\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=2cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série sans spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Antilles-Guyane -- Septembre 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows,decorations.pathmorphing}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{11 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité\\[6pt]
	Sujet -- Antilles-Guyane -- 11 septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
\end{center}

\begin{center}
	Durée : 2 heures -- L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{center}

\emph{La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}

Le nombre $3^4 \times 3^2$ est égal à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $3^8$ &
	\textbf{B.}\quad $3^6$ &
	\textbf{C.}\quad $9^6$ &
	\textbf{D.}\quad $27^5$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 2}

On considère la droite passant par les points $A(1 ; 2)$ et $B(3 ; 6)$.

Son coefficient directeur est égal à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 1 &
	\textbf{B.}\quad 2 &
	\textbf{C.}\quad 3 &
	\textbf{D.}\quad 4 \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 3}

\begin{minipage}[t]{0.34\linewidth}
	On considère le graphique ci-contre qui donne le taux de pauvreté en pourcentage en France en fonction des années.

	\medskip

	Déterminer les années pour lesquelles le taux de pauvreté était de 14,5\,\%.

	\medskip
	\begin{tblr}{colspec = {@{}X}}
		\textbf{A.}\quad 2012 et 2015 \\
		\textbf{B.}\quad 2013 et 2020 \\
		\textbf{C.}\quad 2018 et 2021 \\
		\textbf{D.}\quad 2018, 2021 et 2023 \\
	\end{tblr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{0.63\linewidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.7,x=1.25cm,y=2cm,>=stealth,baseline={(current bounding box.north)}]
		\draw[xstep=1,ystep=0.1,gray!30,line width=0.3pt] (0,0) grid (11.5,3.25);
		\draw[xstep=1,ystep=0.5,gray!75,line width=0.5pt] (0,0) grid (11.5,3.25);
		\draw[line width=1pt] (0,0) -- (11.5,0);
		\draw[line width=1pt] (0,0) -- (0,3.25);
		\foreach \x [count=\i from 0] in {2012,2013,...,2023} \draw (\i,2pt) -- (\i,-2pt) node[below] {\scriptsize \x};
		\foreach \y/\t in {0/{12,5},0.5/13,1/{13,5},1.5/14,2/{14,5},2.5/15,3/{15,5}} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \t};
		\draw[line width=1.2pt,blue] (0,1.4) -- (1,1.0) -- (2,1.2) -- (3,1.4) -- (4,1.1) -- (5,1.3) -- (6,2.0) -- (7,1.8) -- (8,1.1) -- (9,2.0) -- (10,1.9) -- (11,2.9);
		\foreach \x/\y in {0/1.4,1/1.0,2/1.2,3/1.4,4/1.1,5/1.3,6/2.0,7/1.8,8/1.1,9/2.0,10/1.9,11/2.9} \fill[blue] (\x,\y) circle (2.15pt);
	\end{tikzpicture}

	\emph{Source : Insee}
\end{minipage}

\subsection*{Question 4}

La forme développée et réduite de $(x-5)^2$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $x^2 - 25$ &
	\textbf{B.}\quad $x^2 + 25$ &
	\textbf{C.}\quad $x^2 - 10x + 25$ &
	\textbf{D.}\quad $x^2 + 10x + 25$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 5}

On considère la série de notes suivante : 14 ; 11 ; 11 ; 4 ; 10.

La moyenne est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 11 &
	\textbf{B.}\quad 10,5 &
	\textbf{C.}\quad 10 &
	\textbf{D.}\quad 8 \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 6}

\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
	La fonction affine représentée dans le repère ci-contre est :

	\medskip
	\begin{tblr}{colspec = {@{}X}, rowsep=3pt}
		\textbf{A.}\quad $f(x) = -2x+3$ \\
		\textbf{B.}\quad $f(x) = -\dfrac{2}{3}x+3$ \\
		\textbf{C.}\quad $f(x) = \dfrac{3}{2}x+3$ \\
		\textbf{D.}\quad $f(x) = \dfrac{2}{3}x+3$ \\
	\end{tblr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=1cm,y=1cm,>=stealth,baseline={(current bounding box.north)}]
	\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-3.3,-1.3) grid (1.3,3.3);
	\draw[->,line width=1pt] (-3.3,0) -- (1.3,0);
	\draw[->,line width=1pt] (0,-1.3) -- (0,3.3);
	\foreach \x in {-3,-2,-1,1} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
	\foreach \y in {-1,1,2,3} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
	\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
	\clip (-3.3,-1.3) rectangle (1.3,3.3);
	\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=-3.3:1.3] (\x,{1.5*\x+3});
\end{tikzpicture}

\subsection*{Question 7}

Le tableau de signes de $f(x) = -10x+4$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{2}{X}}, rowsep=6pt}
	\textbf{A.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$-0{,}4$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{B.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$-0{,}4$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	\\
	\textbf{C.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$0{,}4$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{D.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/0.8}{$-\infty$,$0{,}4$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	\\
\end{tblr}

\subsection*{Question 8}

Un prix est passé de 25~\euro{} à 20~\euro. Quel est le pourcentage de réduction ?

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 20\,\% &
	\textbf{B.}\quad 25\,\% &
	\textbf{C.}\quad 5\,\% &
	\textbf{D.}\quad 10\,\% \\
\end{tblr}

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (4 points)}

Le jeu de fléchettes oppose deux joueurs et une partie se déroule en plusieurs manches. Les joueurs débutent les manches à tour de rôle. On désigne à pile ou face, avec une pièce équilibrée, la personne qui débute la première manche.

On a étudié les parties entre Pierre et Vanessa et on a constaté que lorsque Pierre joue en premier, il gagne la manche 2 fois sur 3 et lorsqu'il joue en second, il gagne la manche 2 fois sur 5.

On note les évènements :
\begin{itemize}[left=5mm,label={}]
	\item $A$ : \og Pierre joue la manche en premier \fg{} ;
	\item $\overline{A}$ : \og Pierre joue la manche en second \fg{} ;
	\item $G$ : \og Pierre gagne la manche \fg{} ;
	\item $\overline{G}$ : \og Pierre perd la manche \fg.
\end{itemize}

\emph{Pour un évènement quelconque $E$, on note $P(E)$ la probabilité de $E$ et $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant l'évènement $F$.}

Dans toute la suite, on s'intéresse à la première manche de la partie.

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités correspondant :

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=3cm, y=1cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (A) at (1,1) {$A$};
			\node (Abar) at (1,-1) {$\overline{A}$};
			\node (B1) at (2,1.6) {$G$};
			\node (B1b) at (2,0.4) {$\overline{G}$};
			\node (B2) at (2,-0.4) {$G$};
			\node (B2b) at (2,-1.6) {$\overline{G}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (A) node[pos=0.5,above] {$\frac{1}{2}$};
			\draw (root.east) -- (Abar) node[pos=0.5,below] {\ldots};
			% branches niveau 2
			\draw (A.east) -- (B1) node[pos=0.5,above] {$\frac{2}{3}$};
			\draw (A.east) -- (B1b) node[pos=0.5,below] {\ldots};
			\draw (Abar.east) -- (B2) node[pos=0.5,above] {$\frac{2}{5}$};
			\draw (Abar.east) -- (B2b) node[pos=0.5,below] {\ldots};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\item Donner $P_A(G)$ et $P_{\overline{A}}(G)$.
	\item Calculer $P(A \cap G)$. Interpréter cette probabilité dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (6 points)}

Une zoologiste étudie l'évolution de la population d'une espèce animale dans un secteur géographique délimité. Elle a estimé que cette population diminue chaque année de 100 individus. Elle modélise la situation par la suite $\left(u_n\right)$ telle que $u_n$ représente le nombre d'individus au 1\up{er} mars $2025+n$.

Au 1\up{er} mars 2025, la population compte \np{2500} individus.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner $u_0$ à partir des données de l'exercice.
		\item Selon ce modèle, calculer le nombre d'individus au 1\up{er} mars 2026.
	\end{enumerate}

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Quelle est la nature de cette suite ? On précisera sa raison.
		\item Donner l'expression du terme général de la suite $\left(u_n\right)$ en fonction de $n$.
	\end{enumerate}

	\item Justifier le sens de variation de la suite $\left(u_n\right)$.
	\item Selon ce modèle, à partir du 1\up{er} mars de quelle année le nombre d'individus sera-t-il inférieur à \np{1250} ?
\end{enumerate}

\medskip
\section*{Exercice 3 (4 points)}

On modélise l'altitude d'un projectile en fonction du temps $t$ exprimé en secondes par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par :
\[ f(t) = (2-0,5t)(7t+1) \]
où $f(t)$ est la hauteur, exprimée en mètres.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier que $f(t) = -3,5t^2 + 13,5t + 2$, pour tout $t$ appartenant à l'intervalle $[0 ; +\infty[$.
		\item Calculer $f(0)$ et interpréter $f(0)$ dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}

	\item Ci-dessous, on donne une représentation graphique partielle de la fonction $f$ et son tableau de variation.

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=2.8cm,y=0.28cm,>=stealth]
			\draw[xstep=0.1,ystep=1,gray!30,line width=0.3pt] (0,0) grid (4.3,17);
			\draw[xstep=0.5,ystep=5,gray!75,line width=0.5pt] (0,0) grid (4.3,17);
			\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (4.3,0);
			\draw[->,line width=1pt] (0,0) -- (0,17);
			\foreach \x in {0.5,1,1.5,2,2.5,3,3.5,4} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
			\foreach \y in {5,10,15} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
			\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
			\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=0:3,samples=60] (\x,{-3.5*\x*\x+13.5*\x+2});
			\draw[line width=1.2pt,red,densely dotted] plot[domain=3:3.5,samples=20] (\x,{-3.5*\x*\x+13.5*\x+2});
		\end{tikzpicture}

		\medskip

		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3,espcl=2.5]{$t$/0.75,$f$/1.5}{$0$,$\frac{27}{14}$,$+\infty$}
			\tkzTabVar{-/{$2$},+/{},-/{}}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Avec la précision permise par le graphique, déterminer l'intervalle de temps sur lequel la hauteur du projectile est supérieure ou égale à 12~m.
		\item À quel instant $t$ le projectile touchera-t-il le sol ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}