% Préambule APMEP - Annales
% Corrigé — Épreuve anticipée de mathématiques (première)
% Voie technologique -- Métropole -- septembre 2026 (26-MATHTEME3)
% Auteurs
% tapuscrit et corrigé : Francois Boillot
% figures TikZ : Francois Boillot
%
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% Packages
%%% codage et police utilisée
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	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
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	\usepackage[utf8]{inputenc}
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	\usepackage{amsmath,amssymb}
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\fi
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% tableaux
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% texte et composition
\usepackage{textcomp}
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%
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% pour le symbole €
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  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
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% pour les listes
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% pour l'ajustement des boites (figures…)
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% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
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% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
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\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique -- Métropole -- septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
	Corrigé
\end{center}


\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question.} Les justifications ci-dessous sont fournies à titre pédagogique.

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point : il ne faut donc jamais laisser une question sans réponse.

\subsection*{Question 1 \quad Réponse A}

On développe le carré avec $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$, puis on réduit :
\[f(x) = (x-1)^2 - 8 = x^2 - 2x + 1^2 - 8 = x^2 - 2x - 7.\]

\subsection*{Question 2 \quad Réponse D}

Une baisse de 20\,\% correspond au coefficient multiplicateur $0,8$ ; une baisse de
10\,\%, au coefficient multiplicateur $0,9$. Le coefficient global est le produit :
\[0,8 \times 0,9 = 0,72 = 1 - 0,28.\]
Le prix a donc baissé de 28\,\%.

\subsection*{Question 3 \quad Réponse A}

Les solutions de $f(x) = 0$ sont les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ coupe l'axe des
abscisses. La courbe le coupe en trois points, d'abscisses $-5$, $1$ et $6$. L'équation a
donc trois solutions, dont deux positives (1 et 6).

\subsection*{Question 4 \quad Réponse D}

La droite $(d)$ coupe l'axe des ordonnées en 3 : $b = 3$. Elle passe aussi par le point
de coordonnées $(6~;~0)$, donc
\[a = \dfrac{0 - 3}{6 - 0} = -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2}.\]
L'équation réduite est $y = -\dfrac{1}{2}x + 3$.

\subsection*{Question 5 \quad Réponse B}

Dans chaque barre, les nuitées en camping correspondent à la hauteur de la partie
noire (et non à la hauteur de son sommet). Par lecture graphique, cette partie mesure
environ 80~millions de nuitées en 2016 (de 200 à 280 environ), alors qu'elle dépasse
100~millions toutes les autres années.

\subsection*{Question 6 \quad Réponse C}

Multiplier par $10^{-3}$ revient à décaler la virgule de trois rangs vers la gauche :
$N = \np{0,000026}$. En écriture scientifique :
\[N = 0,026 \times 10^{-3} = 2,6 \times 10^{-2} \times 10^{-3} = 2,6 \times 10^{-5}.\]

\subsection*{Question 7 \quad Réponse A}

Le coefficient directeur de la droite (AB) est
\[a = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A} = \dfrac{-5 - 15}{7 - 5} = \dfrac{-20}{2} = -10.\]

\subsection*{Question 8 \quad Réponse D}

$4x + 3 = 0 \iff x = -\dfrac{3}{4}$. Le coefficient de $x$ vaut $4 > 0$ : la fonction
affine est croissante, donc négative avant $-\dfrac{3}{4}$ et positive après.

\subsection*{Question 9 \quad Réponse A}

On réduit d'abord le dénominateur, puis on prend l'inverse :
\[2 + \dfrac{5}{6} = \dfrac{12}{6} + \dfrac{5}{6} = \dfrac{17}{6},
\qquad\text{donc}\qquad
F = \dfrac{1}{\frac{17}{6}} = \dfrac{6}{17}.\]

\subsection*{Question 10 \quad Réponse A}

Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul :
\[(3x+1)(x-5) = 0 \iff 3x + 1 = 0 \ \text{ ou } \ x - 5 = 0
\iff x = -\dfrac{1}{3} \ \text{ ou } \ x = 5.\]
D'où $S = \left\{-\dfrac{1}{3}~;~5\right\}$.

\subsection*{Question 11 \quad Réponse D}

Les solutions de $f(x) \leqslant g(x)$ sont les abscisses des points où $\mathcal{C}_f$ est
sur ou sous $\mathcal{C}_g$. Les deux courbes se coupent aux points de coordonnées
$(-3~;~-1)$ et $(2~;~3)$ ; la parabole $\mathcal{C}_f$ est au-dessus de la droite
$\mathcal{C}_g$ entre $-3$ et $2$, et en dessous ailleurs sur $[-5~;~5]$. D'où
$S = [-5~;~-3] \cup [2~;~5]$.

\subsection*{Question 12 \quad Réponse B}

Par lecture graphique, $\mathcal{C}_f$ part du point de coordonnées $(-5~;~0)$, monte jusqu'au point $(-2~;~5)$, descend jusqu'au point $(4~;~6)$, puis remonte jusqu'au point $(6~;~0)$. Dans un tableau de variations, la première ligne contient les abscisses $-5$, $-2$, $4$, $6$,
et les flèches relient les ordonnées $0$, $5$, $-6$, $0$ : c'est le tableau B.

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

\emph{Groupe témoin de \np{1000} bovins : 200 malades (180 testés positifs, 20 négatifs) et
800 non malades (45 positifs, 755 négatifs) ; au total 225 tests positifs.
On note $M$ l'évènement \og le bovin est malade \fg{} et $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.}

\begin{enumerate}
	\item Le bovin est choisi au hasard : on est en situation d'équiprobabilité.
	\[P(M) = \dfrac{200}{\np{1000}} = 0,2.\]

	\item $M \cap T$ : \og le bovin est malade et son test est positif \fg.
	\[P(M \cap T) = \dfrac{180}{\np{1000}} = 0,18.\]
	La probabilité que le bovin soit malade et que son test soit positif est égale à $0,18$.

	\item Parmi les 200 bovins malades, 180 ont un test positif :
	\[P_M(T) = \dfrac{180}{200} = 0,9.\]

	\item \og Ne pas être atteint sachant que le test est positif \fg{} se traduit par
	$P_T\left(\overline{M}\right)$. Parmi les 225 bovins testés positifs, 45 ne sont pas malades :
	\[P_T\left(\overline{M}\right) = \dfrac{45}{225} = \dfrac{45}{5 \times 45} = \dfrac{1}{5} = 0,2.\]
	Or $0,2 > 0,15$ : le test \textbf{n'est pas fiable}.

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Le tirage est assimilé à un tirage avec remise : à chaque niveau,
		$P(M) = 0,2$ et $P\left(\overline{M}\right) = 1 - 0,2 = 0,8$.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}[x=2.8cm, y=0.9cm]
				% noeuds
				\node (root) at (0,0) {};
				\node (M) at (1,1.2) {$M$};
				\node (Mb) at (1,-1.2) {$\overline{M}$};
				\node (M1) at (2,1.9) {$M$};
				\node (M1b) at (2,0.5) {$\overline{M}$};
				\node (M2) at (2,-0.5) {$M$};
				\node (M2b) at (2,-1.9) {$\overline{M}$};
				% branches niveau 1
				\draw (root.east) -- (M) node[pos=0.5,above] {0,2};
				\draw (root.east) -- (Mb) node[pos=0.5,below] {0,8};
				% branches niveau 2
				\draw (M.east) -- (M1) node[pos=0.5,above] {0,2};
				\draw (M.east) -- (M1b) node[pos=0.5,below] {0,8};
				\draw (Mb.east) -- (M2) node[pos=0.5,above] {0,2};
				\draw (Mb.east) -- (M2b) node[pos=0.5,below] {0,8};
				% légende
				\node at (1,2.6) {\small 1\up{er} bovin};
				\node at (2,2.6) {\small 2\up{e} bovin};
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

		\item L'évènement $A$ correspond au chemin $M$ -- $M$ de l'arbre :
		\[P(A) = 0,2 \times 0,2 = 0,04.\]
		La probabilité que les deux bovins choisis soient malades est égale à $0,04$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
\section*{Exercice 2 (5 points)}

\subsection*{Partie A}

\emph{Pour tout réel $x$, $f(x) = (12x - 480)(x - 10)$.}

$12x - 480 = 0 \iff x = \dfrac{480}{12} = 40$ \quad et \quad $x - 10 = 0 \iff x = 10$.

Les deux coefficients de $x$ (12 et 1) sont positifs : chaque
facteur est négatif avant sa racine et positif après.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}
		\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.6]
		{$x$/1,$12x-480$/1,$x-10$/1,$f(x)$/1}{$-\infty$,$10$,$40$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,t,-,z,+,}
		\tkzTabLine{,-,z,+,t,+,}
		\tkzTabLine{,+,z,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
\end{center}


\subsection*{Partie B}

\emph{Pour $x \in [0 ; 18]$, $B(x) = 4x^3 - 300x^2 + \np{4800}x - \np{10000}$, où $x$ est le nombre de
tracteurs vendus par mois et $B(x)$ le bénéfice en centaines d'euros.}

\begin{enumerate}
	\item $B(0) = 4 \times 0 - 300 \times 0 + \np{4800} \times 0 - \np{10000} = -\np{10000}$.

	Si l'usine ne vend aucun tracteur dans le mois, elle subit une perte
	de \np{10000} centaines d'euros, soit \np{1000000}~\euro.

	\item Lorsque l'usine vend 18 tracteurs dans le mois, elle réalise un bénéfice de \np{2528}
	centaines d'euros, soit \np{252800}~\euro.

	\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$ de $[0~;~18]$ :
		\[B'(x) = 4 \times 3x^2 - 300 \times 2x + \np{4800} = 12x^2 - 600x + \np{4800}.\]
		D'autre part :
		\[f(x) = (12x - 480)(x - 10) = 12x^2 - 120x - 480x + \np{4800} = 12x^2 - 600x + \np{4800}.\]

Donc, pour tout réel $x$ de $[0 ; 18]$, $B'(x) = f(x)$.

		\item Le signe de $B'(x) = f(x)$ se lit dans le tableau de la partie A, restreint à
		l'intervalle $[0 ; 18]$ : seule la racine 10 s'y trouve ($40 > 18$).

		$B(10) = \np{4000} - \np{30000} + \np{48000} - \np{10000} = \np{12000}$.

		\begin{center}
			\begin{tikzpicture}
				\tkzTabInit[lgt=3.4,espcl=2.8]
				{$x$/1,$B'(x)$/1,$B$/2}{$0$,$10$,$18$}
				\tkzTabLine{,+,z,-,}
				\tkzTabVar{-/$-\np{10000}$,+/$\np{12000}$,-/$\np{2528}$}
			\end{tikzpicture}
		\end{center}

		\item D'après le tableau de variations, $B$ atteint son maximum pour $x = 10$ : l'entreprise
		doit produire et vendre \textbf{10 tracteurs} par mois. Le bénéfice maximal est alors
		$B(10) = \np{12000}$ centaines d'euros, soit \np{1200000}~\euro.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\section*{Exercice 3 (4 points)}


\begin{enumerate}
	\item \textbf{Affirmation fausse.}

	Dans une suite arithmétique de raison $r$, on passe d'un terme au suivant en
	ajoutant $r$ :
	\[u_6 = u_5 + 5 = 15 \qquad\text{et}\qquad u_7 = u_6 + 5 = 20.\]

	\item \textbf{Affirmation fausse.}

	On calcule les premiers termes : $u_0 = 1$, $u_1 = 3$, $u_2 = 9$, $u_3 = 19$.
	\[\dfrac{u_1}{u_0} = 3, \qquad \dfrac{u_2}{u_1} = 3 \qquad
	\text{mais} \qquad \dfrac{u_3}{u_2} = \dfrac{19}{9} \neq 3.\]
	Le quotient de deux termes consécutifs n'est pas constant : la suite $(u_n)$ n'est pas géométrique.

	\item \textbf{Affirmation vraie.}

	L'équation de la tangente au point d'abscisse $a$ est $y = f'(a)(x - a) + f(a)$.

	$f(1) = 5 - 2 + 3 = 6$ ; $f'(x) = 10x - 2$, donc $f'(1) = 8$. La tangente a pour équation
	\[y = 8(x - 1) + 6 \]
	\[ y = 8x - 8 + 6 \]
	\[ y = 8x - 2\]

	\item \textbf{Affirmation fausse.}

	Une diminution de 15\,\% correspond au coefficient multiplicateur
	$1 - \dfrac{15}{100} = 0,85$.

	Chaque année, il reste 85\,\% des truites de l'année précédente, auxquelles on ajoute les
	100 truites réintroduites : pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,85u_n + 100$.
\end{enumerate}
\end{document}