\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}
% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
\ifmmode\expandafter\text\fi
{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, Voie technologique},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie technologique -- Métropole -- Septembre 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows,decorations.pathmorphing}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
\begin{document}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Sujet}
\lfoot{\small{Métropole}}
\rfoot{\small{11 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}\Large \bfseries
	\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]
	Voie technologique\\[6pt]
	Sujet -- Métropole -- 11 septembre 2026
	\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}\\[10pt]
\end{center}

\begin{center}
	Durée : 2 heures -- L'usage de la calculatrice n'est pas autorisé.
\end{center}

\emph{La qualité de rédaction, la clarté et la précision des raisonnements seront prises en compte dans l'appréciation de la copie. Les traces de recherche, même incomplètes ou infructueuses, seront valorisées.}

\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 points)}

\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}

Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 1}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (x-1)^2-8$.

La forme développée de l'expression $f(x)$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $x^2-2x-7$ &
	\textbf{B.}\quad $x^2-7$ &
	\textbf{C.}\quad $x^2-9$ &
	\textbf{D.}\quad $x^2-2x-9$ \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 2}

Le prix de revente d'un véhicule neuf a baissé de 20\,\% la première année puis de 10\,\% la deuxième année. En deux ans, le prix de ce véhicule a :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad baissé de 30\,\% &
	\textbf{B.}\quad baissé de 72\,\% &
	\textbf{C.}\quad augmenté de 72\,\% &
	\textbf{D.}\quad baissé de 28\,\% \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 3}

\noindent
\begin{minipage}[c]{0.52\linewidth}
	On donne ci-contre la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-6 ; 7]$.

	\medskip
	On considère l'équation $f(x) = 0$.

	\medskip
	On peut affirmer que :

	\medskip
	\begin{tblr}{colspec = {@{}X}}
		\textbf{A.}\quad l'équation admet deux solutions positives \\
		\textbf{B.}\quad l'équation admet exactement deux solutions \\
		\textbf{C.}\quad l'équation n'admet pas de solution \\
		\textbf{D.}\quad l'équation admet exactement une solution positive \\
	\end{tblr}
\end{minipage}%
\hfill
\begin{minipage}[c]{0.45\linewidth}
	\centering
	\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm,>=stealth]
		\draw[step=0.2,gray!30,line width=0.3pt] (-6.5,-4.5) grid (7.5,4.5);
		\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-6.5,-4.5) grid (7.5,4.5);
		\draw[->,line width=1pt] (-6.5,0) -- (7.5,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,-4.5) -- (0,4.5);
		\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
		\foreach \y in {-4,-3,-2,-1,1,2,3,4} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
		\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
		\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=-6:7,samples=100] (\x,{0.05*(\x+5)*(\x-1)*(\x-6)});
		\node[red] at (6.3,2.5) {$\mathcal{C}_f$};
	\end{tikzpicture}
\end{minipage}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 4}

Soit $(d)$ la droite représentée dans le repère orthonormé ci-dessous.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=0.75cm,y=0.75cm,>=stealth]
		\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-7.5,-2.5) grid (9.5,6.5);
		\draw[->,line width=1pt] (-7.5,0) -- (9.5,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,-2.5) -- (0,6.5);
		\foreach \x in {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6,7,8,9} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\footnotesize \np{\x}};
		\foreach \y in {-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\footnotesize \np{\y}};
		\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\footnotesize 0};
		\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=-7:9] (\x,{-0.5*\x+3});
		\node[above right,red] at (-4,5) {$(d)$};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

L'équation réduite de la droite $(d)$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $y = 3x+6$ &
	\textbf{B.}\quad $y = -2x+3$ &
	\textbf{C.}\quad $y = \dfrac{1}{2}x+6$ &
	\textbf{D.}\quad $y = -\dfrac{1}{2}x+3$ \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 5}

Le diagramme en barres ci-dessous donne la répartition des hébergements collectifs de tourisme depuis 2013.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[y=0.012cm,x=0.9cm]
		\foreach \yy in {0,10,...,500} \draw[thin,lightgray] (11,\yy) -- (-0.3,\yy);
		\foreach \y in {0,50,...,500} \draw[gray] (11,\y) -- (-0.3,\y) node[black,left,font=\tiny] {\y};
		\foreach [count=\i from 0] \annee/\h/\c/\a in {2013/202/311/408,2014/204/318/404,2015/204/316/410,2016/203/280/370,2017/211/336/431,2018/218/341/441,2019/219/348/447,2020/118/222/280,2021/90/202/272,2022/212/349/444,2023/219/360/453}{%
			\fill[draw,fill=white] (\i,0) rectangle ++(0.7,\h);
			\fill[draw,black] (\i,\h) rectangle ({\i+0.7},\c);
			\fill[draw,fill=white] (\i,\c) rectangle ({\i+0.7},\a);
			\fill[draw,pattern=bricks,pattern color=darkgray] (\i,\c) rectangle ({\i+0.7},\a);
			\node[font=\tiny] at (\i+0.35,-25) {\annee};
		}
		\node[font=\bfseries\sffamily\tiny,rotate=90,anchor=center] at (-1.3,250) {En millions de nuitées};
		\node[font=\bfseries\small\sffamily,above=2mm] at (5,500) {Répartition des hébergements collectifs de tourisme depuis 2013};
		\draw[fill=white] (0,-90) rectangle ++(1em,1em);
		\node[right,font=\sffamily\tiny,text depth=0pt] at ([xshift=1em,yshift=0.5em]0,-90) {\vphantom{g}Hôtels};
		\fill[draw,black] (2.5,-90) rectangle ++(1em,1em);
		\node[right,font=\sffamily\tiny,text depth=0pt] at ([xshift=1em,yshift=0.5em]2.5,-90) {Campings};
		\fill[draw,pattern=bricks,pattern color=gray] (5.5,-90) rectangle ++(1em,1em);
		\node[right,font=\sffamily\tiny,text depth=0pt] at ([xshift=1em,yshift=0.5em]5.5,-90) {Autres hébergements collectifs de tourisme};
	\end{tikzpicture}
\end{center}

L'année où le nombre de nuitées en camping a été le plus faible est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad 2020 &
	\textbf{B.}\quad 2016 &
	\textbf{C.}\quad 2021 &
	\textbf{D.}\quad 2014 \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 6}

On considère le nombre $N = \np{0,026} \times 10^{-3}$.

$N$ est égal à :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $2,6 \times 10^{-1}$ &
	\textbf{B.}\quad $\np{0,0026} \times 10^{-4}$ &
	\textbf{C.}\quad $2,6 \times 10^{-5}$ &
	\textbf{D.}\quad 26 \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 7}

Dans un repère orthonormé on considère les points $A(5 ; 15)$ et $B(7 ; -5)$. Le coefficient directeur de la droite $(AB)$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $-10$ &
	\textbf{B.}\quad $-0,1$ &
	\textbf{C.}\quad $\dfrac{5}{6}$ &
	\textbf{D.}\quad $0,1$ \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 8}

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = 4x+3$. Son tableau de signes est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{2}{X}}, rowsep=6pt}
	\textbf{A.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/1}{$-\infty$,$\frac{3}{4}$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{B.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{3}{4}$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
	\\
	\textbf{C.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/1}{$-\infty$,$4$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,+,z,-,}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{D.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[espcl=1.75]{$x$/0.8,$f(x)$/1}{$-\infty$,$-\frac{3}{4}$,$+\infty$}
		\tkzTabLine{,-,z,+,}
	\end{tikzpicture}
	\\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 9}

On souhaite exprimer $F = \dfrac{1}{2+\frac{5}{6}}$ sous la forme d'une fraction irréductible.

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $F = \dfrac{6}{17}$ &
	\textbf{B.}\quad $F = \dfrac{12}{17}$ &
	\textbf{C.}\quad $F = \dfrac{6}{7}$ &
	\textbf{D.}\quad $F = -\dfrac{17}{6}$ \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 10}

On considère l'équation suivante : $(3x+1)(x-5) = 0$.

Soit $S$ l'ensemble des solutions de cette équation.

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{4}{X}}}
	\textbf{A.}\quad $S = \left\{-\dfrac{1}{3}~;~5\right\}$ &
	\textbf{B.}\quad $S = \left\{-5~;~\dfrac{1}{3}\right\}$ &
	\textbf{C.}\quad $S = \{-5~;~-3\}$ &
	\textbf{D.}\quad $S = \left\{\dfrac{1}{3}~;~5\right\}$ \\
\end{tblr}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 11}

\begin{minipage}[t]{0.52\linewidth}
	On considère les fonctions $f$ et $g$ définies sur l'intervalle $[-5 ; 5]$. On donne ci-contre, dans un repère orthonormé, la représentation graphique $\mathcal{C}_f$ de la fonction $f$ et la représentation graphique $\mathcal{C}_g$ de la fonction $g$.

	L'ensemble des solutions de l'inéquation $f(x) \leqslant g(x)$ est :

	\medskip
	\begin{tblr}{colspec = {@{}X}}
		\textbf{A.}\quad $S = [-5~;~-3] \cup [4~;~5]$ \\
		\textbf{B.}\quad $S = \left]-3~;~2\right[$ \\
		\textbf{C.}\quad $S = [-5~;~-3]$ \\
		\textbf{D.}\quad $S = [-5~;~-3] \cup [2~;~5]$ \\
	\end{tblr}
\end{minipage}
\hfill
\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm,>=stealth,baseline={(current bounding box.north)}]
	\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-6,-7) grid (6,6);
	\draw[->,line width=1pt] (-6,0) -- (6,0);
	\draw[->,line width=1pt] (0,-7) -- (0,6);
	\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\tiny \np{\x}};
	\foreach \y in {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\tiny \np{\y}};
	\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\tiny 0};
	\begin{scope}
	\clip (-6,-7) rectangle (6,6);
	\draw[line width=1.2pt,blue] plot[domain=-5:5,samples=80] (\x,{-23/70*(\x-4)*(\x+59/23)});
	\draw[line width=1.2pt,red] plot[domain=-5:5] (\x,{4/5*(\x+3)-1});
	\end{scope}
	\node[blue] at (-3.7,-6.3) {\small $\mathcal{C}_f$};
	\node[red] at (4.3,5.5) {\small $\mathcal{C}_g$};
	\foreach \P in {(-3,-1),(2,3)} \draw[line width=1pt,shift={\P}] (-3pt,-3pt) -- (3pt,3pt) (-3pt,3pt) -- (3pt,-3pt);
\end{tikzpicture}

\needspace{10\baselineskip}
\subsection*{Question 12}

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-5~;~6]$ et $\mathcal{C}_f$ sa représentation graphique dans le repère ci-dessous.

\begin{center}
	\begin{tikzpicture}[x=0.5cm,y=0.5cm,>=stealth]
		\draw[step=1,gray!75,line width=0.5pt] (-6,-7) grid (7,6);
		\draw[->,line width=1pt] (-6,0) -- (7,0);
		\draw[->,line width=1pt] (0,-7) -- (0,6);
		\foreach \x in {-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5,6} \draw (\x,2pt) -- (\x,-2pt) node[below] {\scriptsize \np{\x}};
		\foreach \y in {-7,-6,-5,-4,-3,-2,-1,1,2,3,4,5} \draw (2pt,\y) -- (-2pt,\y) node[left] {\scriptsize \np{\y}};
		\draw (-2pt,-2pt) node[below left] {\scriptsize 0};
		\draw[line width=1.2pt,red]
		(-5,0) .. controls (-4,3) and (-3,5) ..
		(-2,5) .. controls (0,5) and (2,-6) ..
		(4,-6) .. controls (4.667,-6) and (5.333,-4) .. (6,0);
	\end{tikzpicture}
\end{center}

Le tableau de variations de la fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tblr}{colspec = {@{}*{2}{X}}, rowsep=6pt}
	\textbf{A.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.375]{$x$/0.6,$f$/1.3}{$-5$,$0$,$4$,$6$}
		\tkzTabVar{-/{$0$},+/{$2{,}5$},-/{$-6$},+/{$0$}}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{B.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.375]{$x$/0.6,$f$/1.3}{$-5$,$-2$,$4$,$6$}
		\tkzTabVar{-/{$0$},+/{$5$},-/{$-6$},+/{$0$}}
	\end{tikzpicture}
	\\
	\textbf{C.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.375]{$x$/0.6,$f$/1.3}{$0$,$5$,$-6$,$0$}
		\tkzTabVar{-/{$-5$},+/{$-2$},-/{$4$},+/{$6$}}
	\end{tikzpicture}
	&
	\textbf{D.}\quad
	\begin{tikzpicture}[baseline=(current bounding box.center)]
		\tkzTabInit[lgt=2,espcl=1.375]{$x$/0.6,$f$/1.3}{$-5$,$1$,$6$}
		\tkzTabVar{-/{$0$},+/{$3$},-/{$0$}}
	\end{tikzpicture}
	\\
\end{tblr}

\newpage
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 points)}

\section*{Exercice 1 (5 points)}

Une maladie contagieuse se répand chez les bovins.

Afin de détecter cette maladie, un laboratoire élabore un test de dépistage.

Les essais de ce test sur un groupe témoin de \np{1000} bovins sont résumés dans le tableau suivant :

\begin{center}
	\begin{tblr}{hlines, vlines, colspec={l*{3}{X[c,40mm]}}}
		& Test positif à la maladie & Test négatif à la maladie & Total \\
		Malade & 180 & 20 & 200 \\
		Non malade & 45 & 755 & 800 \\
		Total & 225 & 775 & \np{1000} \\
	\end{tblr}
\end{center}

On choisit au hasard un bovin ayant participé à l'essai et on note :
\begin{itemize}
	\item $M$ l'évènement \og le bovin est malade \fg{} ;
	\item $T$ l'évènement \og le test est positif \fg.
\end{itemize}

On exprimera tous les résultats sous forme décimale.

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement $M$ est $0,2$.
		\item Décrire par une phrase l'évènement $M \cap T$, puis calculer la probabilité de cet évènement.
		\item Calculer la probabilité $P_M(T)$.
	\end{enumerate}
\end{minipage}
\hfill
\fbox{
	\begin{minipage}{0.2\textwidth}
		\textbf{Aide au calcul :}\\[0.5em]
		$225 = 5 \times 45$
	\end{minipage}
}
\begin{enumerate}[start=4]
	\item Un test est dit fiable si la probabilité de ne pas être atteint par la maladie sachant que le test est positif est inférieure ou égale à $0,15$.

	En se basant sur les résultats de cet essai, le test du laboratoire est-il fiable ? Justifier la réponse.
	\item À présent, on choisit deux bovins parmi ceux ayant participé à l'essai. Le nombre de bovins est suffisamment grand pour considérer cette expérience comme un tirage avec remise. On souhaite déterminer la probabilité de l'évènement $A$ : \og les deux bovins sont malades \fg.
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un arbre pondéré.
		\item En déduire la probabilité de l'évènement $A$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\section*{Exercice 2 (5 points)}

\subsection*{Partie A}

\begin{minipage}{0.7\linewidth}
	Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = (12x-480)(x-10)$.

	Établir le tableau de signes de la fonction $f$ sur $\R$.
\end{minipage}
\hfill
\fbox{
	\begin{minipage}{0.2\textwidth}
		\textbf{Aide au calcul :}\\[0.5em]
		$480 = 40 \times 12$
	\end{minipage}
}

\subsection*{Partie B}

On s'intéresse dans cette partie à une usine qui fabrique des tracteurs. Chaque mois elle en vend entre 0 et 18. On note $x$ le nombre de tracteurs vendus par mois.

On modélise alors le bénéfice de cette entreprise, \textbf{\uline{en centaines d'euros}}, par la fonction $B$ définie sur l'intervalle $[0~;~18]$ par 

\[ B(x) = 4x^3 - 300x^2 + \np{4800}x - \np{10000}. \]

\begin{enumerate}
	\item Calculer $B(0)$.
	\item On donne $B(18) = \np{2528}$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
	\item
	\begin{enumerate}
		\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle $[0 ~;~18]$, calculer $B'(x)$ puis montrer que $B'(x) = f(x)$, où $f$ est la fonction définie dans la partie A.
		\item En déduire le tableau de variations de la fonction $B$ sur l'intervalle $[0~;~18]$.
		\item À l'aide du tableau de variations, déterminer combien de tracteurs l'entreprise doit produire et vendre afin d'obtenir un bénéfice maximal. Quelle sera la valeur de ce bénéfice maximal ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\section*{Exercice 3 (4 points)}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse, en justifiant la réponse.}

\begin{enumerate}
	\item On considère la suite arithmétique $\left(u_n\right)$ de raison $r=5$ et telle que $u_5=10$.

	\textbf{Affirmation :} $u_7 = 250$.

	\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie pour tout entier naturel $n$ par $u_n = 2n^2+1$.

	\textbf{Affirmation :} la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique.

	\item Soit $f$ la fonction définie pour tout nombre réel $x$ par $f(x) = 5x^2-2x+3$.

	\textbf{Affirmation :} une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse 1 est donnée par :
	\[y = 8x-2.\]

	\item Avec la chaleur et la surpêche, une association de pêcheurs constate chaque année que le nombre de truites présentes dans l'étang de leur commune diminue de 15\,\%. À partir de 2024, pour enrayer ce phénomène, ils décident de réintroduire chaque année 100 truites dans l'étang. Pour tout entier naturel $n$, $u_n$ désigne le nombre de truites en $2024+n$.

	\textbf{Affirmation :} pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 0,15\,u_n + 100$.
\end{enumerate}
\end{document}