% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : 			Non Renseigné
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 1 : 2026-09-20
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série sans spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}
	\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité -- Polynésie -- 4 septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\section*{\centering Partie 1 : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

{\bfseries
	Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.

	Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}
Pour tout nombre réel $x$, \quad $(5x-2)^{2}$ \quad est égal à :

\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
	\textbf{A.}\quad {$5x^{2}-4$}&
	\textbf{B.}\quad {$(5x-2)(5x+2)$}&
	\textbf{C.}\quad {$25x^{2}+4$}&
	\textbf{D.}\quad {$25x^{2}-20x+4$}\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 2}
Le nombre \quad $\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{5}-\dfrac{1}{5}$ \quad est égal à :

\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
	\textbf{A.}\quad {$\dfrac{1}{4}$}&
	\textbf{B.}\quad {$\dfrac{7}{20}$}&
	\textbf{C.}\quad {$\dfrac{19}{15}$}&
	\textbf{D.}\quad {$\dfrac{1}{5}$}\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 3}
Multiplier une quantité par $\dfrac{3}{4}$ c'est lui appliquer :

\begin{tblr}{colspec = {*2{X}}}
	\textbf{A.}\quad une baisse de 25\,\% ;&
	\textbf{B.}\quad une hausse de 25\,\% ;\\
	\textbf{C.}\quad une baisse de 75\,\% ;&
	\textbf{D.}\quad une hausse de 75\,\%.\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 4}
Dans l'ensemble des nombres réels, l'équation \quad $(2x-4)(-3x+3)=0$\quad a pour ensemble de solutions :

\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
	\textbf{A.}\quad {$S=\{2~;~-1\}$}&
	\textbf{B.}\quad {$S=\{2~;~1\}$}&
	\textbf{C.}\quad {$S=[2~;~-1]$}&
	\textbf{D.}\quad {$S=[2~;~1]$}\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 5}
Le prix d'un article a subi une baisse de 50\,\% en 2024 puis ensuite il augmente de 50\,\% en 2025.

Entre le début 2024 et la fin 2025, le prix de l'article :

\begin{tblr}{colspec = {*2{X}}}
	\textbf{A.}\quad n'a pas changé ;&
	\textbf{B.}\quad a augmenté de 5\,\% ;\\
	\textbf{C.}\quad a diminué de 25\,\% ;&
	\textbf{D.}\quad a augmenté de 25\,\%.\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 6}
\begin{minipage}{0.55\linewidth}
	On considère la fonction affine $f$ dont la représentation graphique, donnée ci-contre, est la droite passant par les points A$(3 ; -1)$ et B$(1;3)$.

	\medskip

	Pour tout réel $x$ :

	\begin{tblr}{colspec = {*2{X}}}
		\textbf{A.}\quad {$f(x)=5x+2{,}5$}&
		\textbf{B.}\quad {$f(x)=-2x+5$}\\
		\textbf{C.}\quad {$f(x)=-2{,}5x+5$}&
		\textbf{D.}\quad {$f(x)=-0{,}5x+5$}\\
	\end{tblr}
\end{minipage}\hfill
\begin{tikzpicture}[scale=0.6, baseline={(current bounding box.center)}]
	\draw[gray!50, line width=0.4pt] (-1.5,-2.5) grid (6.5,6.5);
	\draw[line width=0.8pt,->,>=stealth] (-1.5,0) -- (6.5,0) node[above left]{$x$};
	\draw[line width=0.8pt,->,>=stealth] (0,-2.5) -- (0,6.5) node[below right]{$y$};
	\foreach \x in {-1,1,2,3,4,5,6}
	\draw (\x,0.1) -- (\x,-0.1) node[below, font=\footnotesize]{$\np{\x}$};
	\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6}
	\draw (0.1,\y) -- (-0.1,\y) node[left, font=\footnotesize]{$\np{\y}$};
	\node[below left, font=\footnotesize] at (0,0) {$0$};
	\draw[line width=1.2pt] (-0.8,6.6) -- (3.7,-2.4);
	\filldraw (1,3) circle (2pt) node[above right]{$B$};
	\filldraw (3,-1) circle (2pt) node[below left]{$A$};
\end{tikzpicture}\hfill~

\subsection*{Question 7}
\begin{center}
	\begin{tblr}{colspec={|c|X[c,1cm]|X[c,1cm]|X[c,1cm]|}, hlines}
		\textbf{Notes} & 18 & 11 & 16 \\
		\textbf{Coefficients} & 1 & 2 & 1 \\
	\end{tblr}
\end{center}

La moyenne coefficientée des trois notes ci-dessus est égale à :

\begin{tblr}{colspec = {*4{X}}}
	\textbf{A.}\quad {$15$}&
	\textbf{B.}\quad {$14{,}5$}&
	\textbf{C.}\quad {$14$}&
	\textbf{D.}\quad {$13{,}5$}\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 8}
Un salarié a réalisé 6,4 heures supplémentaires. Cela correspond à :

\begin{tblr}{colspec = {*2{X}}}
	\textbf{A.}\quad 6 heures et 20 minutes&
	\textbf{B.}\quad 640 minutes\\
	\textbf{C.}\quad 6 heures et 40 minutes&
	\textbf{D.}\quad 6 heures et 24 minutes\\
\end{tblr}

\newpage
\section*{\centering Partie 2 (14 pts)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

En 2025, une étude démographique indique qu'il y a eu \np{60000} naissances et \np{40000} décès dans une population donnée. Les spécialistes modélisent que le nombre de naissances diminuera de 2\,\% chaque année, tandis que le nombre de décès augmentera de 900 par an.

\medskip

Soit $n$ un entier naturel. On note :
\begin{itemize}[left=5mm]
	\item $u_{n}$ le nombre de naissances prévues l'année $2025+n$ ;
	\item $v_{n}$ le nombre de décès prévus l'année $2025+n$.
\end{itemize}

On a donc $u_{0}=\np{60000}$ et $v_{0}=\np{40000}$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer le nombre de naissances prévues l'année 2026.
		\item Déterminer le nombre de décès prévus l'année 2026.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0{,}98\,u_{n}$.
		\item La suite $(u_{n})$ est-elle arithmétique ou géométrique ? Préciser sa raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $(v_{n})$ est arithmétique. Préciser sa raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_{n}$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}

	\item La feuille de calcul ci-dessous donne les valeurs successives de $u_{n}$ et de $v_{n}$ (les valeurs sont évidemment arrondies à l'unité).

	\begin{center}
		\begin{tblr}[T]
			{hlines, vlines, columns={c}, column{1-2}={wd=1.5cm}, column{3-4}={wd=2.5cm},
				cells={font=\sffamily},
				row{1}={rowsep=0pt,ht=7mm, bg=gray9},row{2-Z}={m},
				column{1}={colsep=0pt,7mm,bg=gray9},
				cell{1}{1}={gray9,cmd={\tikz[baseline={(0,0.05)}]{\clip(0,0) rectangle (0.6,0.5) ;\fill[gray!50] (0,0)--(0.5,0.5)--(0.5,0);}}} }
			& A & B & C \\
			1  & n & $u_n$ & $v_n$ \\
			2  & 0 & \np{60000} & \np{40000} \\
			3  & 1 & \np{58800} & \np{40900} \\
			\vdots  & \vdots & \vdots & \vdots \\
			11 & 9 & \np{50025} & \np{48100} \\
			12 & 10 & \np{49024} & \np{49000} \\
			13 & 11 & \np{48044} & \np{49900} \\
			14 & 12 & \np{47083} & \np{50800} \\
			15 & 13 & \np{46141} & \np{51700} \\
		\end{tblr}
	\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Quelle formule doit-on saisir dans la cellule \textsf{C3} de sorte que, recopiée vers le bas, elle permette d'afficher les valeurs de la suite $(v_{n})$ ?
		\item Justifier, par un calcul, pourquoi \np{49000} est affiché dans la cellule \textsf{C12}.
	\end{enumerate}

	\item On appelle solde naturel annuel la différence entre le nombre de naissances et le nombre de décès de l'année. Ainsi le solde naturel en 2025 est \np{20000}.

	À l'aide de la feuille de calcul ci-dessus, déterminer à partir de quelle année le solde naturel de cette population devient négatif.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 2 (4 points)}

Un magasin d'ameublement interroge \np{1000} clients ayant réalisé un achat au cours des 12 derniers mois, soit en magasin, soit sur internet (un seul mode d'achat par client).

\medskip

Parmi les \np{1000} clients, 400 ont acheté sur internet.

90\,\% des acheteurs sur internet sont satisfaits et 20\,\% des acheteurs en magasin ne sont pas satisfaits.

\medskip

On choisit au hasard un client et on considère les évènements :
\begin{itemize}[left=5mm]
	\item $I$ : \og le client a acheté sur internet \fg ;
	\item $S$ : \og le client est satisfait \fg ;
\end{itemize}
$\overline{I}$ et $\overline{S}$ sont les évènements contraires respectifs de $I$ et de $S$.

\begin{enumerate}
	\item Compléter et rendre avec la copie le tableau représentant la situation, donné en annexe.
	\item Calculer la probabilité que le client ait acheté en magasin et soit satisfait.
	\item Sachant que le client n'est pas satisfait, calculer la probabilité qu'il ait fait son achat sur internet.
	\item Une stratégie d'amélioration sera mise en place si plus de 10\,\% des clients ne sont pas satisfaits de leur achat.

	Cette stratégie sera-t-elle mise en place ? Justifier.
\end{enumerate}


\section*{Exercice 3 (5 points)}

Le nombre hebdomadaire de consultations lors d'une épidémie de grippe saisonnière, pendant 10 semaines consécutives, est modélisé par la fonction $f$, définie sur l'intervalle $[0 ; 10]$ par :

$f(t)=-25t^{2}+300t+400$ où $t$ représente le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'épidémie.

La courbe représentative $\mathcal{C}_{f}$ de la fonction $f$ est donnée ci-dessous dans un repère du plan.

\begin{figure}
	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=1.2cm, y=0.0075cm]
			% Grille secondaire
			\draw[gray!30, line width=0.3pt] (0,0) grid[xstep=0.2, ystep=20] (10.2,1420);
			% Grille principale
			\draw[gray!60, line width=0.6pt] (0,0) grid[xstep=1, ystep=100] (10.2,1420);

			% Axes
			\draw[line width=1pt, ->, >=stealth] (0,0) -- (10.6,0) node[below left, font=\small\bfseries] at (10,-50){nombre de semaines};
			\draw[line width=1pt, ->, >=stealth] (0,0) -- (0,1450) node[below right, font=\small\bfseries] at (0.1,1410){Nombre de consultations};

			% Graduations x
			\foreach \x in {0,1,...,10}
			\draw (\x,10) -- (\x,-10) node[below, font=\small]{$\np{\x}$};

			% Graduations y
			\foreach \y in {0,100,...,1400}
			\draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left, font=\small]{$\np{\y}$};

			% Courbe
			\draw[red!70!black, line width=1.2pt] plot[smooth, domain=0:10, samples=100] (\x, {-25*\x*\x + 300*\x + 400});
			\node[above right, font=\large] at (8.8, 920) {$\mathcal{C}_f$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
\end{figure}

\subsection*{Partie A : lecture graphique}

En utilisant le graphique ci-dessus :
\begin{enumerate}
	\item Déterminer le nombre de consultations 2 semaines après le début de l'épidémie.
	\item Déterminer l'intervalle de temps pour lequel le nombre de consultations dépasse \np{1200}.
	\item Au bout de combien de semaines après le début de l'épidémie le nombre de consultations est-il maximal ? Quelle est cette valeur maximale ?
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B : Étude de la fonction $f$}

\begin{enumerate}
	\item Calculer $f(0)$. Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item Justifier que, pour tout réel $t$ de l'intervalle $[0~;~10]$, $f'(t) = -50t + 300$.
	\item Résoudre dans l'intervalle $[0~;~10]$ l'équation $f'(t)=0$.
	\item Étudier le signe de $f'(t)$, puis dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0~;~10]$. On donne $f(6)=\np{1300}$.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{\centering ANNEXE À COMPLÉTER ET À RENDRE AVEC LA COPIE}

\subsection*{Annexe de l'exercice 2}

\begin{center}
	\begin{tblr}{
			colspec = {Q[c,m,1.8in] | Q[c,m,1.8in] | Q[c,m,1.8in] | Q[c,m,1.2in]},
			hlines, vlines,
			row{1} = {font=\bfseries, bg=gray!15},
			column{1} = {font=\bfseries, bg=gray!15}
		}
		& Achat sur internet $\big(I\big)$ & Achat en magasin $\big(\overline{I}\big)$ & Total \\
		Satisfait $\big(S\big)$ & & & \\
		Non satisfait $\big(\overline{S}\big)$ & & & \\
		Total & 400 & & \np{1000} \\
	\end{tblr}
\end{center}
\end{document}