% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie générale -- avec spécialité -- Métropole -- septembre 2026 (26-MATSPEGEME3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
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% Packages
%%% codage et police utilisée
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	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
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\fi
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% tableaux
\usepackage{multicol}
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
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%
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% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% couleurs étendues
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% pour les listes
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% Enumérations réglage par défaut
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% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
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% Taille de la zone d'écriture
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\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Métropole -- septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.} Les justifications ci-dessous sont fournies à titre pédagogique.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point : il ne faut donc jamais laisser une question sans réponse.

\subsection*{Question 1 \quad Réponse C}

Baisser de 3\,\% revient à multiplier par le coefficient multiplicateur
$1 - \dfrac{3}{100} = 0,97$. Le nouveau prix est donc $0,97 \times P$.



\subsection*{Question 2 \quad Réponse D}

On applique l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 3x$ et $b = 1$ :
\[(3x-1)^2 = (3x)^2 - 2\times 3x \times 1 + 1^2 = 9x^2 - 6x + 1.\]

\subsection*{Question 3 \quad Réponse C}

$f(x) = -5(x-1)(x+3)$ est une fonction polynôme du second degré :
\begin{itemize}
	\item ses racines sont $1$ et $-3$ (produit nul) : la parabole coupe l'axe des abscisses
	en $x = -3$ et $x = 1$ ;
	\item le coefficient de $x^2$ vaut $-5 < 0$ : la parabole est ouverte vers le bas ;
	\item $f(0) = -5 \times (-1) \times 3 = 15$ : elle coupe l'axe des ordonnées en 15.
\end{itemize}
Seul le graphique C réunit ces trois caractéristiques. Le graphique A a les bonnes racines
mais est ouvert vers le haut (c'est la courbe de $-f$) ; le graphique B n'est pas une
parabole (trois points d'intersection avec l'axe des abscisses) ; le graphique D est
ouvert vers le bas mais coupe l'axe des abscisses en $-1$ et $3$.

\subsection*{Question 4 \quad Réponse B}

Pour comparer deux fractions, on les réduit au même dénominateur :
\[\dfrac{7}{9} = \dfrac{49}{63} \quad\text{et}\quad \dfrac{5}{7} = \dfrac{45}{63},
\qquad\text{donc}\qquad \dfrac{7}{9} > \dfrac{5}{7}.\]


\subsection*{Question 5 \quad Réponse C}

Les solutions de $f(x) \leqslant 10$ sont les abscisses des points de $\mathcal{C}$ situés
\emph{sur ou sous} la droite horizontale d'équation $y = 10$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=0.55cm,y=0.12cm,>=stealth]
		\draw[xstep=1,ystep=5,gray!75,line width=0.5pt,dash pattern=on 1.5mm off 1.5mm, dash phase=0.75mm] (-4,0) grid (10,30);
		\draw[->,line width=1pt] (-4.5,0) -- (10.6,0) node[right]{$x$};
		\draw[->,line width=1pt] (0,-1) -- (0,32) node[above]{$y$};
		\foreach \x in {-4,-2,2,4,6,8,10} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
		\foreach \y in {10,20,30} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left,fill=white,inner sep=1pt] {\footnotesize \np{\y}};
		\draw[blue,dashed,line width=1pt] (-4,10) -- (10,10) node[right]{$y=10$};
		\draw[red,line width=1.2pt] plot[smooth] coordinates {(-4.000,15.000) (-3.900,14.251) (-3.800,13.505) (-3.700,12.767) (-3.600,12.040) (-3.500,11.328) (-3.400,10.635) (-3.300,9.964) (-3.200,9.320) (-3.100,8.706) (-3.000,8.125) (-2.900,7.582) (-2.800,7.080) (-2.700,6.623) (-2.600,6.215) (-2.500,5.859) (-2.400,5.560) (-2.300,5.321) (-2.200,5.145) (-2.100,5.037) (-2.000,5.000) (-1.900,5.097) (-1.800,5.377) (-1.700,5.828) (-1.600,6.433) (-1.500,7.179) (-1.400,8.051) (-1.300,9.035) (-1.200,10.116) (-1.100,11.280) (-1.000,12.513) (-0.900,13.800) (-0.800,15.127) (-0.700,16.478) (-0.600,17.841) (-0.500,19.200) (-0.400,20.541) (-0.300,21.849) (-0.200,23.111) (-0.100,24.311) (0.000,25.436) (0.100,26.470) (0.200,27.400) (0.300,28.211) (0.400,28.888) (0.500,29.418) (0.600,29.785) (0.700,29.976) (0.800,29.978) (0.900,29.809) (1.000,29.486) (1.100,29.024) (1.200,28.440) (1.300,27.749) (1.400,26.968) (1.500,26.111) (1.600,25.195) (1.700,24.236) (1.800,23.249) (1.900,22.250) (2.000,21.255) (2.100,20.280) (2.200,19.340) (2.300,18.452) (2.400,17.631) (2.500,16.893) (2.600,16.254) (2.700,15.729) (2.800,15.334) (2.900,15.086) (3.000,15.000) (3.100,15.026) (3.200,15.104) (3.300,15.229) (3.400,15.398) (3.500,15.609) (3.600,15.859) (3.700,16.144) (3.800,16.461) (3.900,16.808) (4.000,17.181) (4.100,17.577) (4.200,17.993) (4.300,18.425) (4.400,18.872) (4.500,19.329) (4.600,19.795) (4.700,20.264) (4.800,20.736) (4.900,21.205) (5.000,21.671) (5.100,22.128) (5.200,22.575) (5.300,23.007) (5.400,23.423) (5.500,23.819) (5.600,24.192) (5.700,24.539) (5.800,24.856) (5.900,25.141) (6.000,25.391) (6.100,25.602) (6.200,25.771) (6.300,25.896) (6.400,25.974) (6.500,26.000) (6.600,25.890) (6.700,25.573) (6.800,25.066) (6.900,24.388) (7.000,23.556) (7.100,22.589) (7.200,21.505) (7.300,20.321) (7.400,19.056) (7.500,17.728) (7.600,16.355) (7.700,14.955) (7.800,13.545) (7.900,12.145) (8.000,10.772) (8.100,9.444) (8.200,8.179) (8.300,6.995) (8.400,5.911) (8.500,4.944) (8.600,4.112) (8.700,3.434) (8.800,2.927) (8.900,2.610) (9.000,2.500) (9.100,2.670) (9.200,3.160) (9.300,3.940) (9.400,4.980) (9.500,6.250) (9.600,7.720) (9.700,9.360) (9.800,11.140) (9.900,13.030) (10.000,15.000)};
		\draw[blue,line width=2.5pt] (-3.2,0) -- (-1.2,0);
		\draw[blue,line width=2.5pt] (8,0) -- (9.7,0);
		\foreach \k in {-3.2,-1.2,8,9.7} \draw[blue,densely dotted] (\k,0) -- (\k,10);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

La courbe passe sous la droite $y = 10$ entre $x \approx -3,2$ et $x \approx -1,2$
(creux autour de $x = -2$), puis entre $x \approx 8$ et $x \approx 9,7$ (creux autour de
$x = 9$). Le creux situé vers $x = 3$ reste au-dessus de 10 (ordonnée 15).
D'où $S = [-3,2~;~-1,2] \cup [8~;~9,7]$.



\subsection*{Question 6 \quad Réponse C}

Dans une moyenne pondérée, on divise la somme des produits note $\times$ coefficient par la
somme des coefficients, ici $1 + 1 + 1 + 2 = 5$ :
\[\dfrac{12 + 10 + 14 + 2x}{5} = 14 \iff 36 + 2x = 70 \iff 2x = 34 \iff x = 17.\]

\subsection*{Question 7 \quad Réponse A}

On applique $\left(a^m\right)^n = a^{mn}$ puis $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ :
\[\dfrac{\left(a^5\right)^2}{a^{-10}} = \dfrac{a^{10}}{a^{-10}} = a^{10-(-10)} = a^{20}.\]


\subsection*{Question 8 \quad Réponse A}

La droite passe par le point de coordonnées $(0~;~-5)$ : son ordonnée à l'origine est $b = -5$. Son coefficient
directeur vaut
\[a = \dfrac{0 - (-5)}{15 - 0} = \dfrac{5}{15} = \dfrac{1}{3}.\]
Une équation de la droite est donc $y = \dfrac{1}{3}x - 5$.

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

\emph{On note $E$ l'évènement \og le patient est un enfant \fg{} et $M$ l'évènement \og le médecin prescrit des
médicaments \fg. On a $P(E) = 0,7$, $P_E(M) = 0,2$ et $P_{\overline{E}}(M) = 0,4$.}

\begin{enumerate}
	\item La somme des probabilités issues d'un
	même n{\oe}ud vaut 1 : $P(\overline{E}) = 1 - 0,7 = 0,3$,
	$P_E(\overline{M}) = 1 - 0,2 = 0,8$ et $P_{\overline{E}}(\overline{M}) = 1 - 0,4 = 0,6$.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=2.8cm, y=0.9cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (E) at (1,1.2) {$E$};
			\node (Eb) at (1,-1.2) {$\overline{E}$};
			\node (M1) at (2,1.9) {$M$};
			\node (M1b) at (2,0.5) {$\overline{M}$};
			\node (M2) at (2,-0.5) {$M$};
			\node (M2b) at (2,-1.9) {$\overline{M}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (E) node[pos=0.5,above] {0,7};
			\draw (root.east) -- (Eb) node[pos=0.5,below] {0,3};
			% branches niveau 2
			\draw (E.east) -- (M1) node[pos=0.5,above] {0,2};
			\draw (E.east) -- (M1b) node[pos=0.5,below] {0,8};
			\draw (Eb.east) -- (M2) node[pos=0.5,above] {0,4};
			\draw (Eb.east) -- (M2b) node[pos=0.5,below] {0,6};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item La probabilité d'un chemin de l'arbre est le produit des probabilités rencontrées le
	long de ce chemin :
	\[P(\overline{E} \cap M) = P(\overline{E}) \times P_{\overline{E}}(M) = 0,3 \times 0,4 = 0,12.\]
	La probabilité que le patient choisi soit un \textbf{adulte} \textbf{et} que le médecin lui prescrive des médicaments est de $0,12$ ;
	autrement dit, 12\,\% des patients sont des adultes à qui le médecin prescrit des médicaments.
	

	\item $E$ et $\overline{E}$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des
	probabilités totales :                          
	
	 \[ P(M) = P(E \cap M) + P(\overline{E} \cap M) \]
 \[ P(M) = P(E) \times P_E(M) + P(\overline{E} \cap M) \]
 \[ P(M) = 0,7 \times 0,2 + 0,12 \]
 \[P(M) =  0,26\]
	
	La probabilité que le médecin prescrive des médicaments au patient est égale à $0,26$.
	

	\item Deux évènements $E$ et $M$ (avec $P(E) \neq 0$) sont indépendants si et seulement si
	
	$P(E \cap M) = P(E) \times P(M)$.

	D'une part $P(E \cap M) = 0,14$ ; d'autre part
	$P(E) \times P(M) = 0,7 \times 0,26 = 0,182$.

	Comme $0,14 \neq 0,182$, l'égalité n'est pas vérifiée. 

	Les évènements $E$ et $M$ ne sont \textbf{pas indépendants}.


	\item On cherche la probabilité conditionnelle $P_M(E)$.
	\[P_M(E) = \dfrac{P(E \cap M)}{P(M)} = \dfrac{0,14}{0,26} = \dfrac{14}{26} = \dfrac{7}{13}.\]
	Sachant que le médecin a prescrit des médicaments, la probabilité que le patient soit un
	enfant est égale à $\dfrac{7}{13}$.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2 (5 points)}

\emph{Pour chaque affirmation, on indique si elle est vraie ou fausse en justifiant ; une
réponse non justifiée n'est pas prise en compte. Les trois questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation fausse.}

	Pour tout entier naturel $n$, avec $v_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n$ :
	\[v_{n+1} - v_n = 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^{n+1} - 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n
	= 3 \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n \times \left(\dfrac{1}{4} - 1\right)
	= -\dfrac{9}{4} \times \left(\dfrac{1}{4}\right)^n.\]
	Or $\left(\dfrac{1}{4}\right)^n > 0$ et $-\dfrac{9}{4} < 0$, donc $v_{n+1} - v_n < 0$ : la suite est strictement
	décroissante. 

	$(v_n)$ est une suite géométrique de premier terme $3 > 0$ et de
	raison $\dfrac{1}{4} \in \,]0 ; 1[$ : elle est \textbf{décroissante}.

	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	On se ramène à une équation du second degré :
	\[x(1-x) = 4 \iff x - x^2 = 4 \iff -x^2 + x - 4 = 0 \iff x^2 - x + 4 = 0.\]
	$\Delta = (-1)^2 - 4 \times 1 \times 4 = 1 - 16 = -15 < 0$.

	Comme $\Delta < 0$, l'équation $x^2 - x + 4 = 0$ n'a aucune
	solution réelle. 
	
	Aucun réel $x$ ne vérifie $x(1-x) = 4$.

	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	
D'après la relation de Chasles :
\[
\overrightarrow{KD}=\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}
\qquad\text{et}\qquad
\overrightarrow{KL}=\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BL}.
\]
Par bilinéarité du produit scalaire :
\begin{align*}
\overrightarrow{KD}\cdot\overrightarrow{KL}
&=\left(\overrightarrow{KA}+\overrightarrow{AD}\right)\cdot\left(\overrightarrow{KB}+\overrightarrow{BL}\right)\\
&=\overrightarrow{KA}\cdot\overrightarrow{KB}
+\overrightarrow{KA}\cdot\overrightarrow{BL}
+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{KB}
+\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BL}.
\end{align*}


\begin{itemize}
  \item $\overrightarrow{KA}$ et $\overrightarrow{KB}$ sont colinéaires et de sens contraires (car $K\in[AB]$) :
        $\overrightarrow{KA}\cdot\overrightarrow{KB}=-KA\times KB=-3\times 1=-3$.
  \item $(AB)\perp(BC)$ et $(AD)\perp(AB)$ car $ABCD$ est un rectangle, donc
        $\overrightarrow{KA}\cdot\overrightarrow{BL}=0$ et $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{KB}=0$.
  \item $\overrightarrow{AD}$ et $\overrightarrow{BL}$ sont colinéaires et de même sens :
        $\overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{BL}=AD\times BL=3\times 2=6$.
\end{itemize}


\[
\overrightarrow{KD}\cdot\overrightarrow{KL}=-3+0+0+6=3.
\]
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3 (4 points)}

\emph{Pour $t \in [0~;~5]$, $f(t) = \dfrac{4t+1}{\e^t}$ où $t$ est le temps en heures écoulé
depuis le décollage et $f(t)$ l'altitude de la montgolfière en kilomètres, par rapport au
niveau de la mer.}

\begin{enumerate}
	\item Le décollage correspond à $t = 0$ :
	\[f(0) = \dfrac{4 \times 0 + 1}{\e^0} = \dfrac{1}{1} = 1.\]
	Au décollage, la montgolfière est à 1~km d'altitude : c'est l'altitude du village de
	montagne.

	\item $f$ est un quotient $\dfrac{u}{v}$ avec $u(t) = 4t + 1$, $u'(t) = 4$ et $v(t) = \e^t$, $v'(t) = \e^t$
	($v$ ne s'annule pas). Pour tout réel $t$ de $[0~;~5]$ :
	\[f'(t) = \dfrac{4\e^t - (4t+1)\e^t}{\left(\e^t\right)^2}
	= \dfrac{\e^t\left(4 - 4t - 1\right)}{\e^t \times \e^t}
	= \dfrac{3 - 4t}{\e^t}.\]

	\item Pour tout réel $t$, $\e^t > 0$ : le signe de $f'(t)$ est celui de son numérateur $3 - 4t$.

	Or $3 - 4t \geqslant 0 \iff -4t \geqslant -3 \iff t \leqslant \dfrac{3}{4}$.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.8]
			{$t$/0.9,$3-4t$/0.8,$\e^t$/0.8,$f'(t)$/0.8,$f$/2.2}{$0$,$\dfrac{3}{4}$,$5$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}
			\tkzTabLine{,+,,+,}
			\tkzTabLine{,+,z,-,}
			\tkzTabVar{-/$1$,+/$\dfrac{4}{\e^{3/4}}$,-/$\dfrac{21}{\e^5}$}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

avec $f(0)=1$ d'après la question 1 et $f(5)=\frac{4\times 5 + 1}{e^5} = \frac{21}{e^5}$.

	$f'(t) > 0$ sur $\left[0~;~\dfrac{3}{4}\right[$, $f'\left(\dfrac{3}{4}\right) = 0$ et
	$f'(t) < 0$ sur $\left]\dfrac{3}{4}~;~5\right]$. La fonction $f$ est donc croissante sur
	$\left[0~;~\dfrac{3}{4}\right]$ puis décroissante sur $\left[\dfrac{3}{4}~;~5\right]$ : elle
	admet un \textbf{maximum en} $\boldsymbol{t = \dfrac{3}{4}}$, égal à
	$f\left(\dfrac{3}{4}\right) = \dfrac{4}{\e^{3/4}}$.

	\item La montgolfière perd de l'altitude dès que $f$ devient décroissante, c'est-à-dire à partir de $t = \dfrac{3}{4}$~h.
	
Or $\dfrac{3}{4} \times 60 = 45$ : la montgolfière monte pendant 45~minutes après le
	décollage.

10~h~50~min $+$ 45~min $=$ 10~h~95~min $=$ 11~h~35~min.

La montgolfière commence à perdre de l'altitude à \textbf{11~h~35}, soit 45~minutes
	après son décollage.
\end{enumerate}
\end{document}