% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : H Proton % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Première, Série avec spécialité}, pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} \begin{document} % Réglage entête, pied de page \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Correction} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{15 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %% Titre \begin{center}\Large \bfseries \decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt] Voie générale -- avec spécialité -- Asie -- 15 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Corrigé \end{center} \section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)\hfill~} \subsection*{Question 1} \vspace*{-5mm} \begin{minipage}{0.55\linewidth} La représentation graphique de $f$ a trois points d'intersection avec la droite d'équation {$y=-1$}, l'équation {$f(x)=-1$} a donc trois solutions. \textbf{réponse D}. \end{minipage} \hfill \begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,>=stealth,scale=0.9,baseline={(current bounding box.center)}] \draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt,dash pattern=on 1.mm off 1mm, dash phase=0.5mm] (-5.5,-5.5) grid (4.5,6.5); \draw[->,line width=1pt] (-5.5,0) -- (4.5,0) node[right] {}; \draw[->,line width=1pt] (0,-5.5) -- (0,6.5) node[above] {}; \foreach \x in {1} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {{\footnotesize \np{\x}}}; \foreach \y in {1} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {{\footnotesize \np{\y}}}; \draw (-2pt,-2pt) node[below left]{{\footnotesize 0}}; \draw[line width=1.2pt,red] (-5,-2) .. controls (-4.5,-1) and (-4.5,-1) .. (-4,2) .. controls (-3.5,5) and (-3,6.5) .. (-2,5) .. controls (-1,3.5) and (-0.5,3.5) .. (0,3) .. controls (0.5,2.5) and (0.8,1.8) .. (1,1) .. controls (1.5,-1) and (1.75,-2) .. (2,-3) .. controls (2.1,-3.4) and (2.5,-5.5) .. (3,-4) .. controls (3.5,-2.5) and (3.5,-1) ..(4,2); \fill[teal] (-4.55,-1) circle (2pt) ; \fill[teal] (1.5,-1) circle (2pt) ; \fill[teal] (3.6,-1) circle (2pt) ; \draw[teal, line width=1pt] (-5.5,-1)--(4.5,-1)node[below right,pos=0.2]{$y = -1$} ; \end{tikzpicture} % \psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3,comma} % \def\xmin{-5.5} \def\xmax{4.6} \def\ymin{-5.3} \def\ymax{6.3} % \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-6,-6)(5,7) % \psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psecurve(-6,-6)(-5,-2)(-4.7,-1)(-4,2)(-3,5.2)(-2.7,5.5)(-1,3.7)(0,3)(1,1)(1.5,-1)(2,-3)(2.7,-4.5)(3,-4)(3.6,-1)(4,2)(5,8) % %%% corrigé % \psline[linecolor=red](-5,-1)(4,-1) % \psdots[linecolor=red,dotscale=1.2](-4.7,-1)(1.5,-1)(3.6,-1) % \end{pspicture*} \hfill~ \subsection*{Question 2} Multiplier par {$\np{0.6}=\dfrac{60}{100}=\dfrac{100-40}{100}$} revient bien à diminuer la quantité de départ de 40\,\%. \textbf{réponse C}. \subsection*{Question 3} La droite passe par les points {$(0;2)$} et {$(6;0)$}, donc son ordonnée à l'origine est $2$, et sa pente {$\dfrac{0-2}{6-0}=-\dfrac13$}. \textbf{réponse C}. \subsection*{Question 4} Il y a 130 enfants, dont 80 pratiquent le volley-ball, donc {$P_E(V)=\dfrac{80}{130}=\dfrac{8}{13}$}. \textbf{réponse A}. \subsection*{Question 5} $A$ et $\overline{A}$ partitionnent l'univers. D'après la loi des probabilités totales, on a : {$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=\np{0.4}\times\np{0.3}+\np{0.6}\times\np{0.1}=\np{0.12}+\np{0.06}=\np{0.18}$}. \textbf{réponse B}. \subsection*{Question 6} \begin{minipage}{0.55\linewidth} Comme on sait que $f$ est une fonction affine, elle est représentée par une droite, et comme $g$ est une fonction polynôme du second degré, elle est représentée par une parabole, ce qui permet d'identifier les fonctions et leurs courbes représentatives. La droite représentant $f$ est au-dessous de la parabole représentant $g$ pour des valeurs de $x$ inférieures à $-2$ ou bien supérieures à $2$, donc la solution de l'inéquation {$f(x)}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % %\psset{linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=pink!50} % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{0.5 x 1 sub dup mul mul 2 sub} % \psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{x neg 0.5 add} % %%% corrigé % \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-2,2.5)(-2,0) % \psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2,-1.5)(2,0) % \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-[}(-3,0)(-2,0) % \psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{]-}(2,0)(5,0) % \end{pspicture*} \hfill~ \subsection*{Question 7} $x$ ne peut pas être égal à $3$ car la fonction inverse ne s'annule jamais. {$\begin{aligned}[t] x=3+\dfrac5 y &\iff x-3=\dfrac 5 y\\ &\iff \dfrac{1}{x-3}=\dfrac y 5\\ &\iff y=\dfrac{5}{x-3} \end{aligned}$}. \textbf{réponse D}. \subsection*{Question 8} Additionnons les effectifs : \quad $3 + 1 + 2 + 2 + 2 = 10$. Il y a 10 valeurs, donc la médiane est entre les 5\up{e} et 6\up{e} valeurs, qui sont toutes deux 20 : en clair, $\textit{Me} =20 $. Ici, on n'a même pas besoin de calculer exactement la moyenne (mais on pourrait le faire, la division par 10 est simple). Toutes les valeurs sont positives et il y a deux valeurs qui valent 100, donc la somme de toutes les valeurs est strictement supérieure à 200, et la moyenne est donc strictement supérieure à 20. En conclusion, \quad {$\textit{Me} < \overline{x}$}. \textbf{réponse C}. \newpage \section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~} \section*{Exercice 1 (7 points)} \subsection*{Partie A -- Étude d'un modèle discret} \begin{enumerate} \item $1\%$ de \np{1100} c'est $11$, donc on a {$u_1=\np{1100}-11=\np{1089}$.} Cela signifie que, selon ce modèle, le niveau du lac sera de \np[~m]{1089} au-dessus du niveau de la mer en 2021. \item \begin{enumerate} \item Diminuer une quantité de 1\% revient à multiplier celle-ci par \np{0.99}. Puisque pour tout entier $n$, le niveau à l'année $n+1$ est 1\% en dessous de celui à l'année $n$, la relation de récurrence de la suite {$(u_n)$} est :\quad {$\forall n \in \N, u_{n+1}=\np{0.99}u_n$}. \item La relation de récurrence est multiplicative, {$(u_n)$} est donc une suite géométrique, de raison \np{0.99}. \item On connaît l'expression explicite d'une suite géométrique : \quad {$\forall n \in \N, u_n=\np{1100}\times\np{0.99}^n$}. \end{enumerate} \item Selon ce modèle, le niveau atteint en 2028 sera égal à {$\np{1100}\times\np{0.99}^8$}. \emph{Remarque :} Avec une calculatrice, on arrive à environ \np[~m]{1015} : ce lac risque d'être complètement asséché, puisque son niveau aura diminué de 85~m, ce qui est la profondeur maximale estimée d'un des plus grands lacs de retenue d'Europe, le barrage de Serre-Ponçon dans les Hautes-Alpes. \item Ici, on cherche donc l'indice $n$ du premier terme de la suite $\big(u_n\big)$ qui sera \og en dessous de \np[m]{1020}\fg{}. On va choisir d'interpréter \og en dessous de \np[m]{1020}\fg{} comme signifiant \og inférieur ou égal à \np[m]{1020} \fg{}. Le programme est initialisé avec les variables \texttt{u} et \texttt{n} contenant respectivement $u_0$ et $0$. Tant que le terme stocké dans la variable \texttt{u} n'est pas inférieur ou égal à \np{1020}, autrement dit, tant qu'il est strictement supérieur à \np{1020}, on va passer à l'indice suivant (c'est la ligne \texttt{n = n + 1}), et au terme suivant, en appliquant la relation de récurrence. Voici le programme complété : \begin{lstlisting}[style=python,xleftmargin=4.5cm,xrightmargin=4.5cm,numbers=none] u = 1100 n = 0 while u > 1020: n = n + 1 u = u*0.99 print(n) \end{lstlisting} \end{enumerate} \subsection*{Partie B -- Étude d'un modèle continu} \begin{enumerate} \item 2020 correspond à l'année 0, on calcule $f(0)$ : {$f(0) = \np{1050}\,\e^{-0,01\times0} + 50=\np{1050}\,\e^{0} + 50=\np{1050}\times1+50=\np{1100}$}. Ce modèle donne un niveau calculé à \np[~m]{1100} en 2020, ce qui est cohérent avec l'observation. \item On sait que la dérivée d'une fonction de la forme \quad {$x \longmapsto \e^{ax}$},\quad où $a$ est un réel est \quad {$x \longmapsto a\e^{ax}$}. On a donc, pour tout réel positif $t$ :\quad {$f'(t)=\np{1050}\times(-\np{0.01})\times \e^{-\np{0.01}t}+0$} soit, après simplification,\quad {$f'(t)=-\np{10.5}\,\e^{-\np{0.01}t}$}. \item La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, donc pour tout $t$ de l'intervalle {$[0;+\infty[$}, \quad {$f'(t)<0$}. La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur {$[0;+\infty[$.} \item La production est impossible si le niveau du lac s'abaisse en-dessous de \np[~m]{1020} d'altitude. C'est ce qui se produira, selon ce modèle, à partir de 2028 (année 8 sur le graphique). \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=15mm, y=0.75mm,>=stealth,scale=0.9]%mettre scale=1 pour les dimensions du sujet d'origine \draw[xstep=0.5,ystep=10,gray!75,line width=0.5pt] (0,1000) grid (9.75,1119); \draw[->,line width=1pt] (0,1000) -- (0,1120); \draw[->,line width=1pt] (0,1000) -- (9.75,1000); \foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \draw[shift={(\x,1000)}] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below] {\np{\x}}; \foreach \y in {1000,1010,...,1110} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\np{\y}}; \draw[red, line width=1.2pt] plot[domain=0:9.75,samples=50] (\x,{(1050*exp(-0.01*\x)+50)}); \node[red] at (1.75,1075) {$\mathcal{C}_f$}; \draw[line width=1.5pt,teal] (0,1020)--(9.75,1020) ; \draw[teal,shift={(8,1000)}] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below] {\textbf{\np{8}}}; \end{tikzpicture} % \psset{xunit=1.4cm,yunit=0.07cm,arrowsize=3pt 3,comma} % \def\xmin{-0.7} \def\xmax{9.7} \def\ymin{-9} \def\ymax{120} % \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psgrid[unit=0.7cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-0.5,-1)(20,13) % \psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, labels=x, showorigin=false, Dy=10]{->}(0,0)(-0.3,\ymin)(\xmax,\ymax) % \psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{\xmax}{1050 2.7183 -0.01 x mul exp mul 950 sub} % \multido{\i=0+10,\I=1000+10}{12}{\uput*[l](0,\i){\footnotesize\I}} % %%% corrigé % \psline[linecolor=red](0,20)(9.5,20) % \uput*{8pt}[d](8,0){\red\bf 8} % \end{pspicture*} \end{center} \end{enumerate} \needspace{10\baselineskip} \section*{Exercice 2 (7 points)} \subsection*{Partie A -- Étude d'un cercle} \begin{enumerate} \item Un point {M~$(x;y)$} appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si la distance AM (donc la norme du vecteur $\vectt{AM}$) est égale à {$\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.} Il faut donc que {$\left\|\overrightarrow{\text{AM}}\right\|^2=\left(\dfrac{\sqrt{37}}{2}\right)^2=\dfrac{37}{4}$} Les coordonnées de {$\vectt{AM}$} sont {$\left(\begin{array}{c}x-3\\ y-1\end{array}\right)$} et donc {$\left\|\overrightarrow{\text{AM}}\right\|^2=(x-3)^2+(y-1)^2$.} Une équation cartésienne du cercle {$\mathcal{C}$} est donc {$(x-3)^2+(y-1)^2=\dfrac{37}{4}$.} \item On vérifie si les coordonnées de B vérifient cette équation :\quad {$(6-3)^2+(\np{0.5}-1)^2=3^2+(-\np{0.5})^2=9+\np{0.25}=\np{9.25}$}. Or \quad {$\np{9.25}=\dfrac{37}{4}$}, \quad donc B appartient à {$\mathcal{C}$.} \end{enumerate} \subsection*{Partie B -- Étude d'un cas particulier} \begin{enumerate} \item L'équation de {$\mathcal{H}$} est {$y=\dfrac 3 x$}, donc pour {$x=6$}, on obtient {$y=\dfrac 3 6=\np{0.5}$}, qui est bien l'ordonnée de B, qui appartient donc à {$\mathcal{H}$.} \item \begin{enumerate} \item Les coordonnées de {$\vectt{AD}$} sont {$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$}, et celles de {$\vectt{AB}$} sont {$\left(\begin{array}{c}3\\ -\np{0.5}\end{array}\right)$.} \item On a donc {$\vectt{AD}\cdot\vectt{AB}=1\times3+1\times(-\np{0.5})=\np{2.5}$.} \item L'angle $\widehat{\text{DAB}}$ n'est pas un angle droit, en effet s'il l'était, le produit scalaire {$\vectt{AD}\cdot\vectt{AB}$} serait nul. \end{enumerate} \end{enumerate} \subsection*{Partie C -- Étude du cas général} \begin{enumerate} \item On calcule \quad {$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4=2^2$}. Le discriminant est strictement positif, l'équation a deux solutions dans \R{} qui sont {$\dfrac{4-2}{2}=1$} et {$\dfrac{4+2}{2}=3$}. \item $\widehat{\text{DAM}}$ est un angle droit si et seulement si A et M sont deux points distincts vérifiant {$\vectt{AD}\cdot\vectt{AM}=0$}. (les points doivent être distincts, sinon A et M ne définissent pas une droite, et donc l'angle $\widehat{\text{DAM}}$ n'est pas défini). On connaît déjà les coordonnées de {$\vectt{AD}$}, et celles de {$\vectt{AM}$} sont {$\left(\begin{array}{c}x-3\\ y-1\end{array}\right)$.} La condition s'écrit donc \quad {$x-3+y-1=0$}. Sachant que \quad {$y=\dfrac3 x$},\quad cette équation devient \quad {$x-3+\dfrac 3 x -1=0$} \quad soit, après multiplication par $x\neq0$ : \quad {$x^2-4x+3=0$} On sait que cette équation a deux solutions : la solution $x=3$ est évidemment sans intérêt : le produit scalaire dans ce cas est nul puisque A et M sont confondus. Il reste la solution $x=1$ : le point {M~$(1;3)$} est le seul point de {$\mathcal{H}$} tel que $\widehat{\text{DAM}}$ soit un angle droit. \end{enumerate} \end{document}