\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
 \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série sans spécialité},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie générale -- Métropole -- Septembre 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}

% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows,decorations.pathmorphing}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie générale -- sans spécialité\\[7pt]
	Métropole -- 11 septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Sujet
\end{center}

\begin{center}
	Voie générale : candidats ne suivant pas l'enseignement de spécialité de mathématiques.

	Durée : 2 heures -- L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{center}

\emph{La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reporter son numéro sur la copie et indiquer la réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}

Un élève a obtenu les notes suivantes : 11 ; 12 ; 15 ; 9 ; 17 ; 9 ; 8.

La médiane de ses notes est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 9 &
	\textbf{B.}\quad 11 &
	\textbf{C.}\quad 81 &
	\textbf{D.}\quad 12 \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 2}

\begin{minipage}[t]{0.6\linewidth}
	La fonction affine $f$ représentée ci-contre a pour expression :

	\medskip
	\begin{tblr}{colspec = {@{}X}}
		\textbf{A.}\quad $f(x) = 2x+6$ \\
		\textbf{B.}\quad $f(x) = -2x+6$ \\
		\textbf{C.}\quad $f(x) = 6x+2$ \\
		\textbf{D.}\quad $f(x) = -3x+6$ \\
	\end{tblr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,>=stealth,baseline={(current bounding box.north)}]
	\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-1.5,-1.5) grid (3.5,6.5);
	\draw[->,line width=1pt] (-1.5,0) -- (3.5,0);
	\draw[->,line width=1pt] (0,-1.5) -- (0,6.5);
	\foreach \x in {-1,1,2} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
	\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5,6} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
	\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
	\clip (-1.5,-1.5) rectangle (3.5,6.5);
	\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=-0.5:2.5] (\x,{-3*\x+6});
\end{tikzpicture}

\subsection*{Question 3}

L'expression $x^2 - 9$ correspond au développement de :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $(x-3)^2$ &
	\textbf{B.}\quad $(x-3)(x+3)$ &
	\textbf{C.}\quad $9(x-1)^2$ &
	\textbf{D.}\quad $(x-9)(x+1)$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 4}

30\,\% de 12 est égal à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 3,6 &
	\textbf{B.}\quad 36 &
	\textbf{C.}\quad 4 &
	\textbf{D.}\quad 6 \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 5}

L'expression $A = \dfrac{\frac{3}{7}}{\frac{4}{5}}$ est égale à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $\dfrac{12}{35}$ &
	\textbf{B.}\quad $\dfrac{15}{32}$ &
	\textbf{C.}\quad $\dfrac{15}{28}$ &
	\textbf{D.}\quad $\dfrac{28}{15}$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 6}

Sachant que 1 mètre correspond à environ 1,1 yard, 300 mètres représentent environ :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 270 yards &
	\textbf{B.}\quad 303 yards &
	\textbf{C.}\quad 330 yards &
	\textbf{D.}\quad 333 yards \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 7}

Le nombre $2 \times 2^5$ est égal à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $4^5$ &
	\textbf{B.}\quad $2^{10}$ &
	\textbf{C.}\quad $4^{10}$ &
	\textbf{D.}\quad $2^6$ \\
\end{tblr}

\subsection*{Question 8}

On note $T_F$ la température en degrés Fahrenheit et $T_C$ la température en degrés Celsius.

On a la relation : $T_F = 1,8\,T_C + 32$.

Si la température $T_C$ est de $-10$~\textdegree C, quelle est la température en degrés Fahrenheit ?

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 30,2 &
	\textbf{B.}\quad 14 &
	\textbf{C.}\quad 50 &
	\textbf{D.}\quad $-50$ \\
\end{tblr}

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (3 points)}

Des biologistes étudient une population de bactéries. On modélise l'évolution de cette population par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0 ; +\infty[$ par $f(t) = 10 \times 1,15^t$ où $t$ est exprimé en heure et $f(t)$ en \textbf{milliers} de bactéries.

L'expérience débute quand $t=0$.

\begin{enumerate}
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer le nombre de bactéries, exprimé en milliers, au début de l'expérience.
		\item Calculer le nombre de bactéries, exprimé en milliers, au bout d'une heure.
	\end{enumerate}
	\item Déterminer le sens de variation de la fonction $f$ sur $[0 ; +\infty[$ en justifiant.
	\item On a $f(1,5) \approx \np{12,332}$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'expérience.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 2 (5 points)}

En 2025, Jean a acheté un téléphone portable d'une valeur de \np{1060}~\euro.

On suppose que la valeur du téléphone diminue de 100~\euro{} chaque année.

Soit $\left(u_n\right)$ la suite modélisant la valeur du téléphone, en euros, l'année $2025+n$ pour tout entier naturel $n$.

Ainsi $u_0 = \np{1060}$.

\begin{enumerate}
	\item Calculer $u_1$ et $u_2$. Interpréter la valeur de $u_2$ dans le contexte de l'exercice.
	\item Exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ pour tout entier naturel $n$.
	\item En déduire la nature de la suite $\left(u_n\right)$ et préciser la raison de la suite.
	\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
	\item À partir de quelle année la valeur du téléphone aura-t-elle perdu plus de la moitié de sa valeur initiale ?
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 3 (6 points)}

Une étude a été réalisée sur la qualité de l'eau dans une région, en prélevant des échantillons dans deux types de milieux : des rivières et des lacs. Chaque échantillon a ensuite été analysé et classé comme de qualité \og satisfaisante \fg{} ou \og insatisfaisante \fg{} selon les normes en vigueur.

Voici les données recueillies à partir d'un total de 500 échantillons analysés :
\begin{itemize}
	\item 300 échantillons provenaient de rivières ;
	\item parmi les échantillons prélevés dans les lacs, 80 étaient classés de qualité \og insatisfaisante \fg{} ;
	\item au total, 280 échantillons étaient classés de qualité \og satisfaisante \fg.
\end{itemize}

\begin{enumerate}
	\item Recopier et compléter le tableau suivant :

	\begin{center}
		\begin{tblr}{hlines, vlines, colspec={l*{3}{X[c,25mm]}}}
			& Rivière & Lac & Total \\
			Qualité satisfaisante & & & \\
			Qualité insatisfaisante & & & \\
			Total & & & 500 \\
		\end{tblr}
	\end{center}

	\item On choisit un échantillon d'eau au hasard parmi les 500 échantillons analysés.

	On note les évènements suivants :
	\begin{itemize}[left=5mm,label={}]
		\item $S$ : \og l'échantillon choisi est classé de qualité satisfaisante \fg{} ;
		\item $R$ : \og l'échantillon choisi provient d'une rivière \fg.
	\end{itemize}

	\emph{Pour un évènement quelconque $E$ : on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ la probabilité de $E$.}

	On donnera les résultats sous forme de fraction.

	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la probabilité que l'échantillon provienne d'une rivière ?
		\item Décrire l'évènement $\overline{S}$ par une phrase puis justifier que $P\left(\overline{S}\right) = \dfrac{11}{25}$.
		\item Calculer $P\left(S \cap \overline{R}\right)$, puis interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}

	\item La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-dessous :

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}[x=3cm, y=1cm]
			% noeuds
			\node (root) at (0,0) {};
			\node (A) at (1,1) {$R$};
			\node (Abar) at (1,-1) {$\overline{R}$};
			\node (B1) at (2,1.6) {$S$};
			\node (B1b) at (2,0.4) {$\overline{S}$};
			\node (B2) at (2,-0.4) {$S$};
			\node (B2b) at (2,-1.6) {$\overline{S}$};
			% branches niveau 1
			\draw (root.east) -- (A) node[pos=0.5,above] {\ldots};
			\draw (root.east) -- (Abar) node[pos=0.5,below] {\ldots};
			% branches niveau 2
			\draw (A.east) -- (B1) node[pos=0.5,above] {\ldots};
			\draw (A.east) -- (B1b) node[pos=0.5,below] {$x$};
			\draw (Abar.east) -- (B2) node[pos=0.5,above] {\ldots};
			\draw (Abar.east) -- (B2b) node[pos=0.5,below] {\ldots};
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Traduire la probabilité $x$ en utilisant les évènements $\overline{S}$ et $R$.
		\item Vérifier que $x = \dfrac{7}{15}$.
		\item Recopier et compléter entièrement l'arbre.
	\end{enumerate}

	\item Les évènements \og l'échantillon provient d'une rivière \fg{} et \og l'échantillon est de qualité insatisfaisante \fg{} sont-ils indépendants ?
\end{enumerate}
\end{document}