% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Laure Bienaimé
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 0 :
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
 \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
 \usepackage[dvips]{hyperref}
 \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
 \ifmmode\expandafter\text\fi
 {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
 pdfauthor = {APMEP},
 pdfsubject = {Première, Série sans spécialité},
 pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Session 0},
 allbordercolors = white,
 pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
 language=Python,
 basicstyle=\ttfamily\small,
 keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
 commentstyle=\color{gray}\itshape,
 stringstyle=\color{orange},
 numbers=left,
 numberstyle=\tiny\color{gray},
 breaklines=true,
 frame=single,
 backgroundcolor=\color{gray!5},
 tabsize=4
}
 % usage (exemple)
 %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
% n = 1
% p = 0.5
% while p < 0.6 :
% n = n + 1
% p = p*7/15 + 1/3
% return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité -- Métropole -- 12 juin 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}



%---------------------------------------------------------
% code LaTeX de l'épreuve
%---------------------------------------------------------
\section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)\hfill~}

\subsection*{Question 1}
	Soit on sait que $\dfrac{1}{5}=0,2$ et on multiplie par 2, soit on transforme la fraction pour pouvoir calculer le quotient $\dfrac{2}{5}=\dfrac{4}{10}=0,4$.

	C'est la réponse \textbf{C}.

\subsection*{Question 2}
	$30\,\%$ de 150 veut dire :\quad $150 \times \dfrac{30}{100}= 150 \times \dfrac{3}{10}= \dfrac{150}{10} \times 3= 15 \times 3=45$.

	C'est la réponse \textbf{C}.

\subsection*{Question 3}

\begin{minipage}{0.55\linewidth}
	Par lecture graphique, on observe que 1 est un antécédent de 3.

	C'est la réponse \textbf{B}.
\end{minipage}
	\hfill
	\begin{tikzpicture}[baseline={(current bounding box.center)},scale=0.7,>=stealth]
		\draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=0.5, ystep = 0.5] (-4.4,-2.2) grid (5.4,3.6);
		\draw (-4.4,0) -- (5.4,0);
		\foreach \x in {-4,...,-1,1,2,...,5}
		\draw[shift={(\x,0)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below] {\footnotesize $\np{\x}$};
		\draw (0,-2.4) -- (0,3.9);
		\foreach \y in {-2,-1,1,2,3}
		\draw[shift={(0,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left] {\footnotesize $\np{\y}$};
		\draw[color=black] (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
		\draw[line width=1.2pt,red]
		(-4,-0.5) .. controls (-3.75,0.75) and (-3.3,1.5) ..
		(-3,1.5) .. controls (-2.1 ,1.5 ) and (-2.4,-1.5) ..
		(-1.5,-1.5) .. controls (-1.25,-1.5 ) and (-1.1,-1.1) ..(-1,-1) --
		(0.5,2) .. controls (0.6,2.15 ) and (0.8,3) ..
		(1,3) .. controls (1.2,3) and (1.4,2.15 ) ..
		(1.5,2) .. controls (1.6,1.8) and (2.4,1.2) ..
		(2.5,1) .. controls (2.7,.8) and (2.8,0.5) ..
		(3,0.5) .. controls (3.2,0.5) and (3.3,0.8) ..
		(3.5,1) -- (5,2.5);
		\draw[teal, line width=1.5pt,dashed,->] (0,3)--(1,3)--(1,0);
	\end{tikzpicture}


\subsection*{Question 4}
	On résout l'équation $\aligned[t] 7 x+4 & = 5 x+ 6 \\
	7x-5x &= 6-4\\
	2x &= 2\\
	x &= 1
	\endaligned$

	L'équation a une solution : $x = 1$.

	C'est la réponse \textbf{D}.

\needspace{5\baselineskip}
\subsection*{Question 5}
	Le prix est d'abord multiplié par 0,9 puis par 1,1.

	$50 \times 0,9 \times 1,1= 5 \times 9 \times 1,1 = 45 \times 1,1 = 49,50$.

	\emph{Ou bien} : $0,9\times 1,1= 0,99$. \quad L'évolution globale est donc une baisse de 1\,\%, et 1\,\% de 50\,\euro{} c'est 0,50\,\euro{}.

	$50 - 0,5 = 49,5$.

	C'est la réponse \textbf{A}.

\subsection*{Question 6}
	Le point de la courbe d'abscisse $-1$ a pour ordonnée l'image de $-1$ par la fonction $x \mapsto 2 x^{2}-x+3$.

	$2 (-1)^{2}-(-1)+3=2+1+3=6$.

	L'image de $-1$ est 6, donc la courbe passe par le point de coordonnées $(-1 ; 6)$.

	C'est la réponse \textbf{D}.

\subsection*{Question 7}
	Le coefficient directeur de la droite (AB) est \quad $m=\dfrac{y_{\mathrm{B}}-y_{\mathrm{A}}}{x_{\mathrm{B}}-x_{\mathrm{A}}}=\dfrac{4-2}{-3-(-1)}=-1$.

	C'est la réponse \textbf{B}.

\subsection*{Question 8}
	Si on range les valeurs de la série dans l'ordre croissant, on obtient \quad $2 ; 2 ; 3 ; 3 ; 4 ; 5$.

	La série est composée d'un nombre pair de notes, donc la médiane est la moyenne des deux valeurs centrales, c'est-à-dire ici de la moyenne entre la 3\up{e} et la 4\up{e} valeur. Ces deux valeurs sont des 3, donc la médiane est 3.

	C'est la réponse \textbf{B}.


\needspace{10\baselineskip}
\section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~}

\section*{Exercice 1 (6 points)}
	Puisqu'on choisit un élève au hasard parmi les sportifs de haut niveau, on est en situation d'équiprobabilité, et donc les proportions sont assimilables à des probabilités.

	\begin{enumerate}
		\item Voici le tableau complété :

		\begin{tblr}{colspec={l X[c,3cm] X[c,3.3cm] X[c,3cm] X[c,2.5cm]},
			hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},
			vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid}}
 			& Seconde & Première & Terminale & Total \\

			Section judo & \textcolor{teal}{$50-40=10$} & \textcolor{teal}{$24-(10+8)=6$} & 8 & 24 \\

			Section aquatique & 40 & \textcolor{teal}{$56-6=50$} & \textcolor{teal}{$14-8=6$} & \textcolor{teal}{$40+50+6=96$} \\

			Total & 50 & \textcolor{teal}{$120-(50+14)=56$} & 14 & 120
		\end{tblr}

		\item $A \cap S$ : "L'élève est en seconde ET en section aquatique";

		$P \big( A \cap S \big) = \dfrac{40}{120}=\dfrac{1}{3}$.

		\item On veut calculer la probabilité $P_S(A)$. Il y a 50 élèves en seconde, donc 40 sont en section aquatique.

		On a donc :\quad $ P_S(A) = \dfrac{40}{50} = \dfrac{4}{5}$.

		\item \begin{enumerate}
			\item Il y a 24 élèves en section Judo :\quad $P \big( J \big)=\dfrac{24}{120}=\dfrac{1}{5}$.

			\item Parmi les 14 élèves de terminale, 8 sont en section judo.\quad $P_T \big( J \big) = \dfrac{8}{14} = \dfrac{4}{7}$.

			\item On remarque que :\quad $P \big( J \big) \neq P_T \big( J \big)$, \quad donc les évènements $J$ et $T$ ne sont pas indépendants.
		\end{enumerate}
	\end{enumerate}

%\needspace{10\baselineskip}\newpage
\section*{Exercice 2 (8 points)}

\subsection*{A -- Premier placement.}
	\begin{enumerate}
		\item $a_{1} = a_0+200 = \np{20200}$ \quad et \quad $a_{2} = a_1 +200 = \np{20400}$.

		\item \begin{enumerate}
			\item Chaque année, le capital augmente de 200\euro{}, on a donc pour tout entier naturel $n$ :

			$a_{n+1}=a_n+200$.

			\item On reconnaît la relation de récurrence d'une suite arithmétique. La suite $(a_n)$ est arithmétique de raison $r=200$.
		\end{enumerate}

		\item La suite $(a_n)$ est arithmétique donc on a pour tout $n$ entier naturel :\quad $a_n=a_0+200n$.

		Soit ici,\quad $a_n=\np{20000} +200n$.

		\item On cherche $n$ tel que $a_n \geqslant  \np{22000}$.\hspace*{2cm}
		$\aligned[t] a_n \geqslant  \np{22000} & \iff \np{20000} +200n \geqslant  \np{22000}\\
		 & \iff 200n \geqslant  \np{2000}\\
		 & \iff n \geqslant \dfrac{\np{2000}}{200} \vspace*{2mm}\\
		 & \iff n \geqslant  10
		\endaligned$

		Ils devront attendre 10 ans soit à partir de 2035.
	\end{enumerate}

\subsection*{B -- Second placement.}
	\begin{enumerate}
		\item Le capital augmente de $2\%$, il est donc multiplié par 1,02.

			$b_1=b_0 \times 1,02 = \np{20000} \times 1,02=\np{20400}$.

		\item \begin{enumerate}
			\item En généralisant l'opération, chaque année, le capital est obtenu en multipliant le capital de l'année précédente par 1,02 :

			Pour tout $n$ entier naturel :\quad $b_{n+1}=1,02 b_n$.

			\item On reconnaît la relation de récurrence d'une suite géométrique.

			La suite $(b_n)$ est géométrique de raison $q=1,02$.
		\end{enumerate}

		\item La suite $(b_n)$ est géométrique donc on a, pour tout entier naturel $n$: \quad
		$b_n=b_0 \times q^n$

		soit $b_n= \np{20000} \times 1,02^n$

		\item Le tableau permet de dire que dès la 5\up{ème} année, ils auront le capital nécessaire à leur projet, soit en 2030.
	\end{enumerate}

\subsection*{C -- Bilan}
	Le deuxième placement est plus intéressant pour eux.
\end{document}
