% préambule APMEP - Annales
%
%%% Auteurs
% tapuscrit : Hubert Proton
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ : Hubert Proton
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
	pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (Première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité -- Polynésie -- 12 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\section*{\centering Partie 1 : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

{\bfseries
	Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.

	Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

	Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}
	Un article coûte 40~\euro{} et subit une augmentation de 30\,\%.

	Combien coûte-t-il après cette augmentation ?

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad \np{40.3}~\euro&
		\textbf{B.}\quad \np{52}~\euro&
		\textbf{C.}\quad \np{12}~\euro&
		\textbf{D.}\quad \np{70}~\euro\\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 2}

	On considère l'équation {$(-0,5x+3)(-5x-4)=0$}.

	Les solutions de cette équation sont :

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$\dfrac{0,5}{3}\text{ et }\dfrac54$}&
		\textbf{B.}\quad {$\dfrac{0,5}{3}\text{ et }-0,8$}&
		\textbf{C.}\quad {$6\text{ et }0,8$}&
		\textbf{D.}\quad {$6\text{ et }-0,8$}\\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 3}
	Un entraîneur choisit 8 joueurs dans une équipe.

	Cela représente 20\,\% de l'équipe.

	Combien y a-t-il de joueurs dans l'équipe ?

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$16$}&
		\textbf{B.}\quad {$20$}&
		\textbf{C.}\quad {$40$}&
		\textbf{D.}\quad {$32$}&
	\end{tblr}

\subsection*{Question 4}
	On peut calculer l'énergie cinétique d'un objet en mouvement.

	Cette énergie est notée {$E_C$} et elle est donnée par la formule {$E_C=\dfrac12~m~v^2$} (où $E_C$ s'exprime en joules, $m$ représente la masse de l'objet en kg et $v$ sa vitesse en m/s).

	\medskip

	L'expression permettant d'exprimer la vitesse $v$ en fonction de $E_C$ et de $m$ est :

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$v=\dfrac{{E_C} ^2}{2m}$}&
		\textbf{B.}\quad {$v=\sqrt{\dfrac{2~E_C }{m}}$}&
		\textbf{C.}\quad {$v=\sqrt{\dfrac{E_C }{2~m}}$}&
		\textbf{D.}\quad {$v=\sqrt{2~m~E_C }$}\\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 5}
\begin{minipage}{0.52\linewidth}
	On a représenté ci-contre la courbe de la fonction inverse définie sur \R* par {$f(x)=\dfrac{1}{x}$.}

	L'ensemble des solutions de l'inéquation {$\dfrac1 x \geqslant  2$} est :

	\begin{tblr}{colspec = {*2{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$\left]0;\dfrac12\right]$}&
		\textbf{B.}\quad {$\left]0;2\right]$}\\
		\textbf{C.}\quad {$\left[2;+\infty\right[$}&
		\textbf{D.}\quad {$\left]-\infty;0 \vphantom{\dfrac{1}{2}}\right[\cup\left[\dfrac12;+\infty\right[$}\\
	\end{tblr}
\end{minipage}\hfill
\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},> = stealth]
	\clip(-3.4,-3.4)rectangle(3.4,3.4);
	\draw[gray!65, line width=0.3pt](-3.4,-3.4)grid[xstep=0.2,ystep=0.2](3.4,3.4);
	\draw[gray!75,line width = 0.6pt](-3.4,-3.4)grid(3.4,3.4);
	\draw[black, line width=0.3mm,->](-3.4,0)--(3.4,0);
	\draw[black, line width=0.3mm,->](0,-3.4)--(0,3.4);
	\foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3}
	{\draw (\i,2pt)--(\i,-2pt)node[below]{{\small \np{\i}}} (2pt,\i)(-2pt,\i)node[left]{{\small \np{\i}}};}
	\draw(-2pt,-2pt)node[below left]{{\small \np{0}}};
	\draw[red, line width=1.2pt]plot[smooth,samples=50, domain=-3.4:-0.1](\x,{1/\x});
	\draw[red, line width=1.2pt]plot[smooth,samples=50, domain=0.1:3.4](\x,{1/\x});
\end{tikzpicture}\hfill~

\subsection*{Question 6}
	Le nombre {$2^9\times5^7$} est égal à :

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$10^{16}$}&
		\textbf{B.}\quad {$4\times10^7$}&
		\textbf{C.}\quad {$10^{63}$}&
		\textbf{D.}\quad {$4\times10^{14}$}\\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 7}
	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\clip(-2.3,-.65)rectangle(9.2,6.4);
		\draw[gray!75,line width=0.6pt](-2.3,-0.5)grid(9.2,6.4);
		\draw[line width=0.8pt,->, >=stealth](-2.3,0)--(9.2,0);
		\draw[line width=0.8pt,->, >=stealth](0,-0.5)--(0,6.4);
		\foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
		{\draw (\i,2pt)(\i,-2pt)node[below]{{\small \np{\i}}} (2pt,\i)--(-2pt,\i)node [left]{{\small \np{\i}}};}
		\draw(-2pt,-2 pt)node[below left]{{\small \np{0}}};
		\draw[red, line width=1.2pt] (-2.3,6.58) -- (9.2,-0.32) node[pos=0.11, below left]{$(d)$};
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Parmi les équations réduites de droites proposées, laquelle est celle de la droite $(d)$ tracée dans le repère ci-dessus?

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$y=-\np{5.2}x+\np{8.6}$}&
		\textbf{B.}\quad {$y=\np{0.6}x+\np{5.2}$}&
		\textbf{C.}\quad {$y=\np{5.2}x+\np{8.6}$}&
		\textbf{D.}\quad {$y=-\np{0.6}x+\np{5.2}$}\\
	\end{tblr}

\subsection*{Question 8}
	Quelle est la forme factorisée de l'expression \quad {$16x^2-(x+1)^2$} ?

	\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$(3x-1)^2$}&
		\textbf{B.}\quad {$(3x-1)(5x+1)$}&
		\textbf{C.}\quad {$(15x-1)^2$}&
		\textbf{D.}\quad {$(15x-1)(17x+1)$}\\
	\end{tblr}

\section*{\centering Partie 2 (14 pts)}

\section*{Exercice 1 (8 points)}

\subsection*{Partie A}
	Un club de vacances propose deux types d'activités à ses clients : des randonnées le matin et des activités nautiques l'après-midi.

	\medskip

	On sait que
	\begin{itemize}[left=5mm]
		\item un quart des clients participent aux randonnées;

		\item parmi les clients ayant choisi de faire une randonnée le matin, la moitié s'inscrit aussi aux activités nautiques de l'après-midi;

		\item parmi les clients n'ayant pas choisi de faire une randonnée le matin, un tiers s'inscrit aux activités nautiques de l'après-midi.
	\end{itemize}

	On choisit un client du club de vacances au hasard et on note :
	\begin{itemize}[left=5mm]
		\item $R$ l'évènement: \og{}le client participe à la randonnée\fg{};

		\item $N$ l'évènement : \og{}le client participe aux activités nautiques\fg{}.
	\end{itemize}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'arbre de probabilité représentant la situation.

		\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\node(n0)at(0,0){};
			\node(n1_1)at(3,1){$R$};
			\node(n1_2)at(3,-1){$\overline{R}$};
			\node(n2_1)at(6,1.5){$N$};
			\node(n2_2)at(6,0.5){$\overline{N}$};
			\node(n2_3)at(6,-0.5){$N$};
			\node(n2_4)at(6,-1.5){$\overline{N}$};
			\draw(n0.east)--(n1_1)node[pos=0.6,fill=white]{\dots};
			\draw(n0.east)--(n1_2)node[pos=0.4,fill=white]{\dots};
			\draw(n2_1)--(n1_1.east)node[pos=0.6,fill=white]{\dots};
			\draw(n2_2)--(n1_1.east)node[pos=0.4,fill=white]{\dots};
			\draw(n2_3)--(n1_2.east)node[pos=0.6,fill=white]{\dots};
			\draw(n2_4)--(n1_2.east)node[pos=0.4,fill=white]{\dots};
		\end{tikzpicture}
		\end{center}

		\item Montrer que la probabilité que le client participe aux activités nautiques est de {$\dfrac38$}.

		\item Sachant que le client a participé aux activités nautiques de l'après-midi, quelle est la probabilité qu'il ait fait la randonnée du matin ?

		\item Les évènements $R$ et $N$ sont-ils indépendants ?
		Justifier.
	\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Partie B}
	En 2025, le club a accueilli 400 clients.

	Son directeur projette la fréquentation du club dans les années à venir en modélisant le nombre de clients du club les années suivantes par la suite {$(u_n)$} définie par :

	\begin{center}
		{$u_0=400$} \quad et, pour tout entier naturel $n$, \quad {$u_{n+1}=\np{1.025}u_n$}
	\end{center}

	où $u_n$ représente le nombre de clients du club pour l'année {$2025+n$}.

	\begin{enumerate}
		\item Donner la nature de la suite $(u_n)$ en précisant sa raison.

		\item Selon ce modèle, quel est le taux d'évolution annuel de la fréquentation de ce club de vacances ?

		\item \begin{enumerate}
			\item \begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
				Recopier et compléter la fonction \texttt{seuil}, codée en python, afin qu'elle renvoie la plus petite valeur de $n$ telle que $u_n$ soit supérieure ou égale à $k$, où $k$ est un entier naturel non nul.
			\end{minipage}\hfill
			\begin{minipage}[t]{0.33\linewidth}
			\begin{lstlisting}[style=python,numbers=none]
def seuil (k) :
	u = 400
	n = 0
	while ...... :
		n = ...
		u = ...
	return ...
			\end{lstlisting}
			\end{minipage}

			\item \begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
			Le tableau ci-contre a été extrait d'une feuille automatisée de calcul donnant les valeurs arrondies au centième de {$\np{1.025}^n$} pour certaines valeurs de $n$.

			\bigskip

			Déterminer la valeur renvoyée par \texttt{seuil(600)}, où \texttt{seuil} est la fonction codée en python donnée en \textbf{3.a.}.

			\bigskip

			Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.

			\bigskip

			\hfill~\fcolorbox{black}{white}{%
			\begin{minipage}[t]{0.5\linewidth}\vspace{0cm}
			\textbf{Aide aux calculs :}

			{$400\times\np{1.5}=600$}
			\end{minipage}
			}\hfill~
			\end{minipage}\hfill~
			\begin{tblr}[T]
				{hlines, vlines, columns={c},column{2}={wd=1cm},
				cells={font=\sffamily},
				row{1}={rowsep=0pt,ht=7mm, bg=gray9},row{2-Z}={m},
				column{1}={colsep=0pt,7mm,bg=gray9},
				cell{1}{1}={gray9,cmd={\tikz[baseline={(0,0.05)}]{\clip(0,0) rectangle (0.6,0.5) ;\fill[gray!50] (0,0)--(0.5,0.5)--(0.5,0);}}}				}
				   & A  & B          \\
				1  & n  & 1,025\^{}n \\
				2  & 0  & 1,00       \\
				3  & 1  & 1,03       \\
				4  & 2  & 1,05       \\
				5  & 3  & 1,08       \\
				6  & 4  & 1,10       \\
				7  & 5  & 1,13       \\
				8  & 6  & 1,16       \\
				9  & 7  & 1,19       \\
				10 & 8  & 1,22       \\
				11 & 9  & 1,25       \\
				12 & 10 & 1,28       \\
				13 & 11 & 1,31       \\
				14 & 12 & 1,34       \\
				15 & 13 & 1,38       \\
				16 & 14 & 1,41       \\
				17 & 15 & 1,45       \\
				18 & 16 & 1,48       \\
				19 & 17 & 1,52       \\
				20 & 18 & 1,56       \\
				21 & 19 & 1,60       \\
				22 & 20 & 1,64       \\
				23 & 21 & 1,68       \\
			\end{tblr}\hfill~
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (6 points)}

\subsection*{Partie A}

	On considère la fonction $f$ définie sur \R{} par :\quad $f(x)=\left(\dfrac12 x + 1\right) \e^{-x}$.

	On note {$(\mathcal{C}_f)$} sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

	On admet que la fonction $f$ est dérivable sur \R et on désigne par $f'$ sa fonction dérivée.

	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que, pour tout réel $x$,\quad
		$f'(x)=\left(-\dfrac12 x -\dfrac12\right) \e^{-x}$.

		\item Étudier les variations de la fonction $f$ sur \R.

		\item L'affirmation \og{}Pour tout réel $x$, {$f(x)\leqslant 2$}\fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.

		\item Déterminer l'équation réduite de la tangente à {$(\mathcal{C}_f)$} au point d'abscisse 0.
	\end{enumerate}
	\begin{center}
		\fcolorbox{black}{white}{%
		\begin{minipage}[t]{0.8\linewidth}\vspace{0cm}
		\textsc{Aide aux calculs}
		\medskip

		\begin{tblr}{X[c]X[c]X[c]}
		{$\e^{1}\approx\np{2.7}$}&
		{$\e^{-1}\approx\np{0.4}$}&
		{$\e^{2}\approx\np{7.4}$}
		\end{tblr}
		\end{minipage}
		}
	\end{center}

	\subsection*{Partie B}

	Soit $g$ la fonction polynôme du second degré définie par \quad $g(x)=0,5x^2+bx+c$

	où $b$ et $c$ sont deux réels.

	On crée la courbe représentée ci-dessous, constituée des deux éléments suivants :
	\begin{itemize}[left=5mm]
		\item Une partie de la courbe {$(\mathcal{C}_f)$} représentative de la fonction $f$ définie dans la \textbf{partie A} sur l'intervalle {$[-2;0]$}.

		\item Une partie de la courbe {$(\mathcal{C}_g)$} représentative de la fonction $g$  sur l'intervalle {$[0;3]$}.
	\end{itemize}

	\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x =1.3 cm,y=1.3cm]
		\clip(-3.2,-0.6)rectangle(3.9,4.3);
		\draw[gray!75,line width=0.6pt,xstep=1,ystep=1](-3.2,-0.6)grid(3.9,4.3);
		\draw[line width=0.8pt,->, >=stealth](-3.2,0)--(3.9,0);
		\draw[line width=0.8pt,->, >=stealth](0,-0.6)--(0,4.3);
		\foreach \i in {-3,-2,-1,1,2,3,4}
			{\draw (\i,2pt)--(\i,-2pt) node[below ]{\np{\i}} (2pt,\i)--(-2pt,\i)node[left]{\np{\i}};}
		\draw(-2pt,-2pt) node[below left]{\np{0}};
		\draw[red](-1.5,1.5)node{{$(\mathcal{C}_f)$}};
		\draw[purple](2.6,2.2)node{{$(\mathcal{C}_g)$}};
		\node[draw,cross out, thick,minimum width=2pt, minimum height = 2pt] at (0,1){}; \draw(0,1)node[above right=1.5pt]{M};
		\draw[red, line width=1.2pt]plot[smooth,domain=-2:0]	(\x,{(\x/2+1)*exp(-\x)});
		\draw[purple, line width=1.2pt]plot[smooth,domain=0:3](\x,{\x*\x/2-\x/2+1});
	\end{tikzpicture}
	\end{center}
	Le but de cette partie est de déterminer les valeurs des réels $b$ et $c$.

	\begin{enumerate}
		\item Le point {M~$(0;1)$} appartient aux deux courbes  {$(\mathcal{C}_f)$} et  {$(\mathcal{C}_g)$}.

		Démontrer que {$c=1$}.

		\item Au point  {M~$(0;1)$} les courbes  {$(\mathcal{C}_f)$} et  {$(\mathcal{C}_g)$} admettent la même tangente.

		Déterminer la valeur de $b$.
		\end{enumerate}
\end{document}