% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie générale -- sans spécialité -- Antilles-Guyane -- septembre 2026 (26-MATGEAG3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
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% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
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	\usepackage{amsmath,amssymb}
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    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
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%
\usepackage{fancyhdr}
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\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
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% Enumérations réglage par défaut
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% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
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% Taille de la zone d'écriture
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\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité -- Antilles-Guyane -- septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.} Les justifications ci-dessous sont fournies à titre pédagogique.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point : il ne faut donc jamais laisser une question sans réponse.

\subsection*{Question 1 \quad Réponse B}

On applique la règle $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :
\[3^4 \times 3^2 = 3^{4+2} = 3^6.\]

\subsection*{Question 2 \quad Réponse B}

Le coefficient directeur d'une droite passant par deux points A$(x_A ; y_A)$ et
B$(x_B ; y_B)$ est
\[a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{6-2}{3-1} = \dfrac{4}{2} = 2.\]

\subsection*{Question 3 \quad Réponse C}

Par lecture graphique, on repère les points dont l'ordonnée vaut $14,5$ : ce sont ceux
d'abscisses 2018 et 2021.

\subsection*{Question 4 \quad Réponse C}

On applique l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = x$ et $b = 5$ :
\[(x-5)^2 = x^2 - 2\times 5 \times x + 5^2 = x^2 - 10x + 25.\]

\subsection*{Question 5 \quad Réponse C}

La moyenne est la somme des notes divisée par leur nombre :
\[\overline{x} = \dfrac{14+11+11+4+10}{5} = \dfrac{50}{5} = 10.\]

\subsection*{Question 6 \quad Réponse C}

La droite coupe l'axe des ordonnées en 3 : l'ordonnée à l'origine est $b = 3$. Elle passe par les point de coordonnées $(0 ; 3)$ et $(-2 ; 0)$, donc son coefficient directeur vaut
\[a = \dfrac{3 - 0}{0 - (-2)} = \dfrac{3}{2}.\]
D'où $f(x) = \dfrac{3}{2}x + 3$.

\subsection*{Question 7 \quad Réponse C}

$-10x + 4 = 0 \iff x = \dfrac{4}{10} = 0,4$. Le coefficient de $x$ vaut $-10 < 0$ : la
fonction affine est décroissante, donc positive avant $0,4$ et négative après.

\subsection*{Question 8 \quad Réponse A}

Le taux de réduction se calcule par rapport au prix initial :
\[\dfrac{20-25}{25} = \dfrac{-5}{25} = -\dfrac{1}{5} = -0,20 = -20\,\%.\]
Le pourcentage de réduction est de $20\,\%$.

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (4 points)}

\emph{On note $A$ l'évènement \og Pierre joue la manche en premier \fg{} et $G$ l'évènement \og Pierre gagne la manche \fg. On a
$P(A) = P\left(\overline{A}\right) = \dfrac{1}{2}$, $P_A(G) = \dfrac{2}{3}$ et $P_{\overline{A}}(G) = \dfrac{2}{5}$.}

\begin{enumerate}
	\item La somme des probabilités issues d'un même n{\oe}ud vaut 1 :
	$P_A\left(\overline{G}\right) = 1 - \dfrac{2}{3} = \dfrac{1}{3}$ et
	$P_{\overline{A}}\left(\overline{G}\right) = 1 - \dfrac{2}{5} = \dfrac{3}{5}$.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=2.8cm, y=1cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (A) at (1,1.3) {$A$};
			\node (Ab) at (1,-1.3) {$\overline{A}$};
			\node (G1) at (2,2.1) {$G$};
			\node (G1b) at (2,0.5) {$\overline{G}$};
			\node (G2) at (2,-0.5) {$G$};
			\node (G2b) at (2,-2.1) {$\overline{G}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (A) node[pos=0.5,above] {$\frac{1}{2}$};
			\draw (root.east) -- (Ab) node[pos=0.5,below] {$\frac{1}{2}$};
			% branches niveau 2
			\draw (A.east) -- (G1) node[pos=0.5,above] {$\frac{2}{3}$};
			\draw (A.east) -- (G1b) node[pos=0.5,below] {$\frac{1}{3}$};
			\draw (Ab.east) -- (G2) node[pos=0.5,above] {$\frac{2}{5}$};
			\draw (Ab.east) -- (G2b) node[pos=0.5,below] {$\frac{3}{5}$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item D'après l'énoncé : $P_A(G) = \dfrac{2}{3}$ et $P_{\overline{A}}(G) = \dfrac{2}{5}$.

	\item $P(A \cap G) = P(A) \times P_A(G) = \dfrac{1}{2} \times \dfrac{2}{3} = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

	La probabilité que Pierre joue la manche en premier et qu'il la gagne est égale à $\dfrac{1}{3}$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (6 points)}

\emph{$u_n$ désigne le nombre d'individus au 1\up{er} mars $2025+n$. La population diminue
chaque année de $100$ individus ; au $1$\up{er} mars $2025$, elle compte $\np{2500}$ individus.}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item L'année 2025 correspond à $n = 0$ : $u_0 = \np{2500}$.

		\item L'année 2026 correspond à $n = 1$ :
		$u_1 = u_0 - 100 = \np{2500} - 100 = \np{2400}$.

		Selon ce modèle, au 1\up{er} mars 2026, la population comptera \np{2400} individus.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Chaque année, la population diminue de 100 individus donc, pour tout entier naturel $n$ :
		
		$u_{n+1} = u_n - 100$.

		\item Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + (-100)$ : la suite $(u_n)$ est
		\textbf{arithmétique} de raison $r = -100$ et de premier terme $u_0 = \np{2500}$.

		\item Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :
		$u_n = u_0 + nr$.

		Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{2500} - 100n$.
	\end{enumerate}

	\item La raison de la suite est $r = -100 < 0$. La suite $(u_n)$ est donc \textbf{décroissante}.

	\item
	\[u_n < \np{1250} \iff \np{2500} - 100n < \np{1250} \iff -100n < -\np{1250} \iff n > 12,5.\]
	Le plus petit entier $n$ qui convient, immédiatement supérieur à $12,5$,  est $n = 13$.

	C'est à partir du 1\up{er} mars $2025 + 13 = 2038$ que le nombre d'individus
	sera, selon ce modèle, inférieur à \np{1250}.
\end{enumerate}

\medskip

\section*{Exercice 3 (4 points)}

\emph{Pour $t \in [0~;~+\infty[$, $f(t) = (2 - 0,5t)(7t+1)$ où $t$ est le temps en secondes et
$f(t)$ la hauteur du projectile en mètres.}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $t$ de $[0~;~+\infty[$ :
		\[f(t) = (2 - 0,5t)(7t+1) = 2 \times 7t + 2 \times 1 - 0,5t \times 7t - 0,5t \times 1
		= 14t + 2 - 3,5t^2 - 0,5t\]
		donc $f(t) = -3,5t^2 + 13,5t + 2$.

		\item $f(0) = -3,5 \times 0^2 + 13,5 \times 0 + 2 = 2$.

Au moment de son lancement, le projectile se trouve à une hauteur de 2~mètres.
	\end{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item On résout graphiquement l'équation $f(t) = 12$ :
		
			\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=3cm,y=0.35cm,>=stealth]
			% Quadrillage secondaire puis principal
			\draw[gray!20,line width=0.3pt,xstep=0.1,ystep=1] (0,0) grid (4.3,16.5);
			\draw[gray!60,line width=0.5pt,xstep=0.5,ystep=5] (0,0) grid (4.3,16.5);
			% Axes
			\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (4.4,0) node[below right]{$t$};
			\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (0,17.2);
			% Graduations
			\foreach \x in {0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4} \draw (\x,3pt) -- (\x,-3pt) node[below]{\footnotesize \np{\x}};
			\foreach \y in {5,10,15} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left]{\footnotesize \np{\y}};
			\draw (0,0) node[below left]{\footnotesize 0};
			% Courbe de f : trait plein sur [0;3], pointillés sur [3;4]
			\draw[green!50!black,line width=1.2pt,domain=0:3,samples=100]
			plot (\x,{-3.5*(\x)^2+13.5*\x+2});
			\draw[green!50!black,line width=1.2pt,dotted,domain=3:4,samples=40]
			plot (\x,{-3.5*(\x)^2+13.5*\x+2});
			% Droite y = 12
			\draw[blue,line width=1pt] (0,12) -- (4,12) node[right]{$y=12$};
			% Points d'intersection et leurs abscisses
			\draw[blue,dashed] (1,12) -- (1,0);
			\draw[blue,dashed] (20/7,12) -- (20/7,0);
			\fill[blue] (1,12) circle(2pt);
			\fill[blue] (20/7,12) circle(2pt);
			\draw[blue] (1,0) node[below,yshift=-12pt]{$t_1=1$};
			\draw[blue] (20/7,0) node[below,yshift=-12pt]{$t_2\approx 2,85$};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}
	
Les solutions sont
		\[t_1 = 1 \qquad\text{et}\qquad t_2  \approx 2,85.\]

La hauteur du projectile est supérieure ou égale à 12~m sur l'intervalle de temps $[1 ; 2,85]$ (en secondes).

		\item Le projectile touche le sol lorsque sa hauteur s'annule :
		\[f(t) = 0 \iff (2-0,5t)(7t+1) = 0 \iff 2-0,5t = 0 \text{ ou }7t+1=0.\]
		\[ \iff -0.5t = -2 \text{ ou } 7t = -1\]
		\[ \iff t = 4 \text{ ou } t = -\frac{1}{7}\]
		
		Seule la solution $t = 4$ appartient à l'intervalle $[0~;~+\infty[$.

		Le projectile touche le sol 4~secondes après son lancement.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}