% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Denis Vergès
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ : François Kriegk
% figures pstricks : François Hache
% modifications : v2 : mise à jour du préambule, ajout de versions tikz, v3 : remplacement d'un \frac par \dfrac question 7
% Remerciements :
% version 3 : 2026-07-18
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{15 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Asie -- 15 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}
	On considère la fonction $f$ définie sur $[-5 ; 4]$ représentée dans le repère ci-dessous :

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=9mm,y=9mm,>=stealth,scale=0.9]
			\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt,dash pattern=on 1.5mm off 1.5mm, dash phase=0.75mm] (-5.5,-5.5) grid (4.5,6.5);
			\draw[->,line width=1pt] (-5.5,0) -- (4.5,0) node[right] {};
			\draw[->,line width=1pt] (0,-5.5) -- (0,6.5) node[above] {};
			\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {{\footnotesize \np{\x}}};
			\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {{\footnotesize \np{\y}}};
			\draw (-2pt,-2pt) node[below left]{{\footnotesize 0}};
			\draw[line width=1.2pt,red]
			(-5,-2) .. controls (-4.5,-1) and (-4.5,-1) ..
			(-4,2)  .. controls (-3.5,5) and (-3,6.5) ..
			(-2,5)  .. controls (-1,3.5) and (-0.5,3.5) ..
			(0,3)   .. controls (0.5,2.5) and (0.8,1.8) ..
			(1,1)   .. controls (1.5,-1) and (1.75,-2) ..
			(2,-3)  .. controls (2.1,-3.4) and (2.5,-5.5) ..
			(3,-4)  .. controls (3.5,-2.5) and (3.5,-1) ..(4,2);
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%\def\xmin{-5.5}   \def\xmax{4.6} \def\ymin{-5.3}   \def\ymax{6.3}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-6,-6)(5,7)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psecurve[linecolor=blue,linewidth=1.2pt](-6,-6)(-5,-2)(-4.7,-1)(-4,2)(-3,5.2)(-2.7,5.5)(-1,3.7)(0,3)(1,1)(1.5,-1)(2,-3)(2.7,-4.5)(3,-4)(3.6,-1)(4,2)(5,8)
%%%% corrigé
%%%\psline[linecolor=red](-5,-1)(4,-1)
%%%\psdots[linecolor=red,dotscale=1.2](-4.7,-1)(1.5,-1)(3.6,-1)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

	Sur $[-5 ; 4]$, l'équation $f(x)=-1$ admet :

	\medskip

	\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
		\textbf{A.}\quad zéro solution.&
		\textbf{B.}\hfill une seule solution. &
		\textbf{C.}\quad deux solutions. &
		\textbf{D.}\quad trois solutions. \\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 2}

Multiplier un nombre par 0,6 revient à le diminuer de :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 4\,\% &
	\textbf{B.}\quad 6\,\% &
	\textbf{C.}\quad 40\,\% &
	\textbf{D.}\quad 60\,\% \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 3}

L'équation réduite de la droite représentée dans le repère ci-dessous est :

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[>=stealth]
		\draw[step=0.2,gray!55,line width=0.3pt] (-0.9,-1.5) grid (8.4,3.5);
		\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-0.9,-1.5) grid (8.4,3.5);
		\draw[line width=1pt] (-1,0) -- (8.5,0);
		\draw[line width=1pt] (0,-1.5) -- (0,3.5);
		\foreach \x in {1,...,8} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
		\foreach \y in {-1,1,2,3} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \y};
		\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0} ;
		\draw[line width=1.2pt, red] (-0.9,2.3) -- (8.4,-0.8);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%\def\xmin{-0.9}   \def\xmax{8.5} \def\ymin{-1.5}   \def\ymax {3.5}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)\psgrid[yunit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray]
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{x neg 3 div 2 add}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $y=-2x+6$ &
	\textbf{B.}\quad $y = 6x + 2$ &
	\textbf{C.}\quad $y = -\dfrac{1}{3}x + 2$ &
	\textbf{D.}\quad $y = -3x + 2$\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 4}

Un club de sport possède 200 adhérents répartis comme l'indique le tableau ci-dessous :

\begin{center}
	\begin{tblr}{hlines, vlines,colspec={X[c,2cm]X[c,3cm]X[c,3cm]X[c,2cm]}}
		& Volley-ball & Basket-ball & Total \\
		Enfant & 80 & 50 & 130 \\
		Adulte & 30 & 40 & 70 \\
		Total & 110 & 90 & 200 \\
	\end{tblr}
\end{center}

On choisit au hasard un adhérent du club.

On note les évènements suivants :
\begin{itemize}[left=5mm,label={}]
	\item $E$ : \og La personne choisie est un enfant. \fg
	\item $V$ : \og La personne choisie pratique le volley-ball. \fg
\end{itemize}

On note $P_E(V)$ la probabilité que la personne choisie pratique le volley-ball sachant que c'est un enfant.

La probabilité $P_E(V)$ est égale à :
\medskip

\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $\dfrac{8}{13}$ &
	\textbf{B.}\quad $\dfrac{8}{11}$ &
	\textbf{C.}\quad $\dfrac{8}{20}$ &
	\textbf{D.}\quad $\dfrac{11}{13}$ \\
\end{tblr}

\medskip
\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}
	\subsection*{Question 5}

	Soient $A$ et $B$ deux évènements.

	En s'appuyant sur l'arbre pondéré ci-dessous, calculer $P(B)$.
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=2.6cm, y=0.8cm,baseline={(B1.base)}]
	% noeuds
	\node (root) at (0,0) {};
	\node (A) at (1,1) {$A$};
	\node (Abar) at (1,-1) {$\overline{A}$};
	\node (B1) at (2,1.5) {$B$};
	\node (B1b) at (2,0.5) {$\overline{B}$};
	\node (B2) at (2,-0.5) {$B$};
	\node (B2b) at (2,-1.5) {$\overline{B}$};
	% branches niveau 1
	\draw (root.east) -- (A) node[pos=0.5,above] {0,4};
	\draw (root.east) -- (Abar) node[pos=0.5,below] {0,6};
	% branches niveau 2
	\draw (A.east) -- (B1) node[pos=0.5,above] {0,3};
	\draw (A.east) -- (B1b) node[pos=0.5,below] {0,7};
	\draw (Abar.east) -- (B2) node[pos=0.5,above] {0,1};
	\draw (Abar.east) -- (B2b) node[pos=0.5,below] {0,9};
\end{tikzpicture}
\hfill~

%\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=4pt,nrot=:U,levelsep=2cm,treesep=0.6cm]{\TR{}}
% {
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}}
% 	  { 
% 		  \TR{$B$}\naput{$0,3$}
% 		  \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,7$}	   
% 	  }
% 	\pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{A}$}\nbput{$0,6$}}
% 	  {
% 		  \TR{$B$}\naput{$0,1$}
%          \TR{$\overline{B}$}\nbput{$0,9$} 
%     }
%}

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 0,4 &
	\textbf{B.}\quad 0,18 &
	\textbf{C.}\quad 0,72 &
	\textbf{D.}\quad 0,03 \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 6}

\begin{minipage}[t]{0.45\linewidth}
	On a représenté une fonction affine $f$ et une fonction polynôme du second degré $g$ définies sur $\mathbb{R}$.

	\medskip

	L'ensemble $S$ des solutions de l'inéquation
	\quad$f(x) < g(x)$\quad
	est :

	\medskip

	\begin{tblr}{colspec = {@{}*{1}{X}}}
		\textbf{A.}\quad $S=\,]-2 ; 2[$ \\
		\textbf{B.}\quad $S=\,]-\infty ; -2[\,\cup\,]2 ; +\infty[$ \\
		\textbf{C.}\quad $S=\,]-1 ; 0,5[\,\cup\,]3 ; +\infty[$ \\
		\textbf{D.}\quad $S=\,]-1 ; 3[$ \\
	\end{tblr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=1.2cm,y=1.2cm,baseline={(current bounding box.north)}]
	\draw[step=0.5,gray,line width = 0.5pt,dotted] (-2.75,-2.25) grid (4.75,3.75);
	\draw[line width = 1pt] (-2.75,0) -- (4.75,0)
	(0,-2.25) -- (0,3.75);
	\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {{\footnotesize \np{\x}}};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3} \draw (2pt,\y) -- (2pt,\y) node[left] {{\footnotesize \np{\y}}};
	\draw (-2pt,-2pt)node[below left] {\footnotesize 0};
	\clip (-2.75,-2.25) rectangle (4.75,3.75);
	\draw[line width=1.2pt,red] (-3,3.5) -- (3,-2.5);
	\draw[line width=1.2pt,teal] plot[smooth,domain=-3:4.5] (\x,{0.5*(\x-1)*(\x-1)-2});
\end{tikzpicture}

%\begin{center}
%\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%\def\xmin{-2.8}   \def\xmax{4.8} \def\ymin{-2.4}   \def\ymax {4.7}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=0.4cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-6,-5)(10,10)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%%\psset{linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=pink!50}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{0.5 x 1 sub dup mul mul 2 sub}
%\psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{x neg 0.5 add}
%%%%%% corrigé
%%%\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-2,2.5)(-2,0)
%%%\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2,-1.5)(2,0)
%%%\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-[}(-3,0)(-2,0)
%%%\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{]-}(2,0)(5,0)
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\subsection*{Question 7}

Pour $y$ réel non nul, on définit $x$ par :\quad$  x = 3 + \dfrac{5}{y}$.

On peut affirmer que :

\medskip

\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $y = \dfrac{x}{8}$     &
	\textbf{B.}\quad $y = \dfrac{x - 3}{5}$ &
	\textbf{C.}\quad $y = \dfrac{8}{x}$     &
	\textbf{D.}\quad $y = \dfrac{5}{x - 3}$\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 8}

On considère la série statistique suivante :

\begin{center}
	\begin{tblr}{|l|*{5}{X[c,12mm]|}}
		\hline
		Valeur & 0 & 10 & 20 & 30 & 100 \\
		\hline
		Effectif & 3 & 1 & 2 & 2 & 2 \\
		\hline
	\end{tblr}
\end{center}

On note $\textit{Me}$ sa médiane et $\overline{x}$ sa moyenne.

On peut affirmer que :

\medskip

\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $\textit{Me} = \overline{x}$ &
	\textbf{B.}\quad $\textit{Me} > \overline{x}$ &
	\textbf{C.}\quad $\textit{Me} < \overline{x}$ &
	\textbf{D.}\quad $\textit{Me} > 30 $         \\
\end{tblr}

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (7 points)}
Un lac qui alimente une région en électricité voit son niveau d'eau baisser depuis le début des années 2000.

En 2020, le niveau du lac était d'environ \np{1100} mètres au-dessus du niveau de la mer.

En dessous de \np{1020} mètres, le niveau du lac est insuffisant pour permettre la production d'énergie hydroélectrique.

\subsection*{Partie A -- Étude d'un modèle discret}

Dans cette partie, on estime que le niveau du lac, mesuré au-dessus du niveau de la mer, baisse de 1\,\% tous les ans.

On définit la suite $(u_n)$ telle que $u_n$ représente le niveau du lac en mètres $n$ années après 2020, c'est-à-dire en $2020+n$.

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	On a alors $u_0 = \np{1100}$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et interpréter ce résultat.
	\end{enumerate}
\end{minipage}\hfill
\fbox{
	\begin{minipage}{0.25\textwidth}
		\textbf{Aide aux calculs :}\\[0.5em]
		$\np{1100} \times 0{,}99 = \np{1089}$\\
		$\np{1100} \times 0{,}01 = 11$\\
		$\np{1100} \times 0{,}9 = 990$
	\end{minipage}
}
\begin{enumerate}[start=2]
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$.

		\item En déduire la nature de la suite $(u_n)$.

		On précisera sa raison.

		\item Pour tout entier naturel $n$, en déduire une expression de $u_n$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}

	\item Écrire le calcul qui permet d'estimer le niveau du lac en 2028.

	On ne demande pas d'effectuer ce calcul.

	\item Recopier et compléter le programme écrit en langage Python ci-dessous afin qu'il affiche le nombre d'années après 2020 à partir duquel le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.

	\begin{lstlisting}[style=python,xleftmargin=4.5cm,xrightmargin=4.5cm,numbers=none]
u = 1100
n = 0
while ........................ :
	n = n + 1
	u = ........................
print(n)
		\end{lstlisting}
\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{Partie B -- Étude d'un modèle continu}

Dans cette partie, l'évolution du niveau du lac est modélisée par une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par :
\[ f(t) = \np{1050}\,\mathrm{e}^{-0,01t} + 50 \]

où $f(t)$ est le niveau du lac en mètres et $t$ le temps écoulé en années, depuis 2020.

\begin{enumerate}
	\item Le modèle proposé est-il cohérent avec le niveau du lac en 2020 ?

	Justifier votre réponse.

	\item Montrer que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0 ; +\infty[$, $f'(t) = -10,5\,\mathrm{e}^{-0,01t}$.

	\item En déduire le sens de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

	Justifier.

	\item On donne ci-dessous $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=15mm, y=0.75mm,>=stealth,scale=0.9]%mettre scale=1 pour les dimensions du sujet d'origine
			\draw[xstep=0.5,ystep=10,gray!75,line width=0.5pt] (0,1000) grid (9.75,1119);
			\draw[->,line width=1pt] (0,1000) -- (0,1120);
			\draw[->,line width=1pt] (0,1000) -- (9.75,1000);
			\foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
			\draw[shift={(\x,1000)}] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below] {\np{\x}};
			\foreach \y in {1000,1010,...,1110}
			\draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\np{\y}};
			\draw[red, line width=1.2pt] plot[domain=0:9.75,samples=50] (\x,{(1050*exp(-0.01*\x)+50)});
			\node[red] at (1.75,1075) {$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

%%% pstricks
%\begin{center}
%\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.07cm,arrowsize=3pt 3,comma}
%\def\xmin{-0.7}   \def\xmax{9.7} \def\ymin{-9}   \def\ymax{120}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=0.7cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-0.5,-1)(20,13)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, labels=x, showorigin=false, Dy=10]{->}(0,0)(-0.3,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{\xmax}{1050 2.7183 -0.01 x mul exp mul 950 sub}
%\uput[dl](2,80){\blue $\mathcal{C}_f$}
%\multido{\i=0+10,\I=1000+10}{12}{\uput*[l](0,\i){\footnotesize\I}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

	Lire, avec la précision permise par le graphique, l'année à partir de laquelle le niveau du lac sera insuffisant pour produire de l'énergie hydroélectrique.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (7 points)}

On se place dans un repère orthonormé \Oij pour l'ensemble de l'exercice.

\subsection*{Partie A -- Étude d'un cercle}
\emph{Cette partie est indépendante des parties B et C qui suivent.}

On considère le cercle $\mathcal{C}$ de centre A$(3 ; 1)$ et de rayon $r = \dfrac{\sqrt{37}}{2}$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[>=stealth]
		\draw[step=1,gray!75,line width = 0.5pt] (-1.2,-2.5) grid (6.5,4.5);
		\draw[->,line width=1pt] (-1.3,0) -- (7.3,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,-2.3) -- (0,4.3);
		\draw[<->,line width=1.2pt] (1,0) -- (0,0) node[pos=0.5,below]{$\vect{\imath}$}
		--(0,1)node[pos=0.5,left]{$\vect{\jmath}$};
		\node[below left] at (-2pt,-2pt) {O};
		\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\np{\x}};
		\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4} \draw (2pt,\y) -- (2pt,\y) node[left] {\np{\y}};
		\draw[line width=1.2pt, red] (3,1) circle (3.041);
		\draw[shift={(3,1)}] (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt)
		(2pt,2pt)--(-2pt,-2pt)node[below left] {A};
		\draw[shift={(6,0.5)}] (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt)
		(2pt,2pt)--(-2pt,-2pt)node[right] {B};
		\node[red] at (5.35,3.35) {$\mathcal{C}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%\def\xmin{-1.2}   \def\xmax{6.9} \def\ymin{-2.5}   \def\ymax{4.5}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-2,-3)(7,5)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\pscircle[linecolor=blue,linewidth=1.2pt](3,1){3.04}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](3,1)(6,0.5)
%\uput[dl](3,1){A} \uput[r](6,0.5){B} \uput[ur](5.2,3.2){\blue $\mathcal{C}$} 
%\end{pspicture*}
%\end{center}


\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que le cercle $\mathcal{C}$ admet pour équation :
		\[ (x-3)^2 + (y-1)^2 = \frac{37}{4}. \]

		\item Démontrer que le point B$(6 ; 0,5)$ appartient au cercle $\mathcal{C}$.
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\fbox{
	\begin{minipage}{0.25\textwidth}
		\textbf{Aide aux calculs :}\\[0.5em]
		$9{,}25 = \dfrac{37}{4}$\\[0.5em]
		$8{,}75 = \dfrac{35}{4}$\\[0.5em]
		$0{,}5^2 = 0{,}25$
	\end{minipage}
}

\vfill
\begin{center}
	\textbf{TOURNER LA PAGE}
\end{center}

\vfill
~

\newpage

Pour la suite de l'exercice, on considère la figure ci-dessous et les données suivantes

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x =11mm, y = 11mm,>=stealth]
		\draw[step=1,gray!75,line width = 0.5pt] (-1.3,-1.3) grid (10.3,3.9);
		\draw[->,line width=1pt] (-1.3,0) -- (10.3,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,-1.3) -- (0,3.9);
		\draw[<->,line width=1.2pt] (1,0) -- (0,0) node[pos=0.5,below]{$\vect{\imath}$}
		--(0,1)node[pos=0.5,left]{$\vect{\jmath}$};
		\node[below left] at (-2pt,-2pt) {O};
		\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\np{\x}};
		\foreach \y in {-1,1,2,3} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\np{\y}};
		\clip (-1.3,-1.3) rectangle (10.3,3.9);
		\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=0.5:10.5,samples=60] (\x,{3/\x});
		\draw[shift={(3,1)}] (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt)
		(2pt,2pt)--(-2pt,-2pt)node[below left] {A};
		\draw[shift={(6,0.5)}] (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt)
		(-2pt,-2pt)--(2pt,2pt)node[above right] {B};
		\draw[shift={(4,2)}] (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt)
		(-2pt,-2pt)--(2pt,2pt)node[above right] {D};
		\node at (8.5,0.75) {$\mathcal{H}$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%\def\xmin{-1.2}   \def\xmax{10.5} \def\ymin{-1.5}   \def\ymax {4}
%\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-2,-2)(11,4)
%\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\uput[dl](0,0){O}
%\psaxes[linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1)
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
%\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{0.1}{\xmax}{3 x div}
%\uput[u](8.5,0.4){\blue $\mathcal{H}$}
%\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](3,1)(6,0.5)(4,2)
%\uput[dl](3,1){A} \uput[ur](4,2){D} \uput[ur](6,0.5){B}
%\psplot[linecolor=red]{0.5}{4.5}{x neg 4 add}
%%%% corrigé
%%%\psdots[dotstyle=x,dotscale=1.5](1,3) \uput[ur](1,3){M}
%%%\psline[linecolor=red](3,1)(4,2)
%%%\rput(3,1){\rotatebox{45}{\psframe[linecolor=red](0,0)(0.3,0.3)}}
%\end{pspicture*}
%\end{center}

\begin{itemize}
	\item l'équation de la courbe $\mathcal{H}$ est : \quad $y = \dfrac{3}{x}$ \quad pour $x$ strictement positif ;

	\item les coordonnées des points sont : A$(3 ; 1)$, B$(6 ; 0,5)$ et D$(4 ; 2)$.
\end{itemize}

On considère un point M mobile sur la courbe $\mathcal{H}$, d'abscisse $x>0$.

L'objectif des deux parties suivantes est de démontrer qu'il n'existe qu'un seul point $M$ tel que l'angle $\widehat{\mathrm{DAM}}$ soit droit.

\subsection*{Partie B -- Étude d'un cas particulier}

\begin{enumerate}
	\item Justifier que le point B appartient à la courbe $\mathcal{H}$.
	\item \begin{enumerate}
		\item Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vectt{AD}$ et $\vectt{AB}$.

		\item En déduire le produit scalaire $\vectt{AD}\cdot\vectt{AB}$.

		\item L'angle $\widehat{\mathrm{DAB}}$ est-il droit ?

		Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\subsection*{Partie C -- Étude du cas général}

\begin{enumerate}
	\item Résoudre dans $\R$ l'équation \quad $x^2 - 4x + 3 = 0$.
	\item On rappelle que M est un point sur la courbe $\mathcal{H}$ d'abscisse $x>0$.

	Démontrer qu'il n'existe qu'un seul point M tel que l'angle $\widehat{\mathrm{DAM}}$ est droit.
\end{enumerate}

\vspace{1em}
\emph{Toute trace de recherche pourra être valorisée.}
\end{document}
