% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : Laure Bienaimé % relecture : François Kriegk % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 0 : % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Première, Série sans spécialité}, pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Session 0}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %--------------------------------------------------------- % Réglage entête, pied de page %--------------------------------------------------------- \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Métropole}} \rfoot{\small{12 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %--------------------------------------------------------- % Titre %--------------------------------------------------------- \begin{center}\Large \bfseries \decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt] Voie générale -- sans spécialité -- Métropole -- 12 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Corrigé \end{center} %--------------------------------------------------------- % code LaTeX de l'épreuve %--------------------------------------------------------- \section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)\hfill~} \subsection*{Question 1} Soit on sait que $\dfrac{1}{5}=0,2$ et on multiplie par 2, soit on transforme la fraction pour pouvoir calculer le quotient $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}=0,4$. C'est la réponse \textbf{C}. \subsection*{Question 2} $30\,\%$ de 150 veut dire :\quad $150 \times \dfrac{30}{100}= 150 \times \dfrac{3}{10}= \dfrac{150}{10} \times 3= 15 \times 3=45$. C'est la réponse \textbf{C}. \subsection*{Question 3} \begin{minipage}{0.55\linewidth} Par lecture graphique, on observe que 1 est un antécédent de 3. C'est la réponse \textbf{B}. \end{minipage} \hfill \begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.7,>=stealth] \draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=0.5, ystep = 0.5] (-4.4,-2.2) grid (5.4,3.6); \draw (-4.4,0) -- (5.4,0); \foreach \x in {-4,...,-1,1,2,...,5} \draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\np{\x}$}; \draw (0,-2.4) -- (0,3.9); \foreach \y in {-2,-1,1,2,3} \draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\np{\y}$}; \draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0}; \draw[line width=1.2pt,red] (-4,-0.5) .. controls (-3.75,0.75) and (-3.3,1.5) .. (-3,1.5) .. controls (-2.1 ,1.5 ) and (-2.4,-1.5) .. (-1.5,-1.5) .. controls (-1.25,-1.5 ) and (-1.1,-1.1) ..(-1,-1) -- (0.5,2) .. controls (0.6,2.15 ) and (0.8,3) .. (1,3) .. controls (1.2,3) and (1.4,2.15 ) .. (1.5,2) .. controls (1.6,1.8) and (2.4,1.2) .. (2.5,1) .. controls (2.7,.8) and (2.8,0.5) .. (3,0.5) .. controls (3.2,0.5) and (3.3,0.8) .. (3.5,1) -- (5,2.5); \draw[teal, line width=1.5pt,dashed,->] (0,3)--(1,3)--(1,0); \end{tikzpicture} \subsection*{Question 4} On résout l'équation $\aligned[t] 7 x+4 & = 5 x+ 6 \\ 7x-5x &= 6-4\\ 2x &= 2\\ x &= 1 \endaligned$ L'équation a une solution : $x = 1$. C'est la réponse \textbf{D}. \needspace{5\baselineskip} \subsection*{Question 5} Le prix est d'abord multiplié par 0,9 puis par 1,1. $50 \times 0,9 \times 1,1= 5 \times 9 \times 1,1 = 45 \times 1,1 = 49,50$. \emph{Ou bien} : $0,9\times 1,1= 0,99$. \quad L'évolution globale est donc une baisse de 1\,\%, et 1\,\% de 50\,\euro{} c'est 0,50\,\euro{}. $50 - 0,5 = 49,5$. C'est la réponse \textbf{A}. \subsection*{Question 6} Le point de la courbe d'abscisse $-1$ a pour ordonnée l'image de $-1$ par la fonction $x \mapsto 2 x^{2}-x+3$. $2 (-1)^{2}-(-1)+3=2+1+3=6$. L'image de $-1$ est 6, donc la courbe passe par le point de coordonnées $(-1 ; 6)$. C'est la réponse \textbf{D}. \subsection*{Question 7} Le coefficient directeur de la droite (AB) est \quad $m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\dfrac{4-2}{-3-(-1)}=-1$. C'est la réponse \textbf{B}. \subsection*{Question 8} Si on range les valeurs de la série dans l'ordre croissant, on obtient \quad $2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5$. La série est composée d'un nombre pair de notes, donc la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, c'est-à-dire ici de la moyenne entre la 3\up{e} et la 4\up{e} valeur. Ces deux valeurs sont des 3, donc la médiane est 3. C'est la réponse \textbf{B}. \needspace{10\baselineskip} \section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~} \section*{Exercice 1 (6 points)} Puisqu'on choisit un élève au hasard parmi les sportifs de haut niveau, on est en situation d'équiprobabilité, et donc les proportions sont assimilables à des probabilités. \begin{enumerate} \item Voici le tableau complété : \begin{tblr}{colspec={l X[c,3cm] X[c,3.3cm] X[c,3cm] X[c,2.5cm]}, hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid}, vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid}} & Seconde & Première & Terminale & Total \\ Section judo & \textcolor{teal}{$50-40=10$} & \textcolor{teal}{$24-(10+8)=6$} & 8 & 24 \\ Section aquatique & 40 & \textcolor{teal}{$56-6=50$} & \textcolor{teal}{$14-8=6$} & \textcolor{teal}{$40+50+6=96$} \\ Total & 50 & \textcolor{teal}{$120-(50+14)=56$} & 14 & 120 \end{tblr} \item $A \cap S$ : "L'élève est en seconde ET en section aquatique"; $P \big( A \cap S \big) = \dfrac{40}{120}=\dfrac{1}{3}$. \item On veut calculer la probabilité $P_S(A)$. Il y a 50 élèves en seconde, donc 40 sont en section aquatique. On a donc :\quad $ P_S(A) = \dfrac{40}{50} = \dfrac{4}{5}$. \item \begin{enumerate} \item Il y a 24 élèves en section Judo :\quad $P \big( J \big)=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}$. \item Parmi les 14 élèves de terminale, 8 sont en section judo.\quad $P_T \big( J \big) = \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$. \item On remarque que :\quad $P \big( J \big) \neq P_T \big( J \big)$, \quad donc les évènements $J$ et $T$ ne sont pas indépendants. \end{enumerate} \end{enumerate} %\needspace{10\baselineskip}\newpage \section*{Exercice 2 (8 points)} \subsection*{A -- Premier placement.} \begin{enumerate} \item $a_{1} = a_0+200 = \np{20200}$ \quad et \quad $a_{2} = a_1 +200 = \np{20400}$. \item \begin{enumerate} \item Chaque année, le capital augmente de 200\euro{}, on a donc pour tout entier naturel $n$ : $a_{n+1}=a_n+200$. \item On reconnaît la relation de récurrence d'une suite arithmétique. La suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $r=200$. \end{enumerate} \item La suite $(a_n)$ est arithmétique donc on a pour tout $n$ entier naturel :\quad $a_n=a_0+200n$. Soit ici,\quad $a_n=\np{20000} +200n$. \item On cherche $n$ tel que $a_n \geqslant \np{22000}$.\hspace*{2cm} $\aligned[t] a_n \geqslant \np{22000} & \iff \np{20000} +200n \geqslant \np{22000}\\ & \iff 200n \geqslant \np{2000}\\ & \iff n \geqslant \dfrac{\np{2000}}{200} \vspace*{2mm}\\ & \iff n \geqslant 10 \endaligned$ Ils devront attendre 10 ans soit à partir de 2035. \end{enumerate} \subsection*{B -- Second placement.} \begin{enumerate} \item Le capital augmente de $2\%$, il est donc multiplié par 1,02. $b_1=b_0 \times 1,02 = \np{20000} \times 1,02=\np{20400}$. \item \begin{enumerate} \item En généralisant l'opération, chaque année, le capital est obtenu en multipliant le capital de l'année précédente par 1,02 : Pour tout $n$ entier naturel :\quad $b_{n+1}=1,02 b_n$. \item On reconnaît la relation de récurrence d'une suite géométrique. La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $q=1,02$. \end{enumerate} \item La suite $(b_n)$ est géométrique donc on a, pour tout entier naturel $n$: \quad $b_n=b_0 \times q^n$ soit $b_n= \np{20000} \times 1,02^n$ \item Le tableau permet de dire que dès la 5\up{ème} année, ils auront le capital nécessaire à leur projet, soit en 2030. \end{enumerate} \subsection*{C -- Bilan} Le deuxième placement est plus intéressant pour eux. \end{document}