% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie générale -- avec spécialité -- Polynésie française -- sujet de remplacement 2026 (26-MATSPEGEPO3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
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% Packages
%%% codage et police utilisée
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	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
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	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
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	\usepackage[utf8]{inputenc}
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\fi
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% tableaux
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
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\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie française}}
\rfoot{\small{sujet de remplacement 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Polynésie française -- 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé du sujet de remplacement
\end{center}


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}


\subsection*{Question 1 \quad Réponse D}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
\[(2x - 6)(x + 4) = 0 \iff 2x - 6 = 0 \ \text{ ou } \ x + 4 = 0 \iff x = 3 \ \text{ ou } \ x = -4.\]
D'où $S = \{-4~;~3\}$.

\subsection*{Question 2 \quad Réponse B}

Le dé est équilibré : on est en situation d'équiprobabilité. Les issues strictement
supérieures à 4 sont 5 et 6, soit 2 issues favorables sur 6 :
\[P = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}.\]

\subsection*{Question 3 \quad Réponse C}

On applique $\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ avec $3 = 3^1$ :
\[\dfrac{3}{3^5} = 3^{1-5} = 3^{-4}.\]

\subsection*{Question 4 \quad Réponse D}

La droite $\mathrm{D}_4$ passe par les points de coordonnées $(-1 ; 0)$ et $(0 ; 1)$. Son ordonnée à
l'origine est $b = 1$ et son coefficient directeur vaut
$a = \dfrac{1 - 0}{0 - (-1)} = 1$. Son équation réduite est donc $y = x + 1$.

\subsection*{Question 5 \quad Réponse B}

Un point appartient à $\mathcal{C}_f$ lorsque son ordonnée est l'image de son abscisse.
Pour H$(-3~;~28)$ :
\[f(-3) = 2\times(-3)^2 - 3\times(-3) + 1 = 18 + 9 + 1 = 28.\]
Le point H appartient donc à $\mathcal{C}_f$.

\subsection*{Question 6 \quad Réponse B}

On réduit d'abord la parenthèse au même dénominateur :
\[E = \left(\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{3}\right)\times\dfrac{2}{5}
= \left(\dfrac{3}{6} + \dfrac{2}{6}\right)\times\dfrac{2}{5}
= \dfrac{5}{6}\times\dfrac{2}{5} = \dfrac{10}{30} = \dfrac{1}{3}.\]

\subsection*{Question 7 \quad Réponse C}

Une hausse de 10\,\% correspond au coefficient multiplicateur $1,10$ et une baisse de
20\,\% au coefficient $0,80$. Le coefficient multiplicateur global est le produit
des deux :
\[1,10 \times 0,80 = 0,88 = 1 - 0,12.\]
Le prix a subi une baisse de 12\,\%.

\subsection*{Question 8 \quad Réponse C}

Toutes les grandeurs sont strictement positives :
\[g = \dfrac{Gm}{r^2} \iff r^2 g = Gm \iff r^2 = \dfrac{Gm}{g} \iff r = \sqrt{\dfrac{Gm}{g}}.\]

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (4 points)}

\emph{La pièce est équilibrée : $P(A) = P(B) = 0,5$. On a $P_A(D) = 0,6$ et $P_B\left(\overline{D}\right) = 0,8$.}

\begin{enumerate}
	\item La somme des probabilités issues d'un même n{\oe}ud vaut 1 :
	$P_A\left(\overline{D}\right) = 1 - 0,6 = 0,4$ et $P_B(D) = 1 - 0,8 = 0,2$.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=2.8cm, y=0.9cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (A) at (1,1.2) {$A$};
			\node (B) at (1,-1.2) {$B$};
			\node (D1) at (2,1.9) {$D$};
			\node (D1b) at (2,0.5) {$\overline{D}$};
			\node (D2) at (2,-0.5) {$D$};
			\node (D2b) at (2,-1.9) {$\overline{D}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (A) node[pos=0.5,above] {0,5};
			\draw (root.east) -- (B) node[pos=0.5,below] {0,5};
			% branches niveau 2
			\draw (A.east) -- (D1) node[pos=0.5,above] {0,6};
			\draw (A.east) -- (D1b) node[pos=0.5,below] {0,4};
			\draw (B.east) -- (D2) node[pos=0.5,above] {0,2};
			\draw (B.east) -- (D2b) node[pos=0.5,below] {0,8};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item $P(A \cap D) = P(A) \times P_A(D) = 0,5 \times 0,6 = 0,3$.

	La probabilité que le joueur pioche dans l'urne A et tire un jeton doré est égale à $0,3$.

	\item $A$ et $B$ forment une partition de l'univers. D'après la formule des probabilités totales :
	\[P(D) = P(A \cap D) + P(B \cap D) \]
	\[P(D) = P(A)\times P_A(D) + P(B)\times P_B(D) \]
	\[ P(D) = 0,5 \times 0,6 + 0,5 \times 0,2 = 0,3 + 0,1 = 0,4.\]

	\item On cherche $P_D(B)$. On a $P(B \cap D) = P(B) \times P_B(D) = 0,5 \times 0,2 = 0,1$, donc
	\[P_D(B) = \dfrac{P(B \cap D)}{P(D)} = \dfrac{0,1}{0,4} = 0,25.\]
	Sachant que le jeton obtenu est doré, la probabilité qu'il ait été pioché dans l'urne B
	est égale à $0,25$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points)}

\emph{Pour $t \in [0~;~13]$, $f(t) = \left(t^2 + t + 1\right)\e^{-t}$ où $t$ est le nombre
d'heures écoulées depuis l'injection et $f(t)$ la concentration du médicament dans le sang,
en g/L.}

\begin{enumerate}
	\item $f(0) = \left(0^2 + 0 + 1\right)\e^{0} = 1 \times 1 = 1$.

	Au moment de l'injection, la concentration du médicament dans le sang est de
	1~g/L.

	\item
	\begin{enumerate}
		\item $f$ est un produit $uv$ avec $u(t) = t^2 + t + 1$, $u'(t) = 2t + 1$ et
		$v(t) = \e^{-t}$, $v'(t) = -\e^{-t}$. Pour tout $t$ de $[0 ; 13]$ :
		\[f'(t) = (2t + 1)\e^{-t} + \left(t^2 + t + 1\right)\times\left(-\e^{-t}\right)
		= \e^{-t}\left[(2t + 1) - \left(t^2 + t + 1\right)\right]
		= \e^{-t}\left(-t^2 + t\right)\]
		donc $f'(t) = t(-t + 1)\e^{-t}$.

		\item Le facteur $t$ s'annule en 0 ;\\

		 $-t + 1 \geqslant 0 \iff t \leqslant 1$.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.6]
				{$t$/1,$t$/1,$-t+1$/1,$t(-t+1)$/1}{$0$,$1$,$13$}
				\tkzTabLine{z,+,,+,}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}
				\tkzTabLine{z,+,z,-,}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

		\item Pour tout réel $t$, $\e^{-t} > 0$ : le signe de $f'(t)$ est celui de
		$t(-t + 1)$.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.8]
				{$t$/1,$f'(t)$/1,$f$/2}{$0$,$1$,$13$}
				\tkzTabLine{z,+,z,-,}
				\tkzTabVar{-/,+/,-/}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

Il n'est pas demandé de calculer les images.
	\end{enumerate}

	\item Le médicament reste actif tant que $f(t) \geqslant 0,1$. Comme $f$ est décroissante sur $[1~;~13]$ :

\begin{center}
\begin{tblr}{hlines, vlines, colspec={c*{11}{X[c]}}, cells={font=\small}}
$t$ & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 \\
$f(t)$ & 0,647 & 0,385 & 0,209 & \textbf{0,107} & 0,052 & 0,025 & 0,011 & 0,005 & 0,002 & 0,001 & 0 \\
\end{tblr}
\end{center}

	$f(6) \approx 0,107 \geqslant 0,1$ et $f(7) \approx 0,052 < 0,1$.

	Le nombre maximal d'heures pendant lequel le médicament reste actif est
	$t_0 = 6$. La nouvelle injection doit être pratiquée au bout de
	6 heures.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3 (5 points)}

\emph{Chaque année, 80\,\% des donateurs de l'année précédente renouvellent leur don et
300 nouveaux donateurs s'ajoutent. $u_n$ désigne le nombre de donateurs de l'année
$2025 + n$, avec $u_0 = \np{1000}$.}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item $u_1 = \np{1000} \times 0,8 + 300 = 800 + 300 = \np{1100}$.

		En 2026, l'association comptera \np{1100} donateurs.

		\item D'une année à la suivante, on conserve 80\,\% des donateurs (on multiplie donc par $0,8$)
		et on ajoute les 300 nouveaux donateurs. Pour tout entier naturel $n$ :
		$u_{n+1} = 0,8u_n + 300$.
	\end{enumerate}

	\item $u_5$ concerne l'année $2025 + 5 = 2030$ : d'après ce modèle, l'association comptera environ \np{1336} donateurs en 2030.

	\item
	\begin{lstlisting}[style=python,xleftmargin=4.5cm,xrightmargin=4.5cm,numbers=none]
u = 1000
i = 0
while u <= 1400 :
    u = 0.8 * u + 300
    i = i + 1
\end{lstlisting}

	La boucle s'arrête dès que $u_i > \np{1400}$ : on a $u_7 \approx \np{1395} \leqslant \np{1400}$ et $u_8 \approx \np{1416} > \np{1400}$.

	$i = 8$ signifie que c'est en
	$2025 + 8 = 2033$ que le nombre de donateurs dépassera pour la première fois
	\np{1400}.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\emph{Pour tout entier naturel $n$, $v_n = u_n - \np{1500}$.}

\begin{enumerate}
	\item Pour tout entier naturel $n$ :
	\[v_{n+1} = u_{n+1} - \np{1500} = 0,8u_n + 300 - \np{1500} = 0,8u_n - \np{1200}
	= 0,8u_n - 0,8 \times \np{1500} = 0,8\left(u_n - \np{1500}\right) = 0,8v_n.\]
	$v_0 = u_0 - \np{1500} = \np{1000} - \np{1500} = -500$.

La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q = 0,8$ et de premier terme $v_0 = -500$.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout entier naturel $n$ : $v_n = v_0 \times q^n = -500 \times 0,8^n$.

		\item $u_n = v_n + \np{1500}$ donc, pour tout entier naturel $n$ : $u_n = \np{1500} - 500 \times 0,8^n$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}