfrac15$ de l'équipe, son effectif total est {$8\times5=40$}.

	\textbf{Bonne réponse : C}.


\subsection*{Question 4}
	$\begin{aligned}
		E_C=\dfrac12~m~v^2
		&\iff 2 E_C=m~v^2\\
		&\iff v^2=\dfrac{2 E_C}{m}\\
		&\iff v=\sqrt{\dfrac{2~E_C }{m}} \quad \text{car $v$ est une vitesse, donc }v>0
	\end{aligned}$

	\textbf{Bonne réponse : B}.

\subsection*{Question 5}
	Par simple lecture graphique, \quad {$\dfrac1 x\geqslant2\iff 0<x\leqslant\dfrac12$}.

	\textbf{Bonne réponse : A}.

\subsection*{Question 6}
	{$2^9\times5^7=2^2\times2^7\times5^7=2^2\times(2\times5)^7=4\times10^7$}.

	\textbf{Bonne réponse : B}.

\subsection*{Question 7}
	La droite est décroissante, donc la pente de la droite est négative.

	La droite coupe l'axe des ordonnées entre 5 et 6 (ordonnée à l'origine).

	\textbf{Bonne réponse : D}.

\subsection*{Question 8}
	C'est une identité remarquable, \quad {$16x^2=(4x)^2$},

	donc \quad {$16x^2-(x + 1)^2=\Big(4x-(x + 1)\Big) \Big(4x + (x + 1)\Big)=(3x-1)(5x + 1)$}.

	\textbf{Bonne réponse : B}.

\newpage

\section*{\centering Partie 2 (14 pts)}

\section*{Exercice 1 (8 points)}
\subsection*{Partie A}

	\begin{enumerate}
		\item \begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
			Un quart des clients participent aux randonnées, donc {$P (R)=\dfrac14$} et {$P (\overline{R})=\dfrac34$}.

			La moitié de ceux qui ont fait une randonnée font des activités nautiques, donc {$P_R (N)=\dfrac12$} et {$P_R (\overline{N})=\dfrac12$}.

			Un tiers de ceux qui n'ont pas randonné font des activités nautiques, donc {$P_{\overline{R}} (N)=\dfrac13$} et {$P_{\overline{R}} (\overline{N})=\dfrac23$}.

		\end{minipage}\hfill
		\begin{tikzpicture}[baseline={(n2_1.base)}]
			\node(n0)at(0,0){};
			\node(n1_1)at(3.5,1.6){$R$};
			\node(n1_2)at(3.5,-1.6){$\overline{R}$};
			\node(n2_1)at(7,2.4){$N$};
			\node(n2_2)at(7,0.8){$\overline{N}$};
			\node(n2_3)at(7,-0.8){$N$};
			\node(n2_4)at(7,-2.4){$\overline{N}$};
			\draw(n0.east)--(n1_1)node[pos=0.65,fill=white]{$\dfrac14$};
			\draw(n0.east)--(n1_2)node[pos=0.5,fill=white]{$\dfrac34$};
			\draw(n2_1)--(n1_1.east)node[pos=0.35,fill=white]{$\dfrac12$};
			\draw(n2_2)--(n1_1.east)node[pos=0.5,fill=white]{$\dfrac12$};
			\draw(n2_3)--(n1_2.east)node[pos=0.35,fill=white]{$\dfrac13$};
			\draw(n2_4)--(n1_2.east)node[pos=0.5,fill=white]{$\dfrac23$};
		\end{tikzpicture}


		\item $R$ et $\overline{R}$ forment une partition de l'univers.

		Donc, d'après la loi des probabilités totales : \quad {$P(N)=P(R\cap N) + P(\overline{R}\cap N)$}.

		Donc\quad  {$P(N)=\dfrac14\times\dfrac12 + \dfrac34\times\dfrac13=\dfrac18 + \dfrac14=\dfrac38$}.

		La  probabilité que le client participe aux activités nautiques est bien de {$\dfrac38$}.

		\item On cherche {$P_N (R)$}.

		Par définition des probabilités conditionnelles : \quad {$P_N (R)=\dfrac{P(R \cap N)}{P(N)}=\dfrac{~~\dfrac18~~}{\dfrac38}=\dfrac18\times\dfrac83=\dfrac13$}.

		La probabilité qu'un client, choisi parmi ceux qui font des activités nautiques, ait fait une randonnée le matin est $\dfrac13$.

		\item Les évènements ne sont pas indépendants :
		\begin{itemize}
			\item $P(R \cap N)=\dfrac18$;
			\item $P(R)\times P(N)=\dfrac14\times\dfrac38=\dfrac{3}{32} \neq P(R \cap N)$.
		\end{itemize}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item On reconnaît la relation de récurrence caractéristique d'une suite géométrique, de raison \np{1.025}.

	\item La multiplication par \np{1.025} correspond à une augmentation, exprimée en pourcentage, de \np{2.5}\% : le taux d'évolution annuel de la fréquentation est \np{2.5}\%.

	\item \begin{enumerate}
		\item On veut le premier indice $n$ tel que $u_n$ est supérieur ou égal à un seuil $k$.

		\begin{itemize}
			\item La variable \texttt{u} contient une valeur qui est un terme de la suite $(u_n)$;
			\item la variable \texttt{n} contient la valeur $n$ de l'indice correspondant;
			\item les deux variables sont initialisées avec les valeurs de $u_0$ et $0$ respectivement;
			\item La boucle \og tourne \fg{} aussi longtemps que \texttt{u} est strictement inférieur au seuil \texttt{k};
			\item à chaque exécution, la valeur de l'indice est remplacée par la valeur de l'indice suivant (en ajoutant 1), et la valeur du terme est remplacée par la valeur du terme suivant (en appliquant la relation de récurrence);
			\item finalement, on revoie l'indice du terme qui a permi de sortir de la boucle, c'est-à-dire l'indice du premier terme qui n'est pas strictement inférieur au seuil.
		\end{itemize}

		Le programme complété est donc :

		\begin{lstlisting}[style=python,numbers=none,xleftmargin=5cm,xrightmargin=5cm]
def seuil (k) :
	u = 400
	n = 0
	while u < k :
		n = n + 1
		u = u*1.025
	return n
		\end{lstlisting}

		\item Pour que l'on atteigne 600 clients, il faut que {$\np{1.025}^n$} dépasse \np{1.5}.

		D'après le tableur, c'est le cas si {$n=17$} (cellule \textsf{B19}).

		$2025 + 17 = 2042$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (6 points)}

\subsection*{Partie A}
	\begin{enumerate}
		\item On utilise la formule \quad {$\Big(uv\Big)'=u'v + v'u$,} \quad

		avec\quad {$u(x)=\dfrac12 x  + 1$} \quad donc {$u'(x)=\dfrac12$} \quad et \quad {$v(x)=\e^{-x}$} \quad donc \quad {$v'(x)=-\e^{-x}$}.

		Donc \quad {$f'(x)=\dfrac12 \times \e^{-x} + \left(\dfrac12x + 1\right)\times(-\e^{-x})=\left(\dfrac12-\dfrac12 x-1\right) \e^{-x}=\left(-\dfrac12 x -\dfrac12 \right) \e^{-x}$}.

		\item L'exponentielle est à valeurs strictement positives, donc le signe de la dérivée $f'$ ne dépend que du signe du facteur {$-\dfrac12 x -\dfrac12$}.

		$f'$ est donc positive entre $-\infty$ et $-1$, puis négative.

		On calcule l'image de $-1$ qui est \quad {$\dfrac12 \e\approx \np{1.35}$}

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
				\tkzTabInit[lgt=4]
				{$x$/0.85,signe de $f'(x)$/.85,variations de $f$/2.5}
				{$-\infty$,$-1$,$ + \infty$}
				\tkzTabLine{, + ,0,-, }
				\tkzTabVar{-/, + /$\dfrac{\e}{2}$,-/}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

		\item $f$ atteint en $-1$ son maximum qui est $\dfrac{\e}{2}\approx\np{1.35}$.

		Donc :\quad {$\forall x\in\R, f(x)\leqslant2$}

		\textbf{L'affirmation est vraie.}

		\item En $0$, on a $f(0)=1$ (c'est l'ordonnée à l'origine) et $f'(0)=-\dfrac12$ (c'est la pente de la tangente).

		Donc l'équation réduite de la tangente en $0$ est {$y=-\dfrac x 2  + 1$}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}
		\begin{enumerate}
			\item Le point M$(0 ; 1)$ est sur la courbe $(\mathcal{C}_g)$, donc on en déduit que $g(0)=1$.

			Avec l'expression donnée pour la fonction $g$, on a :\quad $g(0)=\np{0.5}\times0^2 + b\times0 + c=c$,

			donc $g(0) = 1 \iff c=1$.

			\item La dérivée de $g$ est {$g'(x)=x + b$}.

			Donc le nombre dérivé en $0$ est $b$.

			Puisque $f$ et $g$ ont même tangente, on a {$g'(0)=f'(0)=-\dfrac12$}, donc {$b=-\dfrac12$.}
		\end{enumerate}
\end{document}
