% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie générale -- avec spécialité -- Antilles-Guyane -- septembre 2026 (26-MATSPEGEAG3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
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	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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\fi
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% tableaux
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% texte et composition
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\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
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% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2026}}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Antilles-Guyane -- septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.} Les justifications ci-dessous sont fournies à titre pédagogique.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point : il ne faut donc jamais laisser une question sans réponse.

\subsection*{Question 1 \quad Réponse A}

On développe l'opposé $-(a-b) = -a + b$, puis on réduit :
\[E = -(a-b) + a - b = -a + b + a - b = -a+a + b-b = 0.\]

\subsection*{Question 2 \quad Réponse D}

$x^2 = 6$ admet deux solutions opposées :
\[x^2 = 6 \iff x = \sqrt{6} \ \text{ ou } \ x = -\sqrt{6}.\]
D'où $S = \left\{-\sqrt{6}~;~\sqrt{6}\right\}$.

\subsection*{Question 3 \quad Réponse D}

On applique l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 5$ :
\[(3x-5)^2 = (3x)^2 - 2\times 3x \times 5 + 5^2 = 9x^2 - 30x + 25.\]

\subsection*{Question 4 \quad Réponse A}

La droite coupe l'axe des ordonnées en 3 : l'ordonnée à l'origine est $b = 3$. Elle passe
aussi par les points de coordonnées $(0~;~3)$ et $(6~;~0)$ donc son coefficient directeur vaut :
\[a = \dfrac{0 - 3}{6 - 0} = -\dfrac{1}{2}.\]
Une équation de la droite est donc $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.

\subsection*{Question 5 \quad Réponse C}

On applique la règle $\frac{a^n}{a^m}=a^{n-m}$ :
\[\dfrac{2^{10}}{2} = \dfrac{2^{10}}{2^1} = 2^{10-1} = 2^9.\]

\subsection*{Question 6 \quad Réponse B}

On isole $x^2$ puis on prend la racine carrée (les trois réels sont strictement positifs,
donc $x > 0$) :
\[a = \dfrac{1}{2}bx^2 \iff 2a = bx^2 \iff x^2 = \dfrac{2a}{b} \iff x = \sqrt{\dfrac{2a}{b}}.\]

\subsection*{Question 7 \quad Réponse C}

$f(x) = (2x-6)(-x+1)$ est un produit de deux facteurs affines, qui s'annulent respectivement
en 3 et en 1. Le coefficient de $x^2$ dans le développement de $f(x)$ vaut
$2 \times (-1) = -2 < 0$ : la parabole associée est ouverte vers le bas, donc $f$ est
négative sur $]-\infty ; 1[$, positive sur $]1 ; 3[$ et négative sur $]3 ; +\infty[$.

\subsection*{Question 8 \quad Réponse A}

Une baisse de 20\,\% correspond au coefficient multiplicateur $0,8$ ; une baisse de
30\,\%, au coefficient multiplicateur $0,7$. Le coefficient global est le produit
des deux :
\[0,8 \times 0,7 = 0,56 = 1 - 0,44.\]
Les deux baisses successives sont donc équivalentes à une baisse globale de 44\,\%.

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}


\begin{enumerate}
	\item Pour une fonction du second degré $f(x) = ax^2+bx+c$, l'abscisse du sommet de la parabole
	est $x_S = -\dfrac{b}{2a}$. Ici $a = 1$ et $b = 2$, donc
	\[x_S = -\dfrac{2}{2 \times 1} = -1 \qquad\text{et}\qquad f(-1) = (-1)^2 + 2\times(-1) - 3 = 1 - 2 - 3 = -4.\]
	Le sommet de la parabole $\mathcal{P}$ a pour coordonnées $(-1 ; -4)$.

	\item
	\begin{enumerate}
		\item $g(-3) = (-3)^2 + (-3) - 6 = 9 - 3 - 6 = 0$ \quad et \quad $g(2) = 2^2 + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0$.

		Les réels $-3$ et $2$ sont donc racines de la fonction $g$.

		\item $g$ est une fonction du second degré de coefficient dominant $1 > 0$ : $g$ est positive à l'extérieur de ses racines et négative entre les
		deux.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.6]{$x$/1,$g(x)$/1}{$-\infty$,$-3$,$2$,$+\infty$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}

	\item Pour tout réel $x$ :
	\[f(x) - h(x) = \left(x^2 + 2x - 3\right) - (x+3) = x^2 + 2x - 3 - x - 3 = x^2 + x - 6 = g(x).\]

	\item Étudier la position relative de deux courbes revient à étudier le signe de la différence
	$f(x) - h(x) = g(x)$, étudié à la question \textbf{2. b.}
	
Pour tout $x \in ]-3~;~2[$, $g(x) <0 \iff f(x)-h(x) <0 \iff f(x) < h(x)$.
Donc $\mathcal{P}$ est en dessous de $\mathcal{D}$ sur $]-3~;~2[$.
Et $\mathcal{P}$ est au-dessus de $\mathcal{D}$ sur $]-\infty~;~-3[ \,\cup\, ]2~;~+\infty[$.

	Les points d'intersection correspondent aux annulations de $g$, c'est-à-dire $x = -3$ et
	$x = 2$ : $h(-3) = 0$ et $h(2) = 5$.

Les deux courbes se coupent aux points de coordonnées $(-3~;~0)$ et $(2~;~5)$.
	\item
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8, x=7mm,y=7mm,>=stealth]
			\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-5,-5) grid (4,6);
			\draw[->,line width=1pt] (-5.3,0) -- (4.3,0);
			\draw[->,line width=1pt] (0,-5.3) -- (0,6.3);
			\foreach \x in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
			\foreach \y in {-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
			\draw (-2pt,-2pt) node[below left]{\footnotesize 0};
			\draw[red,line width=1.2pt,domain=-4.15:2.15,samples=80]
			plot(\x,{(\x)^2+2*(\x)-3}) node[left,red]{$\mathcal{P}$};
			\draw[blue,line width=1.2pt] (-5,-2) -- (3,6) node[right,blue]{$\mathcal{D}$};
			\fill (-1,-4) circle(2pt) node[left]{$(-1;-4)$};
			\fill (-3,0) circle(2pt) node[above left]{$(-3~;~0)$};
			\fill (2,5) circle(2pt) node[right]{$(2~;~5)$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2 (5 points)}

\emph{On note $F$ l'évènement \og le véhicule est un fourgon \fg{} et $B$ l'évènement \og le véhicule est en bon état \fg. On a
$P(F) = 0,6$, $P_F(B) = 0,5$ et $P(B) = 0,66$. On note $x = P_{\overline{F}}(B)$.}

\begin{enumerate}
	\item La somme des probabilités issues d'un même n{\oe}ud vaut 1 :
	
	$P\left(\overline{F}\right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et $P_F\left(\overline{B}\right) = 1 - 0,5 = 0,5$.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=2.8cm, y=0.9cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (F) at (1,1.2) {$F$};
			\node (Fb) at (1,-1.2) {$\overline{F}$};
			\node (B1) at (2,1.9) {$B$};
			\node (B1b) at (2,0.5) {$\overline{B}$};
			\node (B2) at (2,-0.5) {$B$};
			\node (B2b) at (2,-1.9) {$\overline{B}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (F) node[pos=0.5,above] {0,6};
			\draw (root.east) -- (Fb) node[pos=0.5,below] {0,4};
			% branches niveau 2
			\draw (F.east) -- (B1) node[pos=0.5,above] {0,5};
			\draw (F.east) -- (B1b) node[pos=0.5,below] {0,5};
			\draw (Fb.east) -- (B2) node[pos=0.5,above] {$x$};
			\draw (Fb.east) -- (B2b) node[pos=0.5,below] {$1-x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item
	La probabilité que le véhicule choisi soit un fourgon en bon état est $P(F \cap B)$.
	
	$P(F \cap B) = P(F) \times P_F(B) = 0,6 \times 0,5 = 0,3$.

La probabilité que le véhicule choisi soit un fourgon en bon état est égale à $0,3$.
	\item On cherche la probabilité conditionnelle $P_B(F)$ :
	\[P_B(F) = \dfrac{P(F \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0,3}{0,66} = \dfrac{30}{66} = \dfrac{5}{11}.\]
	Sachant que le véhicule choisi est en bon état, la probabilité que ce soit un fourgon est
	égale à $\dfrac{5}{11}$.

	\item $F$ et $\overline{F}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des
	probabilités totales :
	\[P(B) = P(F \cap B) + P\left(\overline{F} \cap B\right) = P(F \cap B) + P\left(\overline{F}\right) \times P_{\overline{F}}(B)\]
	donc $0,66 = 0,3 + 0,4x$, c'est-à-dire $0,4x + 0,3 = 0,66$.

	\item $0,4x + 0,3 = 0,66 \iff 0,4x = 0,36 \iff x = \dfrac{0,36}{0,4} =\dfrac{36}{40} = 0,9$.

	Sachant que le véhicule choisi n'est pas un fourgon (c'est donc un camion),
	la probabilité qu'il soit en bon état est égale à $0,9$.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3 (4 points)}

\emph{Pour chaque affirmation, on indique si elle est vraie ou fausse en justifiant. Les deux
questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	$f$ est un produit $uv$ avec $u(x) = x$, $u'(x) = 1$ et $v(x) = \e^x$, $v'(x) = \e^x$.
	Pour tout $x$ de $[0~;~+\infty[$ :
	\[f'(x) = 1 \times \e^x + x \times \e^x = (1+x)\e^x.\]
	Pour tout $x \geqslant 0$, on a $1 + x \geqslant 1 > 0$ et $\e^x > 0$, donc $f'(x) > 0$ :
	la fonction $f$ est croissante sur $[0~;~+\infty[$.

	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	Dans une suite arithmétique de raison $r$ : $u_n = u_p + (n-p) \times r$.
	
	Ainsi : $u_6 = u_2 + 4r$.
	\[u_6 = u_2 + 4r \iff 51 = 50 + 4r \iff 4r = 1 \iff r = \dfrac{1}{4} = 0,25.\]
	D'où :
	\[u_{26} = u_2 + 24r = 50 + 24 \times 0,25 = 50 + 6 = 56.\]
\end{enumerate}
\end{document}