% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Hubert Proton
% relecture : François Kriegk
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% version 1 : 2026-07-15
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\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
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	\usepackage{amsmath,amssymb}
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    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
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\usepackage{tabularx}
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
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% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
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% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left = 1.5cm,right = 1.5cm,top = 3cm,bottom = 3cm]{geometry}
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%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor  =  {APMEP},
    pdfsubject  =  {Première, Série sans spécialité},
    pdftitle  =  {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
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% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
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  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style = python]
%def seuil():
%    n  =  1
%    p  =  0.5
%    while p < 0.6 :
%       n  =  n + 1
%       p  =  p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
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%% pour TikZ
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\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
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%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
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%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
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%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{15 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- Série sans spécialité -- Asie -- 15 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}

\section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)\hfill~}

\subsection*{Question 1}
	10~\% c'est un dixième, donc il a perdu \np[~g]{0.5}, et sa masse est passée à \np[~g]{4.5}.

	\textbf{Bonne réponse : C.}

\subsection*{Question 2}
	Augmenter une valeur de 15~\% revient à la multiplier par \quad $\dfrac{100+15}{100} = \dfrac{115}{100} = \np{1.15}$.

	\textbf{Bonne réponse : B.}

\subsection*{Question 3}
	$100 = 5\times 20$, \quad donc \quad $\dfrac25 = \dfrac{2\times20}{5\times20} = \dfrac{40}{100} = \np[~\%]{40}$.

	\textbf{Bonne réponse : C}

\subsection*{Question 4}
	On applique les règles de manipulation des puissances  :\quad $\big(a^b\big)^c  =  a^{b \times c}$ \quad et  \quad $a^b \times a^c  =  a^{b + c}$.

	$B = 5^{3\times4}\times5^{10} = 5^{12}\times5^{10} = 5^{12+10} = 5^{22}$.

	\textbf{Bonne réponse : C.}

\subsection*{Question 5}
	Le triple de $3^{12}$ c'est \quad $3\times3^{12} = 3^1\times3^{12} = 3^{1+12} = 3^{13}$.

	\textbf{Bonne réponse : C.}

\subsection*{Question 6}
	C'est une identité remarquable :\quad $(2x+5)^2 = (2x)^2+2\times(2x)\times5+5^2 = 4x^2+20x+25$.

	\textbf{Bonne réponse : D.}

\subsection*{Question 7}
	Il y a deux réels dont le carré est égal à 5 : \quad $\sqrt{5}$ et $-\sqrt{5}$.

	Si on veut détailler :\quad $\begin{aligned}[t]
		x^2 = 5
		&\iff x^2 - 5 = 0\\
		&\iff x^2 - \left(\sqrt{5}\right)^2 = 0\quad \text{on reconnaît une identité remarquable}\\
		&\iff \left(x+\sqrt5\right)\left(x-\sqrt5\right) = 0\quad\text{d'après la règle du produit nul :}\\
		&\iff x+\sqrt5 = 0 \quad \text{ou}\quad x-\sqrt5=0\\
		&\iff x=-\sqrt5 \quad \text{ou}\quad x =\sqrt5
	\end{aligned}$

	Il y a donc bien deux solutions $-\sqrt5\text{ et }\sqrt5$.

	\textbf{Bonne réponse : D.}

\subsection*{Question 8}
	$\np[cm]{1} = \np[mm]{10}$\quad donc \quad $\np[cm^3]{1} = 10^3\,\text{mm}^3 = \np[mm^3]{1000}$.

	Dans un cm\up{3}, il y a \np{1000}~mm\up{3}, il faut donc diviser la valeur en mm$^3$ par \np{1000} pour obtenir la valeur en cm$^3$ :
	\quad
	$\np[mm^3]{3400} = \dfrac{\np{3400}}{\np{1000}}\,\text{cm}^3 = \np[cm^3]{3,4}$.

	\textbf{Bonne réponse : A.}

\subsection*{Question 9}
	Puisque A appartient à la parabole de la fonction carré, son ordonnée vérifie :\quad $y_\text{A} = (-3)^2 = 9$.

	\textbf{Bonne réponse : D.}

\subsection*{Question 10}
	La somme des probabilités de toutes les issues est égale à 1, donc : \quad  $\np{0.1}+\np{0.25}+\np{0.3}+x = 1$,

	c'est-à-dire :\quad $\np{0.65}+x = 1$, \quad donc \quad $x = \np{0.35}$.

	\textbf{Bonne réponse : A.}

\subsection*{Question 11}
	$\dfrac15 = \dfrac{2}{10} = \np{0.2}$ est plus grand que \np{0.1}.

	\emph{Remarque :} On a aussi :$10^{-2} = 0,01 < 0,1$;\quad $7\,\% = 0,07 < 0,1$ \quad et  comme \quad $12 > 10$ \quad et que la fonction inverse est strictement décroissante  sur $\R^{*+}$, on a :\quad $\dfrac{1}{12} < \dfrac{1}{10}$\quad soit \quad $\dfrac{1}{12} < 0,1$.

	\textbf{Bonne réponse : C.}

\subsection*{Question 12}
	Calculons :\quad
	$A = \dfrac{3 \times 2}{5} + 1 = \dfrac{6}{5} + 1 = \dfrac65+\dfrac55 = \dfrac{11}{5}$.

	\textbf{Bonne réponse : A.}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~}

\section*{Exercice 1 (5 points)}
	\textbf{Affirmation 1 : Fausse.}

	Le budget total pour un vélo est égal à $300+45+60 = 405$~\euro (document n°1), soit plus de 400~\euro.

	Donc, pour cinq vélos, le montant serait \np[\euro]{2025}, supérieur à \np{2000}~\euro, qui est le montant maximum prévu par la proviseure (document n°4).

	On ne pourra pas installer cinq vélos avec ce budget, l'affirmation est fausse.

\vspace{5mm}
\textbf{Affirmation 2 : Vraie.}

	En pédalant pendant une heure (60 minutes), on récupère \np[~kJ]{100} (document n°1).

	Il y a une relation de proportionnalité entre la durée du pédalage et l'énergie récupérée.

	Pour charger un téléphone portable, il faut \np[~kJ]{40} (document n°2):

	\begin{tabular}{c|c|c}
		durée&60  &$x$ \\\hline
		énergie&100  & 40 \\
	\end{tabular}\quad
	Il faut $\dfrac{40\times60}{100} = \dfrac{\np{2400}}{100} = 24$ minutes de pédalage pour récupérer \np[~kJ]{40}, et ainsi pouvoir charger un téléphone portable, donc l'affirmation est vraie.

\vspace{5mm}
\textbf{Affirmation 3 : Vraie.}

	Comme on choisit un élève au hasard, on est en situation d'équiprobabilité, donc les proportions sont assimilables à des probabilités.

	Parmi les 560 élèves favorables au projet, 180 sont des élèves de première (document n°3), donc la probabilité recherchée est $\dfrac{180}{560} = \dfrac{18}{56} = \dfrac{9}{28}$.

	On se souvient que $7\times4 = 28$ : le quart de 28 est donc 7, et donc $\dfrac{9}{28}$ est plus grand qu'un quart, l'affirmation est vraie.

\vspace{5mm}
\textbf{Affirmation 4 :}

	Deux conditions doivent être remplies pour que le projet soit lancé (document n°4):
	\begin{itemize}
		\item plus de la moitié des élèves du lycée doivent se déclarer favorables à cette initiative : c'est le cas, car le nombre d'élèves favorables est 560, ce qui est plus de la moitié des \np{1000} élèves du lycée (document n°3);

		\item au moins 60~\% des élèves de première doivent également y être favorables : c'est aussi le cas puisqu'il y a 300 élèves de première, dont 180 soit exactement 60~\% sont favorables au projet (document n°3), en effet, 60\,\% de 100 élèves, c'est 60 élèves, donc 60\,\% de 300 élèves, c'est le triple, soit $60 \times 3 = 180$.
	\end{itemize}
	Les deux conditions sont remplies, le projet pourra être lancé et l'affirmation est vraie.

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 2 (7 points)}

\subsection*{Partie A -- Gain d'expérience}
\begin{enumerate}
	\item Au niveau 0, le personnage a 20~points, il en gagne 80 lorsqu'il change de niveau, donc au niveau~1, le personnage a $20+80 = 100$ points d'expérience.

	\item Lorsque le personnage est au niveau 10, il a changé 10 fois de niveau, donc acquis $10\times80 = 800$ points d'expérience, qui s'ajoutent aux 20 du début de la partie.

	Arrivé au niveau 10, le personnage a donc plus de 800 points d'expérience, 820 pour être précis.

	\item Si le personnage a \np{2020} points d'expérience, cela signifie qu'il a \np{2000} points de plus qu'au début de la partie.

	Si on appelle $n$ le niveau atteint, il a changé $n$ fois de niveau, et on sait que \quad $n\times 80 = \np{2000}$, \quad donc $n = \dfrac{\np{2000}}{80} = \dfrac{200}{8} = \dfrac{100}{4} = 25$.

	Si le personnage a \np{2020} points d'expérience, il est donc au niveau 25.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B -- Gain d'énergie magique}
\begin{enumerate}
	\item Au niveau~0, le monstre neutralisé permet de récupérer 10~centilitres (cl) de potion magique, donc $v_0 = 10$.

	\item À chaque niveau, cette quantité augmente de 20~\% par rapport au niveau précédent.

	Augmenter une quantité de 20~\% revient à la multiplier par $\dfrac{100+20}{100} = \np{1.2}$.

	Donc, si $v_n$ est la quantité de potion magique récupérée au niveau $n$, \quad $v_{n+1} = \np{1.2} v_n$,\quad pour tout entier naturel $n$.

	\item $(v_n)$ est donc une suite géométrique de raison \np{1.2} et de premier terme $v_0 = 10$.

	\item L'expression explicite d'une suite géométrique $(v_n)$ de premier terme $v_0$ et de raison $q$ est :

	$\forall n \in \N$,\quad $v_n = v_0~q^n$,

	donc l'expression de $(v_n)$ en fonction de $n$ est $ v_n = 10 \times \np{1.2}^n$, pour tout entier naturel $n$.

	\item \begin{enumerate}
		\item On sait que \quad $v_5 = 10\times \np{1.2}^5 = \np{24,8832}$,

		donc $v_5\approx25$, arrondi à l'unité.

		\item Cela signifie que le monstre neutralisé à la fin du niveau 5 permettra au personnage de récupérer environ 25~cl de potion magique.
	\end{enumerate}

	\item $\np[~litre]{0.6} = \np[~cl]{60}$, donc on cherche pour quelle valeur de $n$ $v_n$ dépassera 60.

	Puisque $ v_n = 10 \times \np{1.2}^n$,\quad $v_n$ dépasse 60 si $\np{1.2}^n$ est plus grand que 6 : il faut donc attendre le niveau 10 pour que la quantité de potion magique dépasse \np{0.6}~litre.
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 3 (2 points)}
\begin{enumerate}
	\item le jour de ses quatorze ans, Juliette mesure environ \np[~cm]{160} (c'est le point B du graphique).

	\item L'âge de 12 ans correspond au point A. On constate que la pente de la tangente en ce point est plus forte que celle de la tangente en B : donc Juliette grandissait plus vite à 12 ans qu'à 14 ans.

	\item Le point C correspond à l'âge de 17 ans, et en ce point la tangente est manifestement horizontale : cela signifie que Juliette ne grandit plus et que sa croissance est terminée.

	\item Puisque la croissance de Juliette est terminée à 17 ans, elle gardera comme taille adulte la taille de ses 17 ans : environ \np[~cm]{163}.
\end{enumerate}
\end{document}