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% préambule APMEP - Annales
%
%%% Auteurs
% tapuscrit :  Aymeric Picaud
% relecture :
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
%%%
\documentclass[10pt,a4paper,french]{article}

%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
\fi
\usepackage[scaled=0.875]{helvet}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
%%% chargement des packages utiles
\usepackage[normalem]{ulem}
%\usepackage{pifont}
%\usepackage{lscape}
\usepackage{multicol}
%\usepackage{mathrsfs}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
\usepackage{multirow}
\usepackage{enumitem}
%\usepackage{textcomp}
\usepackage[pstricks]{tablvar}
%\usepackage{esvect}
\usepackage{babel}
\DecimalMathComma
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
\usepackage[np]{numprint}
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{fancyvrb}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
\usepackage{scratch3}
\usepackage{pas-tableur}

%%% pour PsTricks
%\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
%\usepackage{pstricks-add}
%\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
%\usepackage{pst-eucl}
%%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
%%% Définitions ou redéfinitions
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O} ; \vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O} ; \vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O} ; \vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%% Redéfinitions
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%%% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=3cm,right=3cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
%%% Formatage du pdf
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{hyperref}
\else
	\usepackage[dvips]{hyperref}
\fi
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Première, technologique},
	pdftitle = {Baccalauréat, épreuve anticipée de mathématiques -- Session 2026 -- technologique},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
	}
	\setlength{\parindent}{0pt}
\begin{document}
%
% réglage entete, pied de page
%
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Polynesie}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}
%
\thispagestyle{empty}
%
% Titre
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Baccalauréat, épreuve anticipée de mathématiques~\decofourright \\[7pt] Sujet\\[7pt]Voie technologique -- Polynesie -- 12 juin 2026}
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}}
\end{center}


\section*{\hfill~\textbf{\large PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}\hfill~}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. \\
Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsubsection*{Question 1}

Le nombre $\left(5^{3}\right)^{2}$ est égal à :

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad $5^5$
&
\textbf{B.}\quad $5^6$
&
\textbf{C.}\quad $5^9$
& \textbf{D.}
\quad  $5^1$
\\
\end{tblr}


\subsubsection*{Question 2}

Pour calculer le prix d'un produit après une hausse de 25~\%, en une seule opération, il faut multiplier le prix initial par :

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad $0,25$
&
\textbf{B.}\quad $0,75$
&
\textbf{C.}\quad $1,25$
&
\textbf{D.}\quad  $1,75$
\\
\end{tblr}

\subsubsection*{Question 3}

Dans un repère, on a tracé la droite passant par l'origine du repère de coordonnées $(0 ; 0)$ et par le point de coordonnées $(2 ; 6)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,1000 sep={\,},
				width=12cm,height=10cm,
				xmin=-1.2,xmax=3.2,ymin=-3.2,ymax=9.2,
				xtick={-2,-1,...,4},
				minor x tick num =0,
				ytick={-4,-3,...,10},
				minor y tick num =0,
				tick label style={font=\small},
				grid=both, axis lines=center,
				grid style={gray!75,line width=0.4pt},
				minor grid style={gray!20,line width=0.2pt},
				enlargelimits=false]
	\addplot[color=blue,domain=-2:4,smooth,samples=2,line width=1.2pt] {(3*x)};
	\node[draw,cross out, line width=1.1pt,minimum width=3pt, minimum height = 3pt] at (axis cs:2,6){};
	\node[below right] at (axis cs:0,0){\small 0};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}

Une équation de la droite est :

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad $y=2x+6$
&
\textbf{B.}\quad $y=6x+2$
&
\textbf{C.}\quad $y=3x$
&
\textbf{D.}\quad  $y=x$
\\
\end{tblr}


\subsubsection*{Question 4}

Dans un lycée, les adhérents de l'association sportive représentent un quart des élèves.

Quelle est la proportion d'élèves du lycée qui ne sont pas adhérents à l'association sportive ?

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad 25~\%
&
\textbf{B.}\quad 75~\%
&
\textbf{C.}\quad 40~\%
&
\textbf{D.}\quad 60~\%
\\
\end{tblr}

\subsubsection*{Question 5}

Le nombre $\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times\dfrac{2}{3}$ est égal à :

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad 1
&
\textbf{B.}\quad 2
&
\textbf{C.}\quad 3
&
\textbf{D.}\quad 4
\\
\end{tblr}



\subsubsection*{Question 6}

L'expression $(2x+3)^2$ est égale à :

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad $2x^2+9$
&
\textbf{B.}\quad $4x^2+12x+9$
&
\textbf{C.}\quad $4x^2+9$
&
\textbf{D.}\quad $2x^2+12x+9$
\\
\end{tblr}


\subsubsection*{Question 7}

On lance un dé à 6 faces numérotées de 1 à 6.

On admet que toutes les faces ont la même probabilité d’apparaitre.

Quelle est la probabilité d'obtenir un numéro inférieur ou égal à 2 ?

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad $\dfrac{1}{6}$
&
\textbf{B.}\quad $ \dfrac{2}{3} $
&
\textbf{C.}\quad $ \dfrac{1}{2} $
&
\textbf{D.}\quad $ \dfrac{1}{3} $
\\
\end{tblr}

\subsubsection*{Question 8}

On considère la série de nombres \quad $7 ; 3 ; 4 ; 2 ; x$.

La moyenne de cette série  de nombres est égale à 5.

Quelle équation permet de déterminer la valeur de $x$ ?

\medskip

\noindent
\begin{tblr}{colspec = {X[c]X[c]},hlines,vlines}
\textbf{A.}\quad $\dfrac{7+3+4+2+x}{5}=5$
&
\textbf{B.}\quad $7+3+4+2+\dfrac{x}{5}=5$
\\
\textbf{C.}\quad $\dfrac{7+3+2 + 4}{4}+x=5$
&
\textbf{D.}\quad $\dfrac{7+3+4+2+x}{4}=5$
\\
\end{tblr}

\newpage


\section*{\hfill~\textbf{\large DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}\hfill~}

\subsection*{Exercice 1 (4 points)}

Un marchand de glaces donne le choix à ses clients d'acheter la glace dans un cornet ou un pot.

Trois types de glaces sont proposés : sorbet, glace au lait et crème glacée.

Le tableau suivant donne les effectifs des choix de 200 clients ayant acheté une seule boule de glace.

Les réponses aux questions suivantes seront données sous forme de fractions non nécessairement simplifiées.

On interroge un client au hasard.

On admet que tous les clients ont la même probabilité d'être interrogés.

\medskip

\begin{tblr}{colspec = {X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]X[m,c]},hline{1}={2-Z}{solid},hline{2-Z}={solid},vline{1}={2-Z}{solid},vline{2-Z}={solid}}
	               & Sorbet & Glace au lait & Crème glacée & \textbf{Total} \\
	Cornet         & 16     & 64            & 80           & 160            \\
	Pot            & 12     & 4             & 24           & 40             \\
	\textbf{Total} & 28     & 68            & 104          & 200
\end{tblr}


\begin{enumerate}
\item Donner la probabilité que ce client ait choisi un sorbet.

\item Donner la probabilité que ce client ait choisi un sorbet dans un pot.

\item Sachant que le client interrogé a choisi un cornet, quelle est la probabilité qu'il ait choisi une glace au lait ?

\item Sachant que le client interrogé a choisi une crème glacée, quelle est la probabilité qu'il ait choisi un pot ?
\end{enumerate}

\subsection*{Exercice 2 (6 points)}
% modification par rapport au sujet scanné : remboursable/remboursables
Une personne souhaite emprunter \np{10000}~\euro{}, remboursables en six versements annuels.

Un établissement de crédit propose les deux formules.

\begin{itemize}[label={\textbullet}]
\item \textbf{Formule 1 :} Le premier versement est \np{1025}~\euro{} et les versements annuels suivants augmentent de \np{400}~\euro{} chaque année par rapport au versement précédent.
\item \textbf{Formule 2 :} le premier versement est \np{1550}~\euro{} et les versements annuels suivants augmentent de 10~\% chaque année par rapport au versement précédent.
\end{itemize}

\subsection*{Partie A}

On se place dans le cas de la \textbf{formule 1}.

Étant donné un entier naturel $n$, on appelle $u_n$ le versement, exprimé en euros, de l'année $2025+n$.

On a \quad $u_0=\np{1025}$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$.
\item Donner la nature de la suite $(u_n)$ et donner sa raison.
\item Donner la valeur du dernier versement $u_5$.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

On se place dans le cas de la \textbf{formule 2}.

Étant donné un entier naturel $n$, on appelle $v_n$ le versement, exprimé en euros, de l'année $2025+n$.

On a \quad $v_0=\np{1550}$.

\begin{enumerate}
\item Quel calcul permet d'obtenir $v_1=\np{1705}$ ?
\item Quelle est la nature de la suite $(v_n)$ et donner sa raison.
\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie C}

La feuille de calcul suivante présente, pour chaque année et pour chaque formule, le cumul des montants remboursés depuis le début du crédit.

Le montant final en gras dans le tableau, en ligne 7, correspond à la somme des \np{10000}~\euro{} empruntés et des intérêts perçus par l'établissement de crédit.

\begin{center}
\helvbx
\begin{tblr}{
	colspec={c},
	row{1} = {gray9,c},
	column{1} = {gray9,c,5mm},
	column{2} = {c,15mm},
	column{3} = {c,25mm},
	column{4} = {c,25mm},
	hlines,vlines,
	}
 	& 	A 	& 	B 								& 	C 								\\
1	&	$n$	&	\textbf{Formule 1}				&	\textbf{Formule 2} 				\\
2	&	0	&	\np{1025.00}~\euro{}				&	\np{1550.00}~\euro{}				\\
3	&	1	&	\np{2450.00}~\euro{}				&	\np{3255.00}~\euro{}				\\
4	&	2	&	\np{4275.00}~\euro{}				&	\np{5130.50}~\euro{}				\\
5	&	3	&	\np{6500.00}~\euro{}				&	\np{7193.55}~\euro{}				\\
6	&	4	&	\np{9125.00}~\euro{}				&	\np{9462.91}~\euro{}				\\
7	&	5	&	\textbf{\np{12150.00}~\euro{}}	&	\textbf{\np{11959.20}~\euro{}}	\\
\end{tblr}
\end{center}

Quelle est la formule la plus avantageuse pour la personne qui emprunte ?

Justifier.

\newpage
\subsection*{Exercice 3 (4 points)}

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-4 ; 6]$ par
\[f(x) = -0,5x^2 +  x + 7,5.\]

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction $f$ et sa tangente au point d'abscisse 3 qui passe par les points de coordonnées $(3 ; 6)$, $(4 ; 4)$ et $(6 ; 0)$.

\begin{center}
\begin{tikzpicture}
\begin{axis}[/pgf/number format/.cd, use comma,1000 sep={\,},
				width=13cm,height=10cm,
				xmin=-4.2,xmax=7.2,ymin=-4.5,ymax=8.2,
				xtick={-4,-3,...,7},
				minor x tick num =0,
				ytick={-5,-4,...,8},
				minor y tick num =0,
				tick label style={font=\small},
				grid=both, axis lines=center,
				grid style={gray!35,line width=0.3pt},
				minor grid style={gray!20,line width=0.2pt},
				enlargelimits=false]
	% courbe
	\addplot[color=blue,domain=-4:8,smooth,samples=200,line width=1.2pt] {(-0.5*x^2+ x + 7.5)};
	% tangente
	\addplot[color=red,domain=-4:8,smooth,samples=2,line width=1.2pt] {-2*(x-6)};
	% points sur la tangente
	\node[draw,cross out, line width=1.1pt,minimum width=3pt, minimum height = 3pt] at (axis cs:3,6){};
	\node[draw,cross out, line width=1.1pt,minimum width=3pt, minimum height = 3pt] at (axis cs:4,4){};
	\node[draw,cross out, line width=1.1pt,minimum width=3pt, minimum height = 3pt] at (axis cs:6,0){};
	\node[below left] at (axis cs:0,0){\small 0};
\end{axis}
\end{tikzpicture}
\end{center}
\begin{enumerate}
\item Montrer que, pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-4 ; 6]$,
\[
f(x)=(0,5x + 1,5)(-x+5)
\]
\end{enumerate}

\textbf{\emph{Les justifications demandées pour les trois questions suivantes peuvent se faire par des calculs ou par des lectures graphiques.}}


\begin{enumerate}[resume]
\item Déterminer le nombre dérivé en 3.
\item Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse.

Chaque réponse doit être justifiée.

Une réponse non justifiée ne rapporte aucun point.
\begin{enumerate}
\item \textbf{Affirmation a.} : les solutions de l'inéquation $f(x)\leqslant 0$ sur $[-4 ; 6]$ sont les nombres réels appartenant à l'intervalle $[-3 ; 5]$.

% modification par rapport au sujet initial positive->positif
\item \textbf{Affirmation b.} : $f'(x)$ est positif sur l'intervalle $[1 ; 4]$.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}
