% Préambule APMEP - Annales % Auteurs % tapuscrit : François Kriegk % relecture : % figures TikZ : % figures pstricks : % modifications : % Remerciements : % version 0 : 2026-07-11 % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Première, Série sans spécialité}, pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Session 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % usage (exemple) %\begin{lstlisting}[style=python] %def seuil(): % n = 1 % p = 0.5 % while p < 0.6 : % n = n + 1 % p = p*7/15 + 1/3 % return n %\end{lstlisting} % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} %--------------------------------------------------------- % Réglage entête, pied de page %--------------------------------------------------------- \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Sujet} \lfoot{\small{Asie}} \rfoot{\small{15 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} %--------------------------------------------------------- % Titre %--------------------------------------------------------- \begin{center}\Large \bfseries \decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright \\[10pt] Voie générale -- sans spécialité -- Asie -- 15 juin 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Sujet \end{center} \section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)} \textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.} Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point. \subsection*{Question 1} Un article de \np[g]{5} perd $10\,\%$ de sa masse. Sa nouvelle masse est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad \np[g]{4,0} & \textbf{B.}\quad \np[g]{4,1} & \textbf{C.}\quad \np[g]{4,5} & \textbf{D.}\quad \np[g]{4,9} \\ \end{tblr} \subsection*{Question 2} Pour augmenter un prix de $15\,\%$, je dois le multiplier par : \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad 0,15 & \textbf{B.}\quad 1,15 & \textbf{C.}\quad 0,85 & \textbf{D.}\quad 1,015\\ \end{tblr} \subsection*{Question 3} On considère \quad $A=\dfrac{2}{5}$. \quad Alors : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $A = 2,5\,\%$ & \textbf{B.}\quad $A = 4\,\%$ & \textbf{C.}\quad $A = 40\,\%$ & \textbf{D.}\quad $A = 25\,\%$ \\ \end{tblr} \subsection*{Question 4} On considère \quad $B=\left(5^{3}\right)^{4} \times 5^{10}$. \quad Alors : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $B=5^{17}$ & \textbf{B.}\quad $B=5^{120}$ & \textbf{C.}\quad $B=5^{22}$ & \textbf{D.}\quad $B=5^{70}$ \\ \end{tblr} \subsection*{Question 5} Le triple de $3^{12}$ est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $9^{12}$ & \textbf{B.}\quad $3^{36}$ & \textbf{C.}\quad $3^{13}$ & \textbf{D.}\quad $9^{36}$ \\ \end{tblr} \subsection*{Question 6} Une expression développée de $(2 x+5)^{2}$ est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $4 x^{2}+25$ & \textbf{B.}\quad $4 x^{2}+10 x+25$ & \textbf{C.}\quad $2 x^{2}+20 x+25$ & \textbf{D.}\quad $4 x^{2}+20 x+25$ \\ \end{tblr} \subsection*{Question 7} L'ensemble des solutions de l'équation $x^{2}=5$ est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $\big\{-2,5 ; 2,5\big\}$ & \textbf{B.}\quad $\big\{\sqrt{5}\big\}$ & \textbf{C.}\quad $\big\{2,5\big\}$ & \textbf{D.}\quad $\big\{-\sqrt{5} ; \sqrt{5}\big\}$ \end{tblr} \subsection*{Question 8} En convertissant $\np[mm^3]{3400}$ en $\mathrm{cm}^{3}$, on obtient : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $\np[cm^3]{3,4}$ & \textbf{B.}\quad $\np[cm^3]{34}$ & \textbf{C.}\quad $\np[cm^3]{340}$ & \textbf{D.}\quad $\np[cm^3]{0,34}$ \end{tblr} \subsection*{Question 9} En sachant que le point A de coordonnées $(-3 ; y_{\mathrm{A}})$ appartient à la courbe d'équation $y=x^{2}$, on a : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $y_{\mathrm{A}}=-9$ & \textbf{B.}\quad $y_{\mathrm{A}}=-6$ & \textbf{C.}\quad $y_{\mathrm{A}}=6$ & \textbf{D.}\quad $y_{\mathrm{A}}=9$ \end{tblr} \subsection*{Question 10} On lance un dé truqué à 4 faces. La probabilité d'obtenir chacune des faces est donnée par le tableau ci-dessous. \medskip \begin{tblr}{colspec={cX[c]X[c]X[c]X[c]},hlines, vlines} Face & Face numéro 1 & Face numéro 2 & Face numéro 3 & Face numéro 4 \\ Probabilité & 0,1 & 0,25 & 0,3 & $x$ \end{tblr} \smallskip On a alors : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $x=0,35$ & \textbf{B.}\quad $x=0,45$ & \textbf{C.}\quad $x=0,65$ & \textbf{D.}\quad $x=0,60$\\ \end{tblr} \subsection*{Question 11} Lequel de ces nombres est supérieur à 0,1 ? \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $\dfrac{1}{12}$ & \textbf{B.}\quad $10^{-2}$ & \textbf{C.}\quad $\dfrac{1}{5}$ & \textbf{D.}\quad $7\,\%$\\ \end{tblr} \subsection*{Question 12} On considère \quad $A=3 \times \dfrac{2}{5}+1$.\quad On a : \medskip \begin{tblr}{colspec = {*4{X}}} \textbf{A.}\quad $A=\dfrac{11}{5}$ & \textbf{B.}\quad $A=\dfrac{7}{15}$ & \textbf{C.}\quad $A=\dfrac{11}{10}$ & \textbf{D.}\quad $A=\dfrac{11}{15}$ \end{tblr} \needspace{10\baselineskip} \section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 pts)} \section*{Exercice 1 (5 points)} Dans un lycée, des élèves de première souhaitent installer des vélos générateurs d'électricité dans la cafétéria pour recharger des téléphones portables. À l'aide des quatre documents ci-dessous, indiquer si chacune des affirmations suivantes est vraie ou fausse. \textbf{Chaque réponse devra être justifiée}. \bigskip \textbf{Affirmation 1 :} Le budget du lycée permet de financer cinq vélos générateurs d'électricité (vélo, chargeur et livraison). \bigskip \textbf{Affirmation 2 :} Il faut pédaler pendant 24 minutes à intensité modérée pour recharger un téléphone portable à l'aide d'un vélo générateur d'électricité. \bigskip \textbf{Affirmation 3 :} On choisit au hasard un élève du lycée. La probabilité que l'élève choisi soit un élève de première en sachant qu'il est favorable au projet est supérieure à un quart. \bigskip \textbf{Affirmation 4 :} Le projet des élèves de première va pouvoir être lancé. \subsection*{Documents} \textbf{Document 1 : Fiche d'un vélo générateur d'électricité} \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth} \textbf{Tarifs pour l'installation de vélos générateurs d'électricité} \begin{itemize}[left=5mm] \item Coût d'un vélo sans chargeur : 300 € \item Coût du chargeur, pour chaque vélo : 45 € \item Coût de livraison par vélo : 60 € \end{itemize} \textbf{Énergie produite par un vélo générateur d'électricité} Lorsqu'une personne pédale à intensité modérée pendant une heure, le dispositif permet de récupérer 100 kJ (kilojoules). \end{minipage}} \end{center} \textbf{Document 2 : Énergie nécessaire pour charger quelques appareils} \begin{center} \begin{tblr}{width=0.9\linewidth,colspec={X[c,2.5]*4{X[c]}},hlines, vlines, column{1} = {bg=gray!30},rows={m}} Appareils électroniques & Ordinateur portable & Casque audio & Téléphone portable & Montre connectée \\ Énergie moyenne nécessaire pour une charge complète & 200 kJ & 18 kJ & 40 kJ & 5 kJ \\ \end{tblr} \end{center} \needspace{4\baselineskip} \textbf{Document 3 : Résultats du sondage réalisé auprès des élèves du lycée sur les vélos générateurs d'électricité} \begin{center} \begin{tblr}{width=0.9\linewidth,colspec={*4{X[c,m]}},column{1}={bg=gray!30},row{1}={bg=gray!30},cell{1}{1}={bg=white},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid}} & Favorable & Défavorable & Total \\ Seconde & 260 & 170 & 430 \\ Première & 180 & 120 & 300 \\ Terminale & 120 & 150 & 270 \\ Total & 560 & 440 & 1000 \end{tblr} \end{center} \textbf{Document 4 : Message de la proviseure du lycée aux élèves porteurs du projet} \begin{center} \fbox{\begin{minipage}{0.9\linewidth} \textbf{Objet : Lancement du projet "vélos générateurs d'électricité" -- conditions à remplir} Chers élèves de première, Ce projet ne pourra être lancé que si les \textbf{deux critères suivants sont remplis} : \begin{itemize} \item \textbf{plus de la moitié des élèves du lycée} doivent se déclarer favorables à cette initiative ; \item \textbf{au moins $60\,\%$ des élèves de première} doivent également y être \textbf{favorables}. Dans le cas où le projet serait validé, \textbf{le budget du lycée sera fixé à \np[\euro]{2000}} pour financer l'achat des vélos et des chargeurs ainsi que la livraison des vélos. \end{itemize} Bien cordialement, La Proviseure \end{minipage}} \end{center} \newpage \section*{Exercice 2 (7 points)} Vous venez de commencer une nouvelle partie d'un jeu vidéo au cours de laquelle votre personnage gagne de l'expérience et obtient de la potion magique. \subsection*{Partie A -- Gain d'expérience} Quand votre personnage passe d'un niveau au niveau supérieur, il gagne 80 points d'expérience. Quand vous commencez, votre personnage est au niveau 0 et a 20 points d'expérience. \begin{enumerate} \item Combien votre personnage a-t-il de points d'expérience quand il est au niveau 1 ? \item Montrer que, quand votre personnage est au niveau 10, il a plus de 800 points d'expérience. \item À quel niveau votre personnage est-il s'il a 2020 points d'expérience? \emph{Justifier par un calcul.} \end{enumerate} \subsection*{Partie B -- Gain d'énergie magique} À la fin de chaque niveau, votre personnage doit neutraliser un monstre. Cela lui rapporte de l'énergie sous forme de potion magique. Au niveau 0, le monstre neutralisé permet de récupérer 10 centilitres $(\mathrm{cl})$ de potion magique. À chaque niveau, cette quantité augmente de $20\,\%$ par rapport au niveau précédent. \medskip \begin{minipage}{0.65\linewidth} \emph{Arrondir les résultats, si nécessaire, au centilitre près.} \medskip Soit $n$ un entier naturel. On note $v_{n}$ la quantité de potion magique (en cl ) récupérée pour le monstre neutralisé au niveau $n$. \begin{enumerate} \item Expliquer pourquoi $v_{0}=10$. \item Justifier que $v_{n+1}=1,2 v_{n}$ pour tout entier naturel $n$. \item En déduire la nature de la suite $\left(v_{n}\right)$ et préciser sa raison. \item Exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$. \item \begin{enumerate} \item Montrer que $v_{5} \approx 25$. \item Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice. \end{enumerate} \item À partir de quel niveau la quantité de potion magique récupérée par monstre neutralisé dépasse-t-elle 0,6 litre? \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{tblr}{width=0.3\linewidth,colspec={X[c,1]X[c,2.5,cmd={\np}]},hlines, vlines} \SetCell[c=2]{c} \textbf{Aide aux calculs} &\\ $1,2^{2}$ & 1,44 \\ $1,2^{3}$ & 1,728 \\ $1,2^{4}$ & 2,0736 \\ $1,2^{5}$ & 2,48832 \\ $1,2^{6}$ & 2,985984 \\ $1,2^{7}$ & 3,5831808 \\ $1,2^{8}$ & 4,29981696 \\ $1,2^{9}$ & 5,15978035 \\ $1,2^{10}$ & 6,19173642 \\ $1,2^{11}$ & 7,43008371 \\ \end{tblr} \needspace{15\baselineskip} \section*{Exercice 3 (2 points)} Cet exercice s'intéresse à la croissance d'une personne appelée Juliette. Sa croissance est modélisée par la fonction $f$, représentée ci-dessous. La \textbf{vitesse de croissance} de Juliette (en cm par an) à une date donnée $t$ est égale au \textbf{nombre dérivé} $\boldsymbol{f'(t)}$. On a également représenté trois tangentes à la courbe représentative de $f$ : celles aux points A, B et C. \begin{center} \begin{tikzpicture}[x = 1cm, y=1mm] \draw [color = gray!75, line width = 0.5pt, xstep=1, ystep = 10] (5,90) grid (19,180); \draw[<->, line width=1pt,>=stealth] (19,90)--(5,90)node[pos=0.5, below=1cm]{Âge (en années)} -- (5,180) node[pos=0.5,sloped,above=1cm]{Taille (en cm)}; \foreach \x in {5,...,19} \draw[shift={(\x,90)},color=black] (0pt,2pt) -- (0pt,-2pt) node[below, fill = white] {\footnotesize $\np{\x}$}; \foreach \y in {90,100,...,180} \draw[shift={(5,\y)},color=black] (2pt,0pt) -- (-2pt,0pt) node[left, fill = white] {\footnotesize $\np{\y}$}; \clip (5,90) rectangle (19,180); \draw[dashed, line width=1pt,teal] (5,110)--(17,182) (5,137.5)--(19,172.5) (5,163)--(19,163) ; \draw[line width=1.2pt,color=red,smooth] (5,109) ..controls (7,118) and (9,132).. (10,139)..controls (11,145) and (11,146).. (12,152)..controls (12.5,155) and (13.5,158.75).. (14,160)..controls (14.5,161.25) and (16.5,163).. (17,163) -- (19,163); \node[red] at (7.5,117) {$\mathcal{C}_f$}; \foreach \nom/\coord/\pos in {A/{(12,152)}/{below right},B/{(14,160)}/{below right},C/{(17,163)}/{above right}} {\draw[shift={\coord}] (-2pt,-2pt)--(2pt,2pt) (-2pt,2pt)--(2pt,-2pt) (0,0) node[\pos]{\nom} ;} \end{tikzpicture} \end{center} On répondra aux questions suivantes avec la précision permise par le graphique : \begin{enumerate} \item Estimer la taille de Juliette le jour de ses 14 ans. \item À quel âge Juliette grandissait-elle le plus vite, à 12 ans ou à 14 ans ? \emph{Justifier.} \item Pourquoi peut-on considérer que Juliette a terminé sa croissance à 17 ans ? \item Estimer la taille adulte de Juliette. \end{enumerate} \end{document}