\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série avec spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Antilles-Guyane -- Septembre 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows,decorations.pathmorphing}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- avec spécialité\\[6pt]
	Antilles-Guyane -- 11 septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\begin{center}
	Voie générale : candidats suivant l'enseignement de spécialité de mathématiques.

	Durée : 2 heures -- L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{center}

\emph{La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}

On considère deux réels quelconques $a$ et $b$ ainsi que le réel $E$ défini par
\[ E = -(a-b) + a - b. \]

On peut affirmer que :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $E=0$ &
	\textbf{B.}\quad $E=2a$ &
	\textbf{C.}\quad $E=2b$ &
	\textbf{D.}\quad $E=-2b$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 2}

On note $S$ l'ensemble des solutions de l'équation $x^2=6$ dans $\R$.

On peut affirmer que :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{2}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $S = \left\{-\sqrt{3} ; \sqrt{3}\right\}$ &
	\textbf{B.}\quad $S = \{-3 ; 3\}$ \\
	\textbf{C.}\quad $S = \varnothing$ &
	\textbf{D.}\quad $S = \left\{-\sqrt{6} ; \sqrt{6}\right\}$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 3}

Une expression développée de $(3x-5)^2$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $9x^2+25$ &
	\textbf{B.}\quad $9x^2-25$ &
	\textbf{C.}\quad $3x^2-30x+25$ &
	\textbf{D.}\quad $9x^2-30x+25$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 4}

\begin{minipage}[t]{0.55\linewidth}
	On a représenté ci-contre une droite dans un repère orthonormé.

	Une équation de cette droite est :

	\medskip
	\begin{tblr}{colspec = {@{}*{2}{X}}, rowsep=4pt}
		\textbf{A.}\quad $y = -\dfrac{1}{2}x+3$ &
		\textbf{B.}\quad $y = -2x+3$ \\
		\textbf{C.}\quad $y = -6x+3$ &
		\textbf{D.}\quad $y = \dfrac{3}{6}x+3$ \\
	\end{tblr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=0.7cm,y=0.7cm,>=stealth,baseline={(current bounding box.north)}]
	\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-2,-1) grid (8,4);
	\draw[->,line width=1pt] (-2,0) -- (8,0);
	\draw[->,line width=1pt] (0,-1) -- (0,4);
	\foreach \x in {-2,-1,1,2,3,4,5,6,7} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
	\foreach \y in {-1,1,2,3} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
	\clip (-2,-1) rectangle (8,4);
	\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=-2:8] (\x,{-0.5*\x+3});
\end{tikzpicture}

\subsection*{Question 5}

La moitié de $2^{10}$ est égale à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $1^{10}$ &
	\textbf{B.}\quad $2^5$ &
	\textbf{C.}\quad $2^9$ &
	\textbf{D.}\quad $\left(\dfrac{1}{2}\right)^{10}$ \\
\end{tblr}



\subsection*{Question 6}

On considère la formule $a = \dfrac{1}{2}bx^2$, où $a$, $b$ et $x$ sont des réels strictement positifs.

On peut affirmer que :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $x = \sqrt{\dfrac{a}{2b}}$ &
	\textbf{B.}\quad $x = \sqrt{\dfrac{2a}{b}}$ &
	\textbf{C.}\quad $x = \dfrac{2a^2}{b}$ &
	\textbf{D.}\quad $x = \dfrac{\sqrt{a}}{2b}$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 7}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x-6)(-x+1)$.

Le tableau de signes sur $\R$ de la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{2}{X}}, rowsep=6pt}
	\textbf{A.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.35]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$-1$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{B.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.35]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$1$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	\\
	\textbf{C.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.35]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$1$,$3$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{D.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.35]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$-3$,$1$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
	\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 8}

Un prix baisse de 20\,\% puis encore de 30\,\%.

Ces deux baisses sont équivalentes à une baisse de :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 44\,\% &
	\textbf{B.}\quad 50\,\% &
	\textbf{C.}\quad 56\,\% &
	\textbf{D.}\quad 60\,\% \\
\end{tblr}

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par
\[ f(x) = x^2+2x-3. \]

La courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère orthogonal se note $\mathcal{P}$.

\begin{enumerate}
	\item La courbe $\mathcal{P}$ est une parabole. Déterminer les coordonnées de son sommet.

	\item On considère la fonction $g$ définie sur $\R$ par
	\[ g(x) = x^2+x-6. \]
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $-3$ et $2$ sont racines de la fonction $g$.
		\item Déterminer le tableau de signes de la fonction $g$ sur $\R$.
	\end{enumerate}

	\item On considère la fonction $h$ définie sur $\R$ par
	\[ h(x) = x+3. \]
	La courbe représentative de la fonction $h$ se note $\mathcal{D}$.

	Vérifier que pour tout réel $x$, on a $f(x) - h(x) = g(x)$.

	\item En déduire la position relative des courbes $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$.

	On déterminera les coordonnées des éventuels points d'intersection.

	\item Réaliser un schéma donnant l'allure des courbes $\mathcal{P}$ et $\mathcal{D}$ sur lequel figureront les résultats établis à la question \textbf{1.} et à la question \textbf{4.}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (5 points)}

Une société de transport possède deux types de véhicules : des fourgons et des camions. Certains véhicules sont en bon état, les autres sont en mauvais état.

On sait que :
\begin{itemize}
	\item 60\,\% des véhicules sont des fourgons, et parmi eux, 50\,\% sont en bon état ;
	\item 40\,\% des véhicules sont des camions.
\end{itemize}

On sait par ailleurs que 66\,\% de l'ensemble des véhicules sont en bon état.

Un véhicule est choisi au hasard. On considère les évènements :
\begin{itemize}[left=5mm,label={}]
	\item $F$ : \og le véhicule est un fourgon \fg{} ;
	\item $B$ : \og le véhicule est en bon état \fg.
\end{itemize}

La probabilité de l'évènement $B$ sachant que l'évènement $\overline{F}$ est réalisé est notée $x$, où $x$ est un réel.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=3cm, y=1cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (A) at (1,1) {$F$};
			\node (Abar) at (1,-1) {$\overline{F}$};
			\node (B1) at (2,1.6) {$B$};
			\node (B1b) at (2,0.4) {$\overline{B}$};
			\node (B2) at (2,-0.4) {$B$};
			\node (B2b) at (2,-1.6) {$\overline{B}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (A) node[pos=0.5,above] {\ldots};
			\draw (root.east) -- (Abar) node[pos=0.5,below] {\ldots};
			% branches niveau 2
			\draw (A.east) -- (B1) node[pos=0.5,above] {\ldots};
			\draw (A.east) -- (B1b) node[pos=0.5,below] {\ldots};
			\draw (Abar.east) -- (B2) node[pos=0.5,above] {$x$};
			\draw (Abar.east) -- (B2b) node[pos=0.5,below] {$1-x$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item Montrer que la probabilité que le véhicule choisi soit un fourgon en bon état est égale à $0,3$.
	\item On sait que le véhicule choisi est en bon état. Déterminer la probabilité que ce soit un fourgon. On donnera le résultat sous la forme d'une fraction irréductible.
	\item Montrer que le réel $x$ est solution de l'équation $0,4x+0,3=0,66$.
	\item Résoudre l'équation et interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (4 points)}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse. Une réponse non justifiée n'est pas prise en compte.}

\emph{Les deux questions sont indépendantes.}

\begin{enumerate}
	\item On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(x) = x\,\mathrm{e}^x$.

	On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

	\textbf{Affirmation :} la fonction $f$ est croissante sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$.

	\item On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ telle que $u_2=50$ et $u_6=51$.

	\textbf{Affirmation :} on a $u_{26}=56$.
\end{enumerate}
\end{document}