% \documentclass[12pt,a4paper,french]{article} %%% codage et police utilisée \usepackage[T1]{fontenc} \usepackage[utf8]{inputenc} \usepackage{fourier} \usepackage[scaled=0.875]{helvet} \renewcommand{\ttdefault}{lmtt} %%% chargement des packages utiles \usepackage{amsmath,amssymb} \usepackage[normalem]{ulem} \usepackage{pifont} \usepackage{lscape} \usepackage{multicol} \usepackage{mathrsfs} \usepackage{tabularx} \usepackage{tabularray} \usepackage{multirow} \usepackage{enumitem} \usepackage{textcomp} \usepackage[pstricks]{tablvar} \usepackage{esvect} \usepackage{babel} \DecimalMathComma \usepackage[np]{numprint} \usepackage{fancyhdr} \usepackage{fancyvrb} \usepackage{makeidx} \makeindex \usepackage{scratch3} %%% Auteurs %Tapuscrit original % Sujet : Stephan Grignon (coopmaths) % Corrigé : Stephan Grignon (coopmaths) %modifications % Aymeric Picaud %%% pour PsTricks \usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST \usepackage{pstricks-add} \usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ} \usepackage{pst-eucl} %%% pour TikZ \usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes} \pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma} %%% Définitions ou redéfinitions \newcommand{\euro}{\eurologo{}} \newcommand{\R}{\mathbb{R}} \newcommand{\N}{\mathbb{N}} \newcommand{\D}{\mathbb{D}} \newcommand{\Z}{\mathbb{Z}} \newcommand{\Q}{\mathbb{Q}} \newcommand{\C}{\mathbb{C}} \newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}} \newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}} \renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}} \renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}} \renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}} \renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}} \def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} \newcommand{\ds}{\displaystyle} \newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}} %%% Taille de la zone d'écriture \usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry} %%% Formatage du pdf \usepackage[dvips]{hyperref} \hypersetup{% pdfauthor = {APMEP}, pdfsubject = {1ere technologique toute série}, pdftitle = {Baccalauréat -- Session 2026 -- voie technologiques -- corrigé}, allbordercolors = white, pdfstartview=FitH} %%% Redéfinitions \renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}} \renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}} \providecommand{\up}{\textsuperscript} \begin{document} \rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} \lhead{\small Épreuve anticipée} \lfoot{\small{Centres étrangers}} \rfoot{\small{8 juin 2026}} \pagestyle{fancy} \thispagestyle{empty} \marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}} \begin{center} {\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé - Épreuve anticipée de Première~\decofourright\\[10pt]Voie technologique - Centres étrangers - 8 juin 2026}} \end{center} \vspace{0,25cm} \begin{center} \textbf{\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)} \end{center} \subsubsection*{Question 1} $5-\dfrac{3}{2}$ est égal à : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \textbf{A.}\quad $1$ & \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{B.}\quad $\dfrac{7}{2}$ & \textbf{C.}\quad $4$ & \textbf{D.}\quad $-\dfrac{5}{2}$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} On écrit $5=\dfrac{10}{2}$. Ainsi : \[5-\dfrac{3}{2}=\dfrac{10}{2}-\dfrac{3}{2}=\dfrac{7}{2}.\] %La bonne réponse est \textbf{b.} \end{color} \subsubsection*{Question 2} $\left(2^3\right)^{-5}$ est égal à : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \textbf{A.}\quad $2^{-2}$ & \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{B.}\quad $2^{-15}$ & \textbf{C.}\quad $6^{-5}$ & \textbf{D.}\quad $2^8$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} On utilise la propriété $(a^m)^n=a^{m \times n}$ : \[\left(2^3\right)^{-5}=2^{3\times(-5)}=2^{-15}.\] %La bonne réponse est \textbf{b.} \end{color} \subsubsection*{Question 3} Un téléphone coûte 990 euros. Le prix baisse de 20 \%. Son nouveau prix est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \textbf{A.}\quad $990\times 0{,}2$ & \textbf{B.}\quad $990\times\left(1+\dfrac{20}{100}\right)$ & \textbf{C.}\quad $990\times\left(-\dfrac{20}{100}\right)$ & \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{D.}\quad $990\times 0{,}8$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} Une baisse de $20\,\%$ correspond à un coefficient multiplicateur égal à : $1-\dfrac{20}{100}=0{,}8$. Le nouveau prix est donc $990\times 0{,}8$. %La bonne réponse est \textbf{d.} \end{color} \subsubsection*{Question 4} On considère un dé truqué tel que la probabilité d'obtenir un 5 et celle d'obtenir un 6 sont chacune égales à 0,3. On lance le dé. La probabilité d'obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \textbf{A.}\quad $\dfrac{2}{6}$ & \textbf{B.}\quad $\dfrac{1}{6}$ & \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{C.}\quad $0{,}6$ & \textbf{D.}\quad $0{,}3$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} Obtenir un nombre supérieur ou égal à 5 signifie obtenir 5 ou 6. Les deux évènements étant disjoints, on ajoute leur probabilité pour obtenir la probabilité de leur union. Dans le cas présent : \[0{,}3+0{,}3=0{,}6\] %La bonne réponse est \textbf{c.} \end{color} \subsubsection*{Question 5} Les solutions de l'équation $(x-2)(2x+1)=0$ sont : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{A.}\quad $2$ et $-\dfrac{1}{2}$ & \textbf{B.}\quad $-2$ et $1$ & \textbf{C.}\quad $2$ et $\dfrac{1}{2}$ & \textbf{D.}\quad $2$ et $-1$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} Un produit est nul si, et seulement si, l'un de ses facteurs est nul : \[\left\{x-2=0 \iff x=2\right\} \text{ ou } \left\{2x+1=0 \iff 2x=-1 \iff x=-\dfrac{1}{2}\right\}\] On obtient donc $x=2$ ou $x=-\dfrac{1}{2}$. %La bonne réponse est \textbf{a.} \end{color} \subsubsection*{Question 6} Voici les notes obtenues dans une classe lors d'un contrôle en mathématiques. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|c|} \hline Note & 7 & 10 & 12 & 14\\ \hline Nombre d'élèves & 5 & 7 & 8 & 10\\ \hline \end{tabular} \end{center} La note médiane de ce contrôle est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{A.}\quad $12$ & \textbf{B.}\quad $11$ & \textbf{C.}\quad $11{,}37$ & \textbf{D.}\quad $7{,}5$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} Il y a $5+7+8+10=30$ élèves. La médiane est située entre les 15\ieme{} et 16\ieme{} valeurs de la série ordonnée (on peut prendre la moyenne de ces deux valeurs). Les notes 7 occupent les rangs 1 à 5, les notes 10 les rangs 6 à 12, les notes 12 les rangs 13 à 20. Les 15\ieme{} et 16\ieme{} valeurs valent donc toutes les deux 12. La médiane est donc $12$. La bonne réponse est \textbf{a.} \end{color} \subsubsection*{Question 7} On donne ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-4;3]$. %%% PsTricks \begin{center} \psset{unit=1cm, arrowsize=3pt 3,comma, radius=2pt} \def\xmin{-4.5} \def\xmax{3.5} \def\ymin{-1.5} \def\ymax{5.5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-5,-2)(4,6) \psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psplot[linecolor=blue, plotpoints=3000, linewidth=1.2pt]{-4}{3}{x x x neg mul 13 add mul 12 add 6 div} \psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](-4,4)(-3,0)(-2,-1)(0,2)(2,5)(3,4) \rput(2.3,4.){\blue $\mathcal{C}_f$} \uput{10pt}[dl](0,0){\small 0} %%% corrigé \psline[linecolor=red, linewidth=2pt]{[-]}(-4,0)(-3,0) \psline[linecolor=red, linewidth=2pt]{[-]}(-1,0)(3,0) \end{pspicture*} \end{center} %%% TikZ %\begin{center} %\begin{tikzpicture} % [scale=0.78, % point/.style={ thick, draw=#1, cross out,rotate=45, inner sep=0pt, minimum width=3pt, minimum height=3pt}, % point/.default={black} % ] %\draw[step=1,gray!35,thin] (-4.5,-1.5) grid (3.5,5.5); %\draw[-latex,thick] (-4.5,0)--(3.5,0); %\draw[-latex,thick] (0,-1.5)--(0,5.5); %\node[below left,scale=0.75] {0}; % %\begin{scope} %\clip (-4.5,-1.5) rectangle (3.5,5.5); %% Tracé de la fonction f(x) = -1/6 * x^3 + 13/6 * x + 2 %\draw[red,very thick,domain=-4:3,samples=200,smooth] % plot (\x, {-1/6*pow(\x,3) + 13/6*\x + 2}); %\end{scope} % %\foreach \x in {-4,-3,-2,-1,,1,2,3} {\draw (\x,0.07)--(\x,-0.07) node[below,scale=0.75] {$\x$};} %\foreach \y in {-1,1,2,3,4,5} {\draw (0.07,\y)--(-0.07,\y) node[left,scale=0.75] {$\y$};} % %% corrige %% points d'ordonnées supérieures ou égale à 0 % \draw[line width=2.5pt,color=green,opacity=0.5,smooth,samples=200,domain=-4:-3] % plot (\x,{-1/6*pow(\x,3) + 13/6*\x + 2}); % \draw[line width=2.5pt,color=green,opacity=0.5,smooth,samples=200,domain=-1:3] % plot (\x,{-1/6*pow(\x,3) + 13/6*\x + 2}); % % % \draw[line width=3.5pt,color=green,opacity=0.5] (-4,0) -- (-3,0) (-1,0) -- (3,0); % %\node at (2.75,5.15) {$\mathcal{C}_f$}; % %% Optionnel : Points remarquables par lesquels cette fonction passe exactement %\node [point] at (-4,4) {};% f(-4) = 4 %\node [point] at (-3,0) {};% f(-3) = 0 %\node [point] at (-2,-1) {};% f(-2) = -1 %\node [point] at (-1,0) {};% f(-1) = 0 %\node [point] at (0,2) {};% f(0) = 2 %\node [point] at (2,5) {};% f(2) = 4 %\node [point] at (3,4) {};% f(3) = 4 % % %\end{tikzpicture} %\end{center} L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x)\geqslant 0$ est : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \textbf{A.}\quad $[0\,;\,3]$ & \textbf{B.}\quad $[-4\,;\,-2]$ & \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{C.}\quad $[-4\,;\,-3]\cup[-1\,;\,3]$ & \textbf{D.}\quad $[-4\,;\,-3]\cup[0\,;\,3]$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} Sur la courbe, la fonction est positive ou nulle lorsque la courbe est située sur ou au-dessus de l'axe des abscisses. On lit que la courbe coupe l'axe des abscisses en $x=-3$ et en $x=-1$. Elle est au-dessus de l'axe sur $[-4\,;\,-3]$ puis sur $[-1\,;\,3]$. L'ensemble des solutions est donc : $[-4\,;\,-3]\cup[-1\,;\,3]$. %La bonne réponse est \textbf{c.} \end{color} \subsubsection*{Question 8} Dans le lycée Alpha, il y a 500 élèves. 150 lycéens pratiquent un sport. Le pourcentage d'élèves pratiquant un sport dans ce lycée est égal à : \medskip \begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines} \textbf{A.}\quad $15\ \%$ & \textbf{B.}\quad $35\ \%$ & \SetCell{bg=blue4,fg=white}\textbf{C.}\quad $30\ \%$ & \textbf{D.}\quad $65\ \%$ \end{tblr} \medskip \begin{color}{blue2} La proportion d'élèves pratiquant un sport est : $\dfrac{150}{500} = \dfrac{30\times 5}{100\times 5} = \dfrac{30}{100} = 0{,}3 = 30\,\%$. %La bonne réponse est \textbf{c.} \end{color} \newpage \begin{center} \textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (14 pts)} \end{center} \subsection*{Exercice 1 (7 points)} \begin{enumerate} \item On considère la suite $(u_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $u_0=5$ et $u_{n+1}=2u_n+1$. \textbf{Affirmation 1 :} $u_3=47$. \begin{color}{blue2} On calcule les premiers termes de la suite : \[ u_1=2u_0+1=2\times 5+1=11, \] \[ u_2=2u_1+1=2\times 11+1=23, \] \[ u_3=2u_2+1=2\times 23+1=47. \] L'affirmation 1 est donc \textbf{vraie}. \end{color} \bigskip \item Mathétix anime une chaîne vidéo sur le thème des mathématiques. Il observe qu'entre deux mois consécutifs, il perd un dixième de ses abonnés mais il en gagne 200. On modélise cette évolution par la suite $(V_n)$, avec $V_n$ le nombre d'abonnés le $n$-ième mois. \textbf{Affirmation 2 :} On a : $V_{n+1}=1{,}1V_n+200$ pour tout entier naturel $n$. \begin{color}{blue2} Perdre un dixième de ses abonnés revient à conserver les neuf dixièmes, c'est-à-dire multiplier par : \[ 1-\dfrac{1}{10}=\dfrac{9}{10}=0{,}9. \] Puis Mathétix gagne 200 abonnés. On a donc, pour tout entier naturel $n$ : \[ V_{n+1}=0{,}9V_n+200. \] La formule proposée $V_{n+1}=1{,}1V_n+200$ correspondrait à une augmentation de $10\,\%$, et non à une perte d'un dixième. L'affirmation 2 est donc \textbf{fausse}. \end{color} \bigskip \item On considère la suite $(w_n)$ définie sur $\mathbb{N}$ par $w_n=\dfrac{n+4}{3}$. \textbf{Affirmation 3 :} La suite $(w_n)$ est une suite arithmétique de premier terme 4 et de raison $\dfrac{1}{3}$. \begin{color}{blue2} Le premier terme de la suite $(w_n)$ est : $w_0=\dfrac{0+4}{3}=\dfrac{4}{3}$, et non 4. L'affirmation 3 est donc \textbf{fausse}. \end{color} \bigskip \item On interroge 200 élèves sur leur moyen de transport pour venir au lycée. \begin{center} \begin{tabular}{|c|c|c|c|} \hline & \textbf{Filles} & \textbf{Garçons} & \textbf{Total}\\ \hline \textbf{Bus} & 90 & & 150\\ \hline \textbf{Autre} & 15 & 35 & 50\\ \hline \textbf{Total} & 105 & 95 & 200\\ \hline \end{tabular} \end{center} On utilisera ce tableau pour les affirmations 4 \underline{et} 5. On choisit un élève au hasard. \bigskip \textbf{Affirmation 4 :} La probabilité qu'il se rende au lycée en bus est de $\dfrac{3}{4}$. \begin{color}{blue2} La probabilité qu'un élève choisi au hasard se rende au lycée en bus est : \[P(B)=\dfrac{150}{200}=\dfrac{15}{20}=\dfrac{3}{4}.\] L'affirmation 4 est donc \textbf{vraie}. \end{color} \bigskip \textbf{Affirmation 5 :} Sachant que l'élève a pris le bus, la probabilité que ce soit un garçon est de $0{,}6$. \begin{color}{blue2} On trouve d'abord la valeur manquante dans case du tableau : il y a 150 élèves qui prennent le bus, dont 90 filles. Il y a donc $150-90=60$ garçons qui prennent le bus. La probabilité cherchée est donc : \[P_B(G)=\dfrac{60}{150}=\dfrac{2}{5}=0{,}4\neq0{,}6.\] L'affirmation 5 est donc \textbf{fausse}. \end{color} \end{enumerate} \subsection*{Exercice 2 (7 points)} Soit $f$ une fonction définie et dérivable sur l'intervalle $[0\,;\,4]$, dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est représentée ci-dessous. La droite $T$ est la tangente à la courbe au point d'abscisse 3. \begin{minipage}{0.60\textwidth} \begin{enumerate} \item Par lecture graphique, déterminer : \begin{enumerate} \item l'image de 3 par la fonction $f$ ; \begin{color}{blue2} Le point A de la courbe d'abscisse 3 a pour ordonnée $-2$; donc : $f(3)=-2$. \end{color} \item le nombre dérivé $f'(3)$. \begin{color}{blue2} Le nombre dérivé $f'(3)$ est le coefficient directeur de la tangente $T$ au point d'abscisse 3. La droite $T$ passe par le point $(3\,;\,-2)$ et, par lecture graphique, par le point $(4\,;\,1)$. Son coefficient directeur est donc : \\ $\dfrac{1-(-2)}{4-3}=\dfrac{3}{1}=3$. Ainsi : $f'(3)=3$. \end{color} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{minipage} \hfill \begin{minipage}{0.40\textwidth} \begin{center} \psset{unit=0.8cm, arrowsize=3pt 3,comma} \def\xmin{-1.5} \def\xmax{4.9} \def\ymin{-4.5} \def\ymax{4.5} \begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psgrid[subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray, subgridcolor=lightgray](-2,-5)(5,5) \psaxes[labelFontSize=\footnotesize, ticksize=-2pt 2pt, showorigin=false]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) \psplot[linecolor=blue, plotpoints=3000, linewidth=1.2pt]{0}{4}{x x 9 x sub mul 24 sub mul 16 add} \uput[ul](4.7,3){\red $T$} \uput{10pt}[dl](0,0){\small 0} \uput[r](0.8,2.5){\blue $\mathcal{C}_f$} \psplot[linecolor=red]{0}{5}{3 x mul 11 sub} \psdots(3,-2) \uput[ul](3,-2){A} %%% Corrigé \psdots(4,1) \psline[linestyle=dashed, linewidth=1.5pt, linecolor=red](-0,-2)(3,-2)(3,0) \psline[linestyle=dashed, linewidth=1.5pt, arrowsize=2pt 2, linecolor=teal]{<->}(3,-2)(4,-2) \psline[linestyle=dashed, linewidth=1.5pt, arrowsize=2pt 3, linecolor=teal]{<->}(4,-2)(4,1) \uput[d](3.5,-2){\textcolor{teal}{1}} \uput[r](4,-0.5){\textcolor{teal}{3}} \end{pspicture*} \end{center} %%% TikZ %\begin{center} %\begin{tikzpicture}[scale=0.8] %\draw[step=1,gray!35,thin] (-1.5,-4.5) grid (5,4.5); %\draw[-latex,thick] (-1.5,0)--(5,0); %\draw[-latex,thick] (0,-4.5)--(0,4.5); %\foreach \x in {-1,1,2,3,4} {\draw (\x,0.07)--(\x,-0.07) node[below,scale=0.75] {$\x$};} %\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} {\draw (0.07,\y)--(-0.07,\y) node[left,scale=0.75] {$\y$};} %\node[below left,scale=0.75] {0}; %\node[below right] at (3,-2) {A}; %\node[draw=black,thick,rotate=45,cross out,inner sep=0pt,minimum width=3pt,minimum height=3pt] at (3,-2) {}; %\draw[teal,very thick,domain=0.61:4,samples=100,smooth] plot (\x,{-\x^3+9*\x^2-24*\x+16}); %\draw[red,thick,domain=2.375:4.625] plot (\x,{4*\x-14}); %\node at (1.05,3.65) {$\mathcal{C}_f$}; %\node at (3.80,2.85) {$T$}; %% %% corrigé %% %\draw [<->,orange,line width=1pt,yshift=-0.8cm] (3,-2) -- ++(1,0); %\draw [<->,blue2,line width=1pt,xshift=0.25cm] (4,-2) -- ++(0,4); %\draw[fill=orange,opacity=0.6] (3,-2) -- ++(1,0) node [midway,below=0.4cm,opacity=1,text=orange,preaction={fill=white}] {1} -- ++(0,4) node[midway,above right,opacity=1,text=white,preaction={fill=blue2}] {\textbf{4}} -- cycle; %\node[circle,draw=blue2,dotted,line width=1.5pt,minimum width=3pt] (A) at (3,-2) {}; %\draw[draw=blue2,dotted,line width=1.5pt] (A.north) -- (3,0) (A.west) -- (0,-2) node [left,opacity=0.4,fill=blue2,minimum width=0.5cm,minimum height=0.5cm] {} ; %\end{tikzpicture} %\end{center} \end{minipage} \begin{enumerate}[start=2] \item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ par : \[ f(x)=-x^3+9x^2-24x+16 \] \begin{enumerate} \item Calculer $f(0)$. \begin{color}{blue2} On calcule : $f(0)=-0^3+9\times 0^2-24\times 0+16=16$. \end{color} \item Soit $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$. Calculer $f'(x)$ pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,4]$, en détaillant les calculs. \begin{color}{blue2} Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0\,;\,4]$ : \[f'(x)=-1\times3x^2+9\times 2x-24+0=-3x^2+18x-24.\] \end{color} \item Vérifier que pour tout réel $x$, \[f'(x)=-3(x-2)(x-4).\] \begin{color}{blue2} On développe le deuxième produit, on réduit, on développe le premier produit, on réduit : \[-3(x-2)(x-4)=-3(x^2-4x-2x+8)=-3(x^2-6x+8)=-3x^2+18x-24.\] On retrouve bien l'expression de $f'(x)$ donnée. \end{color} \end{enumerate} \item \begin{enumerate} \item Étudier le signe de $f'(x)$ et établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,4]$, en y faisant figurer les extrémums. \begin{color}{blue2} On utilise la forme factorisée : $f'(x)=-3(x-2)(x-4)$. Le facteur $x-2$ est nul en 2, le facteur $x-4$ est nul en 4. $x-2 > 0$ pour $x>2$, $x-4 > 0$ pour $x>4$ Calculons les valeurs utiles : \[\text{On a déjà : } f(0)=16,\] \[f(2)=-2^3+9\times 2^2-24\times 2+16=-8+36-48+16=-4,\] \[f(4)=-4^3+9\times 4^2-24\times 4+16=-64+144-96+16=0.\] On obtient : \[\renewcommand{\fleche}{\ncline[linewidth=1.2pt,arrowsize=2pt 3, linecolor=blue2, nodesep=2.5pt]{->}} \begin{tablvar}[stretch=1.6,intervalwidth=8em]{2} \hline x & 0 && 2 && 4\\ \hline -3 & & - & \barre[] & - & \\ \hline x-2 & & - & \barre[0] & + & \\ \hline x-4 & & - & \barre[] & - & \barre[0] \\ \hline f'(x) & & - & \barre[0] & + & \barre[0] \\ \hline \variations{\mil{f} & \haut{16} && \bas{-4} && \haut{0}} \hline \end{tablvar}\] %\begin{center} %\begin{tikzpicture} %\tkzTabInit[lgt=2.8,espcl=2.8]{$x$/1,$-3$/1,$x-2$/1,$x-4$/1,$f'(x)$/1,$f(x)$/2}{$0$,$2$,$4$} %\tkzTabLine{,-,t,-,t} %\tkzTabLine{,-,z,+,t} %\tkzTabLine{,-,t,-,z} %\tkzTabLine{,-,z,+,z} %\tkzTabVar{+/$16$,-/$-4$,+/$0$} %\end{tikzpicture} %\end{center} \end{color} \item Quel est le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ ? En quelle valeur est-il atteint ? \begin{color}{blue2} D'après le tableau de variation, le minimum de la fonction $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,4]$ est $y=-4$, il est atteint pour $x=2$. \end{color} \end{enumerate} \end{enumerate} \end{document}