% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie technologique -- Antilles-Guyane -- septembre 2026 (26-MATHTEAG3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Série technologique},
    pdftitle = {Corrigé -- Épreuve anticipée de mathématiques (première) -- Voie technologique -- Antilles-Guyane -- septembre 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé série technologique}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small{septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique -- Antilles-Guyane -- septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.} Les justifications ci-dessous sont fournies à titre pédagogique.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point : il ne faut donc jamais laisser une question sans réponse.

\subsection*{Question 1 \quad Réponse D}

Une réduction de 25\,\% correspond au coefficient multiplicateur
$1 - \dfrac{25}{100} = 0,75$ :
\[80 \times 0,75 = 60.\]
Le nouveau prix du pantalon est donc de 60~\euro.

\subsection*{Question 2 \quad Réponse C}

Le loyer représente 30\,\% du salaire s : $600 = 0,30 \times \text{s}$, donc
\[ \text{s} = \dfrac{600}{0,30} = \np{2000}.\]
Le salaire de Paul est de \np{2000}~\euro.

\subsection*{Question 3 \quad Réponse B}

La fréquentation de juillet (532 spectateurs) correspond à celle de juin (notée juin), diminuée de 8\,\%. Le coefficient multiplicateur associé est $1-0,08=0,92$.

On a
$532 = \text{juin} \times 0,92$, d'où
\[\text{juin} = 532 \div 0,92.\]

\subsection*{Question 4 \quad Réponse C}

On réduit les quatre fractions au même dénominateur (120) pour les comparer :
\[\dfrac{1}{4} = \dfrac{30}{120}, \quad \dfrac{3}{4} = \dfrac{90}{120}, \quad
\dfrac{1}{8} = \dfrac{15}{120}, \quad \dfrac{2}{15} = \dfrac{16}{120}.\]
La plus petite est donc $\dfrac{1}{8}$.

\subsection*{Question 5 \quad Réponse A}

On calcule chaque écriture :
\[\dfrac{\np{1025}}{100} = 10,25, \qquad \dfrac{205}{20} = 10,25, \qquad 102,5 \times 10^{-1} = 10,25,\]
mais
\[\np{0,1025} \times 10^{-2} = \np{0,001025} \neq 10,25.\]
C'est donc la première écriture qui est différente des trois autres.

\subsection*{Question 6 \quad Réponse A}

Sur le graphique, chaque activité est associée à deux pourcentages : celui des sportifs de
moins de 40 ans et celui des sportifs de 40 ans et plus. Parmi les valeurs de la série \og moins de 40 ans \fg, seule celle du VTT vaut
11\,\%.

\subsection*{Question 7 \quad Réponse B}

Le tableau de signes indique que $f$ s'annule en 3, est négative avant et
positive après : le coefficient directeur de $f$ est donc positif.
Seule la proposition $f(x) = 2x - 6$ vérifie ces deux conditions : elle s'annule bien en 3
(puisque $2 \times 3 - 6 = 0$), et son coefficient directeur 2 est positif.

\subsection*{Question 8 \quad Réponse D}

La courbe monte de $x=-4$ (où $f(-4) = -5,4$) jusqu'à un maximum local en $x=-1$ (où
$f(-1) = 3,6$) : $f$ est donc croissante sur $[-4 ; -1]$.

\subsection*{Question 9 \quad Réponse D}

On isole $c^2$ dans la formule, puis on prend la racine carrée (une vitesse est positive) :
\[E = mc^2 \iff c^2 = \dfrac{E}{m} \iff c = \sqrt{\dfrac{E}{m}}.\]

\subsection*{Question 10 \quad Réponse C}

$289 \approx 300$ et $0,307 \approx 0,3$, donc
\[289 \times 0,307 \approx 300 \times 0,3 = 90.\]
Seule la réponse $88,723$ est de cet ordre de grandeur.

\subsection*{Question 11 \quad Réponse A}

On applique l'identité remarquable $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ avec $a = 2x$ et $b = 7$ :
\[(2x-7)^2 = (2x)^2 - 2 \times 2x \times 7 + 7^2 = 4x^2 - 28x + 49.\]

\subsection*{Question 12 \quad Réponse B}

On convertit les heures en minutes en multipliant par 60 :
\[1,2 \times 60 = 72.\]
1,2~h correspond donc à 72~minutes.

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (6 points)}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item $\mathcal{C}_R$ est une droite passant par l'origine : $R$ est donc une fonction linéaire, de la forme $R(x) = ax$.

	D'après les deux points de coordonnées $(20~;~\np{6000})$ et $(40~;~\np{12000})$ marqués sur le graphique :
	\[a = \dfrac{\np{12000} - \np{6000}}{40 - 20} = \dfrac{\np{6000}}{20} = 300.\]
	
Pour tout $x$ de $[0~;~40]$ : $R(x) = 300x$.

	\item L'entreprise réalise un bénéfice lorsque la recette dépasse le coût, c'est-à-dire lorsque
	$\mathcal{C}_R$ est au-dessus de $\mathcal{C}_C$.

	Par lecture graphique, $\mathcal{C}_R$ est au-dessus de $\mathcal{C}_C$ entre les deux
	points d'intersection des courbes, d'abscisses environ 18 et 39.
	L'entreprise réalise donc un bénéfice pour $x$ compris entre environ
	18 et 39 tonnes.

	\item Le bénéfice est maximal lorsque l'écart vertical
	entre $\mathcal{C}_R$ (au-dessus) et $\mathcal{C}_C$ (en dessous) est le plus grand.

	Avec la précision permise par le graphique, cet écart est maximal pour
	$x \approx 30$ ; le bénéfice maximal est alors d'environ \np{3400}~\euro.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

\emph{Pour $x \in [0~;~40]$, $B(x) = -x^3+54x^2-540x-\np{2000}$.}

\begin{enumerate}
	\item Pour tout réel $x$ de $[0~;~40]$ :
	\[B'(x) = -3x^2 + 54 \times 2x - 540 = -3x^2 + 108x - 540.\]
	D'autre part :
	\[(-3x+18)(x-30) = -3x^2 - 90x + 18x - 540 = -3x^2 + 108x - 540.\]
	Donc, pour tout $x$ de $[0 ; 40]$, $B'(x) = (-3x+18)(x-30)$.

	\item $-3x + 18 = 0 \iff x = 6$ (coefficient $-3 < 0$ : positif avant, négatif après) ;

	$x - 30 = 0 \iff x = 30$ (coefficient $1 > 0$ : négatif avant, positif après).

	\begin{center}
		\begin{tikzpicture}
			\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.6]
			{$x$/1,$-3x+18$/1,$x-30$/1,$B'(x)$/1,$B$/2}{$0$,$6$,$30$,$40$}
			\tkzTabLine{,+,z,-,,-,}
			\tkzTabLine{,-,,,z,+,}
			\tkzTabLine{,-,z,+,z,-,}
			\tkzTabVar{+/{$-\np{2000}$},-/{$-\np{3512}$},+/{$\np{3400}$},-/{$-\np{1200}$}}
		\end{tikzpicture}
	\end{center}

La fonction $B$ est décroissante sur $[0~;~6]$, croissante sur
	$[6~;~30]$, puis décroissante sur $[30~;~40]$.

	\item D'après le tableau de variations, le bénéfice est maximal pour $x = 30$ tonnes de compote produites et vendues. Il vaut alors $B(30) = \np{3400}$~(\euro).
\end{enumerate}

\medskip
\section*{Exercice 2 (4 points)}

\emph{Premier étang : $u_0 = \np{3000}$, perte de 10\,\% du volume chaque année. Second étang :
$v_0 = \np{4000}$, perte de 20\,\% du volume chaque année, compensée par un apport
de 140~m$^3$ par an.}

\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation fausse.}

	Perdre 10\,\% de son volume chaque année revient à multiplier le volume de l'année
	précédente par $0,90$. La formule doit donc faire référence à la valeur de $u_n$ de la
	ligne précédente (colonne B), et non à la colonne A qui contient
	les valeurs de $n$. La formule correcte est \texttt{= 0,90 * B2}.

	\item \textbf{Affirmation fausse.}

	 $u_1 - u_0 = \np{2700} - \np{3000} = -300$.

	 $u_2 - u_1 = \np{2430} - \np{2700} =  -270$.

La différence de deux termes consécutifs n'est pas constante donc la suite $(u_n)$ n'est pas arithmétique.

	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	Perdre 20\,\% du volume revient à multiplier par $0,8$ ; l'apport annuel de 140~m$^3$
	s'ajoute ensuite :
	\[v_1 = 0,8 \times v_0 + 140 = 0,8 \times \np{4000} + 140 = \np{3200} + 140 = \np{3340}.\]

	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	Pour le premier étang : $u_{10} \approx \np{1046} \geqslant \np{1000}$ et
	$u_{11} \approx 941 < \np{1000}$.

	Pour le second étang : $v_{10} \approx \np{1054} \geqslant \np{1000}$
	et $v_{11} \approx 983 < \np{1000}$.

	Dans les deux cas, c'est au rang $n = 11$, c'est-à-dire à partir
	de l'année $2025 + 11 = 2036$, que le volume d'eau passe sous
	\np{1000}~m$^3$.
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (4 points)}

\subsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item Le nombre $x$ représente le nombre de filles ayant obtenu le bac STMG en 2020
	sans mention ou avec la mention assez bien.

\[x = 52 - 13 = 39.\]

	\item La personne est choisie au hasard : on est en situation d'équiprobabilité.
	\begin{enumerate}
		\item La probabilité qu'il s'agisse d'un garçon est égale à $\dfrac{48}{100} = 0,48$.

		\item La probabilité qu'il s'agisse d'une fille ayant obtenu la mention B ou TB est égale à
		$\dfrac{13}{100} = 0,13$.
	\end{enumerate}

	\item Parmi les 52 filles, 13 ont obtenu la mention B ou TB :
	\[\dfrac{13}{52} = \dfrac{13\times 1}{13 \times 4} = \dfrac{1}{4} = 0,25.\]
	L'affirmation est vraie.
\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

La probabilité de choisir une fille est $0,1$ et celle de choisir un garçon est $1 - 0,1 = 0,9$.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=3cm, y=0.9cm]
		% noeuds
		\node (root) at (0,0) {};
		\node (F) at (1,1.2) {Fille};
		\node (G) at (1,-1.2) {Garçon};
		\node (F1) at (2,1.9) {Fille};
		\node (G1) at (2,0.5) {Garçon};
		\node (F2) at (2,-0.5) {Fille};
		\node (G2) at (2,-1.9) {Garçon};
		% branches niveau 1
		\draw (root.east) -- (F) node[pos=0.5,above] {0,1};
		\draw (root.east) -- (G) node[pos=0.5,below] {0,9};
		% branches niveau 2
		\draw (F.east) -- (F1) node[pos=0.5,above] {0,1};
		\draw (F.east) -- (G1) node[pos=0.5,below] {0,9};
		\draw (G.east) -- (F2) node[pos=0.5,above] {0,1};
		\draw (G.east) -- (G2) node[pos=0.5,below] {0,9};
		% légende
		\node at (1,2.6) {\small 1\up{re} personne};
		\node at (2,2.6) {\small 2\up{e} personne};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Les choix étant indépendants :
\[P(\text{deux garçons}) = 0,9 \times 0,9 = 0,81.\]

La probabilité que l’on choisisse deux garçons est égale à $0,81$.
\end{document}