% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications : v2 : mise à jour du préambule
% Remerciements :
% version 2 : 2026-07-06
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Antilles, Guyane}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center} \Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale avec spécialité -- Antilles, Guyane -- 12 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}\\
Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.


\subsection*{Question 1}
Une forme factorisée de l'expression $9x^2 - \dfrac{1}{9}$ est

\begin{tblr}{@{}XX}
	\textbf{A.}\quad $\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)^2$ &
	\textbf{B.}\quad $\left(3x - \dfrac{1}{3}\right)\left(3x + \dfrac{1}{3}\right)$ \\
	\textbf{C.}\quad $\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)^2$ &
	\textbf{D.}\quad $\left(9x - \dfrac{1}{3}\right)\left(9x + \dfrac{1}{3}\right)$
\end{tblr}

\subsection*{Question 2}
On considère la relation $E = \dfrac{x - y}{zt}$.

Lorsque $x = 3$, $y = -2$, $z = -3$, $t = -4$, on a :

\begin{tblr}{@{}XXXX}
	\textbf{A.}\quad $E = \dfrac{1}{12}$ &
	\textbf{B.}\quad $E = -\dfrac{5}{12}$ &
	\textbf{C.}\quad $E = \dfrac{5}{12}$ &
	\textbf{D.} $E = -\dfrac{1}{12}$
\end{tblr}

\subsection*{Question 3}
\begin{minipage}{0.42\linewidth}
	On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5 ; 9]$.

	On a représenté ci-contre sa courbe représentative dans un repère orthogonal.

	On note \quad $A = \dfrac{f(-4)}{f(-1)}$\,.

	Laquelle de ces propositions est vraie ?
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=5mm,y=5mm,baseline={(current bounding box.center)},> = stealth]
	\draw[gray!45,very thin,xstep=1,ystep=1] (-5.5,-3.2) grid (9.5,3.4);
	\draw[thick,->] (-5.5,0)--(10,0);
	\draw[thick,->] (0,-3.2)--(0,4);
	\foreach \x in {-5,...,-1,1,2,...,9}
	{\draw (\x,1.5pt)--(\x,-1.5pt) node[below,font=\footnotesize]{\np{\x}};}
	\foreach \y in {-3,-2,-1,1,2,3}{\draw (1.5pt,\y)--(-1.5pt,\y) node[left,font=\footnotesize]{\np{\y}};}
	\node[below,font=\footnotesize] at (-4pt,-1.5pt) {0};
	\draw[red,thick,smooth, mark=x] plot coordinates {(-5,3) (-3,0) (-1,-2) (2,0) (4,2) (6,0) (9,-2)};
\end{tikzpicture}

\begin{tblr}{@{}XX}
	\textbf{A.}\quad $A = 0$ & \textbf{B.}\quad $A < 0$ \\[0.5em]
	\textbf{C.}\quad $A > 0$ & \textbf{D.}\quad On ne peut pas connaître le signe de $A$.
\end{tblr}

\subsection*{Question 4}


On considère l'inéquation sur $\R$
\[
(I) \quad -2x + 2 \geqslant 0.
\]
On note $S$ l'ensemble des solutions de l'inéquation $(I)$.

On peut affirmer que

\begin{tblr}{@{}XXXX}
	\textbf{A.}\quad $S = \left]-\infty ; 1\right]$ &
	\textbf{B.}\quad $S = \left[1 ; +\infty\right[$ &
	\textbf{C.}\quad $S = \left[-1 ; +\infty\right[$ &
	\textbf{D.}\quad $S = \left]-\infty ; -1\right]$
\end{tblr}

\subsection*{Question 5}
On considère ci-dessous le tableau de signes d'une fonction $f$ définie sur $\R$.

\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={|c|*{6}{X[c,8mm]}|},row{2}={8mm}}
		\hline
		$x$ & $-\infty$ & & $-3$ & & $2$ & $+\infty$ \\
		\hline
		Signe de $f(x)$ & & $+$ & $0$ & $-$ & $0$ & $+$ \\
		\hline
	\end{tblr}
\end{center}

Une expression possible de $f(x)$ est

\begin{tblr}{@{}XX}
	\textbf{A.}\quad $f(x) = (x+3)(2-x)$ & \textbf{B.}\quad $f(x) = (x+2)(x-3)$ \\
	\textbf{C.}\quad $f(x) = (x-2)(x+3)$ & \textbf{D.}\quad $f(x) = (x+2)(3+x)$
\end{tblr}

\subsection*{Question 6}
Le prix d'un article baisse de 50\,\% puis augmente de 40\,\%.

Ces deux variations sont équivalentes à

\begin{tblr}{@{}XX}
	\textbf{A.}\quad une baisse de 0\,\% & \textbf{B.}\quad une baisse de 70\,\% \\
	\textbf{C.}\quad une baisse de 10\,\% & \textbf{D.}\quad une baisse de 30\,\%
\end{tblr}



\subsection*{Question 7}


On s'intéresse aux adhérents d'une association.

On sait que 40\,\% d'entre eux sont des hommes et qu'il y a 30 femmes.

Le nombre total d'adhérents de cette association est égal à

\begin{tblr}{@{}XXXX}
	\textbf{A.}\quad 70 & \textbf{B.}\quad 40 & \textbf{C.}\quad 75 & \textbf{D.}\quad 50
\end{tblr}

\subsection*{Question 8}
On considère un réel $a$ quelconque, différent de 0.

Une seule de ces égalités est vraie. Laquelle ?

\begin{tblr}{@{}XXXX}
	\textbf{A.}\quad $\dfrac{a^8}{a^{-5}} = a^3$ &
	\textbf{B.}\quad $\dfrac{a^{30}}{a^2} = a^{15}$ &
	\textbf{C.}\quad $\left(a^{10}\right)^3 = a^{13}$ &
	\textbf{D.}\quad $\dfrac{a \times a^5}{a^2} = a^4$
\end{tblr}

\newpage

\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

On s'intéresse à l'évolution de la valeur d'une voiture.

En janvier 2025, la valeur de la voiture est égale à 10\,000 euros.

On suppose qu'ensuite, chaque année, la valeur diminue de 10\,\%.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la valeur de la voiture, en euros, au mois de janvier de l'année $2025 + n$.

On a donc $u_0 = \np{10000}$.

\begin{enumerate}
	\item \begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur de la voiture en janvier 2026.
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, on a
		\[u_{n+1} = 0,9\, u_n.\]
	\end{enumerate}

	\item En déduire la nature de la suite $(u_n)$ et préciser sa raison.

	\item \begin{minipage}[t]{0.75\linewidth}
		\begin{enumerate}
			\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer le terme $u_n$ en fonction de $n$.

			\item En déduire la valeur de la voiture en janvier 2030.

			\emph{On pourra s'aider de l'aide au calcul ci-contre.}
		\end{enumerate}
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tblr}[t]{|X[3.5cm]|}\hline
		Aide au calcul\\
		$0,9^4 = 0,6561$\\
		$0,9^5 = 0,59049$\\
		$0,9^6 = 0,531441$\\ \hline
	\end{tblr}

	\item \begin{minipage}[t]{0.62\linewidth}
		On considère le programme Python ci-contre.

		Recopier et compléter ce programme afin qu'il renvoie, après exécution, la plus petite valeur de $n$ telle que \quad$u_n < A$,\quad où $A$ est un nombre réel strictement positif.
	\end{minipage}\hfill
	\begin{minipage}[t]{5.5cm}
		\begin{lstlisting}[style=python,numbers=none,xleftmargin=0mm,xrightmargin=0mm]
def seuil(A) :
	N = 0
	U = 10000
	while ......... :
		U = .......
		N = N+1
	return N
\end{lstlisting}
	\end{minipage}

	\item L'exécution de ce programme, pour plusieurs valeurs de $A$, donne les résultats suivants :

\begin{lstlisting}[style=python,xleftmargin=5cm,xrightmargin=5cm,numbers=none]
>>> seuil(7500)
  3
>>> seuil(5000)
  7
>>> seuil(2500)
  14
>>> seuil(2000)
  16
\end{lstlisting}

	\begin{enumerate}
		\item Interpréter, dans le contexte de l'exercice, le résultat obtenu lors de l'appel \texttt{seuil(5000)}.

		\item Déterminer, en expliquant la démarche, l'année à partir de laquelle la voiture aura perdu plus des trois quarts de sa valeur initiale.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (5 points)}

On s'intéresse à l'ensemble des spectateurs d'un cinéma.

On désigne par le terme \emph{JEUNE} un spectateur âgé de 18 ans ou moins.

On désigne par le terme \emph{ABONNÉ} un spectateur ayant souscrit un abonnement à ce cinéma.

Une étude a permis d'établir les résultats suivants :

\begin{itemize}[label*=\textbullet~]
	\item 60\,\% des spectateurs sont abonnés ;
	\item parmi les spectateurs abonnés, 40\,\% sont jeunes ;
	\item parmi les spectateurs n'étant pas abonnés, 20\,\% sont jeunes.
\end{itemize}

On interroge au hasard un spectateur et on considère les événements suivants :
\begin{itemize}[label*=\textbullet~]
	\item $A$ : \og \emph{le spectateur est abonné} \fg{} ;
	\item $J$ : \og \emph{le spectateur est jeune} \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Reproduire et compléter l'arbre pondéré ci-dessous décrivant la situation.

	% Arbre pondéré (tikz)
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[yscale=-1,
			grow = right,
			level distance=2.5cm,
			level 1/.style={sibling distance=1.6cm},
			level 2/.style={sibling distance=0.8cm},
			edge from parent/.style={draw},
			edge from parent path=
			{(\tikzparentnode.east)--(\tikzchildnode.west)},
			every node/.style={fill=white}]
		\node {}
		child {
				node {$A$}
					child { node {$J$} edge from parent node {\dots} }
					child { node {$\overline{J}$} edge from parent node {\dots} }
				edge from parent node {\dots}
				}
		child {
				node {$\overline{A}$}
					child { node {$J$} edge from parent node {\dots} }
					child { node {$\overline{J}$} edge from parent node {\dots} }
				edge from parent node {\dots}
				};
		\end{tikzpicture}
%		%PSTricks
%		\pstree[treemode=R,levelsep=3cm]{\TR{}}
%		{\pstree{\TR{$A~$~}\taput{\ldots}}
%			{\TR{$J$} \taput{\ldots}
%				\TR{$\overline{J}$} \tbput{\ldots}
%			}
%			\pstree{\TR{$\overline{A~}~$}\taput{\ldots}}
%			{\TR{$J$} \taput{\ldots}
%				\TR{$\overline{J}$} \tbput{\ldots}
%			}
%
%		}
%		%fin PSTricks
	\end{center}

	\item Calculer la probabilité $P(A \cap J)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.

	\item Démontrer que $P(J) = 0,32$.

	\item On considère l'affirmation suivante :

	\begin{quote}
		« \textit{Si on interroge un spectateur jeune au hasard, il y a plus d'une chance sur deux qu'il soit abonné.} »
	\end{quote}

	Cette affirmation est-elle exacte ? Justifier.

	\item Le prix d'une place de cinéma est fixé selon les règles suivantes :
	\begin{itemize}[label*=\textbullet~]
		\item un spectateur non abonné paie sa place 5 euros, quel que soit son âge ;
		\item un spectateur abonné et n'étant pas jeune paie sa place 2 euros ;
		\item un spectateur abonné et jeune ne paie pas sa place : c'est gratuit.
	\end{itemize}

	On note $X$ la variable aléatoire qui, à un spectateur choisi au hasard, donne le prix qu'il doit payer pour sa place de cinéma.

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la loi de probabilité de la variable aléatoire $X$.
		\item Calculer l'espérance de la variable aléatoire $X$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 (4 points)}

Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.

Les deux questions sont indépendantes.

\begin{enumerate}
	\item Dans le plan rapporté à un repère orthonormé, on considère les points
	\[\mathrm{A}(2 ; 0), \quad \mathrm{B}(3 ; 2) \quad \text{et} \quad \mathrm{C}(0 ; 4).\]

	\textbf{Affirmation :} Les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.

	\item On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
	\[f(x) = (3x - 1)\e^x.\]

	On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal du plan.

	On admet que la fonction $f$ est dérivable sur $\R$.

	\begin{enumerate}
		\item \textbf{Affirmation :} la fonction $f$ est croissante sur $\R$.
		\item \textbf{Affirmation :} La tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ a pour équation
		\[y = 2x - 1.\]
	\end{enumerate}
	\end{enumerate}
\end{document}
