% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : H Proton
% relecture :
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :

\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
	pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}

\begin{document}
% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Correction}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{15 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

%% Titre
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Asie -- 15 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)\hfill~}

\subsection*{Question 1}
\vspace*{-5mm}
	\begin{minipage}{0.55\linewidth}
		La représentation graphique de $f$ a trois points d'intersection avec la droite d'équation {$y=-1$}, l'équation {$f(x)=-1$} a donc trois solutions.

	\textbf{réponse D}.
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[x=6mm,y=6mm,>=stealth,scale=0.9,baseline={(current bounding box.center)}]
		\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt,dash pattern=on 1.mm off 1mm, dash phase=0.5mm] (-5.5,-5.5) grid (4.5,6.5);
		\draw[->,line width=1pt] (-5.5,0) -- (4.5,0) node[right] {};
		\draw[->,line width=1pt] (0,-5.5) -- (0,6.5) node[above] {};
		\foreach \x in {1} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {{\footnotesize \np{\x}}};
		\foreach \y in {1} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {{\footnotesize \np{\y}}};
		\draw (-2pt,-2pt) node[below left]{{\footnotesize 0}};
		\draw[line width=1.2pt,red]
		(-5,-2) .. controls (-4.5,-1) and (-4.5,-1) ..
		(-4,2)  .. controls (-3.5,5) and (-3,6.5) ..
		(-2,5)  .. controls (-1,3.5) and (-0.5,3.5) ..
		(0,3)   .. controls (0.5,2.5) and (0.8,1.8) ..
		(1,1)   .. controls (1.5,-1) and (1.75,-2) ..
		(2,-3)  .. controls (2.1,-3.4) and (2.5,-5.5) ..
		(3,-4)  .. controls (3.5,-2.5) and (3.5,-1) ..(4,2);
		\fill[teal] (-4.55,-1) circle (2pt) ;
		\fill[teal] (1.5,-1) circle (2pt) ;
		\fill[teal] (3.6,-1) circle (2pt) ;
		\draw[teal, line width=1pt] (-5.5,-1)--(4.5,-1)node[below right,pos=0.2]{$y = -1$} ;
	\end{tikzpicture}
%	\psset{unit=0.6cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%	\def\xmin{-5.5}   \def\xmax{4.6} \def\ymin{-5.3}   \def\ymax{6.3}
%	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%		\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-6,-6)(5,7)
%		\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%		\psecurve(-6,-6)(-5,-2)(-4.7,-1)(-4,2)(-3,5.2)(-2.7,5.5)(-1,3.7)(0,3)(1,1)(1.5,-1)(2,-3)(2.7,-4.5)(3,-4)(3.6,-1)(4,2)(5,8)
%		%%% corrigé
%		\psline[linecolor=red](-5,-1)(4,-1)
%		\psdots[linecolor=red,dotscale=1.2](-4.7,-1)(1.5,-1)(3.6,-1)
%	\end{pspicture*}
	\hfill~

\subsection*{Question 2}

	Multiplier par {$\np{0.6}=\dfrac{60}{100}=\dfrac{100-40}{100}$} revient bien à diminuer la quantité de départ de 40\,\%.

	\textbf{réponse C}.

\subsection*{Question 3}

	La droite passe par les points {$(0;2)$} et {$(6;0)$}, donc son ordonnée à l'origine est $2$, et sa pente {$\dfrac{0-2}{6-0}=-\dfrac13$}.

	\textbf{réponse C}.

\subsection*{Question 4}

	Il y a 130 enfants, dont 80 pratiquent le volley-ball, donc {$P_E(V)=\dfrac{80}{130}=\dfrac{8}{13}$}.

	\textbf{réponse A}.

\subsection*{Question 5}

	$A$ et $\overline{A}$ partitionnent l'univers. D'après la loi des probabilités totales, on a :

	{$P(B)=P(A\cap B)+P(\overline{A}\cap B)=\np{0.4}\times\np{0.3}+\np{0.6}\times\np{0.1}=\np{0.12}+\np{0.06}=\np{0.18}$}.

	\textbf{réponse B}.

\subsection*{Question 6}
	\begin{minipage}{0.55\linewidth}
		Comme on sait que $f$ est une fonction affine, elle est représentée par une droite, et comme $g$ est une fonction polynôme du second degré, elle est représentée par une parabole, ce qui permet d'identifier les fonctions et leurs courbes représentatives.

	La droite représentant $f$ est au-dessous de la parabole représentant $g$ pour des valeurs de $x$ inférieures à $-2$ ou bien supérieures à $2$, donc la solution de l'inéquation {$f(x)<g(x)$} est {$S=\,]-\infty ; -2[\,\cup\,]2 ; +\infty[$}.

	\textbf{réponse B}.
	\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[x=0.8cm,y=0.8cm,baseline={(current bounding box.center)}]
		\draw[step=0.5,gray,line width = 0.5pt,dotted] (-2.75,-2.25) grid (4.75,3.75);
		\draw[line width = 1pt] (-2.75,0) -- (4.75,0)
		(0,-2.25) -- (0,3.75);
		\draw (-2pt,-2pt)node[below left] {\footnotesize 0};
		\clip (-2.75,-2.25) rectangle (4.75,3.75);
		\draw[line width=1.2pt,red] (-3,3.5) -- (3,-2.5);
		\draw[line width=1.2pt,teal] plot[smooth,domain=-3:4.5] (\x,{0.5*(\x-1)*(\x-1)-2});
		\draw[dashed, line width=1.5pt,red] (-2,2.5)--(-2,0) (2,-1.5)--(2,0) ;
		\draw[line width=2.5pt, red](-2.75,0)--(-2,0) (-1.8,-0.2)--(-2,-.3)--(-2,0.2)--(-1.8,0.2)
		(4.75,0)--(2,0) (1.8,-0.2)--(2,-.3)--(2,0.2)--(1.8,0.2);
		\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {{\footnotesize \np{\x}}};
		\foreach \y in {-2,-1,1,2,3} \draw (2pt,\y) -- (2pt,\y) node[left] {{\footnotesize \np{\y}}};
	\end{tikzpicture}
%	\psset{unit=0.8cm,arrowsize=2pt 3,comma}
%	\def\xmin{-2.8}   \def\xmax{4.8} \def\ymin{-2.4}   \def\ymax {4.7}
%	\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%		\psgrid[unit=0.4cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-6,-5)(10,10)
%		\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt,showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%		%\psset{linecolor=red,fillstyle=solid,fillcolor=pink!50}
%		\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{0.5 x 1 sub dup mul mul 2 sub}
%		\psplot[linecolor=red,linewidth=1.2pt,plotpoints=5000]{\xmin}{\xmax}{x neg 0.5 add}
%		%%% corrigé
%		\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](-2,2.5)(-2,0)
%		\psline[linecolor=red,linestyle=dashed](2,-1.5)(2,0)
%		\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{-[}(-3,0)(-2,0)
%		\psline[linecolor=red,linewidth=2pt]{]-}(2,0)(5,0)
%	\end{pspicture*}
\hfill~

\subsection*{Question 7}
	$x$ ne peut pas être égal à $3$ car la fonction inverse ne s'annule jamais.

	{$\begin{aligned}[t]
			x=3+\dfrac5 y
			&\iff x-3=\dfrac 5 y\\
			&\iff \dfrac{1}{x-3}=\dfrac y 5\\
			&\iff y=\dfrac{5}{x-3}
		\end{aligned}$}.

	\textbf{réponse D}.

\subsection*{Question 8}
	Additionnons les effectifs : \quad $3 + 1 + 2 + 2 + 2 = 10$.

	Il y a 10 valeurs, donc la médiane est entre les 5\up{e} et 6\up{e} valeurs, qui sont toutes deux 20 : en clair, $\textit{Me} =20 $.

	Ici, on n'a même pas besoin de calculer exactement la moyenne (mais on pourrait le faire, la division par 10 est simple).

	Toutes les valeurs sont positives et il y a deux valeurs qui valent 100, donc la somme de toutes les valeurs est strictement supérieure à 200, et la moyenne est donc strictement supérieure à 20.

	En conclusion, \quad {$\textit{Me} < \overline{x}$}.

	\textbf{réponse C}.

\newpage
\section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~}

\section*{Exercice 1 (7 points)}

	\subsection*{Partie A -- Étude d'un modèle discret}

	\begin{enumerate}
		\item $1\%$ de \np{1100} c'est $11$, donc on a {$u_1=\np{1100}-11=\np{1089}$.}

		Cela signifie que, selon ce modèle, le niveau du lac sera de \np[~m]{1089} au-dessus du niveau de la mer en 2021.

		\item
		\begin{enumerate}
			\item Diminuer une quantité de 1\% revient à multiplier celle-ci par \np{0.99}.

			Puisque pour tout entier $n$, le niveau à l'année $n+1$ est 1\% en dessous de celui à l'année $n$, la relation de récurrence de la suite {$(u_n)$} est :\quad {$\forall n \in \N, u_{n+1}=\np{0.99}u_n$}.

			\item La relation de récurrence est multiplicative, {$(u_n)$} est donc une suite géométrique, de raison \np{0.99}.

			\item On connaît l'expression explicite d'une suite géométrique :
			\quad {$\forall n \in \N, u_n=\np{1100}\times\np{0.99}^n$}.
		\end{enumerate}

		\item Selon ce modèle, le niveau atteint en 2028 sera égal à {$\np{1100}\times\np{0.99}^8$}.

		\emph{Remarque :} Avec une calculatrice, on arrive à environ \np[~m]{1015} : ce lac risque d'être complètement asséché, puisque son niveau aura diminué de 85~m, ce qui est la profondeur maximale estimée d'un des plus grands lacs de retenue d'Europe, le barrage de Serre-Ponçon dans les Hautes-Alpes.

		\item Ici, on cherche donc l'indice $n$ du premier terme de la suite $\big(u_n\big)$ qui sera \og en dessous de \np[m]{1020}\fg{}.

		On va choisir d'interpréter \og en dessous de \np[m]{1020}\fg{} comme signifiant \og inférieur ou égal à \np[m]{1020} \fg{}.

		Le programme est initialisé avec les variables \texttt{u} et \texttt{n} contenant respectivement $u_0$ et $0$.

		Tant que le terme stocké dans la variable \texttt{u} n'est pas inférieur ou égal à \np{1020}, autrement dit, tant qu'il est strictement supérieur à \np{1020}, on va passer à l'indice suivant (c'est la ligne \texttt{n = n + 1}), et au terme suivant, en appliquant la relation de récurrence.

		Voici le programme complété :
\begin{lstlisting}[style=python,xleftmargin=4.5cm,xrightmargin=4.5cm,numbers=none]
u = 1100
n = 0
while u > 1020:
	n = n + 1
	u = u*0.99
print(n)
\end{lstlisting}
	\end{enumerate}


\subsection*{Partie B -- Étude d'un modèle continu}
	\begin{enumerate}
		\item 2020 correspond à l'année 0, on calcule $f(0)$ :

		{$f(0) = \np{1050}\,\e^{-0,01\times0} + 50=\np{1050}\,\e^{0} + 50=\np{1050}\times1+50=\np{1100}$}.

		Ce modèle donne un niveau calculé à \np[~m]{1100} en 2020, ce qui est cohérent avec l'observation.

		\item On sait que la dérivée d'une fonction de la forme \quad {$x \longmapsto \e^{ax}$},\quad  où $a$ est un réel est \quad {$x \longmapsto a\e^{ax}$}.

		On a donc, pour tout réel positif $t$ :\quad  {$f'(t)=\np{1050}\times(-\np{0.01})\times \e^{-\np{0.01}t}+0$}

		soit, après simplification,\quad {$f'(t)=-\np{10.5}\,\e^{-\np{0.01}t}$}.

		\item La fonction exponentielle est à valeurs strictement positives, donc pour tout $t$ de l'intervalle {$[0;+\infty[$}, \quad {$f'(t)<0$}.

		La fonction $f$ est donc strictement décroissante sur {$[0;+\infty[$.}

		\item La production est impossible si le niveau du lac s'abaisse en-dessous de \np[~m]{1020} d'altitude.

		C'est ce qui se produira, selon ce modèle, à partir de 2028 (année 8 sur le graphique).

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[x=15mm, y=0.75mm,>=stealth,scale=0.9]%mettre scale=1 pour les dimensions du sujet d'origine
				\draw[xstep=0.5,ystep=10,gray!75,line width=0.5pt] (0,1000) grid (9.75,1119);
				\draw[->,line width=1pt] (0,1000) -- (0,1120);
				\draw[->,line width=1pt] (0,1000) -- (9.75,1000);
				\foreach \x in {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
				\draw[shift={(\x,1000)}] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below] {\np{\x}};
				\foreach \y in {1000,1010,...,1110}
				\draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\np{\y}};
				\draw[red, line width=1.2pt] plot[domain=0:9.75,samples=50] (\x,{(1050*exp(-0.01*\x)+50)});
				\node[red] at (1.75,1075) {$\mathcal{C}_f$};
				\draw[line width=1.5pt,teal] (0,1020)--(9.75,1020) ;
				\draw[teal,shift={(8,1000)}] (0,2pt) -- (0,-2pt) node[below] {\textbf{\np{8}}};
			\end{tikzpicture}

%			\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.07cm,arrowsize=3pt 3,comma}
%			\def\xmin{-0.7}   \def\xmax{9.7} \def\ymin{-9}   \def\ymax{120}
%			\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%				\psgrid[unit=0.7cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-0.5,-1)(20,13)
%				\psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, labels=x, showorigin=false, Dy=10]{->}(0,0)(-0.3,\ymin)(\xmax,\ymax)
%				\psplot[linecolor=blue,linewidth=1.2pt]{0}{\xmax}{1050 2.7183 -0.01 x mul exp mul 950 sub}
%				\multido{\i=0+10,\I=1000+10}{12}{\uput*[l](0,\i){\footnotesize\I}}
%				%%% corrigé
%				\psline[linecolor=red](0,20)(9.5,20)
%				\uput*{8pt}[d](8,0){\red\bf 8}
%			\end{pspicture*}
		\end{center}
	\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 2 (7 points)}
\subsection*{Partie A -- Étude d'un cercle}
	\begin{enumerate}
		\item Un point {M~$(x;y)$} appartient à $\mathcal{C}$ si et seulement si la distance AM (donc la norme du vecteur $\vectt{AM}$) est égale à {$\dfrac{\sqrt{37}}{2}$.}

		Il faut donc que {$\left\|\overrightarrow{\text{AM}}\right\|^2=\left(\dfrac{\sqrt{37}}{2}\right)^2=\dfrac{37}{4}$}

		Les coordonnées de {$\vectt{AM}$} sont {$\left(\begin{array}{c}x-3\\ y-1\end{array}\right)$} et donc {$\left\|\overrightarrow{\text{AM}}\right\|^2=(x-3)^2+(y-1)^2$.}

		Une équation cartésienne du cercle {$\mathcal{C}$} est donc {$(x-3)^2+(y-1)^2=\dfrac{37}{4}$.}

		\item On vérifie si les coordonnées de B vérifient cette équation :\quad  {$(6-3)^2+(\np{0.5}-1)^2=3^2+(-\np{0.5})^2=9+\np{0.25}=\np{9.25}$}.

		Or \quad {$\np{9.25}=\dfrac{37}{4}$}, \quad donc B appartient à {$\mathcal{C}$.}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie B -- Étude d'un cas particulier}

	\begin{enumerate}
		\item L'équation de {$\mathcal{H}$} est {$y=\dfrac 3 x$}, donc pour {$x=6$}, on obtient {$y=\dfrac 3 6=\np{0.5}$}, qui est bien l'ordonnée de B, qui appartient donc à {$\mathcal{H}$.}

		\item \begin{enumerate}
			\item Les coordonnées de {$\vectt{AD}$} sont {$\left(\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right)$}, et celles de {$\vectt{AB}$} sont {$\left(\begin{array}{c}3\\ -\np{0.5}\end{array}\right)$.}

			\item On a donc {$\vectt{AD}\cdot\vectt{AB}=1\times3+1\times(-\np{0.5})=\np{2.5}$.}

			\item L'angle  $\widehat{\text{DAB}}$ n'est pas un angle droit, en effet s'il l'était, le produit scalaire {$\vectt{AD}\cdot\vectt{AB}$} serait nul.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie C -- Étude du cas général}

	\begin{enumerate}
		\item On calcule \quad {$\Delta=(-4)^2-4\times1\times3=4=2^2$}.

		Le discriminant est strictement positif, l'équation a deux solutions dans \R{} qui sont {$\dfrac{4-2}{2}=1$} et {$\dfrac{4+2}{2}=3$}.

		\item $\widehat{\text{DAM}}$ est un angle droit si et seulement si A et M sont deux points distincts vérifiant {$\vectt{AD}\cdot\vectt{AM}=0$}.

		(les points doivent être distincts, sinon A et M ne définissent pas une droite, et donc l'angle $\widehat{\text{DAM}}$ n'est pas défini).

		On connaît déjà les coordonnées de {$\vectt{AD}$}, et celles de {$\vectt{AM}$} sont {$\left(\begin{array}{c}x-3\\ y-1\end{array}\right)$.}

		La condition s'écrit donc \quad {$x-3+y-1=0$}.

		Sachant que \quad {$y=\dfrac3 x$},\quad cette équation devient \quad {$x-3+\dfrac 3 x -1=0$} \quad soit, après multiplication par $x\neq0$ :
		\quad
		{$x^2-4x+3=0$}

		On sait que cette équation a deux solutions : la solution $x=3$ est évidemment sans intérêt : le produit scalaire dans ce cas est nul puisque A et M sont confondus.

		Il reste la solution $x=1$ : le point {M~$(1;3)$} est le seul point de {$\mathcal{H}$} tel que $\widehat{\text{DAM}}$ soit un angle droit.
	\end{enumerate}
\end{document}