% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie générale -- sans spécialité -- Métropole -- septembre 2026 (26-MATGEME3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série sans spécialité},
    pdftitle = {Corrigé -- Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Métropole -- septembre 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité -- Métropole -- septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.} Les justifications ci-dessous sont fournies à titre pédagogique.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point : il ne faut donc jamais laisser une question sans réponse.

\subsection*{Question 1 \quad Réponse B}

On range d'abord les 7 notes dans l'ordre croissant :
\[8 \quad 9 \quad 9 \quad \mathbf{11} \quad 12 \quad 15 \quad 17.\]
L'effectif est impair (7 notes) : la médiane est la valeur centrale, c'est-à-dire la
4\up{e} note, soit 11.

\subsection*{Question 2 \quad Réponse D}

La droite coupe l'axe des ordonnées en 6 : l'ordonnée à l'origine est $b = 6$. Elle passe
aussi par le point de coordonnées $(2 ; 0)$, donc son coefficient directeur vaut
\[a = \dfrac{0 - 6}{2 - 0} = -3.\]
D'où $f(x) = -3x + 6$.

\subsection*{Question 3 \quad Réponse B}

On reconnaît l'identité remarquable $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ avec $a = x$ et $b = 3$ :
\[(x-3)(x+3) = x^2 + 3x - 3x - 9 = x^2 - 9.\]

\subsection*{Question 4 \quad Réponse A}

Prendre 30\,\% d'une quantité revient à la multiplier par $\dfrac{30}{100} = 0,3$ :
\[0,3 \times 12 = 3,6.\]

\subsection*{Question 5 \quad Réponse C}

Diviser par une fraction revient à multiplier par son inverse :
\[A = \dfrac{3}{7} \div \dfrac{4}{5} = \dfrac{3}{7} \times \dfrac{5}{4} = \dfrac{15}{28}.\]

\subsection*{Question 6 \quad Réponse C}

Il s'agit d'une situation de proportionnalité : 1~mètre correspond à 1,1~yard, donc
\[300 \times 1,1 = 330.\]
300~mètres représentent environ 330~yards.

\subsection*{Question 7 \quad Réponse D}

On écrit $2 = 2^1$ et on applique $a^m \times a^n = a^{m+n}$ :
\[2 \times 2^5 = 2^1 \times 2^5 = 2^{1+5} = 2^6.\]

\subsection*{Question 8 \quad Réponse B}

On remplace $T_C$ par $-10$ dans la formule, en respectant la priorité de la
multiplication :
\[T_F = 1,8 \times (-10) + 32 = -18 + 32 = 14.\]
Une température de $-10$~\textdegree C correspond à 14~\textdegree F.

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (3 points)}

\emph{Pour $t \in [0~;~+\infty[$, $f(t) = 10 \times 1,15^{t}$ où $t$ est exprimé en heures et
$f(t)$ en milliers de bactéries.}

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Au début de l'expérience, $t=0$.
		$f(0) = 10 \times 1,15^{0} = 10 \times 1 = 10$.

		Au début de l'expérience, la population compte 10 milliers de bactéries, soit
		\np{10000} bactéries.

		\item $f(1) = 10 \times 1,15 = 11,5$.

		Au bout d'une heure, la population compte 11,5 milliers de bactéries, soit
		\np{11500} bactéries.
	\end{enumerate}

	\item Une fonction de la forme $t \longmapsto k \times a^t$ avec $k > 0$ et $a > 0$ est croissante
	si $a > 1$ et décroissante si $0 < a < 1$.

	Ici $k = 10 > 0$ et $a = 1,15 > 1$ : la fonction $f$ est \textbf{croissante} sur $[0 ; +\infty[$.

	\item $t = 1,5$~h correspond à 1~h~30~min et $f(t)$ s'exprime en milliers de bactéries.

	Au bout d'une heure et demie, la population compte environ \np{12332} bactéries.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points)}

\emph{$u_n$ désigne la valeur du téléphone, en euros, l'année $2025 + n$ ; $u_0 = \np{1060}$ et la
valeur diminue de 100~\euro{} chaque année.}

\begin{enumerate}
	\item $u_1 = \np{1060} - 100 = 960$ \quad et \quad $u_2 = 960 - 100 = 860$.

	Pour $n = 2$,\: $2025 + 2 = 2027$.
	En 2027, le téléphone vaudra 860~\euro.

	\item Chaque année, la valeur diminue de 100~\euro{} donc, pour tout entier naturel $n$ :
	$u_{n+1} = u_n - 100$.

	\item Pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + (-100)$ : la suite $(u_n)$ est
	\textbf{arithmétique} de raison $r = -100$ et de premier terme $u_0 = \np{1060}$.

	\item Pour une suite arithmétique de premier terme $u_0$ et de raison $r$ :
	$u_n = u_0 + nr$.

	Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{1060} - 100n$.

	\item La moitié de la valeur initiale est $\dfrac{\np{1060}}{2} = 530$~\euro. Le téléphone a perdu plus
	de la moitié de sa valeur lorsque $u_n < 530$.
	\[u_n < 530 \iff \np{1060} - 100n < 530 \iff -100n < -530 \iff n > 5,3.\]
	Le plus petit entier $n$ qui convient est $n = 6$.

	C'est à partir de l'année $2025 + 6 = 2031$ que le téléphone aura perdu plus de
	la moitié de sa valeur initiale.
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 3 (6 points)}

\begin{enumerate}
	\item On complète le tableau par différences : lacs $= 500 - 300 = 200$ ;
	lacs satisfaisants $= 200 - 80 = 120$ ; rivières satisfaisantes $= 280 - 120 = 160$ ;
	rivières insatisfaisantes $= 300 - 160 = 140$ ; insatisfaisants $= 500 - 280 = 220$.

	\begin{center}
		\begin{tblr}{hlines, vlines,colspec={X[l,5cm]X[c,2cm]X[c,2cm]X[c,2cm]}}
			& Rivière & Lac & Total \\
			Qualité satisfaisante & \textbf{160} & \textbf{120} & 280 \\
			Qualité insatisfaisante & \textbf{140} & 80 & \textbf{220} \\
			Total & 300 & \textbf{200} & 500 \\
		\end{tblr}
	\end{center}

	\item Le choix se fait au hasard : on est en situation d'équiprobabilité.
	\begin{enumerate}
		\item $P(R) = \dfrac{300}{500} = \dfrac{3}{5}$.
		
		La probabilité que l'échantillon provienne d'une rivière est de $\frac{3}{5}$.

		\item $\overline{S}$ : \og l'échantillon choisi est classé de qualité insatisfaisante \fg.
		\[P\left(\overline{S}\right) = \dfrac{220}{500} = \dfrac{10 \times 2 \times 11}{10 \times 2 \times 25} = \dfrac{11}{25}.\]

		\item $S \cap \overline{R}$ est l'évènement \og l'échantillon est de qualité satisfaisante
		et provient d'un lac \fg.
		\[P\left(S \cap \overline{R}\right) = \dfrac{120}{500} = \dfrac{10 \times 2 \times 6}{10 \times 2 \times 25} = \dfrac{6}{25}.\]
		La probabilité que l'échantillon choisi provienne d'un lac et soit de qualité
		satisfaisante est égale à $\dfrac{6}{25}$.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item $x = P_R\left(\overline{S}\right)$ est la probabilité que l'échantillon soit de qualité insatisfaisante
		sachant qu'il provient d'une rivière.

		\item Parmi les 300 échantillons provenant d'une rivière, 140 sont de qualité insatisfaisante :
		\[x = P_R\left(\overline{S}\right) = \dfrac{140}{300} = \dfrac{10 \times 2 \times 7}{10 \times 2 \times 15} = \dfrac{7}{15}.\]

		\item $P\left(\overline{R}\right) = 1 - \dfrac{3}{5} = \dfrac{2}{5}$ ; $P_R(S) = 1 - \dfrac{7}{15} = \dfrac{8}{15}$ ;
		$P_{\overline{R}}(S) = \dfrac{120}{200} = \dfrac{3}{5}$ et
		$P_{\overline{R}}\left(\overline{S}\right) = \dfrac{80}{200} = \dfrac{2}{5}$.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[x=2.8cm, y=1cm]
				% noeuds
				\node (root) at (0,0) {};
				\node (R) at (1,1.3) {$R$};
				\node (Rb) at (1,-1.3) {$\overline{R}$};
				\node (S1) at (2,2.1) {$S$};
				\node (S1b) at (2,0.5) {$\overline{S}$};
				\node (S2) at (2,-0.5) {$S$};
				\node (S2b) at (2,-2.1) {$\overline{S}$};
				% branches niveau 1
				\draw (root.east) -- (R) node[pos=0.5,above] {$\frac{3}{5}$};
				\draw (root.east) -- (Rb) node[pos=0.5,below] {$\frac{2}{5}$};
				% branches niveau 2
				\draw (R.east) -- (S1) node[pos=0.5,above] {$\frac{8}{15}$};
				\draw (R.east) -- (S1b) node[pos=0.5,below] {$\frac{7}{15}$};
				\draw (Rb.east) -- (S2) node[pos=0.5,above] {$\frac{3}{5}$};
				\draw (Rb.east) -- (S2b) node[pos=0.5,below] {$\frac{2}{5}$};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}
	\end{enumerate}

	\item Les évènements $R$ et $\overline{S}$ sont indépendants si et seulement si
	$P\left(R \cap \overline{S}\right) = P(R) \times P\left(\overline{S}\right)$.

	D'une part $P\left(R \cap \overline{S}\right) = \dfrac{140}{500} = \dfrac{7}{25} = \dfrac{35}{125}$ ;
	d'autre part $P(R) \times P\left(\overline{S}\right) = \dfrac{3}{5} \times \dfrac{11}{25} = \dfrac{33}{125}$.

	Comme $\dfrac{35}{125} \neq \dfrac{33}{125}$, l'égalité n'est pas vérifiée.

	Les évènements \og l'échantillon provient d'une rivière \fg{} et \og l'échantillon est de qualité
	insatisfaisante \fg{} ne sont \textbf{pas indépendants}.
\end{enumerate}
\end{document}