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%Tapuscrit : Denis Vergès corrigé par Arié Yallouz 
% Sujet aimablement fourni par Valérie Camargo  
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$} 
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$} 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}} 
\lhead{\small Baccalauréat ES  }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 14 novembre 2012}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt} 
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES Amérique du Sud~\decofourright\\14 novembre 2012} 
\end{center} 

L'utilisation d'une calculatrice est autorisée.

\bigskip
 
\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

QCM \emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des réponses proposées est exacte. Le candidat portera sur sa copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $0,5$ point. Une réponse inexacte ou l'absence de réponse ne rapporte aucun point et n'en enlève aucun.}

\medskip
 
\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\bigskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On donne ci-dessous, dans un repère orthonormé \Oij, la courbe représentative $(C)$ d'une 
fonction définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$. On sait que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item la courbe $(C)$ passe par les points O(0~;~0) et A$\left(2~;~\dfrac{8}{\text{e}}\right)$, 
\item la tangente à $(C)$ en O est la droite (T) qui passe par le point de coordonnées (1~;~4), 
\item la tangente à $(C)$ en A est parallèle à l'axe des abscisses, 
\item l'axe des abscisses est asymptote à la courbe $(C)$ en $+ \infty$.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\psset{unit=0.9cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-1,-1)(12,7)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt,gridcolor=orange](-1,-1)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(-1,-1)(12,7)
\uput[dl](0,0){0}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{12}{4 x mul 2.71828 x 2 div exp div}
\psline[linewidth=1.5pt]{<->}(1,2.943)(3,2.943)
\psline[linewidth=1.5pt](0,0)(1.75,7)
\uput[u](2,2.943){A}\uput[r](1.8,6.5){(T)}\uput[u](10.5,0.3){$(C)$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item La limite de $f$ en $+ \infty$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $0$& \textbf{b.~~} $- \infty$& \textbf{c.~~} $+ \infty$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Le nombre $f'(0)$ vaut : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $- 1 $& \textbf{b.~~} $0$ & \textbf{c.~~}$4$  \\
\end{tabularx}

\medskip

\item L'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ a pour ensemble de solutions : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $[0~;~+ \infty[$& \textbf{b.~~} [0~;~2]& \textbf{c.~~} [0~;~2[ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $g$ la fonction définie et dérivable sur $\R$, par $g(x) = x\text{e}^{- 2x}$. La dérivée de la fonction $g$ est :
 
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $g'(x) = - 2\text{e}^{- 2x}$& \textbf{b.~~} $g'(x)=(1 - 2x)\text{e}^{- 2x}$& \textbf{c.~~} $g'(x)=\text{e}^{- 2x}$ \\
\end{tabularx}

\medskip  
\item La valeur exacte de $\displaystyle\int_{0}^1 \text{e}^{- 2x}\:\text{d}x$ est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}\left(1 - \text{e}^{- 2} \right)$& \textbf{b.~~} $\text{e}^{- 2} - 1$& \textbf{c.~~} $- \dfrac{1}{2}\left(1 + \text{e}^{- 2} \right)$ \\
\end{tabularx}

\medskip

\item Soit $h$ la fonction définie sur l'intervalle [1~;~3] par $h(x) = \dfrac{1}{x}$. La valeur moyenne de la fonction $h$ sur [1~;~3] est : 

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $\ln 3$& \textbf{b.~~} $\dfrac{2}{3}$& \textbf{c.~~} $\ln \left(\sqrt{3}\right)$ \\
\end{tabularx}
\end{enumerate} 

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip
 
Le tableau ci-dessous donne le nombre de licenciés à la fédération française de badminton.

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{1.3cm}|*{10}{@{}>{\footnotesize \centering \arraybackslash}X@{}|}}\hline 
\footnotesize Année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 &2005 &2006 &2007 &2008 &2009\\ \hline 
\footnotesize Rang $\left(x_{i}\right)$& 0 &1 &2 &3 &4 &5 &6 &7 &8 &9\\ \hline  
\footnotesize Nombre de licenciés $\left(y_{i}\right)$&\np{70589} &\np{79049} &\np{85712} &\np{91782} &\np{96706} &\np{108762} &\np{114725} &\np{115643} &\np{124894} &\np{134886}\\ \hline 
\multicolumn{11}{r}{\emph{Sources: Fédération Française de Badminton}}\\
\end{tabularx}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer le pourcentage d'augmentation, arrondi à l'unité, du nombre de licenciés entre les années 2000 et 2009. 
\item Construire le nuage de points $M_{i}\left(x_{i}~;~y_{i}\right)$ dans le plan (P) muni du repère orthogonal \Oij, défini de la façon suivante :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Sur l'axe des abscisses, on placera 0 à l'origine et on prendra 2~cm comme unité. 
\item Sur l'axe des ordonnées, on placera \np{70000} à l'origine et on prendra 1~cm pour \np{5000}~licenciés.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, déterminer l'équation de la droite d'ajustement de $y$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés. On arrondira les coefficients à l'unité. 
		\item En utilisant cet ajustement, calculer le nombre de licenciés que l'on peut prévoir en 2012.
	\end{enumerate} 
\item On décide d'utiliser comme ajustement la courbe d'équation $y = k\text{e}^{px}$. On suppose que cette courbe passe par les points $M(0~;~\np{70589})$ et $N(9~;~\np{134886})$. 

Déterminer les réels $k$ et $p$ (on arrondira $p$ au millième). 
\item On utilise comme ajustement dans cette question, la courbe d'équation 

$y = \np{70589} \text{e}^{0,072x}$. 

Utiliser cet ajustement pour estimer le nombre de licenciés en 2012 que l'on donnera arrondi à l'unité. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

Pierre pratique la course à pied plusieurs fois par semaine. Il a trois parcours différents, notés A, B et C et deux types de séances d'entraînement : Endurance, notée E et Vitesse, notée V. 

Chaque fois que Pierre va courir, il choisit un parcours (A, B ou C), puis un type d'entraînement (E ou V).

\medskip
 
Si $A$ et $B$ désignent deux évènements d'une même expérience aléatoire, alors on notera $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A,\: p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$, et $p_{A}(B)$ la probabilité de l'évènement $B$ sachant que $A$ est réalisé, avec $p(A) \neq 0$. 

\medskip

Pierre va courir aujourd'hui. On considère les évènements suivants :
 
$A$ : \og Pierre choisit le parcours A \fg 

$B$ : \og Pierre choisit le parcours B \fg 

$C$ : \og Pierre choisit le parcours C \fg 

$E$ : \og Pierre fait une séance d'endurance \fg 

$V$ : \og Pierre fait une séance de vitesse \fg
 
On sait que :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item Pierre choisit le parcours A dans 30\,\% des cas et le parcours B dans 20\,\% des cas; 
\item si Pierre choisit le parcours A, alors il fait une séance d'endurance dans 40\,\% des cas ; 
\item si Pierre choisit le parcours B, alors il fait une séance d'endurance dans 80\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Faire un arbre de probabilité décrivant la situation ci-dessus. 
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner la valeur de $p_{A}(E)$. 
		\item Calculer $p_{B}(V)$.
	\end{enumerate} 
\item Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours C. 
\item Déterminer la probabilité que Pierre choisisse le parcours A et une séance de vitesse. 
\item On sait que $p(E) = 0,7$. Montrer que: $p(E \cap C) = 0,42$. 
\item On sait que Pierre a choisi le parcours C. Quelle est la probabilité qu'il fasse une séance d'endurance ? 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}

\textbf{Candidat ayant  suivi l'enseignement de spécialité }

\bigskip

Un employé se rend à son travail en bus et, soit il n'est pas en retard, c'est-à-dire qu'il est à l'heure ou en avance, soit il est en retard. 

Le 1\up{er} jour, la probabilité que cet employé arrive en retard est de $0,2$.

\medskip
 
Pour les jours suivants :

\medskip
 
S'il est en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,05$.
 
Si l'employé n'est pas en retard un jour donné, alors la probabilité qu'il soit en retard le lendemain est de $0,2$.

\medskip
 
Pour tout entier naturel $n$ non nul, on note 

\setlength\parindent{6mm}
\begin{description}
\item[ ] $R_{n}$ l'évènement \og l'employé est en retard à son travail le $n$-ième jour \fg. 
\item[ ] $H_{n}$ l'évènement \og l'employé n'est pas en retard à son travail le $n$-ième jour \fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip
 
On note également, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{6mm} 
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $r_{n}$ la probabilité que l'employé soit en retard le $n$-ième jour, 
\item[$\bullet~~$] $h_{n}$ la probabilité que l'employé ne soit pas en retard le $n$-ième jour, 
\item[$\bullet~~$] $P_{n} = \left(r_{n}\quad h_{n}\right)$ la matrice qui traduit l'état probabiliste au $n$-ième jour.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm} 

\medskip
 
\begin{enumerate}
\item Déterminer l'état initial $P_{1}$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Tracer un graphe probabiliste traduisant les données de l'énoncé. 
		\item Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe.
	\end{enumerate} 
\item Quelle est la probabilité que cet employé soit en retard le 3\up{e} jour. On donnera le résultat avec une valeur arrondie au centième. 
\item Soit $P = (x\quad  y)$ l'état probabiliste stable.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $x$ et $y$ vérifient la relation $y = 0,95x + 0,8y$. 
		\item Déterminer l'état stable du système en arrondissant les valeurs au millième. Interpréter ces résultats.
	\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}
 
\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats }

\bigskip 

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~10] par 

\[f(x) = 10 \ln (x + 1) - x.\]

\medskip
 
\textbf{Partie A}

\medskip
 
On donne ci-dessous le tableau de variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 

\medskip
\psset{unit=1cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(10,3)
\psframe(10,3)\psline(0,2)(10,2)\psline(0,2.5)(10,2.5)\psline(2,0)(2,3)
\uput[u](1,2.5){$x$} \uput[u](2.15,2.5){$0$} \uput[u](6,2.5){$9$} \uput[u](9.85,2.5){$10$}
\uput[u](1,1.9){$f^{\prime}(x)$}\uput[u](4,2){$+$} \uput[u](6,2){$0$}\uput[u](8,2){$-$}
\rput(1,1){$f(x)$} \uput[u](2.15,0){$0$}\uput[d](6,2){$f(9)$}\uput[u](9.6,0){$f(10)$}
\psline{->}(2.5,0.5)(5.5,1.5) \psline{->}(6.5,1.5)(9.3,0.5) 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Justifier le sens de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\item Donner les valeurs de $f(9)$ et de $f(10)$ arrondies au centième. 
\item Montrer que l'équation $f(x) = 10$ admet dans l'intervalle [0~;~9] une unique solution $\alpha$. Déterminer un encadrement de $\alpha$ à $10^{-2}$ près. 
\item On considère la fonction $F$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~10] par :  

\[F(x) = (10x + 10) \times \ln (x + 1) - 10 x - \dfrac{x^2}{2}.\] 
 
Montrer que la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~ 10].
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}

\medskip
 
Une entreprise fabrique des puces pour des téléphones portables. Le coût marginal pour une production de $x$ centaines de puces $(0 \leqslant x \leqslant 10)$ est donné en centaines d'euros par : 

\[f(x) = 10 \ln (x + 1) - x.\]
 
\begin{enumerate}
\item En utilisant la \textbf{partie A}, déterminer le nombre de puces que l'entreprise doit fabriquer pour que le coût marginal soit maximum. 
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], on note $C(x)$ le coût total de production, en centaines d'euros, de $x$ centaines de puces. 

On assimile le coût marginal à la dérivée du coût total, c'est-à-dire que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], $C^{\prime}(x) = f(x)$. 

Les coûts fixes s'élèvent à \np{1500}~euros, c'est-à-dire que $C(0) = 15$. 
 
Montrer que, pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~10], 

\[C( x) = (10x+ 10) \times \ln (x + 1 ) - 10x - \dfrac{x^2}{2} + 15.\]
 
\item Étudier le sens de variation de la fonction $C$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
\end{enumerate}
\end{document}