% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Aymeric Picaud
% relecture : Hubert Proton
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% version 1 : 2026-07-13
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\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

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%%% codage et police utilisée
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% Enumérations réglage par défaut
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    pdfsubject = {Première, sans spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Session 2026 -- générale},
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\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

% Réglage entête, pied de page
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

% Titre
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]Corrigé\\[10pt]générale - sans spécialité - Polynésie - 12 juin 2026 }}
\end{center}

\section*{PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 points)}

\subsubsection*{Question 1}

$\dfrac{1}{3} \times \dfrac{6}{5}-\dfrac{1}{5} =  \dfrac{1 \times 2 \times 3}{3 \times 5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5}$

Bonne réponse : \textbf{C.~~} $\dfrac{1}{5}$


\subsubsection*{Question 2}

$\begin{aligned}
	3 x+2= -5 x+4
	&\iff 3x + 5x + 2 = 4 \\
	&\iff  8x + 2 =  4  \\
	&\iff  8x  =  2 \\
	&\iff x = \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}
\end{aligned}$

Bonne réponse : \textbf{C.~~} $x= \dfrac{1}{4}$

\subsubsection*{Question 3}

$(2x - 3)(2x + 3) = 2x\times 2x + 2x\times 3 + (-3)\times 2x + (-3)\times 3 = 4x^2 - 9$

Bonne réponse : \textbf{D.~~}$4x^2 - 9$

\subsubsection*{Question 4}

$5~\% = \dfrac{5}{100} = \dfrac{20}{400}$. L'effectif total des animaux est 400.

Bonne réponse : \textbf{B.~~} 400

\subsubsection*{Question 5}
$\np[km]{30} = \np[h]{0.5} \times \np[km/h]{60}$ et $\np[h]{0.5} = \np[min]{30}$.

Bonne réponse : \textbf{A.~~} 30

\subsubsection*{Question 6}
Augmenter de $5~\%$ par an c'est multiplier par \np{1.05} chaque année. Au bout de trois ans cela revient à multiplier par $\np{1.05}\times\np{1.05}\times\np{1.05} = \np{1.05}^3$.

Bonne réponse : \textbf{B.~~} $1,05^{3}$


\subsubsection*{Question 7}
Par lecture graphique, pour $x = 0$, $y = -1$. Seules les réponses A et B peuvent convenir.

Par lecture graphique, pour $x = 4$, $y = 0$. Par calcul : $4\times 4 - 1 = 15$  et $\dfrac{1}{4}\times 4 - 1 = 0$.

Bonne réponse : \textbf{B.~~} $y=\dfrac{1}{4} x - 1$


\subsubsection*{Question 8}
Bonne réponse : \textbf{A.~~}$f$ est croissante sur $[-2 ; 0]$


\section*{DEUXIÈME PARTIE (14 points)}
\section*{Exercice 1 (6 points)}


\subsection*{Partie A}
\begin{enumerate}
  \item
Les points représentés par des croix sont alignés, ce qui caractérise une progression arithmétique. C'est-à-dire l'ajout d'une même quantité ($-15$) pour obtenir un terme à partir du précédent.

  \item
Au rang 4, la croix est au-dessus du point. Donc à partir de 2024 ($2020+4$), l'entreprise B produit moins de déchets plastiques que l'entreprise A.

  \item
L'année 2030 correspond au rang 10. On lit pour le rang $10$, l'ordonnée du point (croix) environ 350, en tout cas supérieure à 250, la moitié de 500. L'objectif de l'entreprise A n'est pas atteint.


\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item

		$u_{1} = u_{0} - 15 = 500 - 15 = 485 $

		Selon le modèle, en 2021, l'entreprise A produit 485 tonnes de déchets.


		\item
$u_{n+1}$ est la quantité en tonnes de déchets produits par l'entreprise A une année après qu'elle en a produit  $u_{n}$, soit suivant le modèle : $u_{n+1} = u_{n} - 15$. Cette relation de récurrence caractérise une suite arithmétique de raison $-15$.


	\end{enumerate}

	\begin{enumerate}[resume]
		\item
		On doit saisir «\textsf{=C3\,-\,15}».


		\item
En 2037, la quantité de déchets devient inférieure à 250 tonnes (la moitié de 500), soit au bout de 17 ans.

	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item
		$v_{n+1}$ est obtenu en réduisant $v_{n}$ de 8~\%. Réduire de 8~\%, c'est multiplier par \np{0.92}. Soit $v_{n+1}=0,92 v_{n}$.

		\item
		La relation de récurrence $v_{n+1}=0,92 v_{n}$ caractérise une suite géométrique de raison $0,92$.

		\item
		$v_{n} = v_{0}\times 0,92^{n}$

		\item
			Il faut déterminer $n$ tel que $0,92^{n} < \np{0.5}$. On lit dans le tableau que cela correspond à $n=9$.

			L'entreprise B aura atteint son objectif de réduire au moins de moitié ses déchets plastiques en 2029 ($2020+9$).

	\end{enumerate}
\end{enumerate}



\section*{Exercice 2 (4 points)}

\begin{enumerate}
\item $x = 600 - 450 = 150$

$y = 750 - 450 = 300$

Dans le contexte de l'exercice :
\begin{itemize}
	\item $x$ : il y a 150 graines de basilic qui germent.
	\item $y$ : il y a 300 graines d'estragon qui ne germent pas.
\end{itemize}


\item
On considère que chaque graine a la même probabilité d'être semée.

\textbf{Hypothèse d'équiprobabilité} : les proportions sont assimilables à des probabilités.

\begin{enumerate}
	\item Il y a \np{1000} graines, dont 600 de basilic, donc :\quad
	$P(B) = \dfrac{600}{\np{1000}} = \np{0.6}$.

	Et il y a 400 graines d'estragon, donc :\quad
	$P(E) = \dfrac{400}{\np{1000}} = \np{0.4}$.

	\item
$E \cap G$ est l'évènement «~La graine semée est une graine d'estragon et elle germe.~»

	100 graines sont des graines d'estragon qui germent, donc :\quad
	$P(E \cap G) = \dfrac{100}{\np{1000}} = \np{0.1}$.



	\item Parmi les 250 graines qui germent, 100 sont des graines d'estragon, donc :

	$P_{G}(E) = \dfrac{100}{250} = \dfrac{400}{\np{1000}} = \np{0.4}$.

	\item Parmi les 400 graines d'estragon, 100 germent, donc : \quad$P_{E}(G) = \dfrac{100}{400} = \dfrac{1}{4}$.

	\item
	L'affirmation du jardinier revient à dire que les évènements $G$ et $E$ sont indépendants.

	Or $P_{G}(E) = P(E)$, ce qui prouve que les évènements $G$ et $E$ \textbf{sont} indépendants (ou, de façon équivalente que $G$ et $B$ sont indépendants, car $B$ est l'évènement contraire de $E$).
	\end{enumerate}
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 (4 points)}


\begin{enumerate}
\item Par lecture graphique :
	\begin{enumerate}
		\item
		$f(5)\approx 180$. \quad La cinquième semaine le nombre de malades est proche de 180.

		\item
		Le pic est atteint pour $x=8$, donc lors de la huitième semaine de l'épidémie.

		Le nombre maximum de malades est entre 240 et 280, environ 260.
	\end{enumerate}

\item
	\begin{enumerate}
		\item
		 $f(1) = - 1^{3} + 12\times 1^{2} + 4 = -1 + 12 + 4 = 15 $.

		 Selon ce modèle, 15 personnes sont malades à la fin de la première semaine.

		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ; 12]$,
		\quad$f'(x)= (-1) \times 3x^2 + 12\times 2x = -3x^2+24x$.

		et \quad$3x (-x+8) = -3 x^2 + 24x$.

		Ainsi $f'(x) = 3x (-x+8)$.

		\item
		$f(0) =-0^3 + 12\times 0^{2} + 4 = 4$

		$f(12) =-12^3 + 12\times 12^{2} + 4 = -12^3 + 12^3 + 4 = 4$

		Pour tout $x\in ]0 ; 12]$,\quad  $ 3x > 0 $

		$\begin{aligned}[t]
			-x+8 = 0 &\iff 8 = x \\
			&\iff x = 8
		\end{aligned}$
		\quad et \quad
		$\begin{aligned}[t]
			-x+8 > 0 &\iff 8 > x \\&\iff x < 8
		\end{aligned}$


		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
					\tkzTabInit[lgt=3.5,espcl=4]
					{	$x$/0.7,
						Signe de $3x$/1.4,
						Signe de $(-x+8)$/1.4,
						Signe de $f'(x)$/1.4,
						Variations de $f$/3.4
					}
					{$0$ ,8 , $12$}
				\tkzTabLine{z,+,t,+,}
				\tkzTabLine{t,+,z,-,}
				\tkzTabLine{z,+,z,-,}
				\tkzTabVar{-/4,+/$f(8)$,-/4}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}


		\item Déterminer la valeur exacte du nombre de malades la semaine où a eu lieu le pic de l'épidémie.

		Le maximum est atteint pour $x=8$.

		$f(8) = -8^3 + 12 \times 8^2 + 4 = -512 + 768 + 4 = 256 + 4 = 260$

		Le maximum du nombre de malades est $f(8) = 260$

	\end{enumerate}
\end{enumerate}




% Fin du document
\end{document}
