% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : Aymeric Picaud
% relecture : François Kriegk
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 1 : 2026-06-18
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
\usepackage{hyperref}
%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{fourier}
\usepackage{amsmath,amssymb}
\usepackage[dvips]{hyperref}
\renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
	\ifmmode\expandafter\text\fi
	{\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
	pdfauthor = {APMEP},
	pdfsubject = {Première, Série toute série},
	pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie technologique -- Session 2026},
	allbordercolors = white,
	pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
	language=Python,
	basicstyle=\ttfamily\small,
	keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
	commentstyle=\color{gray}\itshape,
	stringstyle=\color{orange},
	numbers=left,
	numberstyle=\tiny\color{gray},
	breaklines=true,
	frame=single,
	backgroundcolor=\color{gray!5},
	tabsize=4
}
% usage (exemple)
%\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}}
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Corrigé}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}
	{\Large \textbf{\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]Corrigé\\[10pt]Voie technologique -- Série toute série -- Polynésie -- 12 juin 2026 }}
\end{center}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

%---------------------------------------------------------
% code LaTeX de l'épreuve
%---------------------------------------------------------
\section*{\centering PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES -- QCM (6 pts)}

\subsection*{Question 1}
	La règle est :\quad $\left(a^b\right)^c = a^{b \times c}$,\quad donc \quad $\left(5^{3}\right)^{2}=  5^{3\times 2} = 5^6$.

	Bonne réponse : \textbf{B.}\quad $5^6$.

\subsection*{Question 2}
	$ 1 + 25\% = 1+\dfrac{25}{100} = 1,25$.

	Bonne réponse : \textbf{C.}\quad 1,25.

\subsection*{Question 3}
	La droite n'est pas parallèle à l'axe des ordonnées. L'équation réduite est donc de la forme $y=mx+p$, où $p$ et $m$ sont à déterminer.

	Pour $x=0$, $y=0$ :\quad (la droite passe pour l'origine du repère) ainsi $p=0$.

	Pour $x=1$, $y=3$ :\quad ainsi $m$ est solution de $3 = m\times 1$, donc $m=3$:

	Bonne réponse : \textbf{C.}\quad $y=3x$.

\subsection*{Question 4}
	$\dfrac{1}{4} = \dfrac{25}{100} = 25~\%$. 25~\% des élèves \textbf{sont} adhérents à l'association sportive.

	Donc 75~\% des élèves ne sont pas adhérents à l'association sportive.

	Bonne réponse : \textbf{B.}\quad 75~\%.

\subsection*{Question 5}
	$\left(1+\dfrac{1}{2}\right)\times\dfrac{2}{3} = \left(\dfrac{2}{2}+\dfrac{1}{2}\right)\times\dfrac{2}{3} = \dfrac{3}{2}\times \dfrac{2}{3} = 1 $.

	Bonne réponse : \textbf{A.}\quad 1.

\subsection*{Question 6}
	On utilise l'identité remarquable :\quad $(2x+3)^2 = (2x)^2+2\times 2x \times 3 + 3^2 = 4x^2 + 12x + 9$.

	Bonne réponse : \textbf{B.}\quad $4x^2+12x+9$.


\subsection*{Question 7}

L'univers est $\Omega = \lbrace 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 \rbrace$. L'évènement «~obtenir un numéro inférieur ou égal à 2~» est : $E = \lbrace 1 ; 2  \rbrace$.

Avec l'hypothèse d'équiprobabilité, $P(E) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}$.

Bonne réponse : \textbf{D.}\quad $ \dfrac{1}{3} $.

\subsection*{Question 8}

La moyenne se calcule comme le quotient de la somme des valeurs par le nombre de valeurs.

Bonne réponse : \textbf{A.}\quad $\dfrac{7+3+4+2+x}{5}=5$

\needspace{10\baselineskip}
\section*{\centering DEUXIÈME PARTIE (14 pts)}

\section*{Exercice 1 (4 points)}
On nomme les évènements suivants :

\begin{itemize}
	\item $S$ : «~le client choisit un sorbet~»
	\item $L$ : «~le client choisit une glace au lait~»
	\item $G$ : «~le client choisit une crème glacée~»
	\item $C$ : «~le client choisit un cornet~»
\end{itemize}

	Ainsi $\overline{C}$ : «~le client choisit un pot~»

\begin{enumerate}
	\item $P\left(S\right) = \dfrac{28}{200} = \dfrac{7}{50}$.

	\item $P\left(S\cap \overline{C}\right) = \dfrac{12}{200} = \dfrac{3}{50}$.

	\item $P_{C}\left(L\right) = \dfrac{64}{160} = \dfrac{2}{5}$.

	\item $P_{G}\left(\overline{C}\right) = \dfrac{24}{104} = \dfrac{3}{13}$.
\end{enumerate}

\needspace{10\baselineskip}
\section*{Exercice 2 (6 points)}
	\subsection*{Partie A}
	\begin{enumerate}
		\item On a :\quad
		$u_1 =  u_0 + 400 = \np{1025} +\np{1025} = \np{1425} $.

		\item Pour calculer un terme de la suite $(u_n)$ on ajoute 400 au terme précédent. Ainsi $(u_n)$ est une suite \textbf{arithmétique} de raison 400.

		\item \begin{tblr}[T]{colspec={*3{c}},vlines, hline{1,2,Z}={solid}}
			$n$ & $ u_n $ & calcul \\
			0 & \np{1025} & \\
			1 & \np{1425} & \np{1025} + 400\\
			2 & \np{1825} & \np{1425} + 400\\
			3 & \np{2225} & \np{1825} + 400\\
			4 & \np{2625} & \np{2225} + 400\\
			5 & \np{3025} & \np{2625} + 400\\
		\end{tblr}

		 Le dernier versement $u_5$ est une somme de \np[\euro{}]{3025}.
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie B}

	\begin{enumerate}
		\item Augmenter de 10~\% c'est multiplier par $1,1$.

		$v_1 = 1,1\times \np{1550} = \np{1550} + 155 = \np{1705}$.

		\item Pour calculer un terme de la suite $(v_n)$ on multiplie le terme précédent par $1,1$.

		Ainsi $(v_n)$ est une suite \textbf{géométrique} de raison $1,1$.
	\end{enumerate}

\subsection*{Partie C}
	Pour la formule~1 les intérêts sont égaux à \quad $\np{12150.00} - \np{10000.00} = \np{2150.00}~\euro{}$.

	Pour la formule~2 les intérêts sont égaux à \quad $\np{11959.20} - \np{10000.00} = \np{1959.20}~\euro{}$.

	$\np{1929.20} < \np{2150}$. \quad Ainsi la formule~2 est plus avantageuse pour l'emprunteur car le montant des intérêts est moins important.

\newpage
\section*{Exercice 3 (4 points)}
\begin{enumerate}
	\item On développe l'expression factorisée proposée :

	$(0,5x + 1,5)(-x+5) = 0,5x \times (-x) + 0,5x \times 5 + 1,5 \times (-x) + 1,5 \times 5 $

	On réduit les produits :

	$(0,5x + 1,5)(-x+5) = -0,5x^2 + 2,5x - 1,5x + 7,5 $

	On réduit les sommes :

	$(0,5x + 1,5)(-x+5) = -0,5x^2 + x + 7,5 $

	On obtient bien l'expression de $f(x)$ donnée dans le sujet.

	Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle $[-4 ; 6]$,
	\[
	f(x)=(0,5x + 1,5)(-x+5) = -0,5x^2 +  x + 7,5.
	\]

	\item Le nombre dérivé en 3 est la pente de la tangente à la courbe au point d'abscisse 3.

	Par lecture graphique, \quad $f'(3) = \dfrac{4 - 6}{4 - 3} = \dfrac{-2}{1} = -2$.

	En donnant l'expression de la fonction dérivée : \quad $f'(x) = -0,5 \times (2x) + 1 = -x+1$.

	On détermine \quad $f'(3) = -3  + 1 = -2$.


	\item \begin{enumerate}
		\item Graphiquement, les points de la courbe d'ordonnée inférieure ou égal à 0 sont les points d'abscisse appartenant à $\left[-4 ; -3\right]\cup\left[5 ; 6\right]$.

		Algébriquement, on utilise la forme factorisée pour déterminer le signe.

		$\begin{aligned}[t]
			0,5x + 1,5 = 0
			&\iff 0,5x = -1,5 \\
			&\iff x = -3
		\end{aligned}$
		\quad et \quad
		$\begin{aligned}[t]
			0,5x + 1,5 > 0
			&\iff 0,5x > -1,5 \\
			&\iff x > -3
		\end{aligned}$

		$-x+5 = 0 \iff x = 5$\quad  et  \quad $\begin{aligned}[t]
			-x+5 > 0 &\iff 5 > x \\&\iff x < 5.
		\end{aligned}$

	Sur l'intervalle $[-3 ; 5]$,\quad $0,5x + 1,5 \geqslant 0$ \quad  et \quad $-x+5 \geqslant 0$

	donc le produit \quad $(0,5x + 1,5)(-x+5)$ \quad est positif.

	\textbf{L'affirmation~a est fausse.}

	\item Graphiquement, on voit que la fonction est décroissante sur l'intervalle $[1 ; 4]$, donc le nombre dérivé $f'(x)$ est négatif sur l'intervalle $[1 ; 4]$.

	On a vu que \quad $f'(3) = -2$ \quad donc $f'(x)$ n'est pas positif sur l'intervalle $[1 ; 4]$.

	\textbf{L'affirmation~b est fausse.}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}