% Préambule APMEP - Annales
% Auteurs
% tapuscrit : 		Hubert proton
% relecture : 
% figures TikZ :
% figures pstricks :
% modifications :
% Remerciements :
% version 1 : 2026-09-20
%
\documentclass[12pt,a4paper,french]{article}

% Packages
%%% codage et police utilisée
\usepackage[T1]{fontenc}
\RequirePackage{iftex}
\iftutex % moteur utf-8 lualatex, xelatex
	\usepackage{fourier-otf} % remplace fourier pour moteur utf8 (LuaLaTeX, XeLaTeX)
	% Alternatives nécéssite (LuaLaTeX, XeLaTeX)
    \usepackage{hyperref}
	%\usepackage{fontspec}% pour utiliser des fontes système
\else % pour les autres moteurs latex, pdflatex
	\usepackage[utf8]{inputenc}
	\usepackage{fourier}
	\usepackage{amsmath,amssymb}
    \usepackage[dvips]{hyperref}
    \renewcommand{\ttdefault}{lmtt}
\fi
\usepackage[normalem]{ulem}
\usepackage{pifont}
\usepackage{lscape}
% tableaux
\usepackage{multicol}
\usepackage{multirow}
\usepackage{tabularx}
\usepackage{tabularray}
% texte et composition
\usepackage{textcomp}
\usepackage{babel}
\usepackage[np]{numprint}
%
\usepackage{fancyhdr}
\usepackage{makeidx}
\makeindex
% pour le symbole €
\usepackage{eurosym}
\DeclareRobustCommand{\officialeuro}{%
  \ifmmode\expandafter\text\fi
  {\fontencoding{U}\fontfamily{eurosym}\selectfont e}}
\AtBeginDocument{\renewcommand{\euro}{\officialeuro}}
% couleurs étendues
\usepackage{xcolor}
% pour les listes
\usepackage{enumitem}
% Enumérations réglage par défaut
\setlist[itemize]{label=\textbullet,leftmargin=5mm,labelwidth=3mm,labelsep=2mm,align=left}
\setlist[enumerate]{labelindent=0pt, leftmargin=5mm, labelsep=2mm, labelwidth=3mm,labelsep=2mm, align= left}
\setlist[enumerate,1]{label = \textbf{\arabic*.}}
\setlist[enumerate,2]{label = \textbf{\alph*.}}
\setlist[enumerate,3]{label = \textbf{\roman*.}}
% pour l'ajustement des boites (figures…)
\usepackage{adjustbox}
% pour ne pas commencer un exercice en fin de page
\usepackage{needspace}
%
% Taille de la zone d'écriture
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=3cm,bottom=3cm]{geometry}
\setlength{\headheight}{15pt}
\setlength{\parindent}{0mm}
%
% Formatage du pdf
\hypersetup{%
    pdfauthor = {APMEP},
    pdfsubject = {Première, toute série},
    pdftitle = {Épreuve anticipée de mathématiques (première)  -- Voie technologique -- Session 2026},
    allbordercolors = white,
    pdfstartview=FitH
}
% Pour scratch (code)
\usepackage{scratch3}
% Pour le code Python
\usepackage{listings}
\lstdefinestyle{python}{
  language=Python,
  basicstyle=\ttfamily\small,
  keywordstyle=\color{blue}\bfseries,
  commentstyle=\color{gray}\itshape,
  stringstyle=\color{orange},
  numbers=left,
  numberstyle=\tiny\color{gray},
  breaklines=true,
  frame=single,
  backgroundcolor=\color{gray!5},
  tabsize=4
}
  % usage (exemple)
  %\begin{lstlisting}[style=python]
%def seuil():
%    n = 1
%    p = 0.5
%    while p < 0.6 :
%       n = n + 1
%       p = p*7/15 + 1/3
%    return n
%\end{lstlisting}


% Pour une visualisation de type tableur
\usepackage{pas-tableur}
%
%% pour PsTricks
\usepackage{pst-bezier}%% AVANT les autres PST
\usepackage{pstricks-add}
%\usepackage{pst-func,pst-tree,pst-circ}
%\usepackage{pst-eucl}
%% pour TikZ
\usepackage{tikz,pgfplots,pgf,tkz-tab,tikzpagenodes}
\usetikzlibrary{calc,patterns,decorations,arrows.meta,patterns.meta,arrows}
\pgfplotsset{compat=1.18,/pgf/number format/.cd,use comma}
\usepackage{icomma} % gestion des espaces autour des virgules
\DeclareMathSymbol{;}{\mathbin}{operators}{"3B}% pour un espacement correct du ; en mode maths
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
% Définitions
%
% notation en mode mathématique et hors mode mathématique
\newcommand{\R}{\ensuremath{\mathbb{R}}} 
\newcommand{\N}{\ensuremath{\mathbb{N}}}
\newcommand{\D}{\ensuremath{\mathbb{D}}}
\newcommand{\Z}{\ensuremath{\mathbb{Z}}}
\newcommand{\Q}{\ensuremath{\mathbb{Q}}}
\newcommand{\C}{\ensuremath{\mathbb{C}}}
%
\providecommand{\up}{\textsuperscript}
%
\newcommand{\vect}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut#1\,}}
\newcommand{\vectt}[1]{\overrightarrow{\,\mathstrut\text{#1}\,}}
%
\def\Oij{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O};\vect{\imath},\vect{\jmath},\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O};\vect{u},\vect{v}\right)$}
%
\newcommand{\ds}{\displaystyle}
%
\renewcommand{\d}{\mathrm{\,d}}
\renewcommand{\i}{\mathrm{\,i\,}}
\newcommand{\e}{\mathrm{\,e\,}}
\npproductsign{\times}
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%


\begin{document}

%---------------------------------------------------------
% Réglage entête, pied de page
%---------------------------------------------------------
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Correction}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{4 septembre 2026}}
\pagestyle{fancy}

\thispagestyle{empty}


%---------------------------------------------------------
% Titre
%---------------------------------------------------------
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~ Épreuve anticipée de mathématiques (première) ~\decofourright\\[10pt]Correction\\[10pt]Voie technologique -- toute série -- Polynésie -- 4 septembre 2026 }}
\end{center}

\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}

%---------------------------------------------------------
% code LaTeX de l'épreuve
%---------------------------------------------------------
\section*{\hfill~ PREMIÈRE PARTIE : AUTOMATISMES - QCM (6 pts)\hfill~}

%\textbf{Pour cette première partie, aucune justification n'est demandée et une seule réponse est possible par question. Pour chaque question, reportez son numéro sur votre copie et indiquez votre réponse.}
%
%Une réponse fausse ou l'absence de réponse n'enlève aucun point.

\subsection*{Question 1}


% texte de la question 1
Augmenter un nombre de 4~\% revient à le multiplier par \mbox{$1+\dfrac{4}{100}=\np{1.04}$}, \textbf{réponse C}.
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad  $0,04$
%& 
%\textbf{B.}\quad  $0,4$
%& 
%\textbf{C.}\quad $1,04$
%& 
%\textbf{D.}\quad  $1,4$
%\\
%\end{tblr}

\subsection*{Question 2}


%% texte de la question 2
%25~\% de 80 est égal à :
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad $16$
%& 
%\textbf{B.}\quad $20$
%& 
%\textbf{C.}\quad $60$
%& 
%\textbf{D.}\quad $100$
%\\
%\end{tblr}
25\% d'une quantité, c'est le quart de cette quantité. Quatre-vingt c'est quatre fois vingt, donc 25\% de 80 c'est 20, \textbf{réponse B}.
\subsection*{Question 3}


% texte de la question 3
%Trois quarts d’heure correspondent à :
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad 15 minutes
%& 
%\textbf{B.}\quad 40 minutes
%& 
%\textbf{C.}\quad 45 minutes
%& 
%\textbf{D.}\quad 75 minutes
%\\
%\end{tblr}
Dans une heure il y a soixante minutes, un quart d'heure c'est donc 15 minutes, et trois quarts d'heure 45 minutes, \textbf{réponse C}.
\subsection*{Question 4}


% texte de la question 4
%Le nombre $\np{4,31E-5}$ peut s’écrire :
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad  \np{0.0000431}
%& 
%\textbf{B.}\quad  \np{0.000431}
%& 
%\textbf{C.}\quad \np{0.00431}
%& 
%\textbf{D.}\quad  \np{431000}
%\\
%\end{tblr}
Le premier chiffre différent de $0$ est donc le chiffre des cent-millièmes. Donc ce nombre est \np{0.0000431}, \textbf{réponse A}.
\subsection*{Question 5}


% texte de la question 5
%On donne $V = \pi h R^2$ avec $h = 4$, $R = 5$ et $\pi \approx 3,14$. Un calcul numérique permettant d’obtenir une valeur approchée de $V$ est :
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad $3,14 \times 4 \times 25$
%& 
%\textbf{B.}\quad $3,14 \times (4 \times 5)^2$
%& 
%\textbf{C.}\quad $(3,14 \times 4 \times 5)^2$
%& 
%\textbf{D.}\quad $3,14 \times 4 \times 5$
%\\
%\end{tblr}
Puisque \mbox{$5^2=25$}, il faut donc calculer \mbox{$\np{3.14}\times4\times25$}, \textbf{réponse A}.
\subsection*{Question 6}


% texte de la question 6
%
%On donne les deux graphiques ci-dessous :
%% graphique tikz
%
%\begin{tblr}{*2{X[c]}}
%\begin{tikzpicture}
%\begin{axis}[
%  title={Graphique 1}, % Titre du graphique
%  height = 6cm,
%  width=8.7cm,
%  ymin = 0,
%  ymax = 85,
%  ymajorgrids = true,
%  ytick={0,10,...,80},
%  axis x line = bottom,
%  axis y line = left,
%  x axis line style={-},
%  y axis line style={-},
%  yticklabel={\pgfmathprintnumber{\tick}\,$\%$},
%  ybar = 12pt,
%  bar width = 20pt,
%  enlarge x limits={0.3},
%  legend style={at={(0.5,-0.3)}, 
%  anchor=north,legend columns=-1},
%  ylabel={},
%  symbolic x coords={Propriétaires,Locataires,Total},
%  xtick=data,
%  nodes near coords={\pgfmathprintnumber{\pgfplotspointmeta}\,$\%$},
%  nodes near coords align={vertical},
%  ]
%\addplot[color=black, fill=gray8] coordinates {(Propriétaires,75) (Locataires,56.25) (Total,60)};
%\addplot[color=black, fill=gray2] coordinates {(Propriétaires,25) (Locataires,43.75) (Total,40)};
%\legend{Hommes,Femmes}
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%&
%\begin{tikzpicture}
%	\pgfkeys{/pgf/number format/.cd,
%		fixed,fixed zerofill,
%		precision=1
%	}
%\begin{axis}[
%  height = 6cm,
%  width=8.7cm,
%  title={Graphique 2}, % Titre du graphique
%  ymin = 0,
%  ymax = 100,
%  ymajorgrids = true,
%  axis x line = bottom,
%  axis y line = left,
%  x axis line style={-},
%  y axis line style={-},
%  yticklabel={\pgfmathprintnumber{\tick}\,$\%$},
%  ybar = 8pt,
%  bar width = 20pt,
%  enlarge x limits={0.3},
%  legend style = {at={(0.5,-0.3)}, 
%  anchor=north,legend columns=-1},
%  ylabel={},
%  symbolic x coords={Hommes,Femmes,Total},
%  xtick=data,
%  nodes near coords={\pgfmathprintnumber{\pgfplotspointmeta}\,$\%$},
%  nodes near coords align={vertical},
%]
%\addplot[color=black, fill=gray8] coordinates {(Hommes,25.0) (Femmes,12.5) (Total,20.0)};
%\addplot[color=black, fill=gray2] coordinates {(Hommes,75.0) (Femmes,87.5) (Total,80.0)};
%\legend{Propriétaires,Locataires}
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%\end{tblr}
%
%La proportion d’hommes parmi les locataires est :
%
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad 25,0~\%
%& 
%\textbf{B.}\quad 43,75~\%
%& 
%\textbf{C.}\quad 56,25~\%
%& 
%\textbf{D.}\quad 75,0~\%
%\\
%\end{tblr}
D'après le graphique 1, la proportion d'hommes parmi les locataires est \np{56.25}\%, \textbf{réponse C}.

\subsection*{Question 7}


%% texte de la question 7
%Sur \R, l’équation $6x − 5 = 4x + 3$ a pour solution :
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad $ x = -2 $
%& 
%\textbf{B.}\quad $ x = 1 $
%& 
%\textbf{C.}\quad $ x = 2 $
%& 
%\textbf{D.}\quad $ x = 4$
%\\
%\end{tblr}
\mbox{$6x-5=4x+3\iff 2x-5=3\iff2x=8\iff x=4$}, \textbf{réponse D}.
\subsection*{Question 8}
%
%
%% texte de la question 8
%La droite $(\Delta)$ est la représentation graphique d'une fonction affine $f$ définie sur \R.
%
%\begin{center}
%% figure Tikz
%\begin{tikzpicture}
%\begin{axis}[
%  width = 10cm,
%  height = 8cm,
%  xmin=-1,
%  xmax= 4,
%  ymin = -1,
%  ymax = 3,
%  xmajorgrids = true,
%  ymajorgrids = true,
%  axis x line = middle,
%  axis y line = center,
%  x axis line style={-latex},
%  y axis line style={-latex},
%  enlargelimits={0.05},
%  xtick={-1,0,...,4},
%  minor x tick num =0,
%  ytick={-1,0,...,3},
%  minor y tick num =0,
%  tick label style={font=\small},
%  ]
%  \node[below left] at (axis cs:0,0){\small 0};
%  \addplot[color=blue,domain=-1.5:4.5,smooth,samples=2,line width=1.2pt] {((-2/3)*x+2)} node[above right, pos=0.5] {$(\Delta)$};
%\end{axis}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%
%L'expression de $f$ est :
%
%\medskip
%% réponses proposées
%\noindent
%% par défaut 4 colonnes, à adapter (pour 2) en ajoutant \ au bon endroit
%\begin{tblr}{colspec = {*4{X[c]}},hlines,vlines}% en option ,hlines,vlines
%\textbf{A.}\quad $f(x) = 2x+3 $ 
%& 
%\textbf{B.}\quad $f(x) = 3x+2$ 
%& 
%\textbf{C.}\quad $f(x) = -\dfrac{3}{2}x +2$
%& 
%\textbf{D.}\quad  $f(x) = -\dfrac{2}{3}x +2$
%\\
%\end{tblr}

$f$ est décroissante, on lit que l'ordonnée à l'origine est $2$ (autrement dit \mbox{$f(0)=2$}), et \mbox{$f(3)=0$}, donc la pente de $f$ est \mbox{$\dfrac{f(3)-f(0)}{3-0}=-\dfrac23$}, l'expression de $f$ est donc \mbox{$f(x)=-\dfrac23 x +2$}, \textbf{réponse D}.

\section*{\hfill~ DEUXIÈME PARTIE (14 pts)\hfill~}

\needspace{10\baselineskip}

% saut de page si moins de 10 lignes disponibles
\section*{Exercice 1 (4 points)}
%Dans une station balnéaire on a interrogé 600 touristes, français ou étrangers, sur leur séjour.
%Tous ont répondu. Les effectifs sont reportés dans le tableau suivant :
%
%\begin{tblr}	{
%    colspec = {*5{X[c,m]}},
%	  hline{2-Z},
%    vline{2-Z},
%    vline{1} = {2-4}{},
%    hline{1} = {2-5}{},
%	}
%	& Camping 	& Location 	& Hôtel 	& \textbf{Total} 	\\
%Français 			& 232 		& 116 		& 12 	& 360 	\\
%Étrangers 			& 96 		& 96 		& 48 	& 240 	\\
%\textbf{Total} 		& 328 		& 212 		& 60 	& 600 	\\
%\end{tblr}
%
%Les réponses des questions suivantes seront données sous forme de fractions non nécessairement simplifiées.
%
%On choisit une personne au hasard. On suppose que toutes les personnes ont la même probabilité d’être choisies.
%
%On considère les événements :
%\begin{itemize}
%\item $E$ : « La personne choisie est un touriste étranger ».
%\item $C$ : « La personne choisie séjourne dans un camping ».
%\end{itemize}
%
Puisque la personne est choisie au hasard, on est dans une situation d'équiprobabilité.
\begin{enumerate}
  \item 
  %Donner la probabilité $P\left({C}\right)$ de l’événement $C$.
  Il y a 600 touristes, dont 328 séjournent dans un camping, donc \mbox{$P(C)=\dfrac{328}{600}=\dfrac{41}{75}$}
  \item 
  %Donner la probabilité $P\left(\overbar{C}\right)$ où $\overbar{C}$ désigne l’événement contraire de $C$.
  $\overbar{C}$ est l’événement contraire de $C$, donc \mbox{$P(\overbar{C})=1-P(C)=\dfrac{600}{600}-\dfrac{328}{600}=\dfrac{272}{600}=\dfrac{34}{75}$}.
  \item 
  %Donner la probabilité de l'événement : « La personne interrogée est un touriste étranger et séjourne dans un camping ».
  On cherche \mbox{$P(E\cap C)$}. Il y a 600 personnes, dont 96 sont à la fois des touristes étrangers et séjournent dans un camping.
  
  Donc \mbox{$P(E\cap C)=\dfrac{96}{600}=\dfrac{4}{25}$}.
  \item
%  Sachant que la personne choisie est en location, donner la probabilité qu'elle soit un touriste français.
   Il y a 212 personnes qui sont en location, dont 116 français. Donc la probabilité que la personne choisie, sachant qu'elle est en location, soit française, est \mbox{$\dfrac{116}{212}=\dfrac{29}{53}$}.
\end{enumerate}


\needspace{10\baselineskip}
% saut de page si moins de 10 lignes disponibles
\section*{Exercice 2 (5 points)}

%Au 1\up{er} janvier 2025, une réserve d’eau naturelle contient \np[m^3]{3000} d'eau.
%
%Une étude indique que la réserve perd chaque année 10~\% du volume d'eau qu'elle avait en début d'année.
%
%On modélise l'évolution du volume d'eau de cette réserve par une suite $\left(u_n\right)$, où $u_n$ désigne la quantité d'eau, exprimée en mètres cubes, contenue dans la réserve au 1\up{er} janvier de l'année $2025 + n$.
%
%On a donc $u_0 = \np{3000}$.

\begin{enumerate}
  \item 
%  Montrer que $u_1 = \np{2700}$.
Chaque année, le volume diminue de 10\%. Comme 10\% de \np{3000} c'est 300 (le dixième), le volume de la réserve sera égal à \mbox{$\np{3000}-300=\np{2700}$} au 1\up{er} janvier 2026, et donc \mbox{$u_1=\np{2700}$}.
  \item 
%  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $u_{n+1}$ en fonction de $u_n$ .
Enlever 10\% d'une quantité revient à multiplier celle-ci par \mbox{$1-\dfrac{10}{100}=\np{0.9}$}.

Donc, pour tout \mbox{$n \in \N, u_{n+1}=\np{0.9}u_n$}.
  \item 
%  Quelle est la nature de la suite $(u_n)$ ? Préciser sa raison.
\mbox{$(u_n)$} est donc une suite géométrique (relation de récurrence multiplicative), et sa raison est \np{0.9}.
  \item 
%  Dans la feuille de calcul suivante on a calculé les premiers termes de la suite $(u_n)$. Le format des cellules de la ligne 2 permet d’afficher les nombres arrondis à l’unité.
%
%\begin{center}  
%\begin{minipage}{.6\linewidth}\renewcommand{\arraystretch}{1.15}
%\helvbx
%\begin{tblr}{
%	row{1} = {gray9,c,m},
%	row{2} = {c},
%	row{3} = {c},
%	column{1} = {gray9,c,m},
%	hlines,vlines,
%	}
%    & A & B & C & D & E & F & G & H & I  \\
%  1 & $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7  \\
%  2 & $u_n$ & 3000 & 2700 & 2430 & 2187 & 1968 & 1771 & 1594 & 1435 
%\end{tblr}
%\end{minipage}
%\end{center}
%
%Quelle formule a été saisie en cellule {\helvbx C2} afin d'obtenir, par glisser-coller vers
%la droite, les premiers termes de la suite $(u_n)$ ?
On a utilisé dans la cellule \textbf{C2} la relation de récurrence, pour écrire \texttt{=0,9*B2}.
  \item 
%  Pour assurer la sécurité de la lutte contre les incendies on estime que la réserve doit contenir au moins \np[m^3]{2000}.
%
%D’après le tableau précédent, à partir de quelle année la quantité d’eau dans la réserve deviendra insuffisante ?
D'après le tableau, la quantité d'eau devient inférieure à \np[~m^3]{2000} pour \mbox{$n=4$} : c'est donc à partir du 1\up{er} janvier 2029 que la quantité d’eau dans la réserve deviendra insuffisante.
\end{enumerate}  

\needspace{10\baselineskip}
% saut de page si moins de 10 lignes disponibles
\section*{Exercice 3 (5 points)}

%Soit la fonction $f$ définie pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 200]$ par 
%
%\[ f(x) = -0,25x^2 + 30x - 500 \]

\begin{enumerate}
\item 
%Calculer l’image de 10 par la fonction $f$.
\mbox{$f(10)=-\np{0.25}\times10^2+30\times10-500=-\np{0.25}\times100+300-500=-225$} : l'image de $10$ par $f$ est $-225$.
\item 
%Montrer que pour tout $x$ appartenant à l’intervalle $[0 ; 200]$, $f(x) = (-0,25x + 5)(x - 100)$
On développe \mbox{$(-\np{0.25}x+5)(x-100)=-\np{0.25}x\times x-\np{0.25}x\times(-100)+5\times x+5\times(-100)$}.

Donc  \mbox{$(-\np{0.25}x+5)(x-100)=-\np{0.25}x^2+25x+5 x-500=f(x)$}.

\mbox{$(-\np{0.25}x+5)(x-100)$} est la forme factorisée de $f(x)$.
\item 
%Résoudre dans l’intervalle $[0 ; 200]$ l’équation $f(x) = 0$.
\mbox{$f(x)=0\iff -\np{0.25}x+5=0\text{ ou }x-100=0$} (équation \og{}produit nul\fg{}).
Il y a deux solutions qui sont 20 et 100.
\item 
%Pour $x$ dans l’intervalle $[0 ; 200]$, déterminer $f'(x)$, où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$.
On a \mbox{$f'(x)=-\np{0.25}\times2x+30=-\np{0.5}x+30$}.
\item 
%Dans l’intervalle [0 ; 200], étudier le signe de $f'$ et déterminer le tableau de variations de la fonction $f$.
$f'$ est positive puis négative, et change de signe pour \mbox{$x=60$}.
$f$ est donc croissante puis décroissante, et on peut construire son tableau de variations :

\begin{center}
	\begin{adjustbox}{max width=1\linewidth,max totalheight=255mm}
	\begin{tikzpicture}[xscale=1,yscale=1,rotate=0,every node/.style={scale=1,rotate=0}]
		\tkzTabInit[deltacl=1]          {$x$/0.85,$f~'(x)$/.85,$f(x)$/2.5}
		% ensemble de définition de la fonction, et valeurs remarquables, séparées par des ,
		{$0$,$60$,$200$}		
		\tkzTabLine{,+,0,-,}
		\tkzTabVar{-/$-500$,+/$400$,-/$-\np{4500}$}			

	\end{tikzpicture}
\end{adjustbox} 

\end{center}
\textit{NB}: vraisemblablement, les valeurs prises par $f$ ne sont pas exigibles dans le tableau de variations.

Pour $f(0)$, c'est quand même simple \dots

Pour $f(60)$, \mbox{$6\times6=36$}, donc \mbox{$60^2=\np{3600}$}, et \mbox{$-\np{0.25}\times\np{3600}=-900$} (le quart\dots)  \mbox{$3\times6=18$}, donc \mbox{$30\times60=\np{1800}$}, on a donc \og{}au final\fg{} \mbox{$f(60)=-900+\np{1800}-500=400$}.

Enfin pour \mbox{$f(200)$}, \mbox{$2^2=4$}, donc \mbox{$200^2=\np{40000}$}.

\mbox{$-\np{0.25}\times200^2=-\np{10000}$}. \mbox{$30\times200=\np{6000}$}, donc \mbox{$f(200)=-\np{10000}+\np{6000}-\np{500}=-\np{4500}$}.

\end{enumerate}


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% Fin du document
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\end{document}