% Préambule APMEP - Annales % Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première) % Voie générale -- sans spécialité -- Polynésie française -- sujet de remplacement 2026 % Auteurs % tapuscrit et corrigé : Francois Boillot % figures TikZ : Francois Boillot % \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} % Packages %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \RequirePackage{iftex} \iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex \usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX) % Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX) \usepackage{hyperref} %\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système \else % pour les autres moteurs latex, pdflatex \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[dvips]{hyperref} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} \fi \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} % tableaux \usepackage{multicol} \usepackage{multirow} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} % texte et composition \usepackage{textcomp} \usepackage{babel} \usepackage[np]{numprint} % \usepackage{fancyhdr} \usepackage{makeidx} \makeindex % pour le symbole € \usepackage{eurosym} \DeclareRobustCommand{\officialeuro}{% \ifmmode\expandafter\text\fi {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}} \AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}} % couleurs étendues \usepackage{xcolor} % pour les listes \usepackage{enumitem} % Enumérations réglage par défaut \setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left} \setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left} \setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}} \setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}} \setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}} % pour l'ajustement des boites (figures…) \usepackage{adjustbox} % pour ne pas commencer un exercice en fin de page \usepackage{needspace} % % Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} \setlength{\headheight}{15pt} \setlength{\parindent}{0mm} % % Formatage du pdf \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {Première, Série sans spécialité}, pdftitle = {Corrigé -- Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie générale -- Polynésie française -- sujet de remplacement 2026}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH } % Pour scratch (code) \usepackage{scratch3} % Pour le code Python \usepackage{listings} \lstdefinestyle{python}{ language=Python, basicstyle=\ttfamily\small, keywordstyle=\color{blue}\bfseries, commentstyle=\color{gray}\itshape, stringstyle=\color{orange}, numbers=left, numberstyle=\tiny\color{gray}, breaklines=true, frame=single, backgroundcolor=\color{gray!5}, tabsize=4 } % Pour une visualisation de type tableur \usepackage{pas-tableur} % %% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} \usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules \DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% % Définitions % % notation en mode mathématique et hors mode mathématique \newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} \newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}} \newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}} \newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}} \newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}} \newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}} % \providecommand{\up}{\textsuperscript} % \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} % \def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$} \def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$} \def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$} % \newcommand{\ds}{\displaystyle} % \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%% \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Corrigé} \lfoot{\small{Polynésie française}} \rfoot{\small{sujet de remplacement 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \begin{center}\Large \bfseries \decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt] Voie générale -- sans spécialité -- Polynésie française -- 2026 \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt] Corrigé du sujet de remplacement \end{center} \section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)} \subsection*{Question 1 \quad Réponse D} On applique l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 5x$ et $b = 2$ : \[(5x-2)^2 = (5x)^2 - 2\times 5x\times 2 + 2^2 = 25x^2 - 20x + 4.\] \subsection*{Question 2 \quad Réponse D} La multiplication est prioritaire sur la soustraction : \[\dfrac{1}{4}\times\dfrac{8}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{8}{20} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{2}{5} - \dfrac{1}{5} = \dfrac{1}{5}.\] \subsection*{Question 3 \quad Réponse A} Multiplier par $\dfrac{3}{4} = 0,75$ revient à appliquer le coefficient multiplicateur $0,75 = 1 - 0,25$ : c'est une baisse de 25\,\%. \subsection*{Question 4 \quad Réponse B} Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul : \[(2x-4)(-3x+3) = 0 \iff 2x - 4 = 0 \ \text{ ou } \ -3x + 3 = 0 \iff x = 2 \ \text{ ou } \ x = 1.\] D'où $S = \{2 ; 1\}$. \subsection*{Question 5 \quad Réponse C} Une baisse de 50\,\% correspond au coefficient $0,5$ et une hausse de 50\,\% au coefficient $1,5$. Le coefficient multiplicateur global est leur produit : \[0,5 \times 1,5 = 0,75 = 1 - 0,25.\] Le prix a donc diminué de 25\,\%. \subsection*{Question 6 \quad Réponse B} Le coefficient directeur de la droite (AB) vaut \[a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{3 - (-1)}{1 - 3} = \dfrac{4}{-2} = -2.\] On a donc $f(x) = -2x + b$, et comme B$(1~;~3)$ appartient à la droite : $3 = -2\times 1 + b$, soit $b = 5$. D'où $f(x) = -2x + 5$. \subsection*{Question 7 \quad Réponse C} La moyenne coefficientée est la somme des notes multipliées par leur coefficient, divisée par la somme des coefficients : \[\overline{x} = \dfrac{18\times 1 + 11\times 2 + 16\times 1}{1 + 2 + 1} = \dfrac{18 + 22 + 16}{4} = \dfrac{56}{4} = 14.\] \subsection*{Question 8 \quad Réponse D} 6,4~h, c'est 6~h plus 0,4~h. Or une heure compte 60 minutes : \[0,4 \times 60 = 24.\] Donc 6,4~h $=$ 6~h 24~min. \newpage \section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)} \section*{Exercice 1 (5 points)} \begin{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Diminuer de 2\,\% revient à multiplier par $1 - \dfrac{2}{100} = 0,98$. $u_1 = 0,98 \times \np{60000} = \np{58800}$. On prévoit \np{58800} naissances en 2026. \item $v_1 = \np{40000} + 900 = \np{40900}$. On prévoit \np{40900} décès en 2026. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item D'une année à la suivante, le nombre de naissances diminue de 2\,\% donc, pour tout entier naturel $n$ : \[u_{n+1} = u_n - \dfrac{2}{100}u_n = u_n(1 - 0,02) = 0,98u_n.\] \item On passe d'un terme au suivant en multipliant toujours par le même nombre $0,98$ : la suite $(u_n)$ est \textbf{géométrique} de raison $q = 0,98$ et de premier terme $u_0 = \np{60000}$. \item Pour tout entier naturel $n$, $u_n = u_0 \times q^n$. Pour tout entier naturel $n$, $u_n = \np{60000} \times 0,98^n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Pour tout entier naturel $n$, $v_{n+1} = v_n + 900$. La suite $(v_n)$ est \textbf{arithmétique} de raison $r = 900$ et de premier terme $v_0 = \np{40000}$. \item Pour tout entier naturel $n$, $v_n = v_0 + nr$ Pour tout entier naturel $n$, $v_n = \np{40000} + 900n$. \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item On saisit en C3 la formule \texttt{=C2+900}. \item La ligne 12 correspond à $n = 10$ : $v_{10} = \np{40000} + 900 \times 10 = \np{49000}$. La cellule C12 affiche \np{49000}. \end{enumerate} \item Le solde naturel de l'année $2025+n$ est $u_n - v_n$ ; il est négatif lorsque $u_n < v_n$. Dans la tableau donné, on remarque que pour $n = 10$, $u_{10} > v_{10}$ et pour $n=11$, $u_{11} < v_{11}$. Comme $(u_n)$ est décroissante et $(v_n)$ croissante, le solde reste ensuite négatif. Le solde naturel devient négatif à partir de l'année $2025 + 11 = 2036$. \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 2 (4 points)} \emph{On note $I$ l'évènement \og le client a acheté sur internet \fg{} et $S$ l'évènement \og le client est satisfait \fg.} \begin{enumerate} \item Acheteurs en magasin : $\np{1000} - 400 = 600$. Internet et satisfaits : $0,9 \times 400 = 360$, donc internet et non satisfaits : $400 - 360 = 40$. Magasin et non satisfaits : $0,2 \times 600 = 120$, donc magasin et satisfaits : $600 - 120 = 480$. \begin{center} \begin{tblr}{hlines, vlines, colspec={X[l,4cm]X[c,3.5cm]X[c,3.5cm]X[c,2cm]}} & Achat sur internet ($I$) & Achat en magasin ($\overline{I}$) & Total \\ Satisfait ($S$) & 360 & 480 & 840 \\ Non satisfait ($\overline{S}$) & 40 & 120 & 160 \\ Total & 400 & 600 & \np{1000} \\ \end{tblr} \end{center} \item Le client étant choisi au hasard, on est en situation d'équiprobabilité. La probabilité que le client ait acheté en magasin et soit satisfait est $P\left(\overline{I} \cap S\right)$. \[P\left(\overline{I} \cap S\right) = \dfrac{480}{\np{1000}} = 0,48.\] La probabilité que le client ait acheté en magasin et soit satisfait est égale à $0,48$. \item Parmi les 160 clients non satisfaits, 40 ont acheté sur internet : \[P_{\overline{S}}(I) = \dfrac{40}{160} = 0,25.\] Sachant que le client n'est pas satisfait, la probabilité qu'il ait acheté sur internet est égale à $0,25$. \item La proportion de clients non satisfaits est $\dfrac{160}{\np{1000}} = 0,16 = 16\,\%$. Or $16\,\% > 10\,\%$ : la stratégie d'amélioration sera mise en place. \end{enumerate} \newpage \section*{Exercice 3 (5 points)} \emph{Pour $t \in [0~;~10]$, $f(t) = -25t^2 + 300t + 400$ où $t$ est le nombre de semaines écoulées depuis le début de l'épidémie et $f(t)$ le nombre hebdomadaire de consultations.} \subsection*{Partie A} \begin{center} \begin{tikzpicture}[x=1.1cm,y=0.0056cm,>=stealth] \draw[xstep=1,ystep=100,gray!75,line width=0.5pt] (0,0) grid (10.2,1420); \draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (10.6,0); \draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (0,1480); \foreach \x in {0,1,...,10} \draw (\x,12) -- (\x,-12) node[below] {\footnotesize \np{\x}}; \foreach \y in {100,200,...,1400} \draw (0.08,\y) -- (-0.08,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}}; \draw[blue,dashed,line width=1pt] (0,1200) -- (10.2,1200); \draw[blue,dashed] (4,1200) -- (4,0); \draw[blue,dashed] (8,1200) -- (8,0); \draw[blue,line width=2.5pt] (4,0) -- (8,0); \draw[dashed] (2,0) -- (2,900) -- (0,900); \draw[dashed] (6,0) -- (6,1300) -- (0,1300); \draw[red,line width=1.2pt] plot[domain=0:10,samples=80] (\x,{-25*\x*\x+300*\x+400}); \node[red] at (9.4,1060) {$\mathcal{C}_f$}; \end{tikzpicture} \end{center} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, $f(2) \approx 900$. Deux semaines après le début de l'épidémie, il y a environ 900 consultations dans la semaine. \item La courbe coupe la droite d'équation $y = \np{1200}$ aux points d'abscisses 4 et 8, et se situe au-dessus entre ces deux valeurs. Le nombre de consultations dépasse \np{1200} pour $t \in \left]4~;~8\right[$, c'est-à-dire entre la 4\up{e} et la 8\up{e} semaine après le début de l'épidémie. \item Le sommet de la parabole a pour coordonnées $(6~;~\np{1300})$. Le nombre de consultations est maximal au bout de 6 semaines ; il atteint alors \np{1300} consultations dans la semaine. \end{enumerate} \subsection*{Partie B} \begin{enumerate} \item $f(0) = -25\times 0^2 + 300\times 0 + 400 = 400$. Au début de l'épidémie, on compte 400 consultations dans la semaine. \item Pour tout réel $t$ de $[0~;~10]$, $f'(t) = -25\times 2t + 300\times 1 + 0 = -50t + 300$. \item $f'(t) = 0 \iff -50t + 300 = 0 \iff -50t = -300 \iff t = \dfrac{-300}{-50} = 6$. $S = \{6\}$. \item $f'(t) = -50t + 300$ est une expression affine de coefficient directeur $-50 < 0$ : elle est positive avant 6 et négative après. $f(0) = 400$, $f(6) = \np{1300}$ et $f(10) = -\np{2500} + \np{3000} + 400 = 900$. \begin{center} \begin{tikzpicture} \tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.8]{$t$/1,$f'(t)$/1,$f$/2}{$0$,$6$,$10$} \tkzTabLine{,+,z,-,} \tkzTabVar{-/$400$,+/$\np{1300}$,-/$900$} \end{tikzpicture} \end{center} La fonction $f$ est croissante sur $[0~;~6]$ et décroissante sur $[6~;~10]$. Elle admet un maximum égal à \np{1300} en $t = 6$. \end{enumerate} \end{document}