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%Tapuscrit : Denis Vergès 

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%\setlength{\voffset}{-1.5cm}
\newcommand{\vect}[1]{\mathchoice%
{\overrightarrow{\displaystyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\textstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptstyle\mathstrut#1\,\,}}%
{\overrightarrow{\scriptscriptstyle\mathstrut#1\,\,}}}
\renewcommand{\theenumi}{\textbf{\arabic{enumi}}}
\renewcommand{\labelenumi}{\textbf{\theenumi.}}
\renewcommand{\theenumii}{\textbf{\alph{enumii}}}
\renewcommand{\labelenumii}{\textbf{\theenumii.}}
\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}

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\setmarginsrb{3cm}{2cm}{3cm}{2cm}{0cm}{1cm}{0cm}{1.5cm}
% 1 est la marge gauche
% 2 est la marge en haut
% 3 est la marge droite
% 4 est la marge en bas
% 5 fixe la hauteur de l'entéte
% 6 fixe la distance entre l'entéte et le texte
% 7 fixe la hauteur du pied de page
% 8 fixe la distance entre le texte et le pied de page

%%%%   Commandes perso FH
\newcommand{\ds}{\displaystyle}%   displaystyle
\newcommand{\cg}{\texttt{]}}% crochet gauche
\newcommand{\cd}{\texttt{[}}% crochet droit
\newcommand{\pg}{\geqslant}%      plus grand ou égal
\newcommand{\pp}{\leqslant}%      plus petit ou égal
\newcommand{\ssi}{\Leftrightarrow}% équivalent
\newcommand{\dc}{\Longrightarrow}

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\hypersetup{%
pdfauthor = {APMEP},
pdfsubject = {Baccalauréat ES/L -- Correction},
pdftitle = {Baccalauréat ES -  2015},
colorlinks=true,
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} 

\renewcommand{\d}{\,\text{d}} % le d de différentiation
\newcommand{\e}{\,\text{e}\,}%    le e de l'exponentielle
\renewcommand{\i}{\text{\,i}}%  le i des complexes

\begin{document}

\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small{Baccalauréat ES/L : l'intégrale 2015 des corrigés}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES/L  
2015 {\red -- Correction}~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale d'avril  
à  juin 2015}}

\vspace{1cm}

Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}
\hypertarget{Retour}{}

\vspace{1cm}
 
{\Large 
   
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry -- 16 avril 2015} \dotfill \pageref{Pondichery} \medskip

\hyperlink{Liban}{Liban -- 27  mai 2015} \dotfill \pageref{Liban}  \medskip

\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord -- 2 juin 2015} \dotfill \pageref{AmeriqueNord}  \medskip

\hyperlink{Centres etrangers}{Centres étrangers -- 12  juin 2015} \dotfill \pageref{Centres etrangers}  \medskip

\hyperlink{Polynesie}{Polynésie -- 12  juin 2015} \dotfill \pageref{Polynesie}  \medskip

\hyperlink{Asie}{Asie -- 16  juin 2015} \dotfill \pageref{Asie}  \medskip

\hyperlink{Antillesjuin}{Antilles-Guyane -- 24 juin 2015} \dotfill \pageref{Antillesjuin}  \medskip

\hyperlink{Metropolejuin}{Métropole -- 24 juin 2015} \dotfill \pageref{Metropolejuin}  \medskip

\hyperlink{Polynesiesep}{Polynésie  -- 9 septembre 2015} \dotfill \pageref{Polynesiesep}  \medskip

\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane -- 11 septembre 2015} \dotfill \pageref{Antillessep}  \medskip

\hyperlink{Metrosep}{Métropole -- 11 septembre 2015} \dotfill \pageref{Metrosep} \medskip


\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie -- 19 novembre 2015} \dotfill \pageref{Caledonienov}  \medskip


\hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud -- 25 novembre 2015} \dotfill \pageref{AmeriSud}  \medskip



%\hyperlink{Caledoniemars}{Nouvelle-Calédonie -- 2 mars 2016} \dotfill \pageref{Caledoniemars}

}

%\vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}
%
%À la fin de chaque exercice cliquez sur * pour aller à l'index

\newpage ~

\newpage

%%%%%%%%%%%%  Pondichéry avril 2015 
\hypertarget{Pondichery}{}

\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 16 avril 2015} 
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy} 
\thispagestyle{empty} 

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Pondichéry~\decofourright\\16 avril 2015}} 
\end{center}
\label{Pondichery}

\subsection*{Exercice 1 \hfill 5 points}

%\textbf{Exercice 1 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des propositions suivantes, dire si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la réponse.}
%
%\medskip
%
%L'entreprise MICRO vend en ligne du matériel informatique notamment des ordinateurs portables
%et des clés USB.

%\bigskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%Durant la période de garantie, les deux problèmes les plus fréquemment relevés par le service
%après-vente portent sur la batterie et sur le disque dur, ainsi:
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs vendus, 5\,\% ont été retournés pour un defaut de batterie et parmi ceux-ci, 2\,\% ont aussi un disque dur défectueux.
%\item[$*~~$] Parmi les ordinateurs dont la batterie fonctionne correctement, 5\,\% ont un disque dur défectueux.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%On suppose que la société MICRO garde constant le niveau de qualité de ses produits.
%
%Suite à l'achat en ligne d'un ordinateur :
%
%\medskip


\begin{tabular}{@{} l !{\textbullet} l}
On appelle 	& $B$ l'événement \og{}la batterie est défectueuse\fg{};\\
				& $D$ l'événement \og{}le disque dur est défectueux\fg.
\end{tabular}

On représente la situation décrite dans le texte par un arbre pondéré:

\medskip 

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nodesepA=0pt,nrot=:U,nodesepB=3pt,levelsep=3cm]{\TR{}}
{
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\naput{\small 0,05}}
	  { 
		  \TR{$D$}\naput{\small $0,02$}
		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\small \red $1-0,02=0,98$}	   
	  }
	\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline B$}\nbput{\small \red $1-0,05=0,95$}}
	  {
		  \TR{$D$}\naput{\small 0,05}
		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\small\red $1-0,05=0,95$}
	  }
}
\end{center}

\medskip


\emph{Proposition} 1 -- {\bf Fausse}

\emph{La probabilité que l'ordinateur acheté n'ait ni problème de batterie ni problème de disque dur est égale à $0,08$ à $0,01$ près.}

\smallskip

L'événement \og{}le micro n'a ni problème de batterie ni problème de disque dur\fg{} est $\overline B \cap \overline D$. 

D'après l'arbre:
$P\left (\overline B \cap \overline D \right ) = P\left (\overline B\right ) \times P_{\overline B}\left (\overline D\right ) = 0,95\times 0,95 = \np{0,9025} \neq 0,08$

\medskip

\emph{Proposition} 2 -- {\bf Vraie}

\emph{La probabilité que l'ordinateur acheté ait un disque dur défectueux est égale à \np{0,0485}.}

\smallskip

On cherche $P(D)$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(D)= P\left (B \cap  D \right )  + P\left (\overline B \cap D \right ) =0,05\times 0,02 + 0,95\times 0,05 = \np{0,0010} + \np{0,0475} = \np{0,0485}$

\medskip

\emph{Proposition} 3 -- {\bf Fausse}

\emph{Sachant que l'ordinateur a été retourné pendant sa période de garantie car son disque dur était défectueux, la probabilité que sa batterie le soit également est inférieure à $0,02$.}

\smallskip

On cherche $P_D(B)$:
$P_D(B) = \dfrac{P\left (B \cap D\right )}{P(D)} = \dfrac{0,05\times 0,02}{\np{0,0485}} \approx \np{0,0206} > 0,02$



%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

%L'autonomie de la batterie qui équipe les ordinateurs portables distribués par la société MICRO,
%exprimée en heure, suit une loi normale d'espérance $\mu = 8$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

%\medskip

\emph{Proposition} 4 -- {\bf Vraie}

\emph{La probabilité que l'ordinateur ait une autonomie supérieure ou égale à 10~h est inférieure à $0,2$.}

\smallskip

La variable aléatoire $X$ qui donne l'autonomie de la batterie suit la loi normale d'espérance $\mu=8$ et d'écart type $\sigma=2$.
On cherche $P(X \pg 10)$.

$\mu=8$ et $\sigma=2$ donc $10=\mu + \sigma$.

D'après le cours, on sait que $P(\mu - \sigma \pp X \pp \mu+\sigma)\approx 0,68$ et pour des raisons de symétrie par rapport à la droite d'équation $x=\mu$, on peut déduire que $P(X\pp \mu-\sigma) = P(X\pg \mu+\sigma)\approx \dfrac{1-0,68 \rule{0pt}{10pt}}{2}\approx 0,16$.

Donc $P(X\pg 10)\approx 0,16<0,2$.

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {12}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{4}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{2} \def\sup{6}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$\mu=8$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
\uput{14pt}[d](\inf,0){$=6$}
\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}
\uput{14pt}[d](\sup,0){$=10$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(5,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(6.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(1.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie C}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie C}

%L'entreprise MICRO vend également des clés USB et communique sur ce produit en affirmant
%que 98\,\% des clés commercialisées fonctionnent correctement.
%
%Sur \np{1000} clés prélevées dans le stock, $50$~clés se révèlent défectueuses.
%
%\medskip

\emph{Proposition} 5 -- {\bf Fausse}

\emph{Ce test, réalisé sur ces \np{1000} clés, ne remet pas en cause la communication de l'entreprise.}

Pour une proportion $p$ et un échantillon de taille $n$, l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% est:

{\centering $\left[ p- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds \sqrt{n}}\:;\: p + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{p\left(1-p\right)}}{\ds\sqrt{n}} \right]$\par} 	

On a $p=0,98$ et $n=\np{1000}$.

Donc l'intervalle de fluctuation asymptotique $I$ au seuil de $95\,\%$ donnant le pourcentage de clés USB conformes dans un échantillon de taille \np{1000} est:

\smallskip

{\centering $I = \left[ 0,98- 1,96 \dfrac{\ds \sqrt{0,98\left(1-0,98\right)}}{\ds \sqrt{\np{1000}}}\:;\: 0,98 + 1,96\dfrac{\ds \sqrt{0,98\left(1-0,98\right)}}{\ds\sqrt{\np{1000}}} \right] \approx \cd{} 0,97\,;\, 0,99\cg$\par} 	

\smallskip

Sur \np{1000} clés, il y en a 50 de défectueuses donc la fréquence de clés conformes dans ce lot est $f=\dfrac{\np{1000}-50\rule{0pt}{12pt}}{\np{1000}}=0,95$.
Or $f \not\in I$, donc il faut remettre en question la communication de l'entreprise.

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

%\medskip
%
%Un apiculteur souhaite étendre son activité de production de miel à une nouvelle région. En
%juillet 2014, il achète 300 colonies d’abeilles qu’il installe dans cette région.
%
%Après renseignements pris auprès des services spécialisés, il s'attend à perdre 8\,\% des colonies durant l'hiver. Pour maintenir son activité et la développer, il a prévu d'installer $50$ nouvelles colonies chaque printemps.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% On considère l'algorithme suivant :

% \begin{center}
%\begin{tabularx}{0.75\linewidth}{|l X|}
%\hline
%\textbf{Variables:} & $n$ est un nombre entier naturel\\
%&$C$ est un nombre réel\\
%\textbf{Traitement:}& Affecter à $C$ la valeur 300\\
%	&Affecter à $n$ la valeur 0\\
%	&Tant que $C < 400$ faire\\
%&\hspace{0.3cm}\begin{tabular}{|l}
%               $C$ prend la valeur $C - C \times 0,08 + 50$\\
%               $n$ prend la valeur $n+1$
%               \end{tabular} \\
%	&Fin Tant que\\
%\textbf{Sortie:} & Afficher $n$\\ 
%\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Recopier et compléter le tableau ci-dessous en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
%Les résultats seront arrondis à l'entier le plus proche.
On recopie et on complète le tableau correspondant à l'algorithme donné dans le texte:
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}
\hline		
\textbf{Test} $C < 400$&  &vrai& vrai & vrai & vrai & vrai & \textcolor{red}{faux} \\ \hline
\textbf{Valeur de} $C$& 300& 326& 350 & 372 & 392 & 411 &\\ \hline
\textbf{Valeur de} $n$& 0& 1& 2 & 3 & 4 & \textcolor{red}{5} & \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item% Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de ce problème.
La valeur affichée en sortie d'algorithme est $5$. Cela veut dire que pour  l'année 5, c'est-à-dire en 2019, le nombre de colonies dépasse pour la première fois 400.

	\end{enumerate}
	
\item  On modélise l'évolution du nombre de colonies par une suite $\left(C_n\right)$ le terme $C_n$ donnant une estimation du nombre de colonies pendant l'année $2014 + n$. 

Ainsi $C_0 = 300$ est le nombre de colonies en 2014.

	\begin{enumerate}

		\item% Exprimer pour tout entier $n$ le terme $C_{n+1}$ en fonction de $C_n$.
D'une année sur l'autre, l'apiculteur perd 8\,\% de colonies donc il en reste 92\,\%. De plus, il installe 50 nouvelles colonies chaque printemps donc le nombre de colonies l'année $n+1$ est le nombre de colonies l'année $n$ multiplié par 0,92 auquel on va ajouter 50:

pour tout $n$, $C_{n+1} = 0,92\times C_n+50$

		\item On considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier $n$ par $V_n = 625 - C_n$; donc $C_n= 625-V_n$.
		
%Montrer que pour tout nombre entier $n$ on a $V_{n+1} = 0,92 \times V_n$.

$V_{n+1}=625-C_{n+1} = 625 - 0,92 \times C_n - 50 = 575 - 0,92\times \left (625 - V_n\right ) = 575 - 575 + 0,92 \times V_n \\
\phantom{V_{n+1}}= 0,92\times  V_n$

		\item% En déduire que pour tout entier naturel $n$, on a $C_n = 625 - 325 \times  0,92^n$.
D'après la question précédente, on peut déduire que la suite $(V_n)$ est géométrique de raison $q=0,92$ et de premier terme $V_0=625-C_0 = 325$.

Donc, pour tout $n$, $V_n=V_0 \times q^n=325 \times 0,92^n$.

Comme $C_n=625-V_n$, on peut dire que, pour tout $n$, $C_n=625-325\times 0,92^n$.		

		\item% Combien de colonies l'apiculteur peut-il espérer posséder en juillet 2024 ?
Le mois de juillet 2024 correspond à $n=10$; l'apiculteur peut espérer posséder $C_{10}$ colonies soit:
$C_{10}=625 - 325 \times 0,92^{10}\approx 484$ colonies.

	\end{enumerate}
\item% L'apiculteur espère doubler son nombre initial de colonies. Il voudrait savoir combien d'années il lui faudra pour atteindre cet objectif.

	\begin{enumerate}
		\item% Comment modifier l'algorithme pour répondre à sa question ?
Pour doubler le nombre initial de colonies, il faut atteindre au moins 600 colonies; il suffit donc de remplacer dans l'algorithme la ligne {\red \og{}Tant que $C<400$ faire\fg{}} par la ligne {\red \og{}Tant que $C < 600$ faire\fg{}}.

		\item% Donner une réponse à cette question de l'apiculteur.
On cherche une valeur de $n$ pour laquelle $C_n \pg 600$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l !{\iff} l !{\iff} l }
C_n \pg 600  	& 625 - 325 \times 0,92^n \pg 600 & 25 \pg 325 \times 0,92^n  & \dfrac{25}{325} \pg 0,92^n	\\
						& \ln\left (\dfrac{25}{325}\right ) \pg \ln\left (0,92^n\right )	
						& \ln\left (\dfrac{25}{325}\right ) \pg n\times \ln\left (0,92\right )	
						& \dfrac{\ln\left (\frac{25}{325}\right )\rule{0pt}{15pt}}{\ln\left (0,92\right )} \pp  n
\end{array}$

Or  $\dfrac{\ln\left (\dfrac{25}{325}\right )}{\ln\left (0,92\right )} \approx 30,8$ donc au bout de 31 années, le nombre de colonies aura doublé.

\smallskip

\emph{Vérification: $C_{30}\approx 598$ et $C_{31}\approx 600$}
		
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
%
%\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points} 

\subsection*{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

%\medskip
%
%Les sites internet A, B, C ont des liens entre eux. Un internaute connecté sur un de ces trois
%sites peut, à toutes les minutes, soit y rester soit utiliser un lien vers un des deux autres sites.
%
%\setlength\parindent{6mm}
%\begin{itemize}
%\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site A, la probabilité d'utiliser le lien vers B est de 0,2 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,2.
%\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site B, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,1 et celle d'utiliser le lien vers C est de 0,4.
%\item[$\bullet~~$] Pour un internaute connecté sur le site C, la probabilité d'utiliser le lien vers A est de 0,2 mais il n'y a pas de lien direct avec B.
%\end{itemize}
%\setlength\parindent{0mm}
%
%\medskip
%
%L'unité de temps est la minute, et à un instant $t = 0$, le nombre de visiteurs est, respectivement sur les sites A, B et C : $100,\: 0$ et $0$.
%
%On représente la distribution des internautes sur les trois sites après $t$ minutes par une matrice $N_t$; ainsi $N_0 = \begin{pmatrix}100& 0& 0\end{pmatrix}$.
%
%On suppose qu'il n'y a ni déconnexion pendant l'heure (de $t = 0$ à $t = 60$) ni nouveaux
%internautes visiteurs.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Représenter le graphe probabiliste de sommets A, B et C correspondant à la situation décrite.
On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets A, B et C:

\begin{center}
{
\begin{pspicture}(-2,-6)(8,1)
%\psgrid[subgriddiv=2](0,0)(-2,-6)(8,1)
\psnode(0,0){A}{\red \bf A}
\psnode(6,0){B}{\bf B}
\psnode(3,-4.2){C}{\blue \bf C}

\psset{nodesep=3pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}

\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{B} \Aput{\red 0,2} 
\ncarc[linecolor=red]{->}{A}{C} \Aput{\red 0,2}
\nccircle[angleA=60,linecolor=red]{->}{A}{.5cm} \Bput{\red 0,6}

\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,1}
\ncarc{->}{B}{C} \Aput{0,4} 
\nccircle[angleA=-60]{->}{B}{.5cm} \Bput{0,5}

\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{A} \Aput{\blue 0,2} 
%\ncarc[linecolor=blue]{->}{C}{B} \Aput{\blue 0}
\nccircle[angleA=180,linecolor=blue]{->}{C}{.5cm} \Bput{\blue 0,8}

\end{pspicture}
}
\end{center}


\item% Écrire la matrice $M$ de transition associée à ce graphe (dans l'ordre A, B, C).
Si $a_n$, $b_n$ et $c_n$ sont respectivement les nombres de visiteurs sur les sites A, B et C à l'instant $t=n$, d'après le graphe, on aura:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l !{+} l !{+} l}
a_{n+1} & 0,6 a_n & 0,1 b_n & 0,2c_n\\
b_{n+1} & 0,2 a_n & 0,5 b_n & 0 c_n\\
c_{n+1} & 0,2 a_n & 0,4 b_n & 0,8c_n
\end{array} 
\right.
\iff
\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1} & c_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n} & c_{n}
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,6	& 0,2	& 0,2\\
0,1	& 0,5	& 0,4\\
0,2	& 0		& 0,8
\end{pmatrix}$

Donc la matrice de transition associée à ce graphe est:
$M=
\begin{pmatrix}
0,6	& 0,2	& 0,2\\
0,1	& 0,5	& 0,4\\
0,2	& 0		& 0,8
\end{pmatrix}$

\end{enumerate}

On donne
$M^2 = \begin{pmatrix}0,42& 0,22& 0,36\\0,19& 0,27& 0,54\\0,28& 0,04& 0,68\end{pmatrix}
\quad \text{et} \quad M^{20} \approx \begin{pmatrix}
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\\
\np{0,3125}& 0,125&\np{0,5625}\end{pmatrix}.$

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{2}

\item
$N_2 = N_1 \times M = N_0 \times M \times M = N_0 \times M^2 
=
\begin{pmatrix}
100 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,42	& 0,22	& 0,36\\
0,19	& 0,27	& 0,54\\
0,28	& 0,04	& 0,68
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
42 & 22 & 36
\end{pmatrix}
$

On peut donc dire que, lors de la deuxième minute, il y a 42 internautes sur le site A, 22 sur le site B et 36 sur le site C.

\item 
$N_0 \times  M^{20}
=
N_{20}\approx
\begin{pmatrix}
100 & 0 & 0
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,3125	& 0,125	& 0,5625\\
0,3125	& 0,125	& 0,5625\\
0,3125	& 0,125	& 0,5625
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix}
$

On peut conjecturer que l'état stable est $\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix}$.

\emph{Ce que l'on peut vérifier simplement car
$\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix} \times M = 
\begin{pmatrix}
31,25 & 12,5 & 56,25
\end{pmatrix}$.}

\`A long terme, il y aura en moyenne 31,25 internautes connectés sur le site A, 12,5 sur le site B et 56,25 sur le site C.

\item% Un des internautes transmet un virus à tout site qu'il visitera.
%
%Il se connecte initialement sur le site C et commence sa navigation.

À l'instant $t = 0$, le site C est  infecté.
	\begin{enumerate}
		\item% Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 1$ le site A soit infecté ?
La probabilité de passer du site C au site A en une minute est de 0,2; la probabilité qu'à l'instant $t=1$ le site A soit infecté est donc égale à 0,2.

		\item% Quelle est la probabilité qu'à l'instant $t = 2$ les trois sites soient infectés ?
Pour qu'en deux minutes les trois sites soient infectés, il faut aller de C vers A puis vers B, ou de C vers B puis vers A. 

C'est impossible d'aller de C vers B.

On va de C vers A avec une probabilité de 0,2 et de A vers B avec une probabilité de 0,2; on va donc de C vers A puis vers B avec une probabilité de $0,2 \times 0,2=0,04$.

La probabilité qu'à l'instant $t=2$ les trois sites soient infectés est donc égale à 0,04.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
%\vspace{0,5cm}
% 
%\textbf{EXERCICE 3 \hfill 4 points} 

\subsection*{Exercice 3 \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On s'intéresse à la fonction $f$ définie sur $\R$ par 
$f(x) = - 2\left (x + 2\right )\e^{- x}$

%\textbf{Partie A}
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
\item% Calculer $f (- 1)$ et en donner une valeur approchée à $10^{-2}$ près.
$f(-1)=-2(-1+2)\e^{-(-1)}=-2\e \approx -5,44$

\item% Justifier que $f'(x) = 2(x + 1)\text{e}^{- x}$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ comme produit de fonctions dérivables sur $\R$:

$f'(x)=-2(1)\e^{-x} -2(x+2)(-1)\e^{-x}=(-2+2x+4)\e^{-x}=2(x+1)\e^{-x}$


\item% En déduire les variations de la fonction $f$.
Pour tout réel $x$, $\e^{-x}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $x+1$ sur $\R$.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Si $x<-1$, $f'(x)<0$ donc $f$ est strictement décroissante sur $\cg{}-\infty\,;\, -1\cg$;
\item Si $x>-1$, $f'(x)>0$ donc $f$ est strictement croissante sur $\cd{}-1\,;\, +\infty \cd$;
\item $f'(-1)=0$ et $f$ admet un minimum en $-1$ égal à $f(-1)=-2\e$.

\end{list}

\end{enumerate}

%\textbf{Partie B}
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

Dans le repère orthogonal ci-dessous, trois courbes $\mathcal{C}_1, \mathcal{C}_2$ et $\mathcal{C}_3$ ont été représentées.

L'une de ces courbes représente la fonction $f$, une autre représente sa dérivée et une troisième représente sa dérivée seconde.

%Expliquer comment ces représentations graphiques permettent de déterminer la convexité de la
%fonction $f$.
%
%Indiquer un intervalle sur lequel la fonction $f$ est convexe.

\begin{center}
\psset{xunit=1.1cm,yunit=0.55cm}

\begin{pspicture*}(-2.5,-6.5)(7,4)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,griddots=8](-3,-6.5)(7,4)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-6.5)(7,4)
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-2.5}{7}{x 2 add 2 mul  2.71828 x exp div neg}\uput[d](1,-0.75){\red $\mathcal{C}_2$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2.5}{7}{2 x mul 2 add 2.71828 x exp div}\uput[u](1,1.5){\blue $\mathcal{C}_1$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-2.5}{7}{2 x mul 2.71828 x exp div neg}
\uput[d](1,-2.2){$\mathcal{C}_3$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{center}

On sait que sur un intervalle: \hfill $f$ convexe  $\iff$ $f'$ croissante $\iff$ $f''$ positive \hfill\null

Il faut donc déterminer quelle fonction correspond à chacune des courbes $\mathcal C_1$, $\mathcal C_2$ et $\mathcal C_3$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item La seule courbe qui corresponde aux variations de la fonction $f$ est $\mathcal C_3$.

\item La courbe $\mathcal C_1$ correspond à une fonction négative sur $\cg{}-\infty\,;\,-1\cd{}$ et positive sur $\cg{}-1\,;\,+\infty\cd{}$; c'est donc la courbe représentative de la fonction $f'$ car la fonction $f$ est décroissante sur $\cg{}-\infty\,;\,-1\cd{}$ et croissante sur $\cg{}-1\,;\,+\infty\cd{}$.

\item La courbe $\mathcal C_2$ est donc la représentation graphique de la fonction $f''$.

\end{list}

Pour déterminer la convexité de la fonction $f$, il suffit de regarder le signe de la fonction $f''$: $f''>0$ sur l'intervalle $\cg{}-\infty\,;\,0 \cd{}$ donc la fonction $f$ est convexe sur l'intervalle $\cg{}-\infty\,;\,0\cd{}$. 

%\vspace{0,5cm}
% 
%\textbf{EXERCICE 4 \hfill 6 points} 

%\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%Une entreprise produit et vend des composants électroniques.
%
%Sa capacité mensuelle de production est comprise entre \np{1000} et \np{30000} pièces. On suppose que toute la production est commercialisée.
%
%\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{peuvent être traitées de façon indépendante.}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie A}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

On donne ci-dessous $R$ et $C$ les représentations graphiques respectives des fonctions recette et coût sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{}.

\begin{center}
\psset{xunit=0.35cm,yunit=0.007cm}
\begin{pspicture}(-1,-50)(31,530)
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\multido{\n=0+1}{32}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.05pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,500)}
\multido{\n=0+50}{11}{\psline[linestyle=dotted,linewidth=0.05pt,linecolor=cyan](0,\n)(31,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(0,0)(31,520)
\psplot{1}{30}{12.5 x mul}\uput[d](26.5,325){$R$}
\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{30}{ x dup mul 0.5 mul 6.5 x mul add 20 add x 2 mul x ln mul sub}\uput[u](26.5,375){\blue $C$}
\uput[u](26,-10){\footnotesize nombre  de pièces en milliers}
\uput[r](0,520){\footnotesize milliers d'euros}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](21,0)(21,249)(0,249)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](3,0)(3,400)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](23,0)(23,400)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,arrowsize=2pt 2]{<->}(3,400)(23,400)
\rput*(13,400){\blue\footnotesize zone de bénéfice}
\psline[linecolor=red,linestyle=dashed, dash=2pt 2pt](13,0)(13,122,3)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.2pt](13,162,5)(13,122,3)
\end{pspicture}
\end{center}

%Par lecture graphique, donner une estimation des valeurs demandées.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quel est le coût de production de \np{21000} pièces?
On trouve le coût de production de $\np{21000}$ pièces en cherchant l'image du nombre 21 par la fonction $C$: le coût de production de \np{21000} pièces est à peu près de \np{250000} euros. 

\item% Pour quelles quantités de pièces produites l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ?
L'entreprise réalise un bénéfice quand la recette est supérieure au coût de production, c'est-à-dire quand la fonction $R$ est située au dessus de la fonction $C$:
l'entreprise réalise un bénéfice pour une quantité de pièces produites comprise entre \np{3000} et \np{23000}.

\item% Pour quel nombre de pièces produites le bénéfice est-il maximal ?
L'entreprise réalise un bénéfice maximal quand, sur l'intervalle $\cd{}3\,;\,23\cg$, l'écart entre la fonction $R$ et la fonction $C$ est le plus grand; c'est autour de 13 donc le bénéfice est maximal pour une production de \np{13000} pièces.

\end{enumerate}

%\bigskip
%
%\textbf{Partie B}
%
%\medskip

\subsubsection*{Partie B}

Le bénéfice en milliers d'euros, réalisé pour la production et la vente de $x$ milliers de pièces, est donné sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{} par 
$B(x) = - 0,5x^2 + 6x - 20 + 2x \ln x.$

\begin{enumerate}
\item% Montrer que $B'(x) = -x + 8 + 2\ln x$, où $B'$ est la dérivée de $B$ sur l'intervalle [1~;~30].
La fonction $B$ est dérivable sur \cd{}1~;~30\cg{} et

$B'(x)=-0,5(2x)+6+2\ln x + 2x\times \dfrac{1}{x}=-x+6+2\ln x +2 = -x+8+2\ln x$

\item  On admet que $B''(x) = - 1 + \dfrac{2}{x}$, où $B''$ est la dérivée seconde de $B$ sur l'intervalle \cd{}1~;~30\cg{}.

%Justifier le tableau de variation ci-dessous  de la fonction dérivée $B'$ sur l'intervalle [1~;~30].

On donne le tableau de variations de la fonction dérivée $B'$:

\smallskip

%\begin{center}
%\psset{unit=1cm}
%\begin{pspicture}(7,2.5)
%\psframe(7,2.5) \psline(0,2)(7,2)\psline(1,0)(1,2.5)
%\uput[u](0.5,1.9){$x$}\uput[u](1.1,1.9){$1$}\uput[u](4,1.9){$2$}\uput[u](6.75,1.9){$30$}
%\rput(0.5,1){$B'(x)$}\uput[u](1.1,0){7}\uput[d](4,2){$6 + 2\ln 2$}\uput[u](6.1,0){$- 22 + 2 \ln 30$}
%\psline{->}(1.5,0.5)(3.5,1.5)\psline{->}(4.5,1.5)(6.5,0.5)
%\end{pspicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 30 \\ 
\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{6+2\ln 2}  &  &   \\  
B'(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{7} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-22+2\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
% \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	

$B'(1)=-1+8=7$; $B'(2)=-2+8+2\ln 2 = 6+2\ln 2 \approx 7,4>0$; 

$B'(30)=-30+8+2\ln 30 = -22+2\ln 30 \approx -15,2<0$

\begin{list}{\textbullet}{}

\item Sur  \cd{}1~;~2\cd{}:
$1 \pp x < 2 \iff \dfrac{1}{2} < \dfrac{1}{x} \pp 1 \iff 1< \dfrac{2}{x} \pp 2 \iff 0 < -1+\dfrac{2}{x} \pp 1 \Longrightarrow B''(x)>0$ donc $B'$ est strictement croissante.

\item Sur  \cg{}2~;~30\cg{}:
$2 < x \pp 30 \iff \dfrac{1}{30} \pp \dfrac{1}{x} < \dfrac{1}{2} \iff  \dfrac{2}{30}\pp \dfrac{2}{x} <1 \iff  -1+\dfrac{2}{30} \pp -1+\dfrac{2}{x} < 0 \Longrightarrow B''(x)<0$ donc $B'$ est strictement décroissante.

\item En $x=2$, $B''(x)=0$; la fonction $B''$ s'annule et change de signe donc la fonction $B'$ admet un maximum égal à $B'(2)=6+2\ln 2$. 

\end{list}

%\newpage

\item  
	\begin{enumerate}
		\item% Montrer que l'équation $B'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [1~;~30].
On a vu que $B'(1)>0$, $B'(2)>0$ et $B'(30)<0$; on complète le tableau de variations de $B'$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & 2 & \hspace*{\esp} & 30 \\ 
\hline
%f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{6+2\ln 2}  &  &   \\  
B'(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{7} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-22+2\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
 \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

On peut en déduire que l'équation $B'(x)=0$ admet une unique solution sur l'intervalle \cd{}1\,;\,30\cg{}, et que cette solution est dans l'intervalle \cg{}2\,;\,30\cd{}.

		\item% Donner une valeur approchée au millième de la valeur de $\alpha$.
En utilisant le tableau de valeurs de la calculatrice, on trouve successivement:

\begin{list}{\textbullet}{}

\item		
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13) \approx 0,13 > 0\\
B'(14)\approx  -0,72 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13\,;\,14\cg{}$

\item
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13,1) \approx 0,045 > 0\\
B'(13,2)\approx  -0,04 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,1\,;\,13,2\cg{}$		

\item
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13,15) \approx 0,003 > 0\\
B'(13,16)\approx  -0,006 < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,15\,;\,13,16\cg{}$

\item
$\left.
\begin{array}{@{} l}
B'(13,153) \approx \np{0,0003} > 0\\
B'(13,154)\approx  \np{-0,0005} < 0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha \in \cd{}13,153\,;\,13,154\cg{}$		


\end{list}

Donc 13,153 est une valeur approchée de $\alpha$ au millième.		
		
\smallskip

\emph{On peut également utiliser le solveur de la calculatrice.}		
		
 	\end{enumerate}
\item%  En déduire le signe de $B'(x)$ sur l'intervalle [1~;~30], et donner le tableau de variation de la fonction bénéfice $B$ sur ce même intervalle.
On peut déduire des questions précédentes que:

\hfill \textbullet\ \  $B'(x) >0$ sur $\cd{}1\,;\,\alpha\cd{}$ \hfill
\textbullet\ \  $B'(x) <0$ sur $\cg{}\alpha\,;\,30\cg{}$ \hfill
\textbullet\ \  $B'(\alpha)=0$\hfill\null

$B(1)=-0,5 +6 -20 +2\ln 1 = -14,5$; 
$B(30)=-0,5\times 30^2 +6\times 30 - 20 +2\times 30\times \ln 30= -290+60\ln 30$

D'où le tableau de variations de la fonction $B$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & 30 \\ 
\hline
B'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{B(\alpha)}  &  &   \\  
B(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-14,5} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-290+60\,\ln 30} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
% \rput*(-3,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}


\item%  Quel est le nombre de pièces à produire, à l'unité près, pour que l'entreprise réalise un bénéfice maximal?
	
%Quel est ce bénéfice maximal (arrondi au millier d'euros)?

L'entreprise réalise un bénéfice maximal quand $x=\alpha$ ce qui correspond à une production de \np{13153} pièces, à l'unité près.

Ce bénéfice maximal vaut $B(\alpha)$. 

Or $\alpha \in \cd{}13,153\,;\,13,154\cg{}$ et $B(13,153)\approx 40,20$ et $B(13,154)\approx 40,20$ milliers d'euros.

On peut donc dire que le bénéfice maximal, arrondi au millier d'euros, est de \np{40000} \euro. 

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%% fin Pondichéry avril 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Liban 27 mai 2015    
\hypertarget{Liban}{}

\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small{27 mai 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Liban 
~\decofourright\\27 mai 2015}}
\end{center}
\label{Liban}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		On donne ci-dessous le tableau de variations d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-3~;~1]$.
%		\begin{center}
%                \begin{tikzpicture}
%                \tkzTabInit{$x$ /1,Variations de $f$ /1.5}{$-3$, $-1$, $0$, $1$}
%                \tkzTabVar{-/$-6$, +/$-1$, -/$-2$,+/$4$}
%                \tkzTabVal[draw]{3}{4}{.5}{$\alpha$}{$0$}
%                \end{tikzpicture}
%                \end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *6{c} c|}
\hline
 x & -3 & \hspace*{\esp} & -1 & \hspace*{\esp} & 0 & \hspace*{\esp} & 1 \\
% \hline
%f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  &  &  & \Rnode{max1}{-1} & & & &  \Rnode{max2}{4} \\
f (x) & &  & & & & & \rule{0pt}{\hauteur}\\
 & \Rnode{min1}{-6} & & & & \Rnode{min2}{-2} & & \rule{0pt}{\hauteur} 
\ncline{->}{min1}{max1} 
\ncline{->}{max1}{min2}
\ncline{->}{min2}{max2} 
\rput*(-1.3,0.94){\Rnode{zero2}{\red 0}}
\rput(-1.3,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero2}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] Sur l'intervalle $[-3~;~0]$, $f$ admet un maximum $-1$ qui est atteint pour $x=-1$, $f(x) = 0$ n'admet pas de solution sur cette intervalle.
			\item[$\bullet~~$] Sur l'intervalle [0~;~1], $f$ est continue et strictement décroissante de plus 0 est compris entre $f(0)$ et $f(1)$, donc d'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de la fonction $f(x)=0$ admet une solution unique sur cet intervalle. On l'appellera $\alpha$.
		\end{itemize}
		
En conséquence, $f(x) = 0$ admet une solution unique sur [-3~;~1].

\textbf{La proposition 1 est donc vraie}.
		
	\item %2
		Par lecture graphique : $g'(x) \geqslant 0$ sur l'intervalle [0~;~4], la fonction $g$ est donc croissante sur cet intervalle. \\\textbf{La proposition 2 est fausse}.
		
\begin{center}
         \psset{unit=0.8cm}
         \begin{pspicture}(-1,-2)(13,8)                 
         \uput[dl](2,6){$\mathcal{C}_{g'}$}                 
         \psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=13,Dy=10]{->}(0,0)(-1,-2)(13,8)
         \psaxes[linewidth=1.25pt,labels=none]{->}(0,0)(0,0)(13,8)
         \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{13}{2.71828 2 0.5 x mul sub exp  1 sub}
         \uput[d](4,0){4}\uput[d](1,0){1}\uput[d](13,0){13}
         \uput[l](0,1){$1$}\uput[dl](0,0){$0$}
         \uput[u](13,0){$x$}\uput[l](0,7.8){$y$}
         \end{pspicture}
\end{center}
		Comme $g'$ est décroissante sur l'intervalle [0~;~13], $g$ est concave sur cet intervalle, \\\textbf{La proposition 3 est donc vraie}.
		
		\newpage
	
	\item %3
		On a  :
		\begin{center}
                \psset{unit=2cm}
                \begin{pspicture*}(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
                 \uput[dl](2,1){$\mathcal{C}_{h}$}
                 \psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=2,griddots=10]
                \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.5)(3.5,1.5)
                \psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{2.71828}{1 x div}
                \psline[linestyle=dashed](2.71828,0.368)(2.71828,0)
                \uput[d](2.71828,0){e}\uput[u](3.4,0){$x$}
                \uput[l](0,1.4){$y$}\uput[dl](0,0){$0$}
                \end{pspicture*}
                \end{center}

		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $h(x) \geqslant 0$
			\item[$\bullet~~$] $h$ est continue sur l'intervalle [1~;~e].
			\item[$\bullet~~$] une primitive de $h$ vaut: $H(x)=\ln x$. Et $\displaystyle\int_{1}^{\e} \dfrac{1}{x}\text{d} x = \left[ H(x)\right]_1^{\e} =\ln \e -\ln 1=1$
		\end{itemize}
		
		La fonction $h$ est bien une fonction de densité. \\\textbf{La proposition 4 est donc vraie}.
		

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

%\iffalse
%\begin{center}
%\begin{tikzpicture}[scale=.5]
%\tkzInit[xmin=0,xmax=21.5,ymin=0,ymax=105.5,ystep=5]
%\tkzGrid
%\tkzAxeXY
%\tkzFct[domain=1:18,thick]{2*\x+5+40/exp(.2*\x-1)}
%\tkzDefPoints{5/55/A,10/25/B,12/13/B',0/85/A',10/55/C}
%\tkzDrawSegment(A',B')
%\tkzDrawSegments[->,>=latex,thick](A,C C,B)
%\tkzLabelSegment[above](A,C){$5$} \tkzLabelSegment[above right](C,B){$-30$}
%\tkzDrawPoints(A,B)
%\tkzLabelPoint[below left](A){$A$} \tkzLabelPoint[below left](B){$B$}
%\tkzText(2.5,85){$\mathcal{C}$} \tkzText(13,10){$(T_A)$}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}
%
%\fi

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
$f'(5)$ correspond au coefficient directeur de la tangente au point d'abscisse $A$, c'est donc le coefficient directeur de la droite $(AB)$.

\begin{center}                                    
\psset{xunit=0.4cm,yunit=0.08cm} % permet de jouer sur la largeur du graphique

\def\xmin{0}
\def\xmax{22}
\def\ymin{0}
\def\ymax{110}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
% pour des graduiations particulières
\psgrid[gridwidth=0.5pt,subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray,xunit=1,yunit=5](\xmin,\ymin)(\xmax,22)
 %\psgrid[gridwidth=1pt,gridcolor=lightgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psaxes[comma,Dx=1,Dy=5]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\uput[dl](\xmax,0){$x$} 
\uput[dl](0,\ymax){$y$}
\uput[dl](4,80){$\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=black]{1}{18}{2 x mul 5 add 40 2.71828 0.2 x mul 1 sub exp div add}
 %----------- point particulier A avec tangente
\def\xA{5}
\def\yA{55}
\psdots(\xA,\yA)
\uput[d](\xA,\yA){$A$}

\def\xB{10}
\def\yB{25}
\psdots(\xB,\yB)
\uput[d](\xB,\yB){$B$}

\psline[linecolor=blue]{-}(0,85)(14.16666666666666666667,0)%y=-6x+85

% on trace la flèche
\psline[linewidth=0.5pt]{->}(\xA,\yA)(\xB,\yA)
\uput[u](7.5,\yA){$5$}

\psline[linewidth=0.5pt]{->}(\xB,\yA)(\xB,\yB)
\uput[ur](\xB,40){$-30$}

\uput[l](13.5,17){$(T_A)$}

\uput[d](\xB,\yB){$B$}

\end{pspicture}
                                    
                                    
\end{center}
                                    
\vspace*{0.5cm}

Nous pouvons le lire graphiquement, voir ci-dessus.\\
Nous pouvons le calculer, $A(5~;~55)$ et $B(10~;~25)$, le coefficient directeur de la droite $(AB)$ vaut :
				
\[\dfrac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A} } = \dfrac{25-55 }{10-5 } = -\dfrac{30}{5} = - 6.\]
			\item %b
				$f$ est dérivable en tant que somme de fonctions dérivables sur [1~;~18].
				
				\[f'(x) = 2+40\times\underbrace{(-0,2)}_{u'}\times\text{e}^{\overbrace{-0,2x+1}^{u}}=
2-8\text{e}^{- 0,2x + 1}\]

				%$f'(x)=2+0+40\times \e^{-0,2x+1}\times (-0,2)=2-8\e^{-0,2x+1}$
			\item %c
				$f'(5)=2-8\e^{-0,2\times 5+1}=2-8\e^0=2-8 = -6$, on retrouve bien le résultat de la partie \textbf{1.a.}.
				
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
                    		Ici, nous travaillons avec des expressions qui sont définies sur tout $\R$, les équivalences seront toujours vraies.\\
                    		$\left.\begin{array}{ccl}
                    			2-8\e^{-0,2x+1} \geqslant 	0	&  \Leftrightarrow &  -8\e^{-0,2x+1}\geqslant -2\\
                    			 	& \Leftrightarrow	& \e^{-0,2x+1}\leqslant \dfrac{-2}{-8}\\
                    				& \Leftrightarrow	& \ln \e^{-0,2x+1}\leqslant \ln \dfrac{1}{4}\\
                    				& \Leftrightarrow 	& -0,2x+1\leqslant -\ln 4\\
                    				& \Leftrightarrow	& -0,2x \leqslant -\ln 4-1\\
                    				& \Leftrightarrow	& -5\times (-0,2x) \geqslant -5\times (-\ln 4-1)\\
                    				& \Leftrightarrow	& x \geqslant 5\ln 4+5)
                    		\end{array}\right.$
			\item %b
				Dans un premier temps, on constate que : $5\ln 4+5 \approx 11,93$ qui est bien compris dans [1~;~18].
				
%				\begin{center} 
%					\begin{tikzpicture}%[x=10mm,y=8mm]
%					\tkzTabInit[lgt=3]{$x$/1,$\small 2-8\e^{-0,2x+1}$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$5\ln 4+5$,$18$} 
%					\tkzTabLine{,-,z,+}
%					\tkzTabLine{,-,z,+}
%					\tkzTabVar{+/$f(1)$,-/$f(5\ln 4+5)$,+/$f(18)$}
%					\end{tikzpicture}
%				\end{center}
				Et : $f(5\ln 4+5) \approx 38,86$, $f(1)\approx 96,02$ et $f(18)\approx 43,97$.
		\end{enumerate}
	\item %3
		Par le calcul, le nombre de parasols que doit produire l'entreprise pour que le co\^ut de fabrication unitaire soit minimal est à choisir parmi 
		$f(11) \approx 39,05$ ou $f(12) \approx 38,86$, le co\^ut sera donc minimal pour 12 parasols.
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
                    		Il suffit de dériver $F$,\\
                    		$F'(x)=2x+5-200\e^{-0,2x+1}\times (-0,2)=2x+5+40\e^{-0,2x+1}=f(x)$.\\
                    		$F$ est bien une primitive de $f$.
                    	\item %b
				$I = \displaystyle\int_{5}^{15}f(x)\text{d}x = \left[F(x)\right]_5^{15}=F(15)-F(5)=15^2+5\times 15-200\e^{-3+1}-\left(5^2+5\times 5-200\e^{-1+1}\right)\\=300-200\e^{-2}-(-150)=450-200\e^{-2}$
			\item %c
				Rappel : la valeur moyenne de $f$ sur $\left[ a~;~b \right]$ vaut :$\mu  = \dfrac{1}{b-a }~\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$.\\
				ici : $\dfrac{1}{10}~I =\dfrac{1}{15-5}~\displaystyle\int_{5}^{15}f(x)\text{d}x$.\\
				C'est le calcul de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [5~;~15] et cette valeur moyenne vaut : $$45-20\e^{-2}\approx 42,29$$
				
				C'est le co\^ut de production unitaire moyen.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Voici l'arbre de probabilité :\\
				\begin{center}
                                    	\pstree[treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,arrows=->]{\Tr{}}
 {\pstree{\Tr{$\ A \ $}\naput{$0,4$}}
	{
	{\pstree{\Tr{$\ D \ $}\naput{$0,02$}}
			{
			\Tr{$\ P(A\cap D)=P_{A}(D)\times P(A) \ $}
			}
	}
	\Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput{$0,98$}
	}
	\pstree	{\Tr{B}\nbput{$0,6$}}
			{
			\Tr{$\ D \ $}\naput{$0,03$}
			\Tr{$\ \overline{D} \ $}\nbput{$0,97$}
			}
}
\end{center}
		
\bigskip		
		
		\item %b
				Nous utilisons la formule des probabilités totales :\\
				$P(D)=P(A \cap D)+P(B \cap D)$\\
				$P(D)=P(A) \times P_A(D)+P(B) \times P_B(D)$\\
				$P(D)=0,4 \times 0,02+0,6 \times 0,03$\\	
				$P(D)=0,026$.
		\item %c
				$P_D(A)=\dfrac{P(A\cap D)}{P(D)}=\dfrac{0,4\times 0,02}{0,026}\approx 0,308$%0,307692308
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Nous sommes dans le cas d'une expérience de Bernoulli (on a affaire à une médaille défectueuse ou non).\\
				Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise, nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli.\\
				Comme $X$ est une variable aléatoire comptant le nombre de médaille défectueuse, nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale : $X=\mathcal{B}(n,p)$, o\`u $n=20$ et $p=0,026$.
			\item %b
				Ici nous calculons : \[P(X  \leqslant 1)=P(X=0)+P(X=1)=\binom{20}{0}0,026^0\times (1-0,026)^{20}+\binom{20}{1}0,026^1\times (1-0,026)^{19}\approx 0,906\]
				Ou encore :\\
				 \[P(X  \leqslant 1)=\text{BinomFrep}(20,0.026,1)\approx 0,906\]
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=3cm,yunit=6cm}
\begin{pspicture*}(72.9,-0.1)(77.1,0.51)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,gridwidth=0.1pt]
\multido{\n=0.000+0.125}{5}{\psline[linewidth=0.1pt](73,\n)(77,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75]{->}(75,0)(73,-0.01)(77,0.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=75](75,0)(73,-0.01)(77,0.5)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{73}{77}{0.398942 2.71828 x 75 sub 0.25 div dup mul 2  div exp div}
\uput[d](75,-0.02){$\mu = 75$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %1
		Nous pouvons lire : $\mu = 75$.
	\item %2
		$P(74,4\leqslant Y \leqslant 75,6) = \text{NormalFrep}(74.4,75,6,75,0.25) \approx 0,984$. %0,9836
	\item %3
		Le résultat de cours est : $P(\mu-2\sigma \leqslant X \leqslant \mu + 2\sigma)\approx 0,95$,
		
		 ici $h = 2\sigma = 0,50$.
\end{enumerate}

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		La fréquence de médaille défectueuse est de : $f=\dfrac{11}{180} \approx 0,061$.%0,0611111111
	\item %2
		$X_n$ suivant une loi binomiale $\mathcal{B}(n,p)$. la variable  $F_n=\dfrac{X_n}{n}$ représente la fréquence de médaille défectueuse. La proportion de médaille défectueuse de l'échantillon de taille $n$ est $p$.
		\medskip
		Ici : $n = 180$ et $n \geqslant 30$, $n \times p= 180 \times 0,03=5,4\geqslant5$ et $n \times (1-p)= 180 \times 0,97=174,6\geqslant5$\\
		\medskip
		L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\% vaut :
		
\[I=\left[p-1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}~;~p+1,96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt{n}}\right].\]

		Ici :  $p=0,03$ et $n=180$.
		
\[I\approx \left[0,00507895133~;~0,0549210487\right].\]

		Or : $f\notin I$, le résultat de la question précédente rend pertinente la prise de décision d'arrêter la production pour procéder au réglage de la machine $M_B$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

La situation peut être modélisée par une suite $\left(V_n\right)$.

Le premier juillet 2013 au matin, le volume d'eau en m$^3$ est $V_0 =  \np{100000}$.

Pour tout entier naturel $n$ supérieur à 0, $V_n$ désigne le volume d'eau en m$^3$ au matin du $n$-ième jour qui suit le 1\up{er} juillet 2013.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Volume d'eau $V_1$ au matin du 2 juillet 2013:

\[
V_0= \np{100000} \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times\np{100000}=\np{96000} \overbrace{\longrightarrow}^{-500} \np{96000} - 500=\np{95500}= V_1
\]
\item Volume d'eau $V_2$, au matin du 3 juillet 2013:
\[
V_1=\np{95500} \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times\np{95500}=\np{91680} \overbrace{\longrightarrow}^{-500} \np{91680}-500=\np{91180}=V_2
\]
\item Pour tout entier naturel $n$
\[
V_n \overbrace{\longrightarrow}^{-4\%} 0,96\times V_n \overbrace{\longrightarrow}^{-500} 0,96V_n-500=V_{n+1}
\]

Ainsi, $V_{n+1}= 0,96V_n- 500$.
\end{enumerate}
\item Pour déterminer à quelle date la retenue ne contiendra plus d'eau, on a commencé par élaborer l'algorithme ci-dessous. Recopier et compléter les lignes \texttt{L6}, \texttt{L7} et \texttt{L9} de cet algorithme pour qu'il
donne le résultat attendu.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|lX|}\hline
\texttt{L1} & \textbf{Variables :} & $V$ est un nombre réel\\
\texttt{L2} & & $N$ est un entier naturel\\
\texttt{L3} & \textbf{Traitement :} & Affecter à $V$ la valeur \np{100000}\\
\texttt{L4} & & Affecter à $N$ la valeur 0\\
\texttt{L5} & & Tant que $V > 0$\\
\texttt{L6} & & \hspace{1cm} Affecter à $N$ la valeur \textcolor{red}{$N+1$}\\
\texttt{L7} & & \hspace{1cm} Affecter à $V$ la valeur  \textcolor{red}{$0,96*V-500$}\\
\texttt{L8} & & Fin Tant que\\
\texttt{L9} & \textbf{Sortie :} & Afficher \textcolor{red}{$N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\item On considère la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $U_n = V_n +\np{12500}\Leftrightarrow V_n=U_n - \np{12500}$.
\begin{enumerate}
\item La suite $\left(U_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,96$:
\[
U_{n+1} = V_{n+1} + \np{12500}=0,96Vu_n- 500 + \np{12500}
= 0,96Vu_n+\np{12000} = 0,96(Vu_n+\np{12500} = 0,96\times U_n
\]
\[
U_0=V_0+\np{12500}=\np{100000}+\np{12500}=\np{112500}
\]
\item Ainsi: $U_n=\np{112500}\times(0,96)^n$.
\item Donc:
\[
U_n = V_n+\np{12500}\Leftrightarrow V_n=U_n-\np{12500}=\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500}
\] 
\end{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation $\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500} \leqslant 0$:
\begin{align*}
\np{112500} \times 0,96^n-\np{12500} \leqslant 0&\Leftrightarrow
\np{112500} \times 0,96^n\leqslant \np{12500}\\
&\Leftrightarrow 0,96^n\leqslant \frac{\np{12500}}{\np{112500}}\simeq 0,111\\
&\Leftrightarrow \ln\left(0,96^n\right)=n\ln 0,96\leqslant \ln\frac{\np{12500}}{\np{112500}}\\
&\Leftrightarrow n\geqslant  \cfrac{\ln\cfrac{\np{12500}}{\np{112500}}}{\ln 0,96}\simeq 53.825
\end{align*}
\item \`A la 54\up{e}{} année, c'est-à-dire en 2067, il n'y aura plus d'eau dans le bassin.
\end{enumerate}
\end{enumerate}


%le des entiers naturels l'inéquation: $- 0,17 \times  0,5^n + 0,82 \geqslant 0,80$.


\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		Voici le graphe probabiliste d'ordre 2 de la situation :
		
\vspace*{0.5cm}		
		
\begin{center}
            
            				\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.4,colsep=2.0]
     {S} &      & {T}  
     \end{psmatrix}
     
     \psset{arrows=->,
            shortput=nab}
                                         
    \ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,3}^{0,41}
	\ncarc[arcangle=20]{1,3}{1,1}^{0,09}
     %\ncurv[angleA=90,angleB=-90]{1,1}{1,1}
     \nccurve[angleA=130,angleB=230,ncurv=10]{1,1}{1,1}\Bput{0,59}
     %\nccircle[angleA=90,nodesep=3pt]{->}{1,1}{.7cm}\nbput{0,64}
                                                %\nccircle[angleA=-90,nodesep=3pt]{->}{1,3}{.7cm}\nbput{0,86}
     \nccurve[angleA=50,angleB=310,ncurv=10]{<-}{1,3}{1,3}\Aput{0,91}
            
\end{center}

\vspace*{0.5cm}

	\item %2
		L'état stable $P$ vérifie : 
		%P=PM<=>[[a;b]]=[[a;b]]*[[0,59;0,41];[0,09;0,91]]
		$P = PM \Leftrightarrow \begin{pmatrix}a & b   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   a & b   \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}0,59 & 0,41 \\ 0,09 & 0,91   \end{pmatrix}$

		%<=>[[a;b]]=[[0,59a+0,09b;0,41a+0,91b]]
		$\Leftrightarrow \begin{pmatrix}
   a & b   \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0,59~a+0,09~b & 0,41~a+0,91~b   \end{pmatrix}$
   
Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux :
		
%openbrace((a=0,59a+0,09b) crl (b=0,41a+0,91b))<=>openbrace((0=-0,41a+0,09b) crl (0,41a-0,09b))
$\left\{ {\Large\substack{a = 0,59a+0,09b \\b = 0,41a+0,91b}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{0 = -0,41a+0,09b \\0=0,41a-0,09b }} \right.$

Une des deux lignes peut être éliminée et comme $a+b=1$, on en déduit :

$\left\{\begin{array}{l c l}
0,41a - 0,09b&=&0\\ a + b &=& 1\end{array}\right.$.

	\item %3
		Comme tous les coefficients de $M$ sont différents de 0, $P_n$ va converger vers $P$. L'opérateur TECIM va bien atteindre son objectif, en effet $a_n$ et $b_n$ vont converger vers $a=0,18$ et $b = 0,82$.
		
82\% des clients vont aller chez TECIM.
		
L'opérateur TECIM atteindra l'objectif d'avoir comme clients au moins 80\%. 
		
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip
\begin{enumerate}
	\item %1
		La répartition des clients au bout de 2 ans est donnée par :

\[P_2=P_0\times M^2=(0,35~~0,65)\times \begin{pmatrix}
0,59 & 0,41 \\0,09 & 0,91   \end{pmatrix}^2=\begin{pmatrix}0,265 & 0,735   \end{pmatrix}
\]

Au bout de deux ans, 26,5\,\% des clients seront chez SAFIR et 73,5\,\% chez TECIM.
	\item %2
		$p_{n+1}=P_n\times M  \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
   s_{n+1} & t_{n+1}   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   s_{n+1} & t_{n+1}   
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
   0,59 & 0,41 \\
 0,09 & 0,91   
\end{pmatrix}  \\
\Leftrightarrow ( s_{n+1} ~~~ t_{n+1})=(0,59s_n+0,09t_n~~~0,41s_n+0,91t_n)$

Deux matrices sont égales si et seulement si leurs coefficients sont égaux :

Ainsi : $t_{n+1}=0,41s_n+0,91t_n$\\
Or : $s_n+t_n=1 \Leftrightarrow s_n=1-t_n$\\
On en déduit que : $t_{n+1}=0,41(1-t_n)+0,91t_n \Leftrightarrow t_{n+1}=0,41+0,5t_n$.
	\item %3
Voici le tableau complété :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.65\linewidth}{|c|l X|}\hline
L1&\textbf{Variables :}& $T$ est un nombre\\
L2&& $N$ est un nombre entier\\
L3&\textbf{Traitement :}& Affecter à $T$ la valeur 0,65\\
L4&& Affecter à $N$ la valeur 0\\
L5&& Tant que $T < 0,80$\\
L6&& Affecter à $T$ la valeur \textcolor{red}{$0,5*T+0,41$}\\
L7&& Affecter à $N$ la valeur \textcolor{red}{$N+1$}\\
L8&& Fin Tant que\\
L9&\textbf{Sortie :}& Afficher \textcolor{red}{$N$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
       \item %4
       		\begin{enumerate}
			\item %a
$u_{n+1}=t_{n+1}-0,82$\\
$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,41+0,5t_n-0,82$\\
$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5t_n-0,41$\\
$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5(t_n-0,82)$\\
$ \Leftrightarrow u_{n+1}=0,5u_n$\\
La suite $(u_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=0,5$.
			\item %b
Le terme général de $(u_n)$ vaut : $u_n=u_0\times q^n$.\\
Or : $u_0=t_0-0,82=0,65-0,82=-0,17$.\\
Ainsi : $u_n=-0,17\times 0,5^n$.\\
Comme : $t_n=u_n+0,82$\\
On conclut que : $t_n=-0,17\times 0,5^n+0,82$.
			\item %c
	On pourrait utiliser l'algorithme, ou passer par les logarithmes :
	
	$\left.\begin{array}{rcl}
t_n 	&   \geqslant  	&  0,80\\
-0,17\times 0,5^n+0,82 	& \geqslant &	0,80\\
-0,17\times 0,5^n	& \geqslant	& -0,02\\
0,5^n	& \leqslant 	& \dfrac{0,02}{0,17}\\
\ln (0,5^n)	& \leqslant 	& \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right)\\
n\ln 0,5 & \leqslant 	& \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right)\\
n & \geqslant 	& \ln\left(\dfrac{0,02}{0,17}\right) \div \ln 0,5~~~~(\text{en effet : $\ln 0,5 < 0$})\\
	n & \geqslant 	& 3,08746284\\
	n & \geqslant 	& 4\\
\end{array}\right.$
	\item %d
Au bout de 4 ans le nombre de client de TECIM sera supérieur ou égal à 80\%.
				
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%% fin Liban 27 mai 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Amérique du Nord 2 juin  2015    
\hypertarget{AmeriqueNord}{}
%%%% Corrigé : Éric David

\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small{2 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Amérique du Nord
~\decofourright\\2 juin 2015}}
\end{center}
\label{AmeriqueNord}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}
	\item %1
Un intervalle de confiance au niveau de confiance de 0,95 vaut $\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{ n }} ~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{ n }} \right]$, ici $f = \dfrac{484}{4000} = 0,121$ et $n=4~000$.
		
L'intervalle vaut donc : $\left[ 0,121-\dfrac{1}{\sqrt{ 4~000 }} ~;~0,121+\dfrac{1}{\sqrt{ 4~000 }} \right]$. Soit encore : [0,105~;~0,137].
		\textbf{C'est la réponse c)}
	\item %2
L'amplitude de l'intervalle $\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{ n }} ~;~f+\dfrac{1}{\sqrt{ n }} \right]$ vaut $\dfrac{2}{\sqrt{n}}$.

		$\dfrac{2}{\sqrt{ n }} = 0,01 \Leftrightarrow \sqrt{ n } = \dfrac{2}{0,01} \Leftrightarrow n = 200^{2} \Leftrightarrow n = \np{40000}$.
		\textbf{C'est la réponse d)}

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

$X$ suit la loi normale $\mathcal{N}(\mu,~\sigma^2)$ avec $\mu = 32$ et $\sigma = 13$.\

\begin{enumerate}
	\item %1
		$P(19 \leqslant X \leqslant 45) = P(\mu-\sigma\leqslant X \leqslant \mu+\sigma)\approx 0,68$. C'est un résultat de cours.
		
		\textbf{C'est la réponse b)}
	\item %2
		Ici, nous utilisons la calculatrice : $P(X\leqslant t)=0,9$ revient à introduire sur la calculatrice : invNorm(0.9,32,13).
		
		Arrondi à l'entier c'est 49 $s$.
		\textbf{C'est la réponse c)}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
D'après les données de l'énoncé, $P(S)=0,203$, en effet 20,3\% des élèves sont inscrits à l'association sportive.
		
De plus, parmi les élèves non fumeurs, 22,5 \% sont inscrits à l'association sportive. Ainsi $P _{\overline{ F }}(S)=0,225$\\
                Comme : $P _{\overline{ F }}(\overline{ S })= 1-P _{\overline{ F }}(S)=0,775$.
	\item %2
		On en déduit l'arbre de probabilité :
		
\begin{center}
\newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
  \pstree[treemode=R,nodesep=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
 {
 	\pstree{\TR{$F$}\naput{$P(F)=0,178$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}%\taput{$p_{A}(A)$}
 		  \TR{$\overline{S}$}%\tbput{$p_{A}(\overline{R})$}	   
 	  }
 	\pstree{\TR{$\overline{F}$}\nbput{$P(\overline{F})=0,822$}}
 	  {
 		  \TR{$S$}\naput{$P _{\overline{ F }}(S)=0,225$}
                		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$P _{\overline{ F }}(\overline{ S })=0,775$} 
     }
}
                \end{center}
	\item %3
		$P(\overline{F}\cap S)=P_{\overline{F}}(S)\times P(\overline{F})= 0,225 \times 0,822 = \np{0,18495}\approx 0,185$.
		
		18,5\,\% environ des élèves sont non fumeurs et inscrit dans une association sportive.
	\item %4
		Ici on calcule : $P_{S}(\overline{F})=\dfrac{P(\overline{F}  \cap S)}{P(S)}=\dfrac{\np{0,18495}}{0,203}\approx 0,911$
	\item %5
En utilisant la formule des probabilités totales :
		
$P(S)=P(\overline{F}\cap S)+P(F \cap S) \Leftrightarrow 0,203=0,18495+P(F \cap S) \Leftrightarrow P(F \cap S)=0,203- \np{0,18495}= \np{0,01805}$.
		
Or : $P_F(S)=\dfrac{P(F \cap S)}{P(S)}=\dfrac{\np{0,01805}}{0,178}= \np{0,10140449}\approx 0,101$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Nous sommes dans le cas d'une épreuve de Bernoulli.

Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise, nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli (On admet que le nombre d'élèves est suffisamment grand pour que cette situation soit assimilée à un tirage avec remise).

Comme $X$ est une variable aléatoire comptant le nombre d'élèves gagnants, nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale : $X=\mathcal{B}(n,p)$, o\`u $n=4$ et $p=0,203$.

Ici on calcule :

$\left.\begin{array}{ccl}
			P(X \geqslant 1) 	& = 	& 1-P(X<1)\\
			 	& =					& 1-P(X=0)\\
				& =					& 1-\begin{pmatrix} 4 \\0   \end{pmatrix} \times 0,203^{0} \times (1 - 0,203 )^{4}\\
				& = 				& 1-(1-0,203)^4\\
				& \approx 			& 0,597
\end{array}\right.$
		
\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.0cm,yunit=1.0cm,algebraic=true,dimen=middle,dotstyle=o,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
\begin{pspicture*}(-0.75,-0.75)(5.,6.)
\multips(0,0)(0,1.0){7}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray]{c-c}(0,0)(5.,0)}
\multips(0,0)(1.0,0){6}{\psline[linestyle=dashed,linecap=1,dash=1.5pt 1.5pt,linewidth=0.4pt,linecolor=darkgray]{c-c}(0,0)(0,6.)}
\psaxes[labelFontSize=\scriptstyle,xAxis=true,yAxis=true,Dx=1.,Dy=1.,ticksize=-2pt 0,subticks=1]{->}(0,0)(0.,0.)(5.,6.)[$x$,140] [$y$,-40]
\psplot[plotpoints=200]{0}{5.0}{1.0/8.0*x^(2.0)+1.0/4.0*x+2.0}
\begin{scriptsize}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](0.,2.)
\uput[ur](0.,2.){$D$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](2.,3.)
\uput[dr](2.,3.){$E$}
\psdots[dotsize=4pt 0,dotstyle=x](4.,5.)
\uput[dr](4.,5.){$F$}
\end{scriptsize}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$] en 2000, $x=0$, et $f(0)=2$ centaine.
	
Soit encore : $a \times 0^2+b\times 0+c=2  \iff c = 1$.
	\item[$\bullet~~$] en 2012, $x=2$, et $f(2)=3$ centaines.
	
Soit encore : $a \times 2^2+b\times 2+c=1  \iff 4a+2b+c=3$.
	\item[$\bullet~~$] en 2014, $x=4$, et $f(4)=5$ centaines.
	
Soit encore : $a \times 4^2+b\times 4+c=1  \iff 16a+4b+c=5$.
\end{itemize}

On en déduit le système suivant :\\
%openbrace((c=1) crl (4a+2b+c=3) crl (16a+4b+c=5))
$\left\{ {\Large\substack{{\Large\substack{c = 2 \\4a+2b+c = 3}} \\16a+4b+c = 5}} \right.$
			\item %b
				
				$\left\{ {\Large\substack{{\Large\substack{c = 2 \\4a+2b+c = 3}} \\16a+4b+c = 5}} \right. \iff \begin{pmatrix}
    c \\
  4~a+2~b+c \\
  16~a+4~b+c   
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    1 \\
  3 \\
  5   
 \end{pmatrix}$
 		$  \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 \\
  4 & 2 & 1 \\
  16 & 4 & 1   
 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
    a \\
  b \\
  c   
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    2 \\
  3 \\
  5   
 \end{pmatrix}$
 $  \Leftrightarrow MX = R$
 
 Avec : $M= \begin{pmatrix}
    0 & 0 & 1 \\
  4 & 2 & 1 \\
  16 & 4 & 1   
 \end{pmatrix}$, $X= \begin{pmatrix}
    a \\
  b \\
  c   
 \end{pmatrix}$ et $R=\begin{pmatrix}
    2 \\
  3 \\
  5   
 \end{pmatrix}$.
		\end{enumerate}
	\item %2
		Comme $M$ est inversible :\\
		$MX = R \iff X = M^{-1}\times R$\\
		Soit encore : $X=\begin{pmatrix}
	0,125	&	-0,25	&	0,125 \\
	-0,75	&	1			&	-0,25 \\
	1			&	0			&	0 \\
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
                                           2 \\
                                         3 \\
                                         5   
                 \end{pmatrix}$.\\
                 On obtient :
                 %M=[[0;0;1];[4;2;1];[16;4;1]]                       
                 %M^-1=[[ 0,125 ; -0,25 ; 0,125 ] ; [ -0,75 ; 1 ; -0,25 ] ; [ 1 ; 0 ; 0 ]]
                 %R=[[2];[3];[5]]
                 %X=     [[ 0,125 ; -0,25 ; 0,125 ] ; [ -0,75 ; 1 ; -0,25 ] ; [ 1 ; 0 ; 0 ]]*     [[2];[3];[5]]      
                 %X= [[ 0,125 ; -0,25 ; 0,125 ] ; [ -0,75 ; 1 ; -0,25 ] ; [ 1 ; 0 ; 0 ]]*[[ 2 ] ; [ 3 ] ; [ 5 ]]      
               	%X = [[ 1/8 ] ; [ 1/4 ] ; [ 2 ]]
$X = \begin{pmatrix}
0,125 \\ %\dfrac{1}{8} \\
0,25 \\
2   
\end{pmatrix}$

	Ainsi : $f(x) = \dfrac{1}{8}~x^{2}+\dfrac{1}{4}~x+2$.
\item %3
En $2~016$, $x=6$ et $f(6) = \dfrac{1}{8}\times 6^{2}+\dfrac{1}{4}\times 6+2=8$.
	
Il y aura 800 agences de services à domicile.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip	

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
Ce graphe est connexe en effet la chaîne suivante relie tous les sommets : 
				
A-B-E-F-J-K-P-O-M-N-J-I-M-L-H-G-C-D.
			\item %b
				Ce graphe n'est pas complet en effet : H et I ne sont pas adjacents, par exemple.
		\end{enumerate}
	\item %2
Pour les deux questions dressons, le tableau des sommets et de leur degré :

		\medskip

		\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{1.2cm}|*{17}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
Sommets	&	A	&	B	&	C	& 	D	&	E	&	F	&	G	&	H 	&	I	&	J	&	K	&	L	&	M	&	N	&	O	&	P\\ \hline
Degré	&	2	&	2	&	2	&	4	&	4	&	2	&	2	&	3	&	3	&	4	&	2	&	2	&	4	&	2	&	2 	&	2\\ \hline
\end{tabularx}

		\medskip

Comme ce responsable voudrait effectuer un circuit qui passe une et une seule fois par chaque rue, nous sommes alors à la recherche d'un cycle eulérien ou d'une chaîne eulérienne.
		
Le graphe étant connexe (vu précédemment), et comme nous avons deux sommets de degré impair, ce graphe admet donc une chaîne eulérienne et non un cycle eulérien (théorème d'Euler).
		\begin{enumerate}
			\item %a
Comme ce graphe n'admet  pas de cycle, le point de départ et de fin ne peuvent être identiques.
			\item %b
Ce graphe admet une chaîne eulérienne, un circuit ou le point de départ et le point d'arrivée ne sont pas les mêmes et donc possible en passant une seule fois par chaque rue.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
De 2004 à 2005, la population de singes baisse de 15 \%, au premier janvier 2~005, l'effectif sera de : $u_1= \np{25000} \times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)= \np{21250}$.
			\item %b
De 2005 à 2006, la population de singes baisse de 15 \%, au premier janvier 2005, l'effectif sera de : 
				
$u_2= \np{21250} \times \left(1 - \dfrac{15}{100}\right)= \np{18062,5}\approx \np{18063}$.
		\end{enumerate}
	\item %2
Pour passer d'une année à une autre : $u_{n+1}=u_n \times \left(1-\dfrac{15}{100}\right)$.
		
C'est une suite géométrique de raison $q = 0,85$ et de premier terme $u_0= \np{25000}$.
		
Le terme général de $(u_n)$ est : $u_n = u_0\times q^n$, soit encore : $u_n= \np{25000} \times 0,85^n$.
	\item %3
		Algorithme modifié :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{llcl}
                L1 :	&	Variables		&	\quad	&	$u$ un réel, $n$ un entier \\
                L2 :	&	Initialisation	&			&	$u$ prend la valeur \np{25000} \\
                L3 :	&					&			&	$n$ prend la valeur 0 \\
                L4 :	&	Traitement		&			&	Tant que \textcolor{red}{$u \geqslant  5~000$ }faire \\
                L5 :	&					&			&	\qquad $u$ prend la valeur \textcolor{red}{$u * 0,85$} \\
                L6 :	&					&			&	\qquad $n$ prend la valeur \textcolor{red}{$n+1$} \\
                L7 :	&					&			&	Fin Tant que \\
                L8 :	&	Sortie			&			&	Afficher $n$ \\
\end{tabular}
\end{center}

\medskip
        \item %4
        		\iffalse
		$u_{9}= \np{25000} \times 0,85^9 \approx \np{5790}$ et :  $u_{10}= \np{25000}\times 0,85^{10}\approx \np{4922}$.
		
La suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de premier terme $u_0> 0$ et $q = 0,85$ avec $q \in \left]0~;~1 \right[$, elle décroisante au sens strict.
		
		Donc pour tout $n \geqslant 10$, $u_n < \np{5000}$.\\
		\fi
		Classiquement :\\
			
			$\left.\begin{array}{ccl}
			u_n< \np{5000} 	&   \Leftrightarrow 	&  \np{25000} \times 0,85^{n} < \np{5000}\\
			 	& \Leftrightarrow	& 0,85^{n} < \dfrac{\np{5000}}{\np{25000}}\\
				& \Leftrightarrow	& \ln\left( 0,85^{n} \right) < \ln\left( \dfrac{\np{5000}}{\np{25000}} \right)~~~~(\text{en effet : $a < b  \Leftrightarrow  \ln a < \ln b$})\\
				& \Leftrightarrow 	& n\ln\left( 0,85 \right) < \ln\left( \dfrac{\np{5000}}{\np{25000}} \right)\\
				& \Leftrightarrow 	& n>\dfrac{\ln\left( \dfrac{\np{5000}}{\np{25000}} \right)}{\ln\left(0,85 \right)}~~~~~ (\text{car : } \ln 0,85<0)\\
				& \Leftrightarrow 	& n> \np{9,9031}\\
				& \Leftrightarrow 	&n \geqslant 10
		\end{array}\right.$
\end{enumerate}

\bigskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Chaque année $\dfrac{1}{4}$ des singes disparaissent, il reste donc $v_0 \times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)$ auquel 400 naissances se rajoutent.
				
				On en déduit que : $v_1=v_0 \times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)+400= \np{5000} \times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)+400= \np{4150}$.
				
				De même : $v_2=v_1 \times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)+400=4150\times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)+400= \np{3512,5} \approx \np{3513}$.
			\item %b
				Chaque année $\dfrac{1}{4}$ des singes disparaissent, il reste donc $v_n \times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)$ auquel 400 naissances se rajoutent.
				
$v_{n+1}=v_n \times \left(1-\dfrac{1}{4}\right)+ 400$.
				
Ainsi : $v_{n+1}=0,75v_n+400$.
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
				$w_{n+1}=v_{n+1}- \np{1600} = 0,75v_n + 400 - \np{1600} = 0,75v_n - \np{1200} =0,75\left(v_n - \np{1600}\right)=0,75w_n$.\\
				$(w_n)$ est géométrique de raison $q=0,75$ et de premier terme : $w_0=v_0-1~600=5~000- \np{1600} =\np{3400}$.
				
			\item %b
				$(w_n)$ étant géométrique de premier terme $w_0= \np{3400}$, son terme général vaut :\\
				$w_n=w_0\times q^n$, ainsi $w_n= \np{3400}\times 0,75^n$.
			\item %c
				Comme : $w_n=v_n- \np{1600}  \Rightarrow v_n=w_n+ \np{1600}$.\\
				Ainsi : $v_n= \np{1600} + \np{3400} \times 0,75^n$.
			\item %d
				$v_n=a_n+b_n\times c_n$ avec :
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] $a_n = \np{1600}$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_{n} = \np{1600}$
					\item[$\bullet~~$] $b_n = \np{3400}$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}b_{n} = \np{3400}$
					\item[$\bullet~~$] $c_n= 0,75^n$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_{n} = 0^+$, car $c_n$ est de la forme $q^n$ avec $q \in ]0~;~1[$.
				\end{itemize}
				$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}v_{n} = \np{1600}$. Ceci signifie qu'à terme la population de singes va se rapprocher de \np{1600}. On a par exemple $v_{20} \approx \np{1611}$.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		Au point d'abscisse 5 la tangente à $\mathcal{C}_f$ est horizontale, $f'(5)=0$.\\
		Au point d'abscisse 0 la tangente à $\mathcal{C}_f$ est la droite $(AB)$, $f'(0)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}=\dfrac{10}{2}=5$.
	\item %2
		Comme $D$ est un point d'inflexion, l'ensemble des tangentes à $\mathcal{C}_f$ se trouve au dessus de $\mathcal{C}_f$, elle est concave sur sur [0~;~10], sur $\left[ 10~;~+\infty \right[$, l'ensemble des tangentes à  $\mathcal{C}_f$ se trouve au dessous de $\mathcal{C}_f$, elle est convexe sur cet intervalle.
\end{enumerate}

%\newpage

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		$f$ est dérivable sur [0~;~18] en tant que produit de fonctions dérivables :\\
		$f'(x)=5\times \e^{-0,2x}+5x \times \underbrace{\e^{-0,2x}}_{\e^{u(x)}}\overbrace{\times (-0,2)}^{\times u'(x)}=5\e^{-0,2x}-x\e^{-0,2x}=(5-x)\e^{-0,2x}$.
	\item %2
		Pour tout $x \in \R$ $\e^{-0,2x}>0$, le signe ne dépend donc que de : $5-x$. On en déduit le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$.
		
%\begin{center} 
%		\begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
%		\tkzTabInit[lgt=2]{$x$/1,$5-x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$0$,$5$,$18$} 
%		\tkzTabLine{,+,z,-}
%		\tkzTabLine{,+,z,-}
%		\tkzTabVar{-/$0$,+/$25\e^{-1}$,-/$\small 90\e^{-\frac{18}{5}}$}
%		\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 5 & \hspace*{\esp} & 18 \\ 
\hline
5-x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{25\e^{-1}}  &  &   \\  
f & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{0} &   &  &  &   \Rnode{min2}{90\e^{-\frac{18}{5}}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

	\item %3
		D'après le tableau de variations, au bout de 5 jours le nombre maximal de jouets est atteint est vaut :
		
$f(5)\approx 9,197$ milliers. Cela fait 9~197 jouets.
\end{enumerate}

%\end{document}

\medskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				$\displaystyle\int_{0}^{10}f(x)\text{d}x=[F(x)]_{0}^{10}=F(10)-F(0)=-375\e^2-(-125)=-375\e^{-2}+125\approx 74,249$.
			\item %b
				Le nombre moyen est donné par : $\mu  = \dfrac{1}{b-a }~\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\text{d}x$\\
				Soit encore : $\mu  = \dfrac{1}{10-0 }~\displaystyle\int_{0}^{10}f(x)\text{d}x\approx 7,425$ milliers de jouets. Soit encore \np{7425}~jouets en moyenne.
		\end{enumerate}
	\item %2
		Le logiciel de calcul formel nous donne : $f''(x)=\dfrac{x-10}{5}\e^{-0,2x}$.\\
		On en déduit le tableau de signes de $f''(x)$ et tableau de variations de $f'$ :\\


%		\begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
%                \tkzTabInit[lgt=1.5]{$x$/1,$x-10$/1,$5$/1,$\e^{-0,2x}$/1,$f''(x)$/1,$f'$/2}{$0$,$10$,$18$} 
%                \tkzTabLine{,-,z,+}
%                \tkzTabLine{,+,t,+}
%                \tkzTabLine{,+,t,+}
%                \tkzTabLine{,-,z,+}
%                \tkzTabVar{+/$$,-/$$,+/$5$}
%        \end{tikzpicture}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 10 & \hspace*{\esp} & 18 \\
 \hline
x-10 &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
\e^{-0,2x} &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\  
\hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{}  &  &  &  & \Rnode{max2}{5}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{\phantom{0}} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
  	
            	\begin{itemize}            
            		\item[$\bullet~~$] $f'$ est décroissante sur [0~;~10], $f$ est donc concave sur cet intervalle.
            		\item[$\bullet~~$] $f'$ est croissante sur [10~;~18], $f$ est donc convexe sur cet intervalle.            
            	\end{itemize}              
                Comme la fonction $f$ est définie pour $x=10$, la fonction admet un point d'inflexion au point d'abscisse 10.
\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%% fin Amérique du Nord 2 juin  2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Centres étrangers 12 juin 2015    
\hypertarget{Centres etrangers}{}

\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small{10 juin 2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
{\Large\textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Centres étrangers~\decofourright\\10 juin  2015}}
\end{center}
\label{Centres etrangers}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun \`a tous les candidats \hfill 4 points}

\begin{enumerate}
	\item %1
		Par lecture graphique la tangente au point d'abscisse A, passe par le point de coordonn\'ees B(5~;~0), le coefficient directeur vaut : $\dfrac{y_{B}-y_{A} }{x_{B}-x_{A} } = \dfrac{0-3 }{5-3 } = -\dfrac{3}{2}$, $f'(3)=-\dfrac{3}{2}$, \textbf{c'est la r\'eponse d.}
	\item %2
		$T$ est une tangente qui coupe la courbe $\mathcal{C}$, courbe repr\'esentative de $f$, en A est donc un point d'inflexion, ainsi $f''(3)=0$, \textbf{c'est la r\'eponse b.}
	\item %3
		Comme $F'(x)=f(x)$ (puisque $F$ est une primitive de $f$) et que pour tout $x \in [1~;~7]$ : $f(x)\geqslant0  \Rightarrow F'(x)  \geqslant 0$ sur ce m\^eme intervalle, la fonction $F$ est donc croissante sur [1~;~7].  \textbf{C'est la r\'eponse a.}
	\item %4
		Par lecture graphique : $3 \leqslant I \leqslant 4$, \textbf{C'est la r\'eponse c.}
\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e \hfill 5 points}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		Au premier janvier 2016, on a perdu 15 \% des v\'elos, soit : $200 \times \left( 1-\dfrac{15}{100}  \right) = 200 \times 0,85$, mais on rajoute 42 nouveaux v\'elos mis en service, soit : $200 \times 0,85+42 = 212$.
	\item %2
		Cette d\'emarche restant la m\^eme si nous passons d'une $n$ \`a une ann\'ee $n+1$, on perd toujours 15 \% des v\'elos, soit encore : $u_n\times 0,85$ auquel on rajoute 42 nouveaux v\'elos, soit encore : $u_n\times 0,85+42=u_{n+1}$.\\
		Ainsi : $u_{n+1}=0,85u_n+42$ avec $u_0=200$, nombre de v\'elos au d\'epart.
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item %a
				On obtient : $U=238$ et $N=4$.\\
				\begin{center}
				\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline	
				$U$& 200	&\textcolor{red}{212}&\textcolor{red}{222}	&\textcolor{red}{231}&\textcolor{red}{238}\\ \hline
				$N$& 0	& 1	& 2	& 3	& 4\\ \hline
				Condition $N < 4$& Vrai&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Vrai}&\textcolor{red}{Faux}\\ \hline
				\end{tabularx}
				\end{center}
			\item %b
				En 2019, nous aurons 238 v\'elos.
		\end{enumerate}
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Nous avons :\\
				$\left.\begin{array}{ccl}
			v_{n+1} 	& = 	&  u_{n+1}-280\\
            			 	& =	& 0,85u_n+42-280\\
            				& =	& 0,85u_n-238\\
            				& = 	& 0,85(u_n-280)\\
            				& = 	& 0,85v_n
				\end{array}\right.$
				$(v_n)$ est donc bien g\'eom\'etrique de raison $q=0,85$.\\
				Le premier terme : $v_0=u_0-280=200-280=-80$.
			\item %b
				Le terme g\'en\'eral d'une suite g\'eom\'etrique de premier terme $v_0$ vaut : $v_n=v_0\times q^n$.\\
				Soit encore : $v_n=-80\times 0,85^n$. 
			\item %c
				Or : $u_n=v_n+280$.\\
				Ainsi : $u_n=-80\times 0,85^n+280$.
			\item %d
				On a $u_n=a_n\times b_n+c_n$, avec :			
				\begin{itemize}
                            		\item[$\bullet~~$] $a_n=-80$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_{n} = -80$
                            		\item[$\bullet~~$] $b_n=0,85^n$, qui est de la forme $q^n$ avec $q \in \left] 0 ; 1 \right[$, ainsi : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_{n} = 0^+$
                            		\item[$\bullet~~$] $c_n=280$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_{n} = 280$                            
                            	\end{itemize}
				Donc : $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}u_{n} = 280$.
				
Le nombre de v\'elos tendra vers 280 quand le nombre d'ann\'ees \'ecoul\'ees sera grand.				
		\end{enumerate}
	\item %5
		Au 31 d\'ecembre 2019 cinq années se sont écoulées, il faudra donc calculer le nombre de v\'elos pour $n$ variant de 0 \`a 4 avec $u_4 \approx 238$.
		
On a : $u_0+ \cdots + u_4 \approx 200 + 212 + 222 + 231 + 238 = \np{1103}$ v\'elos.
		
Le co\^ut unitaire d'un v\'elo est de 300 \euro, le co\^ut total est donc de : $\np{1103} \times 300 = \np{330900}$~\euro.
\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Candidats ayant suivi l'enseignement de sp\'ecialit\'e  \hfill 5 points}

\medskip

\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
\begin{pspicture}(10,9)
\cnodeput(8,7.5){A}{K}
\cnodeput(0.5,5){B}{B}
\cnodeput(3.5,5){C}{O}
\cnodeput(9.2,5){D}{H}
\cnodeput(1,2.5){E}{G}
\cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
\cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
\cnodeput(8,0.5){H}{E}
\ncline{B}{C} \ncline{B}{E} \ncline{A}{C} 
\ncline{A}{D} \ncline{C}{D} \ncline{C}{E} 
\ncline{D}{F} \ncline{C}{F} \ncline{E}{F} 
\ncline{F}{H} \ncline{G}{H} \ncline{E}{G} 
\end{pspicture}}\hfill
\parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{l}
\textbf{L\'egende :}\\
B : Bond Street\\
E : Embankment\\
G : Green Park\\
H : Holborn\\
K : King's Cross St Pancras\\
O : Oxford Circus\\
P : Piccadilly Circus\\
W : Westminster
\end{tabular}}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Le graphe $\Gamma$ est connexe, en effet la cha\^ine suivante : B-O-K-H-P-E-W-G passe par tous les sommets, ainsi deux sommets quelconques seront toujours reli\'es par une cha\^ine.
			\item %b
				Le graphe n'est pas complet : W et B ne sont pas adjacents, par exemple. 
		\end{enumerate}
	\item %2
	Voici le tableau des sommets degr\'es :\\
		\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
Sommets	&W	&B	&E	&G	&H	&O	&P	&K\\ \hline
Degr\'es	&2	&2	&2	&4	&3	&5	&4	&2\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
                                        
%La sommes des degr\'es vaut : 24, or : $\dfrac{\sum \text{Degr\'{e}s}}{2} = \text{nombre d'ar\^{e}tes}$.
                    %Le nombre d'ar\^etes vaut donc : 12
                    Le graphe a exactement deux sommets de degr\'e impair, \'etant connexe, il admet une cha\^ine Eul\'erienne d'apr\`es le th\'eor\`eme d'Euler.
                    
Voici un exemple de cha\^ine eul\'erienne :  H-O-B-G-W-E-P-G-O-P-H-K-O 
         \item %3
La matrice d'adjacence de $\Gamma$ vaut :\\
                 %%M=[[0;0;1;0;0;1;0;0];[0;0;0;0;0;0;1;1];[1;0;0;0;0;1;1;1];[0;0;0;0;1;1;1;0];[0;0;0;1;0;1;0;0];[1;0;1;1;1;0;1;0];[0;1;1;1;0;1;0;0];[0;1;1;0;0;0;0;0]]
$M=\begin{pmatrix}
0	&0	&1	&0	&0	&1	&0	&0\\ 
0	&0	&0	&0	&0	&0	&1	&1\\ 
1	&0	&0	&0	&0	&1	&1	&1\\ 
0	&0	&0	&0	&1	&1	&1	&0\\ 
0	&0	&0	&1	&0	&1	&0	&0\\ 
1	&0	&1	&1	&1	&0	&1	&0\\ 
0	&1	&1	&1	&0	&1	&0	&0\\ 
0	&1	&1	&0	&0	&0	&0	&0
\end{pmatrix}$
         \item %4
         	\begin{enumerate}
			\item %a
				Nous lisons dans $M^3$, le coefficient $m_{4}^{3}=4$, il y a donc 4 chemins de longueurs 3 reliant H \`a G.
			\item %b
Voici les quatre chemins possibles de longueurs 3 : \\
G-B-O-H~~~~
G-O-P-H~~~~
G-P-O-H~~~~
G-O-K-H~~~~
		\end{enumerate}
	\item %5
Nous allons utiliser pour cela l'algorithme de Dijsktra : 
	    
\parbox{0.6\linewidth}{\psset{unit=0.7cm}
 \begin{pspicture}(10,9)
 \cnodeput(8,7.5){A}{K}
 \cnodeput(0.5,5){B}{B}
 \cnodeput(3.5,5){C}{O}
 \cnodeput(9.2,5){D}{H}
 \cnodeput(1,2.5){E}{G}
 \cnodeput(5.5,2.5){F}{P}
 \cnodeput(4.2,0.5){G}{W}
 \cnodeput(8,0.5){H}{E}
 \ncline{B}{C}\ncput*{3} \ncline{B}{E}\ncput*{1} \ncline{A}{C}\ncput*{5} 
 \ncline{A}{D}\ncput*{3} \ncline{C}{D}\ncput*{1} \ncline{C}{E}\ncput*{2} 
 \ncline{D}{F}\ncput*{4} \ncline{C}{F}\ncput*{1} \ncline{E}{F}\ncput*{2} 
 \ncline{F}{H}\ncput*{4} \ncline{G}{H}\ncput*{2} \ncline{E}{G}\ncput*{3} 
 \end{pspicture}}\hfill
 \parbox{0.38\linewidth}{\begin{tabular}{l}
 \textbf{L\'egende :}\\
 B : Bond Street\\
 E : Embankment\\
 G : Green Park\\
 H : Holborn\\
 K : King's Cross St Pancras\\
 O : Oxford Circus\\
 P : Piccadilly Circus\\
 W : Westminster
 \end{tabular}}

 \begin{center}
 \begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
 W	&B	&E	&G	&H	&O	&P	&K&	Sommet s\'electionn\'e\\ \hline
 0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&	W(0)\\ \hline
             | 	& $\infty$ 	&2 (W)	&3 (W)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&E(2)\\ \hline
             | 	& $\infty$ 	& | 	&3 (W)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&6 (E)	& $\infty$ 	&G(3)\\ \hline
             | 	&4 (G)	& | 	& | 	& $\infty$ 	&5 (G)	&5 (G)	& $\infty$ 	&B(4)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	& $\infty$ 	&5 (G)	&5 (G)	& $\infty$ 	&O(5)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	&6 (O)	& | 	&5 (G)	&10 (O)	&P(5)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	&6 (O)	& | 	& | 	&10 (O)	&H(6)\\ \hline
             | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	&9 (H)	&K(9)\\ \hline
            \end{tabular}
            \end{center}
                        
             Le temps le plus court de Westminster à la station King’s Cross St Pancras vaut : 9 minutes. Le chemin est : W-G-O-H-K
\end{enumerate}
           	

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill Commun \`a tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip


\subsubsection*{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item%1
		Dans un premier temps : 
		\begin{itemize}

            		\item[$\bullet~~$] $P(\overline{S})=1-P(S)$.
            		\item[$\bullet~~$] $P _{\overline{B}}(S)=1-P _{B}(S)=0,05$
            		\item[$\bullet~~$] $\overline{S}=1-P _{\overline{B}}(S)=0,10$
            
            	\end{itemize}
		Voici l'arbre de probabilit\'e :\\	
		\begin{center}
                 \newrgbcolor{bleu}{0.1 0.05 .5}
                 \pstree[treemode=R,nodesep=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
                {
                	\pstree{\TR{$B$}\naput{$P(B)=0,22$}}
                	  { 
                		  \TR{$S$}\naput{$P _{B}(S)=0,95$}
                		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$P _{\overline{B}}(S)=0,05$}	   
                	  }
                	\pstree{\TR{$\overline{B}$}\nbput{$P\left(\overline{B}\right)=0,78$}}
                	  {
                		  \TR{$S$}\naput{$P _{\overline{ B }}(S)=0,90$}
                		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$P _{\overline{B}}\left(\overline{S}\right)=0,10$}	   
                	  }
                }
                \end{center}
\medskip

	\item %2
		Ici, nous calculons :
		$P(S \cap B)=P_B(S)\times P(B)=0,95\times 0,22 = 0,209$.
	\item %3
		En utilisant la formule des probabilit\'es totales, nous avons :\\
		$\left.\begin{array}{ccl}
			P(S)	& = 	&  P(S \cap B) + P\left(S \cap \overline{B}\right)\\
			 	& =	& 0,209 + P_{\overline{B}}(S)\times P \left(\overline{B}\right)\\
				& =	& 0,209 + 0,90\times 0,78\\
				& = 	& 0,209 + 0,702\\
				& = 	& 0,911
		\end{array}\right.$
	\item %4
		Ici on calcule : $P_S\left(\overline{B}\right) = \dfrac{P \left(S \cap \overline{B}\right)}{P(S)} = \dfrac{0,702}{0,911}\approx 0,771$.
		
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

$X$ suit la loi normale : $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, avec $\mu=300$ et $\sigma=2$.

\begin{enumerate}
	\item %1
On calcule ici : $P(300-4\leqslant X\leqslant300+4)=P(\mu-2\sigma\leqslant X  \leqslant \mu+2\sigma)\approx 0,95$. C'est un r\'esultat de cours.
	\item %2
Pour cela, on utilise sa calculatrice, en utilisant la fonction : FracNormale$(0.01,\mu,\sigma)$ ou invNorm$(0.01,\mu,\sigma)$.
		
On trouve : $a \approx 295$ g.
\end{enumerate}

\medskip

%\newpage

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

Nous avons $p=0,9$  et :
\begin{itemize}
		\item[$\bullet~~$] $n = 130$ et $n \geqslant 30$.
		\item[$\bullet~~$] $n\times p = 130\times 0,9 = 117  \geqslant 5$.
		\item[$\bullet~~$] $n\times (1 - p) = 130\times (1 - 0,9) = 13  \geqslant 5$.
\end{itemize}
L'intervalle de fluctuation asymptotiques des fr\'equences  au seuil de 95 \% vaut : 

\[I = \left[ p - 1,96 \dfrac{\sqrt{ p(1-p ) }}{\sqrt{ n }} ~;~p + 1,96 \dfrac{\sqrt{ p(1-p ) }}{\sqrt{ n }} \right]\]

On trouve :

\[ I = [0,848~;~0,952].\]

La fr\'equence observ\'ee vaut : $f = \dfrac{115}{130} \approx \np{0,8846} \approx 0,885$. Donc  $f \in I$,  on ne peut pas  remettre l'affirmation du directeur commercial en cause. La fréquence  appartieni à cet intervalle avec une probabilité de 0,95.

\medskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun \`a tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		$f$ d\'efinie et d\'erivable sur [1 ; 11] et :\\
		$$f'(x)=-0,5\times2x+2+15\times\dfrac{1}{x}=-x+2+\dfrac{15}{x}=\dfrac{-x^{2}+2x+15}{x}$$
	\item %2
		On cherche dans un premier temps les racines de : $  -x^2 + 2x +  15$ (*).\\
		$$\Delta=b^2-4ac= 2^2-4 \times (-1) \times 15= 64$$
		$\bullet$ Comme $\Delta>0$, (*) admet deux solutions distinctes :
		$$x_1=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 -\sqrt{64}}{2\times (-1)}= 5 \text{~~~et : }	x_2=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}=\dfrac{-2 +\sqrt{64 }}{2\times (-1)}= -3$$
		$\bullet$ $a<0$, nous en d\'eduisons le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ :
						
%		\begin{center} 
%                \begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
%                \tkzTabInit[lgt=3,espcl=3,deltacl=1.5]{$x$/1,$-x^2+2x+15$/1,$x$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$1$,$5$,$11$} 
%                \tkzTabLine{,+,z,-}
%                \tkzTabLine{,+,t,+}
%                \tkzTabLine{,+,z,-}
%                \tkzTabVar{-/$\dfrac{3}{2}$,+/$-\dfrac{5}{2}+15\ln(5)$,-/$-\dfrac{77}{2}+15\ln(11)$}
%                \end{tikzpicture}
%                \end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 1  & \hspace*{\esp} & 5 & \hspace*{\esp} & 11 \\ 
\hline
-x^2+2x+15 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
x &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{-\dfrac{5\rule{0pt}{12pt}}{2}+15\ln(5)}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\dfrac{3}{2}} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-\dfrac{77}{2}+15\ln(11)} \rule[-13pt]{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}	
                
                $f(1)=1,5$; $f(5)=-\dfrac{5}{2}+15\ln(5)\approx 21,642$ et $f(11)=-\dfrac{77}{2}+15\ln(11)\approx -2,53$.
         \item %3
         	\begin{enumerate}
			\item %a
				Sur les intervalles :
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] [1~;~5], la fonction $f$ admet un minimum  $f(1)=1,5$, ainsi sur cet intervalle, $f(x)=0$ n'admet pas de solution.
					\item[$\bullet~~$] [5~;~11], la fonction $f$ est strictement d\'ecroissante et continue (elle est d\'erivable) de plus 0 est compris entre $f(5)$ et $f(11)$, l'\'equation $f(x) = 0$ admet donc une solution unique sur cet intervalle d'apr\`es le th\'eor\`eme des valeurs interm\'edaire et la stricte monotonie de la fonction $f$.
				\end{itemize}
				On en d\'eduit que sur l'intervalle [1~;~11], $f(x)=0$ admet une solution unique que l'on appellera $\alpha$.
			\item %b
				Avec la calculatrice, nous trouvons \`a $10^{-2}$ pr\`es : $\alpha \approx 10,66$.
			\item %c
D'apr\`es le tableau de variations de $f$ sur l'intervalle [1~;~11] :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $f(x) = 0 \iff x = \alpha $.
\item[$\bullet~~$] $f(x) > 0 \iff x \in [1~;~\alpha[ $.
\item[$\bullet~~$] $f(x) < 0 \iff x \in ]\alpha~;~11] $.
\end{itemize}				
		\end{enumerate}
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Pour cela, nous allons d\'eriver $F$ :
				
\[F'(x) = -\dfrac{1}{6} \times 3~x^{2}+2~x-15 +15 \times \ln\left( x \right)+15~x \times \dfrac{1}{x} = -0,5~x^{2}+2~x - 15 + 15~\ln\left(x \right) + 15 = f(x).\]

Comme $F'(x)=f(x)$, $F$ est bien une primitive de $f$.
			\item %b
$\displaystyle\int_{1}^{11}f(x)\text{d}x=[F(x)]_{1}^{11}=F(11)-F(1)=-\dfrac{1595}{6}+165 \times \ln\left( 11 \right)-\left( -\dfrac{85}{6} \right)=-\dfrac{755}{3}+165 \times \ln\left( 11 \right)\approx 143,98$
				
			\item %c
La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle sur [1~;~11] vaut à $10^{-2}$ près : $$\mu  = \dfrac{1}{b~-~a }\displaystyle\int_{a}^{b}f(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{11~-~1 }\displaystyle\int_{1}^{11}f(x)\:\text{d}x\approx \dfrac{143,98}{10} \approx 14,40$$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}
		
\medskip
		
\subsubsection*{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		Il faut que $f(x) \geqslant 0 \Leftrightarrow x \in \left[ 1~;~\alpha  \right]$, et tout cela en centaines de chaises. La quantit\'e de chaises doit donc \^etre comprise entre 100 et \np{1066}~chaises environ.
	\item %2
$f$ admet sont maximum $-\dfrac{5}{2}+15\ln(5)$ qui est atteint pour $x=5$.
		
Pour 500 chaises, le b\'en\'efice mensuel maximal vaut environ 21,642 milliers d'euros.
		
C'est \`a dire : 21~642 \euro.
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%% fin Centres étrangers 12 juin 2015 

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Polynésie  12 juin 2015    
\hypertarget{Polynesie}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{12 juin  2015}}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Polynésie~\decofourright\\12 juin  2015}}
\end{center}
\label{Polynesie}

%Corrigé : Philippe Logel

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
		La fonction $g$ est définie est dérivable pour $x \in \R_{+}^{\star}$ : 
		$g'(x) = 6\text{e}^{3x} + \dfrac{1}{2x}$, c'est \textbf{la réponse c.}
	\item ~%2	
				
		\parbox{0.48\linewidth}{La fonction $f$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 0,
                 en effet la tangente coupe la courbe \textit{C} au point d'abscisse O, de plus la courbe représentative se trouve au dessus pour $x \in [0~;~4]$, elle est donc convexe sur cet intervalle. C'est \textbf{la réponse d.}
                }
                \parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=1cm}
                %\iffalse
                \begin{pspicture*}(-2.5,-1)(4.5,3.5)
                \psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=cyan]
                \psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-2.5,-0.99)(4.5,3.5)
                \psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(0,0)(4.5,3.5)
                \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-2}{4}{2 x add 2.71828 x exp div}
                \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-2}{3}{2 x sub}
                \uput[u](3.5,0.2){$C$}\uput[l](2.8,-0.8){$T$}
                \end{pspicture*}}
                %\fi
        \item %3
        		La valeur ne peut être un nombre décimal, $n$ est un entier naturel. En programmant cet algorithme, on trouve $n=8$. C'est \textbf{la réponse c.}
	\item %4
		$X$ suit une loi uniforme sur [0~;~5], l'espérance du loi uniforme sur [a~;~b] vaut : $E(X)=\dfrac{a+b}{2}=\dfrac{0+5}{2}=\dfrac{5}{2}$.\\
		C'est \textbf{la réponse c.}

		
		
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip 

\textbf{Partie A}
\begin{enumerate}
	%\setcounter{enumi}{1}

	\item %1
L'intervalle de confiance au niveau de confiance de 95 \% vaut $\left[ f-\dfrac{1}{\sqrt{ n }} ~;~ f+\dfrac{1}{\sqrt{ n }} \right]$.
		\begin{enumerate}
			\item %a
Pour la partie champ traité, la fréquence de fruits abimés vaut $f = \dfrac{18}{100}$, l'intervalle vaut ici : $$\left[  \dfrac{18}{100}-\dfrac{1}{\sqrt{ 100 }} ~;~  \dfrac{18}{100}+\dfrac{1}{\sqrt{ 100 }} \right]$$
				On trouve :
				 
\[I_T=[0,08~;~0,28].\]

			\item%b
Pour la partie champ non traité, la fréquence de fruits abimés vaut  $f = \dfrac{32}{100}$ l'intervalle vaut ici : $$\left[  \dfrac{32}{100}-\dfrac{1}{\sqrt{ 100 }} ~;~  \dfrac{32}{100}+\dfrac{1}{\sqrt{ 100 }} \right]$$
				On trouve : $$I_{\overline{T}}=[ 0,22~;~0,42 ]$$
		\end{enumerate} 

	\item %2
La proportion, dans le cas du champ traité, la proportion de fruits abimés oscillera entre 8\,\% et 28\,\% avec une probabilité de 0,95.
		
La proportion, dans le cas du champ non traité, la proportion de fruits abimés oscillera entre 22\,\% et 42\,\% avec une probabilité de 0,95.
		
Le traitement semble plus efficace.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item %1
Dans un premier temps :
		
\parbox{0.48\linewidth}{
            		
            		\begin{itemize}
            			\item[$\bullet~~$] $P _{T}(A)=0,12$
            			\item[$\bullet~~$] $P _{T}(\overline{A})=1-P _{T}(A)=0,88$
            			\item[$\bullet~~$] $P _{\overline{T}}(A)=0,30$
            			\item[$\bullet~~$] $P _{\overline{T}}(\overline{A})=1-P _{\overline{T}}(A)=0,70$
            			\item[$\bullet~~$] $P (T)=\dfrac{1}{4}=0,25$
            			\item[$\bullet~~$] $P (\overline{T})=1-P(T)=0,75$
            		\end{itemize}
                }
		\parbox{0.48\linewidth}{
		Voici l'arbre de probabilité traduisant cette situation :
\begin{center}
         \pstree[treemode=R,nodesep=5pt,levelsep=3.5cm,nrot=:U]{\TR{}}
        {
        	\pstree{\TR{$T$}\naput{$P(T)=0,25$}}
        	  { 
        		  \TR{$A$}\naput{$P _{T}(A)=0,12$}
        		  \TR{$\overline{A}$}\nbput{$P _{T}(\overline{A})=0,88$}	   
        	  }
        	\pstree{\TR{$\overline{T}$}\nbput{$P\left(\overline{T}\right)=0,75$}}
        	  {
        		  \TR{$A$}\naput{$P _{\overline{ T }}(A)=0,30$}
        		  \TR{$\overline{A}$}\nbput{$P _{\overline{T}}\left(\overline{A}\right)=0,70$}	   
                	  }
                }
                \end{center}
                }
         \item %2
         	\begin{enumerate}
			\item %a
				$P(T \cap A)=P_{T}(A)\times P(T)=0,12 \times 0,25=0,03$.
			\item %b
				En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
				
$\left.\begin{array}{ccl}
                    	P(A)	& = 	&  P(A \cap T) + P\left(A \cap \overline{T}\right)\\
                    			 	& =	& P_{T}(A)\times P(T) + P_{\overline{T}}(A)\times P \left(\overline{T}\right)\\
                    				& =	& 0,12\times 0,25 + 0,3 \times 0,75\\
                    				& = 	& 0,03 + 0,225\\
                    				& = 	& 0,255
                    		\end{array}\right.$
		
Ainsi : $P(A)=0,255$.
		\end{enumerate}
	\item %3
		On calcule ici  : $P_A(T)=\dfrac{P(T \cap A)}{P(A)}=\dfrac{0,03}{0,255}\approx 0,12$ et $0,12 \ne 0,25$. Cette affirmation est donc fausse. %0,1176470588235294117647
	\item %4
		Nous sommes dans le cas d'une expérience de Bernoulli (Les fruits sont abimés ou non).
		
		Nous répétons cette expérience de manière indépendante avec remise (en effet chaque fruit ne dépend pas du précédent, bien que ...), nous sommes dans le cas d'un schéma de Bernoulli.
		
		Comme $X$ est une variable aléatoire comptant le nombre de fruits abimés nous pouvons assimiler cette loi à une loi binomiale : $X=\mathcal{B}(n,p)$, o\`u $n=5$ et $p=P(A) = 0,255$.
		
		Nous calculons ici : $P(X \leqslant 1)=\begin{pmatrix}
   5 \\
 0   
\end{pmatrix} \times 0,255^{0} \times (1-0,255 )^{5}+\begin{pmatrix}
   5 \\
 1   
\end{pmatrix} \times 0,255^{1} \times (1-0,255 )^{4} \approx 0,622$.\\Nous avons utilisé ici la calculatrice avec : binomcdf(5,0.255,1).

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item %1
		%H=[[8;10;14];[6;6;10];[12;10;18]] et C=[[25];[20];[15]]
		\begin{enumerate}
			\item %a
				$P = H \times C = \begin{pmatrix}
8 & 10 & 14 \\
6 & 6 & 10 \\
12 & 10 & 18   
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
25 \\
20 \\
15   
 \end{pmatrix} =  \begin{pmatrix}
8\times 25+10 \times 20+14\times 15 \\
6 \times 25 + 6 \times 20 + 10\times 15 \\
12\times 25+10\times 20+18\times 15   
 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
610 \\
420 \\
770   
 \end{pmatrix}$
                         \item %b
                         		Le premier coefficient représente 610 \euro co\^ut du modèle 1 après passage par les trois postes de travail : 8h multiplié par 25 \euro/h (co\^ut horaire du poste 1) plus 10h multiplié par 20 \euro/h (co\^ut horaire du poste 2) plus 14 h multiplié par 15 \euro/h (co\^ut horaire du poste 3). \\
				De même pour les autres coefficients.
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
            			Ici, nous ne connaissons pas le co\^ut unitaire par poste, $a$, $b$ et $c$ désignent les co\^uts horaires par postes de travail respectif, Poste 1, Poste 2 et Poste 3.\\
	        			Pour le modèle 1 : \\
                                Le co\^ut du modèle 1 après passage par les trois postes de travail : 8h multiplié par $a$ \euro/h (co\^ut horaire du poste 1) plus 10h multiplié par $b$ \euro/h (co\^ut horaire du poste 2) plus 14 h multiplié par $c$ \euro/h (co\^ut horaire du poste 3), et il vaut 500\euro\\
                                De même pour les autres modèles.\\
                                On en déduit que : %[[8*a+10*b+14*c];[6*a+6*b+10*c];[12*a+10*b+18*c]]=[[500];[350];[650]]<=>H*[[a];[b];[c]]=[[500];[350];[650]]
 $\begin{pmatrix}
    8 \times a+10 \times b+14 \times c \\
  6 \times a+6 \times b+10 \times c \\
  12 \times a+10 \times b+18 \times c   
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    500 \\
  350 \\
  650   
 \end{pmatrix} \Leftrightarrow H \times \begin{pmatrix}
    a \\
  b \\
  c   
 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
    500 \\
  350 \\
  650   
 \end{pmatrix}$.
			\item %b
				%[[a];[b];[c]]=H^(-1)*[[500];[350];[650]]	
				%
Pour déterminer les réels $a$, $b$ et $c$, il suffit de calculer :
				$\begin{pmatrix}
a \\
b \\
c   
\end{pmatrix}=H^{-1}\times \begin{pmatrix}
500 \\
350 \\
650   
\end{pmatrix}$.\\
			%H^(-1)=[[ 1/2 ; -( 5/2 ) ; 1 ] ; [ 3/4 ; -( 3/2 ) ; 1/4 ] ; [ -( 3/4 ) ; 5/2 ; -( 3/4 ) ]]
			$H$ est bien inversible : $H^{-1}=\begin{pmatrix}
   \dfrac{1}{2} & -\dfrac{5}{2} & 1 \\
 \dfrac{3}{4} & -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{4} \\
 -\dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{3}{4}   
\end{pmatrix}$

			Et : $\begin{pmatrix}
 a \\
 b \\
 c   
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
   \dfrac{1}{2} & -\dfrac{5}{2} & 1 \\
 \dfrac{3}{4} & -\dfrac{3}{2} & \dfrac{1}{4} \\
 -\dfrac{3}{4} & \dfrac{5}{2} & -\dfrac{3}{4}   
\end{pmatrix}\times \begin{pmatrix}
   500 \\
 350 \\
 650   
\end{pmatrix}	=\begin{pmatrix}
 25 \\
 \dfrac{25}{2} \\
 \dfrac{25}{2}   
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
   25 \\
 12,5 \\
 12,5   
\end{pmatrix}$

Le co\^ut horaire est de 25 \euro/h pour le  poste 1, 12,5 \euro/h pour le poste 2 et de 12,5\euro/h pour le poste 3.
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Le graphe probabiliste est  :

\vspace*{0.5cm}

\begin{center}
            
	\begin{psmatrix}[mnode=circle,rowsep=0.4,colsep=2.0]
 {A} &      & {E} 
 \end{psmatrix}
 
 \psset{arrows=->,
        shortput=nab}
                                     
 \ncarc[arcangle=20]{1,1}{1,3}^{0,30}
 \ncarc[arcangle=20]{1,3}{1,1}^{0,50}
 %\ncurv[angleA=90,angleB=-90]{1,1}{1,1}
 \nccurve[angleA=130,angleB=230,ncurv=10]{1,1}{1,1}\Bput{0,70}
 %\nccircle[angleA=90,nodesep=3pt]{->}{1,1}{.7cm}\nbput{0,64}
 %\nccircle[angleA=-90,nodesep=3pt]{->}{1,3}{.7cm}\nbput{0,86}
 \nccurve[angleA=50,angleB=310,ncurv=10]{<-}{1,3}{1,3}\Aput{0,50}            
\end{center}

\vspace*{0.5cm}

			\item %b
La matrice de transition vaut :
				%M=[[0,7;0,3];[0,5;0,5]]
				$M = \begin{pmatrix}
   \textcolor{red}{0,7} & 0,3 \\
 0,5 & \textcolor{red}{0,5   }
\end{pmatrix}$
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
Les spots sont illuminés de la manière suivante, les spots s'allument tous à 22h00, il y a donc 100 \% des postes allumés au départ et donc 0 \% qui sont éteints. L'état initial et donc 1 en terme de probabilité pour les postes allumés et 0 pour les postes éteints.

Ainsi : $a_0=1$ et $b_0=0$.
				
De plus : $P_{n+1}=P_n\times M$, on en déduit que : $P_n=P_0 \times M^n$
			\item %b
Nous savons que : %[[1;0]]*[[0,7;0,3];[0,5;0,5]]^3

\[P_3=P_0 \times M^{3} = \begin{pmatrix}
   1 & 0   
\end{pmatrix} \times \begin{pmatrix}
   0,7 & 0,3 \\
 0,5 & 0,5   
\end{pmatrix}^{3} = \begin{pmatrix}
   \dfrac{157}{250} & \dfrac{93}{250}   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
   0,628 & 0,372   
\end{pmatrix}\]

La probabilité que les spots soient éteints au bout de 30 secondes soit encore $3\times10$ est donnée par $b_3=0,372$. 				
		\end{enumerate}		
	\item %3
		Rechercher l'état stable c'est rechercher les coefficients $a$ et $b$ de : $P = \begin{pmatrix}
   a & b   
\end{pmatrix}$, tels que $a+b=1$ avec : $P=P\times M$.\\
%P=P\times M <=> [[a;b]]=[[a*0,7+b*0,5];[a*0,3+b*0,5]]
$P=P\times M   \Leftrightarrow \begin{pmatrix}
a & b   
\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}
a \times 0,7+b \times 0,5 \\
a \times 0,3+b \times 0,5   
\end{pmatrix}$
Or deux matrices sont égales, si et seulement si leurs coefficients sont égaux, on en déduit le système suivant :

%openbrace((0,7a+0,5b=a) crl (0,3a+0,5b=b))
$\left\{ {\Large\substack{0,7a+0,5b = a \\0,3a+0,5b = b}} \right.$
%<=>openbrace((-0,3a+0,5b=0) crl (0,3a-0,5b=0))
$  \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{-0,3a+0,5b = 0 \\0,3a-0,5b  = 0}} \right.$\\
Nous pouvons éliminer une des deux lignes, car la deuxième ligne est la première multipliée par (-1). Comme $a+b=1$, on en déduit le nouveau système :

%openbrace((0,3a-0,5b=0) crl (a+b=1))
$\left\{ {\Large\substack{0,3a-0,5b  = 0 \\a+b = 1}} \right.$
%<=>openbrace((0,3a-0,5b=0) crl (a=1-b))
$  \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{0,3a-0,5b  = 0 \\a = 1-b }} \right.$

%<=>openbrace((0,3(1-b)-0,5b=0) crl (a=1-b))
$  \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{0,3(1-b )-0,5b  = 0 \\a = 1-b }} \right.$
%<=>openbrace((-0,8b+0,3=0) crl (a=1-b))
$  \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{-0,8~b+0,3 = 0 \\a = 1-b }} \right.$

%<=>openbrace((b=3/8) crl (a=1-3/8))
$  \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{b = 0,375 \\a = 1-0,375}} \right.$
%<=>openbrace((b=3/8) crl (a=5/8))
$  \Leftrightarrow \left\{ {\Large\substack{a = 0,625\\b = 0,375}} \right.$.

L'état stable vaut : $P = \begin{pmatrix}0,625 & 0,375\end{pmatrix}$
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\begin{enumerate}
	\item %1
		Toutes les semaines, la concentration baisse de 10 \%, soit : $C_n \times \left(1-\dfrac{1}{100}\right)$ mg.l$^{-1}$.\\
		De plus, chaque semaine le distributeur automatique déverse : 10 mg.l$^{-1}$, soit $C_n\times 0,9+10$.\\
		Au final, d'une semaine à l'autre, la concentration vaudra : $C_{n+1}=0,9C_n+10$.
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
				On a :\\
				$\left.\begin{array}{ccl}
V_{n+1} 	& = 	&  C_{n+1}-100\\
 	& =	& 0,9C_n+10-100\\
	& =	& 0,9C_n-90\\
	& = 	& 0,9(C_n-100)\\
	& = 	& 0,9Vn
                    		\end{array}\right.$
		
$(V_n)$ est bien géométrique de raison $q=0,9$.
			\item %b
Le terme général de $(V_n)$ de premier terme $V_0=C_0-100=160-100=60$, vaut : 
$V_n=V_0 \times q^n$

Ainsi : $V_n=60 \times 0,9^n$

			\item %c
Comme $V_n = C_n-100 \Leftrightarrow C_n+V_n+100$.

Nous en déduisons que :

\[C_n =0,9^n\times 60+100\]
				
		\end{enumerate}
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item %a
				$C_n=a_n\times b_n+c_n$ avec :
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] $a_n=0,9^n$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}a_{n} = 0^+$, car $a_n$ est de la forme $q^n$ avec $q \in \left] 0~; ~1 \right[$
					\item[$\bullet~~$] $b_n=60$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}b_{n} = 60$
					\item[$\bullet~~$] $c_n=100$, $\displaystyle\lim_{n \to +\infty}c_{n} = 100$
				\end{itemize}
				$\displaystyle\lim_{n \to +\infty}C_{n} = 100$\\
				La concentration tendra donc vers 100 mg.l$^{-1}$.
			\item %b
				Ici, on résout :
				
$\left.\begin{array}{c c l l}
C_n < 140 	& \Leftrightarrow &  0,9^n\times 60+100 < 140&\\
	 		& \Leftrightarrow	& 0,9^n\times 60 < 40&\\
			& \Leftrightarrow	& 0,9^n < \dfrac{2}{3}&\\
			& \Leftrightarrow 	& \ln(0,9^n) < \ln\left(\dfrac{2}{3}\right) & \text{(en effet : $a \leqslant b \Leftrightarrow \ln a \leqslant \ln b$)}\\
        	& \Leftrightarrow 	& n\ln(0,9) w \ln\left(\dfrac{2}{3}\right)&\\
			& \Leftrightarrow 	& n > \ln\left(\dfrac{2}{3}\right) \div \ln(0,9) & \text{(en effet : $\ln 0,9 < 0$)}\\
			& \Leftrightarrow 	& n \geqslant 4 & \text{(en effet : $\ln\left(\dfrac{2}{3}\right) \div \ln(0,9)\approx 3,848$)}
		\end{array}\right.$
		
Au bout de la quatrième semaine, la concentration sera inférieure ou égale à 140 mg.l$^{-1}$.
		\end{enumerate}
	\item %4
		Non, la concentration sera inférieure à 140 mg.l$^{-1}$ au bout de 4 semaines,  la concentration recommandée du produit, exprimée en mg.l$^{-1}$ doit être comprise entre 140~mg.l$^{-1}$ et 160 mg.l$^{-1}$ et elle doit se conformer à cela pendant une durée de 6 semaines au moins.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Ici $(C_n)$ est la suite définie par la relation de récurrence suivante : $C_{n+1}=C_n\times 0,9 +12$, avec $C_0=160$.

En calculant les premiers termes, on obtient :

\[\text{$C_1= 156$,  $C_2= 152,4$, $C_3= 149,16$,  $C_4 = 146,244$, $C_5= \np{143,6196}$, $C_6= \np{141,25764}$ et $C_7 = \np{139,131876}$}.\]

Au bout de 7 semaines, la concentration sera à nouveau inférieure à 140 mg.l$^{-1}$, mais elle doit se conformer à cela pendant une durée de 6 semaines au moins. Nous sommes donc tout juste bon.

%\newpage
\bigskip

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item %1
		Par lecture graphique, le nombre de personne ayant choisi la formule privilège est : $P(2)=5$ dizaines de milliers de passagers, soit encore : \np{50000}~passagers.
	\item %2
		En 2015 :
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $P(15)\approx 3,15$ dizaines de milliers de passagers,%3,149361205103591828938=3+3e^(-0,2*15)
			\item[$\bullet~~$] $A(15)\approx 5,55$ dizaines de milliers de passagers,%5,545177444479562475338=2*ln(15+1)
		\end{itemize}
L'écart vaudra : $A(15)-P(15)\approx 5,55-3,15=2,4$ dizaines de milliers de passagers.
	\item %3
En 2006, il y aura autant de passagers ayant choisi la formule \textit{Privilège} que la formule \textit{Avantage}.
	\item %4
Le nombre de passagers pour  la formule \textit{Privilège}, de 2007 à 2015 correspond à : $N = \displaystyle\int_{7}^{15}P(x)\text{d}x$.

En unité d'aire de 1 carreau, on a : $24 \leqslant N \leqslant 32$ en dizaines de milliers de passagers.

Le nombre total de passagers ayant choisi la formule \textit{Privilège} durant la période entre 2007 et 2015 sera compris entre \np{240000} et \np{320000}.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
				$E' (x) = \dfrac{2}{x + 1} + 0,6\text{e}^{-0,2x}$,
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] Comme : $x \geqslant 0 \Rightarrow x+1 > 0 \Rightarrow \dfrac{1}{x+1} > 0 \Rightarrow \dfrac{2}{x+1} > 0$
					\item[$\bullet~~$] De plus : $\e^{A} > 0$ pour tout $A$ réel, on en déduit que : $\text{e}^{-0,2x}>0  \Rightarrow 0,6\text{e}^{-0,2x}>0$.
				\end{itemize}	
				Ainsi : $E'(x)>0$ pour $x \in [0~;~16]$.
			\item %b
				On en déduit le tableau de signe de $E'(x)$ et les variations de $E$ :
				%[lgt=3,espcl=3,deltacl=1.5]
                                    % lgt : largeur première colonne espcl : largeur entre valeurs deltacl : espace au début et à la fin.
%  \begin{center} 
%  \begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
%  \tkzTabInit[lgt=1,espcl=6,deltacl=2]{$x$/1,$E'(x)$/1,$E$/2}{$0$,$16$} 
%  \tkzTabLine{,+}
%  \tkzTabVar{-/$-6$,+/$-3\e^{-\frac{16}{5}}+2\ln\left( 17 \right)-3$}
%  \end{tikzpicture}
%  \end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
     % augmentation de la hauteur de toutes les lignes
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
     % paramètres
\def\esp{3cm}
     % pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}
     % mettre au moins 12pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & 16 \\
 \hline
E'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{-3 \e^{-\frac{16}{5}}+2\ln\left( 17 \right)-3}  \rule{0pt}{15pt} \\
E & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{-6} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}
                                    
                                    %E(x)=A(x)-P(x)=2ln(x+1)-(3+3e^(-0,2x))
                                    %E(0)=A(0)-P(0)=2ln(0+1)-(3+3e^(-0,2*0))
                                    $E(0) = A(0)-P(0)  = 2~\ln\left( 0+1 \right)-\left( 3+3 e^{-0,2 \times 0} \right)  = -6$\\
                                    %E(16)=A(16)-P(16)=2ln(16+1)-(3+3e^(-0,2*16))
                                    $E(16) = A(16)-P(16)  = 2\ln\left( 16+1 \right)-\left( 3+3 e^{-0,2 \times 16} \right)  = -3 \times \e^{-\frac{16}{5}}+2\ln\left( 17 \right)-3  \approx 2,544$%2,544140076177333515001
		\end{enumerate}
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Nous savons que $E$ est strictement croissante sur [0~;~16], et 0 est compris entre $E(0)$ et $E(16)$, $E$ est continue en tant que fonction dérivable sur [0~;~16].\\
				D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de la fonction $E$, $E(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$. Une valeur arrondie au dixième vaut : $\alpha \approx 6,025 \approx 6,0$.
				%fsolve(2*ln(x+1)-(3+3*e^(-x/5)) = 0 ; x), 6,025270328219999999983
			\item %b
Comme $E$ est strictement croissante sur [0~;~16], et que $E(\alpha)=0$, on en déduit le tableau de signes suivant :
				%[lgt=3,espcl=3,deltacl=1.5]
                                    % lgt : largeur première colonne espcl : largeur entre valeurs deltacl : espace au début et à la fin.
%\begin{center} 
%\begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
%\tkzTabInit[lgt=1,espcl=3,deltacl=0.5]{$x$/1,$E(x)$/1}{$0$,$\alpha$,$16$} 
%\tkzTabLine{,-,z,+}
%\end{tikzpicture}
%\end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & \alpha & \hspace*{\esp} & 16 \\
 \hline
E(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

Conclusion :
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] Pour $x<\alpha$, $E(x)<0  \Leftrightarrow A(x)<P(x)$, sur $\left[ 0~;~\alpha  \right]$, le nombre de passagers ayant choisi la formule \textit{Avantage} sera inférieur au nombre de passagers ayant choisi la formule \textit{Privilège}.
\item[$\bullet~~$] Pour $x>\alpha$, $E(x)<0  \Leftrightarrow A(x)>P(x)$, sur $\left[\alpha~;~+16  \right]$, le nombre de passagers ayant choisi la formule \textit{Avantage} sera supérieur au nombre de passagers ayant choisi la formule \textit{Privilège}.
\item[$\bullet~~$] Pour $x=\alpha$, $E(x)<0  \Leftrightarrow A(x)=P(x)$, sur pour $x=\alpha$ le nombre de passagers ayant choisi la formule \textit{Avantage} sera égal au nombre de passagers ayant choisi la formule \textit{Privilège}.
				\end{itemize}                                  
		\end{enumerate}
\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%% fin Polynésie  12 juin 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Asie 16  juin 2015    
\hypertarget{Asie}{}

\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{16 juin  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Asie~\decofourright\\16 juin  2015}}
\end{center}
\label{Asie}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\emph{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.}

%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).\\
%Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.\\
%Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point.\\
%Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun
%point}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On lance une pièce de monnaie bien équilibrée 10 fois de suite. $X$ est la variable aléatoire qui compte le nombre de \og pile \fg{} obtenus. 

La probabilité d'obtenir exactement 5 \og pile \fg{} est, arrondie au centième:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,13 &\textbf{b.~~} 0,19 &\textbf{c.~~} 0,25 &\textbf{d.~~} 0,5
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: c}
\smallskip

La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale $\mathcal B(10\,;\,0,5)$.\\
Alors $P(X=5)=\ds\binom{10}{5}\times 0,5^5 \times (1-0,5)^{10-5}\approx 0,246$.

\item $X$ est une variable aléatoire qui suit la loi normale de moyenne $3$ et d'écart-type $2$ ; alors une valeur approchée au centième de la probabilité $p(X \geqslant 5)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}  0,14 &\textbf{b.~~} 0,16 &\textbf{c.~~} 0,32 &\textbf{d.~~} 0,84
\end{tabularx}

\textbf{Réponse correcte: b}
\smallskip

On connaît la représentation de la fonction de répartition de la loi normale:

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {10}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{3}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{1} \def\sup{5}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

\uput[d](\m,0){$\mu=3$} 
\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$\mu - \sigma$}
\uput{15pt}[d](\inf,0){$=1$}
\uput[d](\sup,0){$\mu + \sigma$}
\uput{15pt}[d](\sup,0){$=5$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(6,0.25)(4,0.1)
\uput[70](6,0.25){\red $68\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(8,0.2)(5.5,0.03)
\uput[ur](8,0.2){$16\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-1,0.2)(0.5,0.03)
\uput[ul](-1,0.2){$16\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}

$P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma) \approx 0,68$ et 
$P(X \pp \mu-\sigma) = P(X \pg \mu+\sigma) = \dfrac{1-P(\mu-\sigma \pp X \pp \mu+\sigma)}{2} \approx 0,16$

\medskip

\item Dans une ville donnée, pour estimer le pourcentage de personnes ayant une voiture rouge, on effectue un sondage. L'amplitude de l'intervalle de confiance au seuil de $0,95$ étant inférieure ou égale à $0,04$ la taille de l'échantillon choisi est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 400 &\textbf{b.~~} \np{1000} &\textbf{c.~~} \np{2000} &\textbf{d.~~} \np{2500}
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: d}
\smallskip

L'intervalle de confiance généralement choisi au seuil de 95\,\% est
$\left[ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \,;\, f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ]$ où $f$ est la fréquence observée dans l'échantillon de taille $n$.
L'amplitude de cet intervalle est $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}$.

On doit donc avoir $\dfrac{2}{\ds\sqrt{n}}=0,04$ ce qui équivaut à $n=\np{2500}$.

\item Une entreprise vendant des parquets flottants s'approvisionne auprès de deux fournisseurs
A et B. Le fournisseur A livre 70\,\% du stock de l'entreprise. On sait que 2\,\% des pièces
livrées par A présentent un défaut et 3\,\% des pièces livrées par B présentent un défaut. 

On prélève au hasard une pièce du stock de l'entreprise, quelle est la probabilité, que cette
pièce soit sans défaut ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,023 &\textbf{b.~~} 0,05 &\textbf{c.~~} 0,97 &\textbf{d.~~} 0,977
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: d}
\smallskip

On appelle $A$ l'événement \og{}la pièce provient du fournisseur A\fg{} et $B$ l'événement \og{}la pièce provient du fournisseur B\fg{}.

On appelle $D$ l'événement \og{}la pièce présente un défaut\fg{} et $\overline D$ l'événement contraire.

On représente la situation par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$D$}\naput{0,02}
		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,02=0,98$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}
	  {
		  \TR{$D$}\naput{$0,03$}
		  \TR{$\overline{D}$}\nbput{\red $1-0,03=0,97$}
	  }
}
\end{center}

\medskip

D'après la formule des probabilités totales:

$P(\overline D)=P(\overline D \cap A)+P(\overline D\cap B)= 
P(A)\times P_{A}(\overline D) + P(B)\times P_{B}(\overline D) =
0,7 \times 0,98 + 0,3 \times 0,97 = 0,977$


\item Pour une puissance électrique donnée, le tarif réglementé du kilowattheure est passé de
\np{0,1140}~\euro{} au 01/07/2007 à \np{0,1372}~\euro{} au 01/07/2014. 

Cette augmentation correspond à un taux d'évolution arrondi au centième, chaque année, de:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1,72\,\% &\textbf{b.~~} 1,67\,\% &\textbf{c.~~} 2,68\,\% &\textbf{d.~~} 1,33\,\%
\end{tabularx}

%\medskip

\textbf{Réponse correcte: c}
\smallskip

Le coefficient multiplicateur d'augmentation entre 2007 et 2014 est de 
$\dfrac{\np{0,1372}}{\np{0,1140}}$.

Il correspond à 7 années, donc en moyenne pour une année il est de
$\left (\dfrac{\np{0,1372}}{\np{0,1140}}\right )^{\frac{1}{7}} \approx \np{1,026816}$.

Cela correspond à un pourcentage d'augmentation de $2,68\,\%$.



\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Valentine place un capital $c_0$ dans une banque le 1\up{er} janvier 2014 au taux annuel de 2\,\%. À la fin de chaque année les intérêts sont ajoutés au capital, mais les frais de gestion s'élèvent à 25~\euro{} par an.

On note $c_n$ la valeur du capital au 1\up{er} janvier de l'année $2014 + n$.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

On considère l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.55\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Initialisation}\\
Affecter à $N$ la valeur $0$\\
\textbf{Traitement}\\
Saisir une valeur pour $C$\\
\hspace{1cm}Tant que $C < \np{2000}$ faire\\
\hspace{2cm}Affecter à $N$ la valeur $N + 1$\\
\hspace{2cm}Affecter à $C$ la valeur $1,02C - 25$\\
\hspace{1cm}Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On saisit la valeur \np{1900} pour $C$. Pour cette valeur de $C$, on recopie et on complète le tableau, en suivant pas à pas l'algorithme précédent; les valeurs sont arrondies à l'euro:
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{10}{c|}}\hline		
Valeur de $N$&0& 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8\\ \hline
Valeur de $C$&\np{1900}& \np{1913} & \np{1926} & \np{1940} & \np{1954} & \np{1968} & \np{1982} & \np{1997} & \np{2012}  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item% Quel est le résultat affiché par l'algorithme ? Dans le contexte de l'exercice, interpréter ce résultat.
L'algorithme affiche la valeur 8.

Cela signifie qu'à partir de $n=8$, c'est-à-dire de l'année $2014+8=2022$, la valeur du capital dépassera \np{2000} euros.

	\end{enumerate}

\item% Que se passerait-il si on affectait la valeur \np{1250} à $C$ ?
Pour une valeur de $C$ égale à \np{1250}, comme $\np{1250} \times 1,02 - 25 = \np{1250}$, la valeur de $C$ ne changerait pas dans l'algorithme et on ne sortirait jamais de la boucle \textsc{Tant Que}.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Valentine a placé \np{1900}~\euro{} à la banque au 1\ier{} janvier 2014. On a donc $c_0 = \np{1900}$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Expliquer pourquoi, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_{n+1} = 1,02c_n - 25$.
L'année $2014+n$, le capital $c_n$ produit 2\,\% d'intérêts, donc il devient l'année suivante $1,02c_n$; mais comme il y a 25 euros de frais, on peut dire que, pour tout $n$, $c_{n+1}=1,02c_n-25$. 


\item  Soit $\left(u_n\right)$ la suite définie, pour tout  $n$ de $\N$, par $u_n = c_n - \np{1250}$, donc $c_n = u_n + \np{1250}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique, dont on précisera la raison et le premier terme.
Pour tout $n$ de $\N$:

$u_{n+1}=c_{n+1}-\np{1250} = 1,02c_n - 25 - \np{1250} = 1,02(u_n+\np{1250}) - \np{1275} = 1,02 u_n +\np{1275} - \np{1275} \\
\phantom{u_{n+1}} = 1,02u_n$

$u_0 = c_0 - \np{1250} = \np{1900} - \np{1250} = 650$

Donc la suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=650$ et de raison $q=1,02$.


		\item% Soit $n$ un nombre entier naturel ; exprimer $u_n$ en fonction de $n$.
		
%En déduire que, pour tout nombre entier naturel $n$, on a : $c_n = 650 \times 1,02^n + \np{1250}$.

La suite $(u_n)$ est géométrique de premier terme $u_0=650$ et de raison $q=1,02$ donc, pour tout $n$ de $\N$: 
$u_n=u_0\times q^n=650\times 1,02^n$.

Et comme $c_n = u_n + \np{1250}$, on peut déduire que pour tout $n$ de $\N$, $c_n = 650\times 1,02^n + \np{1250}$.

 	\end{enumerate}

\item% Montrer que la suite $\left(c_n\right)$ est croissante.
Pour tout $n$, $u_n>0$. Comme $1,02>1$, on déduit que $1,02u_n>u_n$ ce qui équivaut à $u_{n+1}>u_n$ et donc $u_{n+1} - u_n >0$.

Pour tout $n$, $c_{n+1}-c_n = u_{n+1}+\np{1250} - (u_n+\np{1250}) = u_{n+1}+\np{1250}-u_n - \np{1250} = u_{n+1}-u_n >0$

Donc la suite $(c_n)$ est croissante.

\item% Déterminer, par la méthode de votre choix, le nombre d'années nécessaires pour que la valeur du capital dépasse \np{2100}~\euro.
On peut programmer la fonction \verb!650*1.02^X+1250! sur la calculatrice et faire afficher le tableau de valeurs de cette fonction.

On peut aussi résoudre l'inéquation $c_n>\np{2100}$ d'inconnue $n$:

$c_n>\np{2100} \iff 650 \times  1,02^n +\np{1250}> \np{2100}\\
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff  650 \times  1,02^n > 850\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff 1,02^n > \dfrac{850}{650}\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff \ln\left ( 1,02^n\right ) > \ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff n\times \ln (1,02) > \ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )\\[5pt]
\phantom{c_n>\np{2100}} \iff n > \dfrac{\ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )}{\ln(1,02)}
$

Or $\dfrac{\ln\left ( \dfrac{850}{650}\right )}{\ln(1,02)} \approx 13,55$, donc il faut 14 années pour que la valeur du capital dépasse \np{2100}~\euro.

\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

La coopérative LAFRUITIERE collecte le lait de 7 exploitations de montagne. La situation géographique est représentée par le graphe ci-dessous, noté $G_L$. La coopérative est située au sommet A, les autres sommets B, C, D, E, F, G et H représentent les différentes exploitations; les arêtes représentent le réseau routier reliant ces exploitations.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\rput(0.75,7.5){\ovalnode{A}{\red \bf A}} \rput(7.2,7.5){\ovalnode{B}{B}} \rput(11.3,5.5){\ovalnode{C}{C}} 
\rput(10.3,2){\ovalnode{D}{D}} 
\rput(3.3,6.4){\ovalnode{E}{E}} \rput(0.3,2.7){\ovalnode{F}{F}} \rput(5.7,0.3){\ovalnode{G}{G}} \rput(6.7,4.3){\ovalnode{H}{H}} 
\ncline{A}{B} \ncline{A}{E} \ncline{A}{F} 
\ncline{B}{C} \ncline{B}{D} \ncline{B}{E} 
\ncline{B}{H} \ncline{C}{D} \ncline{D}{F} 
\ncline{D}{G} \ncline{D}{H} \ncline{E}{F} 
\ncline{E}{H} \ncline{F}{G} \ncline{F}{H} 
\end{pspicture}
\end{center}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Le graphe $G_L$ est-il complet ? Justifier.
Un graphe est complet si chaque sommet est relié à tous les autres.

Dans le graphe $G_L$, le sommet A n'est pas relié au sommet G, donc le graphe $G_L$ n'est pas complet.

		\item%  Le graphe $G_L$ est-il connexe ? Justifier.
Un graphe est connexe si deux sommets quelconques sont reliés par au moins une chaîne.

Le chemin A -- B -- C -- D -- H -- E -- F -- G relie tous les sommets entre eux, donc le graphe $G_L$ est connexe.

	\end{enumerate}

\item% Est-il possible d'organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route ? Justifier la réponse.
Organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route, c'est chercher un cycle eulérien dans ce graphe.

Un graphe admet un cycle eulérien si et seulement si tous ses sommets sont de degré pair; or le degré de A (nombre d'arêtes sortant de A) est 3, donc ce graphe ne contient pas de cycle eulérien.

Donc on ne peut pas organiser une tournée de toutes les exploitations en partant de A et en terminant en A et en passant au moins une fois par chaque client, tout en empruntant une fois et une seule chaque route.

\item On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe $G_L$ (les sommets étant pris dans l'ordre alphabétique).
	
On donne la matrice $M^3 = \begin{pmatrix}
4 	&11 &3 &7 	&8 	&11 &3 &6\\
11 &8 	&7 &13 	&12 &8 	&6 &13\\
3 	&7 	&2 &7 	&5 	&6 	&2 &4\\
7	&13 &7 &8 	&8 	&13 &7 &12\\
8	&12 &5 &8 	&8 	&12 &5 &11\\
11 	&8 	&6 &13 	&12 &8 	&7 &13\\
3 	&6 	&2 &7 	&5 	&7 	&2 &4\\
6 	&13 &4 &12 	&11 &13 &4 &8
\end{pmatrix}$

%Déterminer, en justifiant, 

Le nombre de chemins de longueur 3 reliant A à H est le coefficient de la matrice $M^3$ situé sur la 1\iere{} ligne (pour A) et la 8\ieme{} colonne (pour H), c'est-à-dire 6.

Il y a donc 6 chemins de longueur 3 reliant A à H.

Ce sont:
AFEH -- AEFH -- ABEH -- AEBH -- AFDH -- ABDH

%Indiquer ces chemins.
\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Les arêtes sont pondérées par les distances entre les exploitations, exprimées en kilomètres. La coopérative doit collecter du lait provenant de l'exploitation D.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(12,8)
\cnodeput(0.75,7.5){A}{A} \cnodeput(7.2,7.5){B}{B} \cnodeput(11.3,5.5){C}{C} 
\cnodeput(10.3,2){D}{D} \cnodeput(3.3,6.4){E}{E} \cnodeput(0.3,2.7){F}{F} 
\cnodeput(5.7,0.3){G}{G} \cnodeput(6.7,4.3){H}{H} 
\ncline{A}{B}\ncput*{19} \ncline{A}{E}\ncput*{6}  \ncline{A}{F}\ncput*{10} 
\ncline{B}{C}\ncput*{13} \ncline{B}{D}\ncput*{20} \ncline{B}{E}\ncput*{7} 
\ncline{B}{H}\ncput*{7}  \ncline{C}{D}\ncput*{6}  \ncline{D}{F}\ncput*{25} 
\ncline{D}{G}\ncput*{15} \ncline{D}{H}\ncput*{13} \ncline{E}{F}\ncput*{5} 
\ncline{E}{H}\ncput*{14} \ncline{F}{G}\ncput*{12} \ncline{F}{H}\ncput*{8} 
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

L'algorithme de Dijkstra permet de déterminer les plus courts chemins partant du sommet A vers tous les autres sommets:

\medskip

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{9}{c|}}
\hline 
\  A\   &  B  &  C  &  D  &  E   &   F   &   G   &   H    & {On garde} \\ 
\hline
\sur 0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ &  A (0)\\
\hline 
 & 19 A & $\infty$ & $\infty$ & \sur{6 A} & 10 A & $\infty$ & $\infty$ &  E (6) \\
\hline
 & \sout{19 A} &          &          &  & \sur{10 A}  &          &  &   \\[-3pt]
 & 13 E        & $\infty$ & $\infty$ &  & \sout{11 E} & $\infty$ & 20 E &  F (10) \\ 
\hline
 & \sur{13 E} &          &      &  &   &      & \sout{20 E} &   \\[-3pt]
 &            & $\infty$ & 35 F &  &   & 22 F &   18 F      &  B (13) \\ 
\hline
 &  &      & \sout{35 F}&  &   & 22 F & \sur{18 F}  &   \\[-3pt]
 &  & 26 B & 33 B       &  &   &      & \sout{20 B} &  H (18) \\ 
\hline
 &  & 26 B & \sout{33 B} &  &   & \sur{22 F} &   &   \\[-3pt]
 &  &      &  31 H       &  &   &            &   &  G (22) \\ 
\hline
 &  & \sur{26 B} &  31 H       &  &   &  &   &   \\[-3pt]
 &  &            & \sout{37 G} &  &   &  &   &  C (26) \\ 
\hline
 &  &            &  \sur{31 H}       &  &   &  &   &   \\[-3pt]
 &  &            & \sout{32 C} &  &   &  &   &  D (31) \\ 
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 


Le chemin le plus court pour aller de A vers D est de longueur 31:
A $\stackrel{10}{\longrightarrow}$ 
F $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ 
H $\stackrel{13}{\longrightarrow}$ D

\newpage

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 7 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur \cd{}0~;~10\cd{} par 
$f(x) = x + \text{e}^{- x + 1}$.

Un logiciel de calcul formel donne les résultats ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|XX|}\hline
1	&$f(x) : = x + \text{exp}(- x + 1)$&\\ \hline
	&// Interprète $f$					&\\
	&// Succès lors de la compilation $f$&\\ \hline
	&									&$x \longmapsto x +\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline
2	&derive $(f(x))$					&\\ \hline
	&									&$- \text{exp}(-x + 1) + 1$\\ \hline\hline
3	&solve $(-\text{exp}(- x + 1) + 1 > 0)$&\\ \hline
	&									&$[x > 1]$\\ \hline\hline 
4	&derive $(- \text{exp} (-x + 1) + 1)$&\\ \hline
	&									&$\text{exp}(- x + 1)$\\ \hline\hline
\end{tabularx}
\end{center}

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Étude des variations de la fonction $f$

	\begin{enumerate}

		\item% En s'appuyant sur les résultats ci-dessus, déterminer les variations de la fonction $f$ puis dresser son tableau de variation.
D'après le logiciel de calcul formel, $f'(x)=-\e^{-x+1}+1$ et $f'(x)>0 \iff x>1$.

$f(1)=1+\e^{0}=2$

$f(0)=0+\e^{1}=\e$ et $f(10)=10+\e^{-9}\approx 10,00$

D'où le tableau de variations de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 1 & \hspace*{\esp} & 10 \\
 \hline
f'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
\hline
  & \Rnode{max1}{\e}  &  &  &  & \Rnode{max2}{10+\e^{-9}}   \\
f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{2} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% En déduire que la fonction $f$ admet un minimum dont on précisera la valeur.

La fonction $f$ admet donc sur \cd{}0\,;\,10\cg{} un minimum $f(1)=2$.

	\end{enumerate}

\item%  Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~10].
D'après le logiciel de calcul formel, $f''(x)=\e^{-x+1}$.

Or, pour tout $x$, $\e^{-x+1}>0$ donc la fonction $f'$ est croissante et donc la fonction $f$ est convexe sur \cd{}0\,;\,10\cg{}.


\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Une entreprise fabrique des objets. Sa capacité de production est limitée, compte tenu de l'outil de production utilisé, à mille objets par semaine.

Le coût de revient est modélisé par la fonction $f$ où $x$ est le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines d'objets et $f(x)$ le coût de revient exprimé en milliers d'euros.

Comme le nombre d'objets est limité à \np{1000} et que $x$ désigne le nombre d'objets fabriqués exprimé en centaines, on peut dire que $x\in\cd{}0\,;\,10\cg$.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Quel nombre d'objets faut-il produire pour que le coût de revient soit minimum ?
La fonction $f$ représente le coût de revient exprimé en milliers d'euros; ce coût est minimum lorsque la fonction $f$ atteint son minimum, c'est-à-dire pour $x=1$. 

Pour que le coût de revient soit minimum, il faut donc produire 100 objets.

\item Un objet fabriqué par cette entreprise est vendu 12~\euro. On appelle marge brute pour $x$ centaines d'objets, la différence entre le montant obtenu par la vente de ces objets et leur coût de revient.

	\begin{enumerate}

		\item% Justifier que le montant obtenu par la vente de $x$ centaines d'objets est $1,2x$ milliers d'euros.
La vente de 100 objets rapporte $100\times 12$ \euro{} soit $1,2$ millier d'euros donc la vente de $x$ centaines d'objets rapporte $1,2x$ milliers d'euros.

		\item% Montrer que la marge brute pour $x$ centaines d'objets, notée $g(x)$, en milliers d'euros, est donnée par : $g(x) = 0,2x - \text{e}^{- x + 1}$.
La marge brute $g(x)$ est la différence entre le prix de vente et le coût de production donc:

$g(x)=1,2x-\left ( x + \e^{-x+1}  \right ) = 0,2x-\e^{-x+1}$	

		\item% Montrer que la fonction $g$ est strictement croissante sur l'intervalle [0~;~10].
Sur \cd{}0\,;\,10\cg{}, $g'(x)=1+\e^{-x+1}$. Or pour tout réel $x$, $\e^{-x+1}>0$, donc $g'(x)>0$ sur \cd{}0\,;\,10\cg{} et la fonction $g$ est strictement croissante sur cet intervalle.

 	\end{enumerate}

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que l'équation $g(x) = 0$ possède une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~10].
La fonction $g$ est dérivable donc continue, et strictement croissante sur \cd{}0\,;\,10\cg{}. \\
$g(0)=-\e<0$ et $g(10) = 0,2\times 10 -\e^{-9}\approx 2>0$

D'où le tableau de variations de la fonction $g$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\def\esp{3cm}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \hspace*{\esp} & 10 \\
 \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
%\hline
  &   &    & \Rnode{max}{2-\e^{-9}}   \\
g(x) & &  &  \\
 &     \Rnode{min}{-\e} & & 
\ncline{->}{min}{max}
\rput*(-2,0.71){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-2,1.75){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $g(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ sur l'intervalle \cd{}0\,;\,10\cg{}.

		\item% Déterminer un encadrement de $\alpha$ d'amplitude $0,01$.
\ \\[-23pt]

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(1) = -0,8 <0\\
g(2) \approx 0,03 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha\in\cd{}1\,;\,2\cg{}
\hfill
\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(1,9) \approx -0,027 <0\\
g(2,0) \approx 0,03 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha\in\cd{}1,9\,;\,2\cg{}\\
\left. 
\begin{array}{@{} l}
g(1,94) \approx -\np{0,0026} <0\\
g(1,95) \approx 0,003 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow \alpha\in\cd{}1,94\,;\,1,95\cg{}
$

	\end{enumerate}

\item%  En déduire la quantité minimale d'objets à produire afin que cette entreprise réalise une marge brute positive sur la vente de ces objets.
Pour réaliser une marge brute positive, il faut produire $x$ centaines d'objets de façon que $g(x)>0$; donc il faut que $x>\alpha$.

On sait que $\alpha\in \cd{}1,94\,;\,1,95\cg{}$ et que $x$ représente des centaines d'objets.

La quantité minimale d'objets à produire pour que cette entreprise réalise une marge brute positive est donc de 195.


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip


\begin{multicols}{2}
Soit $f$ la fonction définie sur \cd{}0~;~1\cg{} par:

{\centering $f(x) = 2 - 2x$ \par}

On a tracé ci-contre la droite $D_f$, représentation graphique de la fonction $f$ dans un repère orthonormé (O,~I,~J) du plan.

Le point C a pour coordonnées (0~;~2).

$\Delta$ est la partie du plan intérieure au triangle OIC.

Soit $a$ un nombre réel compris entre $0$ et $1$ ; on note A le point de coordonnées $(a~;~0)$ et B le point de $D_f$ de coordonnées $(a~;~f(a))$.

Le but de cet exercice est de trouver la valeur de $a$, telle que le segment [AB] partage $\Delta$ en deux parties de même aire.

%Déterminer la valeur exacte de $a$, puis une valeur approchée au centième.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.25)(1.5,2.25)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{0}{0.32}{2 2 x mul sub}
\psline(0.32,0)(0,0)}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=8,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-0.5,-0.25)(1.5,2.25)
\psplot[plotpoints=600,linewidth=1.25pt]{0}{1}{2 2 x mul sub}
\uput[ur](1,0){I} \uput[ul](0,1){J}\uput[dl](0,0){O}
\uput[d](0.32,0){$a$}\uput[ur](0.32,1.36){B}\uput[ur](0,2){C}
\uput[ur](0.32,0){A}
\uput[ur](0.75,0.5){$D_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

L'aire du triangle OIC rectangle en O vaut $\dfrac{\text{OI}\times \text{OC}}{2}=\dfrac{1\times 2}{2}=1$.\\[5pt]
Il faut donc chercher la position du point A de coordonnées $(a\,;\,0)$ pour que l'aire du trapèze OABC soit égale à l'aire du triangle AIB. 

Autrement dit, il faut que l'aire du triangle AIB soit la moitié de celle du triangle OIC, soit $\dfrac{1}{2}$.

L'aire du triangle OIB rectangle en A vaut $\mathcal A=\dfrac{\text{AI}\times \text{AB}}{2}$.\\[5pt]
Le point B a pour abscisse $a$ et pour ordonnée $f(a)=2-2a$; le point A a pour coordonnées $(a\,;\,0)$ donc $\text{AB}=2-2a$.

Le point I a pour coordonnées $(1\,;\,0)$ donc $\text{AI}=1-a$.\\[5pt]
$\mathcal A= \dfrac{(1-a)(2-2a)}{2}$ et on doit avoir $\mathcal A=\dfrac{1}{2}$.\\[5pt]
On résout dans $\cd{}0\,;\,1\cg{}$ l'équation $\dfrac{(1-a)(2-2a)}{2} = \dfrac{1}{2}$:

$\dfrac{(1-a)(2-2a)}{2} = \dfrac{1}{2}
\iff 2 - 2a - 2a + 2a^2 = 1
\iff 2a^2 -4a +1=0$

Cette équation a pour solutions $a'=\dfrac{2+\ds\sqrt{2}}{2}$ et $a''=\dfrac{2-\ds\sqrt{2}}{2}$.

Mais $a'\not\in\cd{}0\,;\,1\cg{}$ donc pour que les deux aires soient égales, il faut prendre $a=\dfrac{2-\ds\sqrt{2}}{2} \approx 0,29$. 



%%%%%%%%%%%% fin Asie  16 juin 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Antilles 24 juin  2015    
\hypertarget{Antillesjuin}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small 24 juin 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Antilles-Guyane~\decofourright\\24 juin 2015}}
\end{center}
\label{Antillesjuin}


\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune
%justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\emph{Aucune justification n'était demandée dans cet exercice.}

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = x^3 + 6x^2$ est convexe sur l'intervalle :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $]- \infty~;~+\infty[$&\textbf{b.~~} $[- 2~;~+\infty[$ &\textbf{c.~~} $]-\infty~;~-2]$ &\textbf{d.~~} $[-6~;~+\infty[$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

Une fonction deux fois dérivable est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée seconde est positive.

$f(x) = x^3 + 6x^2
\Longrightarrow
f'(x)=3x^2+12x
\Longrightarrow
f''(x)=6x +12
$;
$f''(x) \pg 0 \iff x\in\cd{}-2\,;\, +\infty\cd{}$ 

\item  Soit la fonction $g$ définie sur $\R$ par $g(x) = (x - 2)\e^{x}$.
L'équation $g(x) = 0$ admet sur $\R$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} aucune solution&\textbf{b.~~} une seule solution\\
\textbf{c.~~} exactement deux solutions&\textbf{d.~~} plus de deux solutions
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

Pour tout $x$, $\e^{x}>0$. Donc $g(x)=0 \iff x-2=0 \iff x=2$.

\item  On pose : $I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\e^{- x^2}\:\text{d}x$. La valeur de $I$ est :

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1 - \text{e}^{-1}$ &\textbf{b.~~} $\text{e}^{-1} - 1$&\textbf{c.~~}$- \text{e}^{-1} $&\textbf{d.~~}$\text{e}^{-1}$
\end{tabularx}

\medskip

\textbf{Réponse b.}

La fonction $x \longmapsto -2x\e^{-x^2}$ a pour primitive la fonction 
$x \longmapsto \e^{-x^2}$. 

Donc 
$I = \displaystyle\int_0^1 - 2x\e^{- x^2}\:\text{d}x
= \left [ \e^{-x^2}\right ]_{0}^1 = \e^{-1} - \e^{0} = \e^{-1}-1$

\item  La fonction $h$ est définie sur $]0~;~+\infty[$ par $h(x) = (2x + 4) \ln x$.

On note $h'$ la fonction dérivée de la fonction $h$.

Pour tout nombre $x$ de l'intervalle $]0~;~+\infty[$,\: $h'(x)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{2}{x}$&\textbf{b.~~} $2\ln x + \dfrac{4}{x}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{2x + 4}{x}$
&\textbf{d.~~}$2\ln x + \dfrac{2x + 4}{x}$
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Réponse d.}

Formule de dérivation d'un produit:
$h'(x)=2\times \ln x + (2x+4)\times \dfrac{1}{x} = 2\ln x + \dfrac{2x+4}{x}$

\item  Le prix d'une action a augmenté chaque mois de 5\,\% et cela pendant 3 mois consécutifs.

Globalement, le prix de l'action a été multiplié par:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $1,05^3$ &\textbf{b.~~}  1,15&\textbf{c.~~}  $3 \times 1,05$ &\textbf{d.~~}  1,45
\end{tabularx}
\medskip

\textbf{Réponse a.}

Augmenter de 5\,\%, c'est multiplier par $1,05$; si on augmente de 5\,\% pendant 3 mois consécutifs, on multiplie par $1,05\times 1,05\times 1,05=1,05^3$.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Une enquête a été réalisée auprès des élèves d'un lycée afin de connaître leur sensibilité au développement durable et leur pratique du tri sélectif.
L'enquête révèle que 70\,\% des élèves sont sensibles au développement durable, et, parmi ceux qui sont sensibles au développement durable, 80\,\% pratiquent le tri sélectif.
Parmi ceux qui ne sont pas sensibles au développement durable, on en trouve 10\,\% qui pratiquent le tri sélectif.
On interroge un élève au hasard dans le lycée. 

On considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{description}
\item[ ]$S$ : L'élève interrogé est sensible au développement durable.
\item[ ]$T$ : L'élève interrogé pratique le tri sélectif.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}

%\emph{Les résultats seront arrondis à } $10^{-2}$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Construire un arbre pondéré décrivant la situation.
On construit un arbre pondéré décrivant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$S$}\naput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$T$}\naput{0,8}
		  \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,8=0,2$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$\overline S$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}
	  {
		  \TR{$T$}\naput{$0,1$}
		  \TR{$\overline{T}$}\nbput{\red $1-0,1=0,9$}
	  }
}
\end{center}

\medskip

\item% Calculer la probabilité que l'élève interrogé soit sensible au développement durable et pratique le tri sélectif.
L'évènement \og{}l'élève interrogé est sensible au développement durable et pratique le tri sélectif\fg{} est l'évènement $S \cap T$.

$P(S \cap T)=P(S)\times P_S(T)=0,7\times 0,8=0,56$

\item% Montrer que la probabilité $P(T)$ de l'évènement $T$ est $0,59$.
D'après la formule des probabilités totales:

$P(T)=P(S \cap T) + P(\overline S \cap T) = 
P(S)\times P_S(T) + P(\overline S)\times P_{\overline S}(T)=
0,56 + 0,3\times 0,1 = 0,59$ 


\item On interroge un élève qui ne pratique pas le tri sélectif.

%Peut-on affirmer que les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont inférieures à 10\,\% ?

On évalue si cet élève est sensible au développement durable, donc on cherche $P_{\overline T}(S)$:

$P_{\overline T}(S) = \dfrac{P(S \cap \overline T)}{P(\overline T)} = 
\dfrac{P(S \cap \overline T)}{1-P(T)} = 
\dfrac{0,7\times 0,2}{1-0,59}\approx 0,34$

Les chances qu'il se dise sensible au développement durable sont de 34\,\% donc ne sont pas inférieures à 10\,\%.

\item On interroge successivement et de façon indépendante quatre élèves pris au hasard parmi les élèves de l'établissement.
Soit $X$ la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves pratiquant le tri sélectif parmi les 4 élèves interrogés.

%Le nombre d'élèves de l'établissement est suffisamment grand pour que l'on considère que $X$ suit une loi binomiale.

	\begin{enumerate}

		\item% Préciser les paramètres de cette loi binomiale.
La probabilité qu'un élève interrogé au hasard pratique le tri sélectif est 0,59.		
La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,59$.

Pour une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$, la probabilité d'obtenir $k$ succès est donnée par:
$P(X=k)=\dbinom{n}{k}p^k (1-p)^{n-k}$

		\item% Calculer la probabilité qu'aucun des quatre élèves interrogés ne pratique le tri sélectif.
La probabilité qu'aucun des quatre élèves ne pratique le tri sélectif est:

$P(X=0)= \dbinom{4}{0}\times 0,59^0 (1-0,59)^{4} = 0,41^4 \approx 0,03$

		\item% Calculer la probabilité qu'au moins deux des quatre élèves interrogés pratiquent le tri sélectif.
La probabilité qu'au moins deux des quatre élèves pratiquent le tri sélectif est $P(X \pg 2)$.

$P(X \pg 2) =
P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)\\
\phantom{P(X \pg 2)} =
\dbinom{4}{2}\times 0,59^2 (1-0,59)^{4-2} + 
\dbinom{4}{3}\times 0,59^3 (1-0,59)^{4-3} + 
\dbinom{4}{4}\times 0,59^4 (1-0,59)^{4-4}\\
\phantom{P(X \pg 2)} \approx
\np{0,3511} + \np{0,3368} + \np{0,1212} \approx
0,81$

On peut aussi utiliser l'évènement contraire:

$P(X \pg 2) = 1 - P(X < 2) = 1 - (P(X = 0) + P(X = 1)) \approx 1 - (\np{0,0283} + \np{0,1627}) 
\approx 0,81$

	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une municipalité vient de mettre en place le service \og vélo en liberté \fg. Il s'agit d'un service de location de vélos à la journée.
Les vélos sont disponibles sur deux sites $A$ et $B$ et doivent être ramenés en fin de journée indifféremment dans l'un des deux sites.

Après une étude statistique, on considère que :

\begin{itemize}
\item si un vélo est loué sur le site $A$, la probabilité d'être ramené en $A$ est $0,6$ ;
\item si un vélo est loué sur le site $B$, la probabilité d'être ramené en $B$ est $0,7$.
 \end{itemize}
 
%Les résultats numériques seront arrondis à $10^{-2}$ près.
 
% \medskip
 
\begin{enumerate}

\item On note respectivement $A$ et $B$ les états \og le vélo est en $A$ \fg{} et \og le vélo est en $B$ \fg; on traduit les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$:

\begin{center}
%\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(4,1)
\Rnode{A}{$A$} \hskip 4cm \Rnode{B}{$B$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{$1-0,6=0,4$}%              arc pondéré partant de A
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{$1-0,7=0,3$}%              arc pondéré arrivant à B
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,6}%    boucle autour de A
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,7}%    boucle autour de B
\end{pspicture}
\end{center}


\item  La matrice de transition de ce graphe en considérant les sommets dans l'ordre $A$, $B$ est:

\hfill $M=
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4\\
0,3 & 0,7
\end{pmatrix}$\hfill\null

\emph{Normalement, il n'y a pas lieu de justifier cette matrice; c'est du cours.}

\item  Pour tout entier naturel $n$, on note $a_n$ (respectivement $b_n$) la probabilité qu'un vélo quelconque soit, après $n$ jours, sur le site $A$ (respectivement sur le site $B$).

On note $P_n$ la matrice $\begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ correspondant à l'état probabiliste après $n$ jours.

Le premier jour, tous les vélos sont distribués également sur les deux sites. On a donc
$P_0 = \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.

	\begin{enumerate}

		\item On donne :
$M^2 = \begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}$
		
%Calculer $P_2$ en donnant le détail des calculs matriciels.

D'après le cours, on sait que, pour tout $n\pg 1$, $P_n=P_0 M^n$; donc:

$P_2=P_0 M^2 = 
\begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix} 0,48& 0,52\\0,39& 0,61\end{pmatrix}\\
\phantom{P_2}
=
\begin{pmatrix} 0,5\times 0,48 + 0,5\times 0,39 & 0,5\times 0,52+ 0,5\times  0,61\end{pmatrix}\\
\phantom{P_2}
=
\begin{pmatrix} 0,24+0,195 & 0,26+0,305\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} 0,435 & 0,565\end{pmatrix}
$


		\item% Calculer $P_4$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème. 
On calcule à la calculatrice:
$P_4 = P_0M^4 = P_0M^2M^2 = P_2M^2 =
\begin{pmatrix}
\np{0,42915} & \np{0,57085}
\end{pmatrix}$		
		
En arrondissant au centième $P_4 \approx \begin{pmatrix}
\np{0,43} & \np{0,57}
\end{pmatrix}$.

Au bout de 4 jours, 43\,\% des vélos seront sur le site $A$.
		
		\item% Déterminer l'état stable du graphe, noté $\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$.
On note $P=\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}$ l'état stable du graphe.

Pour que $P$ soit un état du graphe, il faut que $a + b = 1$.

Pour qu'en plus $P$ soit un état stable, il faut que $PM = P$:

$PM=P
\iff
\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix} 
\times
\begin{pmatrix} 0,6 & 0,4\\ 0,3 & 0,7 \end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix} a&b\end{pmatrix}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
0,6a+0,3b & a\\
0,4a+0,7b & b
\end{array}
\right. \\
\phantom{PM=P}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
-0,4a+0,3b & 0\\
0,4a-0,3b & 0
\end{array}
\right.
\iff
0,4a-0,3b=0$

L'état stable est donc solution de:
 
$\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
0,4a - 0,3b & 0\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
0,4a - 0,3(1-a) & 0\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
0,7a  & 0,3\\
a+b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
a & \dfrac{3}{7}\\[8pt]
b& \dfrac{4}{7}
\end{array}
\right.
$

On prend $P=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{7} & \dfrac{4}{7} \end{pmatrix}$.
On vérifie que $PM=P$.

On peut donc en déduire que
$P=\begin{pmatrix} \dfrac{3}{7} & \dfrac{4}{7} \end{pmatrix}$
est l'état stable du graphe. 

		\item Tous les mois, un véhicule est affecté à la redistribution des vélos afin de rétablir au mieux la répartition initiale qui était de $70$~vélos sur chaque site.
		
La municipalité envisage d'affecter un véhicule pouvant contenir $12$ vélos.
		
%Ce choix parait-il adapté à la situation ?

Au début, il y a 70 vélos sur chaque site, donc 140 en tout. 

Sur le site $A$, au bout d'un certain temps, il y  aura $\dfrac{3}{7}\times 140 = 60$ vélos; cela fait donc une différence de $70-60=10$ vélos.

Sur le site $B$, au bout d'un certain temps, il y en aura $\dfrac{4}{7}\times 140 = 80$ vélos; cela fait donc une différence de $80 - 70 = 10$ vélos.
 
Le choix par la municipalité d'un véhicule pouvant contenir 12 vélos  semble donc adapté.

	\end{enumerate}
	
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

En 2010, un opérateur de téléphonie mobile avait un million de clients. Depuis, chaque année, l'opérateur perd 10\,\% de ses clients, mais regagne dans le même temps \np{60000}~nouveaux clients.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On donne l'algorithme suivant:% Expliquer ce que l'on obtient avec cet algorithme.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
\textbf{Variables :}	& $k$, NbClients\\
\textbf{Traitement :}	&Affecter à $k$ la valeur $0$\\
						&Affecter à NbClients la valeur 1 000 000\\
						&Tant que $k < 8$\\
						&\hspace{0.5cm}\begin{tabular}{|l}
								Affecter à $k$ la valeur $k + 1$\\
								Affecter à NbClients la valeur $0,9 \times \text{NbClients} +\np{60000}$\\
							 	Afficher NbClients\\
								\end{tabular}\\
						&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Cet algorithme calcule et affiche le nombre de clients pour $k$ variant de 1 à 8  c'est-à-dire pour les années 2011 à 2018. 
		
		\item On complète le tableau  pour $k$ variant de $0$ jusqu'à $5$:
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|*{6}{c|}} \hline		
$k$			&0	&1	&2	&3	&4	&5 \\ \hline
NbClients	&\np{1000000}	& \np{960000}	& \np{924000}	& \np{891600}	& \np{862440}	& \np{836196}  \\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
		
	\end{enumerate}
	
\item  En supposant que cette évolution se poursuit de la même façon, la situation peut être modélisée par la suite $\left(U_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$, par:
$\left\{\begin{array}{l !{=} l}
U_0		&\np{1000}\\
U_{n+1}	&0,9U_n + 60.
\end{array}\right.$

Le terme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010 + n$.

Pour étudier la suite $\left(U_n\right)$, on considère la suite $\left(V_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $V_n = U_n - 600$; on a donc $U_n = V_n + 600$

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(V_n\right)$ est géométrique de raison 0,9.
$V_{n+1}= U_{n+1}-600 = 0,9U_n +60 - 600 = 0,9(V_n+600) - 540 = 0,9V_n +540-540=0,9V_n$

$V_0=U_0-600 = \np{1000}-600=400$

Donc la suite $(V_n)$ est géométrique de premier terme $V_0=400$ et de raison $q=0,9$.

		\item%  Déterminer l'expression de $V_n$ en fonction de $n$.
La suite $(V_n)$ est géométrique de premier terme $V_0=400$ et de raison $q=0,9$ donc, pour tout $n$, $V_n=V_0q^n = 400 \times 0,9^n$.

		\item%  Montrer que pour tout entier naturel $n$, on a $U_n = 400 \times  0,9^n + 600$.
$\left. 
\begin{array}{@{} l !{=} c}
U_n &V_n+600\\
V_n &400 \times 0,9^n
\end{array}
\right\rbrace 
\Longrightarrow
U_n = 400 \times 0,9^n + 600$ pour tout entier naturel $n$.

		\item%  Montrer que la suite $\left(U_n\right)$ est décroissante. Interpréter le résultat dans le contexte de ce problème.
$U_{n+1}-U_n= (400 \times 0,9^{n+1} + 600) - (400 \times 0,9^n + 600)=
400\times 0,9^{n+1}-400\times 0,9^{n}\\
\phantom{U_{n+1}-U_n} = 400\times 0,9^n(0,9-1) =
- 400\times 0,9^n \times 0,1 <0$

Donc la suite $(U_n)$ est décroissante. 

Comme $U_n$ donne une estimation du nombre de clients, en millier, pour l'année $2010+n$, on peut déduire que ce nombre de clients diminue au fil des années.
	\end{enumerate}	
\item À la suite d'une campagne publicitaire conduite en 2013, l'opérateur de téléphonie observe une modification du comportement de ses clients.
Chaque année à compter de l'année 2014, l'opérateur ne perd plus que 8\,\% de ses clients et regagne \np{100000}~nouveaux clients.
On admet que le nombre de clients comptabilisés en 2014 était égal à \np{860000}.
	
%En supposant que cette nouvelle évolution se poursuive durant quelques années, déterminer le nombre d'années nécessaire pour que l'opérateur retrouve au moins un million de clients.

L'évolution depuis 2014 peut être modélisée par une suite $(W_n)$.
En 2014, l'année 0, il y a \np{860000} abonnés.
L'opérateur perd 8\,\% des abonnés, donc il en garde 92\,\%, et en acquiert \np{100000} nouveaux chaque année.

La suite $(W_n)$ est donc définie par:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l!{=} l l}
W_0 & \np{860000} & \\
W_{n+1} & 0,92W_{n} + \np{100000} & \text{pour tout entier naturel }n
\end{array}
\right. $

On détermine à la calculatrice, à partir de quand le nombre d'abonnés dépasse \np{1000000}:

\begin{center}
\begin{tabular}{|*8{c|}}
\hline
Rang & 0 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
\hline
Abonnés & \np{860000} & \np{891200} & \np{919904} & \np{946312} & \np{970607} & \np{992958} & \np{1013522} \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Il faut donc 6 ans pour que l'opérateur retrouve plus d'un million d'abonnés.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip

%\emph{Les deux parties sont indépendantes}
%
%\medskip

Une machine permet le conditionnement d'un jus de fruit dans des bouteilles.

La quantité de jus injecté dans une bouteille par la machine, exprimée en ml (millilitre), est modélisée avec une variable aléatoire réelle $X$.

On admet que celle-ci suit une loi normale de moyenne $\mu = 500$ et d'écart-type $\sigma = 2$.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

On prélève une bouteille au hasard en fin de chaîne de remplissage.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer $P(X \leqslant 496)$. Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.
\`A la calculatrice, on trouve:
$P(X \pp 496) \approx 0,02$


\item  La probabilité que la bouteille ait un contenu compris entre $497$ et $500$ millilitres est donné par la calculatrice: $P(497 \pp X \pp 500) \approx 0,43$ 
%Donner le résultat arrondi à $10^{-2}$ près.

\item%  Comment choisir la valeur de $\alpha$ afin que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha)$ soit approximativement égale à $0,95$ à $10^{-2}$ près.
On sait d'après le cours que si la variable aléatoire $X$ suit la loi normale $\mathcal N(\mu\,;\,\sigma^2)$:\\
$P(\mu-2\sigma \pp X \pp \mu+2\sigma)\approx 0,95$.

Il faut donc prendre $\alpha=2\sigma=4$ pour que $P(500 - \alpha \leqslant X \leqslant  500 + \alpha) \approx 0,95$.

\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

Une association de consommateurs a testé un lot de $200$~bouteilles issues de cette chaine de production. Il a été constaté que $15$ bouteilles contiennent moins de $500$~ml de jus de fruit contrairement à ce qui est annoncé sur l'étiquetage; donc la fréquence observée de bouteilles contenant au moins $500$~ml de jus de fruit est 
$f=\dfrac{200-15\rule{0pt}{10pt}}{200}= 0,925$.

L'entreprise qui assure le conditionnement de ce jus de fruit affirme que 97\,\% des bouteilles produites contiennent au moins $500$~millilitres de jus de fruit; donc la probabilité que la bouteille soit conforme est $p = 0,95$.

On va déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%; les conditions de détermination de cet intervalle sont
$n > 30$, $np > 5$ et $n(1 - p) > 5$.

Or $n = 200>30$,\: $np=200\times 0,97 = 194>5$ et $n(1 - p) = 200\times 0,03 = 6 > 5$

L'intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% est:
$I=
\left [ p-1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}} \,;\, p+1,96\dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]$

Donc:
$I =
\left [ 0,97-1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,97\times 0,03}}{\ds\sqrt{200}} \,;\, 0,97+1,96\dfrac{\ds\sqrt{0,97\times 0,03}}{\ds\sqrt{200}}\right ]
\approx \cd{}0,94\,;\, 1\cg$
 
$f=0,925 \not\in I$ donc le test réalisé par l'association remet en cause l'affirmation de l'entreprise.
%Le test réalisé par l'association remet-il en cause l'affirmation de l'entreprise?



%%%%%%%%%%%% fin Antilles 24 juin  2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%%  Métropole La Réunion 24  juin 2015    
\hypertarget{Metropolejuin}{}

\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small  24 juin 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Métropole-La Réunion~\decofourright\\24 juin 2015}}
\end{center}
\label{Metropolejuin}

Corrigé : Philippe Logel


\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 6 points}
\medskip

\textbf{commun à tous les candidats}

\textbf{Partie A}
\medskip

\begin{enumerate}
	\item ~%1
		\begin{center}
                  \pstree[treemode=R,nrot=:U,levelsep=3cm,arrows=->]{\Tr{}}
                   {\pstree[ref=c]
                    	{\Tr{$\ F \ $}\naput{$P(F)=0,42$}}
                    	   	{
				{\pstree[ref=c]
                    		  {\Tr{$\ \overline{R} \ $}\naput{$P_{F}(\overline{R})=0,35$}}
							{
								\Tr{$\ P(F\cap \overline{R})=P_{F}(\overline{R})\times P(F) \ $}
							}
							}
                    		    	\Tr{$\ R \ $}\nbput{$P_{F}(R)=0,65$}
                    		}
                    	\pstree[ref=c]   
                    	   {\Tr{$\overline{ F }$}\nbput{$P(\overline{F})=0,58$}}
                    		   {
                    		   	\Tr{$\ \overline{R} \ $}\naput{$P_{\overline{F}}(\overline{R})=0,55$}
                    	  		 \Tr{$\ R \ $}\nbput{$P_{\overline{F}}(R)=0,45$}
                    		   }
                    	}
                    	\end{center}

\bigskip                    	
                    	
	\item %2
		$P(F\cap \overline{R})=P_{F}(\overline{R})\times P(F) = 0,65 \times 0,42 = 0,273$
	\item %3		
		En utilisant la formule des probabilités totales, nous avons :
		
		$\left.\begin{array}{ccl}
		P(R)& = 	&  P(R \cap F) + P\left(R \cap \overline{F}\right)\\
			 	& =		& P_{F}(R)\times P(F) + P_{\overline{F}}(R)\times P \left(\overline{F}\right)\\
				& =		& 0,65\times 0,42 + 0,45 \times 0,58\\
				& = 	& 0,273 + 0,261\\
				& = 	& 0,534
		\end{array}\right.$
		
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{Partie B}
\medskip

Ici $X$ suit la loi $\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$, avec $\mu=48$ et $\sigma=10$.
\medskip 

\begin{enumerate}
	\item %1
		Nous calculons ici:
		
%		$\left.\begin{array}{ccll}
%			P(X  > 36)	& = 	&  P(36  < X   \leqslant48)+P(X>48)&\text{(C'est une loi continue, et les deux évènements sont incompatibles)}\\
%				& = 	&  P(36  \leqslant X   \leqslant48) + P(X \geqslant 48)&\text{(C'est une loi continue)}\\
%				& \approx	& \np{0,3849} + 0,5&\text{(le 1 est obtenu en utilisant la calculatrice, le 2 vaut 0,5}\\
%				& \approx 	& 0,885&\text{C'est la moitié de l'aire totale sous la courbe)}
%		\end{array}\right.$
		
$P(X>36) = 1-{\red P(X \leqslant 36)} \approx 1-0,115 \approx 0,885$		
		
		En effet : 		
		\begin{center}
		\psset{xunit=0.2cm, yunit=60cm}
\begin{pspicture}(20,0.01)(80,0.04)
\psaxes[comma,Dx=4,Dy=0.01,Ox=20]{->}(20,0)(20,0)(80,0.04)
\def\mu{48}
\def\sigma{10}
\def\f{1/(\sigma*sqrt(2*3.14))*EXP(-((x-\mu)/\sigma)^2/2)}
\psplot[algebraic=true]{20}{80}{\f}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt]
{
\psline(36,0)(36,0.02) % ligne verticale: (a,0)(a,f(a))
\psplot[algebraic=true]{36}{80}{\f} % courbe de f sur [a;b]
\closepath
%\psline(80,0.04)(80,0) % ligne verticale: (b,f(b))(b,0)
  }
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red, hatchangle=-45]
{
\psplot[algebraic=true]{20}{36}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(36,0)\lineto(20,0)
\closepath % indispensable !
}  
%\uput[u](48,0.04){$x=\mu$}
%\uput[u](36,0.023){$x=36$}                
%\cput[doubleline=false,fillstyle=solid,fillcolor=white,](42,0.0125){$1$}
%\cput[doubleline=false,fillstyle=solid,fillcolor=white,](55,0.0125){$2$}		
%\psline{->}(28,0.062)(42,0.022)
%\psline{->}(32,0.062)(52,0.022)		
\end{pspicture}
                \end{center}
		
\vspace{1cm}

	\item %2	
Nous calculons ici :
		
$\begin{array}{ccll}
P_{X > 3\times 12}(X  < 5\times 12)	& = 	&  P_{X  \geqslant  36}( X   \leqslant60)&\text{(C'est une loi continue)}\\
			& =	& \dfrac{P(36 \leqslant X \leqslant 60)}{P(X  \geqslant 36)}&\\[8pt]
			& \approx 	& \dfrac{0,76986}{0,884930}&\\[8pt]
			& \approx & 0,870&
		\end{array}$
\end{enumerate}


\medskip
\textbf{Partie C}
\begin{enumerate}
	\item %1
		Nous savons que :
		\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $p=0,3$ la proportion.
			\item[$\bullet~~$] $n = \np{1500}$ et $n  \geqslant 30$
			\item[$\bullet~~$] $n\times p = 450$  et  $450\geqslant 5$
			\item[$\bullet~~$] $n\times (1-p) = \np{1050}$ et $\np{1050} \geqslant 5$.
		\end{itemize}
		L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95 \% de la fréquence vaut : $$I=\left[ p-1,96 \times \dfrac{\sqrt{ p~(1-p ) }}{\sqrt{ n }} ~;~p+1,96 \times \dfrac{\sqrt{ p~(1-p ) }}{\sqrt{ n }} \right]$$
		En effectuant les calculs, nous obtenons : 
		$I=[0,276~;~0,323]$

	\item %2
		La fréquence observée pour l'échantillon vaut : $f = \dfrac{430}{\np{1500}} \approx 0,287$. Ici $f \in I$, $p = 0,3$ est donc acceptable.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
$u_3= \np{2000}\times 1,008^2\approx 2~032,13$. Le coût après 30 m de forage est de \np{2032,13} \euro.
	\item %2
		\begin{enumerate}
			\item %a
Nous pouvons calculer :

$\left.\begin{array}{ccl}
u_{n+1}	& = 	&  2~000\times 1,008^{n+1-1}\\
        & =	& 2~000\times 1,008^{n-1+1}\\
        & = 	& 2~000\times 1,008^{n-1}\times 1,008\\
        & = & u_n \times 1,008
       \end{array}\right.$
                    		
$(u_n)$ est géométrique de raison : $q=1,008$.
			\item %b
$u_{n+1}=1,008\times u_n  \Leftrightarrow  u_{n+1}=\left( 1+\dfrac{0,8}{100} \right)\times u_n$.
				
Pour passer de $n$ à $n+1$ le coefficient multiplicateur vaut : $\left( 1+\dfrac{0,8}{100} \right)$.
				
Le pourcentage d'augmentation permettant de passer de $n$ à $n+1$ vaut donc : $t=0,8$ \%.
		\end{enumerate}
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item ~%a
\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.2cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}} \hline
valeurs de $i$	&	&	2	&	3	& 	4	&	5\\ \hline
Valeur de $u$	&\np{2000}&\np{2016}&\np{2032,128}&\np{2048,38}&\np{2064,77}\\ \hline
Valeur de $S$	&\np{2000}&\np{4016}&\np{6048,128}&$\approx $\np{8096,51}&$\approx$\np{10161,29}	\\ \hline
\end{tabularx}
			\item %b
La sortie donne : $\approx10161,29$. C'est le coût de forage à 50 mètres de profondeur.
		\end{enumerate}
	\item %4
		\begin{enumerate}
			\item %a
On recherche le plus petit entier de $n$ pour lequel :\\
$\left.\begin{array}{rcl}
S_n	& > 	& \np{125000}\\
- \np{250000}+\np{250000}\times 1,08^n	& >	& \np{125000}\\
\np{250000}\times 1,008^n	& > 	& \np{375000}\\
1,008^n	& > 	& \dfrac{375}{250}\\
\ln \left(1,008^n\right) & > 	& \ln\left(\dfrac{375}{250}\right)\\
n \ln 1,008 & > 	& \ln\left(\dfrac{375}{250}\right)\\
n  & > 	& \ln\left(\dfrac{375}{250}\right) \div \ln (1,008)\\
n & > & 50,885
\end{array}\right.$
                    		
Le coût est supérieur à \np{125000} pour $n$ plus grand que 509 mètres.
			\item %b
				Voici l'algorithme modifié :
%\floatname{algorithm}{Algorithme}
% \renewcommand{\algorithmicrequire}{\textbf{Pré condtions :}} %The Precondition
% \renewcommand{\algorithmicensure}{\textbf{Post conditions:}} %The Postcondition
% \renewcommand{\algorithmicend}{\textbf{fin}}
% \renewcommand{\algorithmicif}{\textbf{si}}
% \renewcommand{\algorithmicthen}{\textbf{alors}}
% \renewcommand{\algorithmicelse}{\textbf{sinon}}
% \renewcommand{\algorithmicelsif}{\algorithmicelse\ \algorithmicif}
% \renewcommand{\algorithmicendif}{\algorithmicend\ \algorithmicif}
% \renewcommand{\algorithmicfor}{\textbf{pour}}
% \renewcommand{\algorithmicforall}{\textbf{pour tous}}
% \renewcommand{\algorithmicdo}{\textbf{faire}}
% \renewcommand{\algorithmicendfor}{\algorithmicend\ \algorithmicfor}
% \renewcommand{\algorithmicwhile}{\textbf{tant que}}
% \renewcommand{\algorithmicendwhile}{\algorithmicend\ \algorithmicwhile}
% \renewcommand{\algorithmicloop}{\textbf{boucle}}
% \renewcommand{\algorithmicendloop}{\algorithmicend\ \algorithmicloop}
% \renewcommand{\algorithmicrepeat}{\textbf{répeter}}
% \renewcommand{\algorithmicuntil}{\textbf{Jusqu'à ce que}}
% \renewcommand{\algorithmicprint}{\textbf{afficher}}
% \renewcommand{\algorithmicreturn}{\textbf{retourner}}
% \renewcommand{\algorithmictrue}{\textbf{vrai}}
% \renewcommand{\algorithmicfalse}{\textbf{faux}}
%
%\begin{algorithmic}
%\STATE \underline{\textit{Variables} :}
%\STATE $n$ : dans $\N$
%\STATE $u,~S$ : dans $\R$
%\STATE \underline{\textit{Initialisation} :}
%\STATE $u$ prend la valeur 2000
%\STATE $S$ prend la valeur 2000
%\STATE \textcolor{red}{$n$ prend la valeur 1}
%\STATE \underline{\textit{Traitement} :}
%\WHILE {\textcolor{red}{$S \leqslant 125~000$}}
%   \STATE  $u$ prend la valeur $u*1,008$  
%   \STATE  $S$ prend la valeur $S+u$
%   \STATE  \textcolor{red}{$n$ prend la valeur $n+1$}
%\ENDWHILE
%\STATE \underline{\textit{Sortie} :}
%\STATE \textcolor{red}{Afficher $n$}
%\end{algorithmic}

\begin{tabular}{l l}
Variables: & $n$ dans $\N$\\
  & $u$, $S$ dans $\R$\\
Initialisation: & $u$ prend la valeur $\np{2000}$\\
  & $S$ prend la valeur $\np{2000}$\\
  & \red $n$ prend la valeur 1\\
Traitement: & {\bf tant que} {\red $S \leqslant \np{125000}$} {\bf faire}\\
  & \hspace*{1cm} $u$ prend la valeur $u*1,008$\\
  & \hspace*{1cm} $S$ prend la valeur $S+u$\\
  & \hspace*{1cm} \textcolor{red}{$n$ prend la valeur $n+1$}\\
  & \bf fin tant que\\
Sortie: & \red Afficher $n$
\end{tabular}


		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{candidats ayant suivi l'enseignement de spécialitée}

\medskip

\textbf{Partie A}


\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
\uput[ul](2.5,4.5){A}
\uput[u](4.5,4.5){B}
\uput[l](2.7,2.5){C}
\uput[l](1,2.1){D}
\uput[d](3,0.7){E}
\uput[ur](4.3,2.7){F}
\uput[r](6.8,3){G}
\uput[dr](6.6,1){H}
\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a	
				Ce graphe $\Gamma$ possède 8 sommets et c'est un graphe connexe, la chaîne A-B-G-H-F-C-E-D passe par tous les sommets, deux sommets quelconques seront toujours reliés par une chaîne.				
			\item %b
Tableau des sommets degrés \\

\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
Sommets	&A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H\\ \hline
Degrés	&2	&4	&2	&2	&4	&4	&2	&4\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
                    
                    		Le graphe a tous ses sommets de degré pair, étant connexe, il admet un cycle Eulérien d'après le théorème d'Euler, donc à fortiori une chaîne eulérienne.
                    		
                    \end{enumerate}
	\item %2	
		Le nombre de chemin de longueur 3 reliant E à B est donné par $M_{25}^{(3)}=5$, il y 5 chemins de longueur 3 reliant E à B.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7.5,5)
\psdots(2.5,4.5)(4.5,4.5)(2.7,2.5)(1,2.1)(3,0.7)(4.3,2.7)(6.8,3)(6.6,1)%ABCDEFGH
\pnode(2.5,4.5){A}\uput[ul](2.5,4.5){A}
\pnode(4.5,4.5){B}\uput[u](4.5,4.5){B}
\pnode(2.7,2.5){C}\uput[l](2.7,2.5){C}
\pnode(1,2.1){D}  \uput[l](1,2.1){D}
\pnode(3,0.7){E}  \uput[d](3,0.7){E}
\pnode(4.3,2.7){F}\uput[ur](4.3,2.7){F}
\pnode(6.8,3){G}  \uput[r](6.8,3){G}
\pnode(6.6,1){H}  \uput[dr](6.6,1){H}
\ncarc{A}{B}\ncput*{12}
\ncarc{A}{D}\ncput*{14}
\ncarc{B}{G}\ncput*{16}
\ncarc{G}{H}\ncput*{11}
\ncarc{B}{H}\ncput*{21}
\ncarc{B}{F}\ncput*{9}
\ncarc{F}{H}\ncput*{11}
\ncarc{F}{E}\ncput*{16}
\ncarc{E}{H}\ncput*{10}
\ncarc{F}{C}\ncput*{10}
\ncarc{C}{E}\ncput*{13}
\ncarc{D}{E}\ncput*{10}
%\psline(2.5,4.5)(4.5,4.5)(4.3,2.7)(2.7,2.5)(3,0.7)(1,2.1)(2.5,4.5)%ABFCED
%\pspolygon(4.5,4.5)(6.8,3)(6.6,1)%BGH
%\pspolygon(4.3,2.7)(6.6,1)(3,0.7)%FHE
%\ncline{A}{D}\naput{14}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
Nous avons déjà répondu à la question dans la partie A 1. b.
				
Voici un exemple de cycle : A-B-F-C-E-F-H-B-G-H-E-D-A .(nous avons utilisé ici l'algorithme d'Euler).
			\item %b
Nous cherchons ici tous les chemins de longueurs 3 reliant le refuge E au refuge B. Il y en a 5 (d'après la question 2. b. de la partie A).

Voici les chemins possibles :
				E-C-F-B $~~~$ E-H-F-B $~~~$ E-D-A-B ~~~ E-H-G-B $~~~$ E-F-H-B.
		\end{enumerate}
	\item %2
		Pour déterminer la distance la plus courte entre A et H, nous utiliserons l'algorithme de Dijkstra :
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|*{18}{c|}} \hline
A	&B	&C	&D	&E	&F	&G	&H&	select\\ \hline
 0	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$	&$\infty$&	A(0)\\ \hline
                         | 	&12 (A)	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	& $\infty$ 	&B(12)\\ \hline
                         | 	& | 	& $\infty$ 	&14 (A)	& $\infty$ 	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&D(14)\\ \hline
                         | 	& | 	& $\infty$ 	& | 	&24 (D)	&21 (B)	&28 (B)	&33 (B)	&F(21)\\ \hline
                         | 	& | 	&31 (F)	& | 	&24 (D)	& | 	&28 (B)	&32 (F)	&E(24)\\ \hline
                         | 	& | 	&31 (F)	& | 	& | 	& | 	&28 (B)	&32 (F)	&G(28)\\ \hline
                         | 	& | 	&31 (F)	& | 	& | 	& | 	& | 	&32 (F)	&C(31)\\ \hline
                         | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	& | 	&32 (F)	&H(32)\\ \hline
                        \end{tabular}
                        \end{center}
                                                
 La distance la plus courte vaut : 32
                        
La chaîne qui la réalise vaut : A-B-F-H.
                        
L'itinéraire le plus court reliant A à H fait donc 32 km et passe par les sommets suivants : A-B-F-H.

\end{enumerate}

\medskip

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 6 points}

\textbf{commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		\begin{enumerate}
			\item %a
$f'(-3)=0$, en effet au point d'abscisse -3 la tangente à la courbe est horizontale.
			\item %b
$f(0)=2$~~~et $f'(0)=-3$.
		\end{enumerate}
	\item %2
Nous savons que : $f(x)=a+(x+b)\e^{-x}$.
		\begin{enumerate}
			\item %a
$f$ est dérivable sur $\R$ et : $f'(x)=0+1\times \e^{-x}-\e^{-x}\times (x+b)$.
			\item %b
Comme :
\begin{itemize}
			\item[$\bullet~~$] $f'(-3) = 0 \Rightarrow 1 \times \e^{-x}- \e^{-0} \times (0 + b)  = -3 \Rightarrow 1 - b  = - 3$.
			\item[$\bullet~~$] $f(0) = 2 \Rightarrow a +(0+b)\times \e^{-0}  = 2 \Rightarrow a+b  = 2$.
\end{itemize}				
			\item %c
				De la question précédente, nous déduisons le système suivant et sa résolution:
				%openbrace((a+b=2) crl (1-b=-3))<=>openbrace((a=2-b) crl (b=4))<=>openbrace((a=-2) crl (b=4))
				
%\[\left\{ {\Large\substack{a+b = 2 \\[5pt]1-b  = -3}} \right. \iff \left\{ {\Large\substack{a = 2-b  \\[5pt]b = 4}} \right. \iff \left\{ {\Large\substack{a = -2 \\[5pt]b = 4}} \right.\]

\[\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a+b & 2\\
1-b & -3
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & 2-b\\
b & 4
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & -2\\
b & 4
\end{array}
\right. \]

Conclusion: $f(x) = -2+ (x + 4)\e^{- x}$.			
		\end{enumerate} 
\end{enumerate}

\medskip 

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
	\item %1
		La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ en tant que somme de fonctions dérivables.\\
		$\left.\begin{array}{ccl}
f'(x)	& = 	&  \e^{-x}-\e^{-x}\times (x+4)\\
& =	& \e^{-x}\left(1-(x+4)\right)\\
& =	& \e^{-x}(-x-3)
		\end{array}\right.$
		
Comme $\e^{-x}>0$ pour tout $x\in \R$, le signe de $f'(x)$ ne dépendra que de $-x-3$.
		
Nous en déduisons le tableau de signes de $f'(x)$ et le tableau de variations de $f$ :

%		%[lgt=3,espcl=3,deltacl=1.5]
%                % lgt : largeur première colonne espcl : largeur entre valeurs deltacl : espace au début et à la fin.
% \begin{center} 
% \begin{tikzpicture}[x=10mm,y=8mm]
% \tkzTabInit[lgt=3,espcl=2,deltacl=1]{$x$/1,$-x-3$/1,$\e^{-x}$/1,$f'(x)$/1,$f$/2}{$-4$,$-3$,$3$} 
%\tkzTabLine{,+,z,-}
%\tkzTabLine{,+,z,+}
%\tkzTabLine{,+,z,-}
%\tkzTabVar{-/$-2$,+/$-2+\e^3$,-/$-2+7\e^{-3}$}
%\end{tikzpicture}
%                \end{center}

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & -4  & \hspace*{\esp} & -3 & \hspace*{\esp} & 3 \\ 
\hline
-x-3 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
\e^{-x} &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{-2+\e^{3}}  &  &   \\  
f & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-2} &   &  &  &   \Rnode{min2}{-2+7\e^{-3}} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}
                
Avec les valeurs suivantes :
       \begin{itemize}
            		\item[$\bullet~~$] $f(-4) = - 2+(- 4+4)\e^{4}=-2$
            		\item[$\bullet~~$] $f(-3) = - 2+(- 3+4)\e^{3}=- 2 + \e^3\approx 18,09$
            		\item[$\bullet~~$] $f(3) = - 2+(3+4)\e^{-3}\approx - 1,651$
       \end{itemize}
        \item %2
        	\begin{itemize}
        		\item[$\bullet~~$] sur [-3~;~3], $f$ est strictement décroissante.
        		\item[$\bullet~~$] $f$ est dérivable sur $\R$, elle est donc continue sur $\R$ et donc sur [-3~;~3].
        		\item[$\bullet~~$] 0 est compris entre $f(-3)$ et $f(3)$. Nous les avons calculé ci-dessus.
        	\end{itemize}
        	D'après le théorème des valeurs intermédiaires et la stricte monotonie de la fonction $f$ sur [-3~;~3], $f(x)=0$ admet une solution unique $\alpha$ dans cet intervalle.\\
        	Avec la calculatrice, nous trouvons : $\alpha \approx 0,895\approx 0,90$.
	\item %3
		\begin{enumerate}
			\item %a
				Sur l'intervalle [-3~;~0], la fonction admet un minimum atteint pour $x=0$ et qui vaut : $f(0)=2$.
				
On en déduit que $f(x)>0$ pour tout $x\in\left[ -3 ; 0 \right]$.

Ainsi l'aire comprise entre les axes d'équations $x=-3$, $x=0$, l'axe des abscisses et la courbe représentative de $f$ vaut : 

\[\mathcal{A}=\displaystyle\int_{-3}^{0}f(x)\text{d}x.\]

			\item %b
				Une primitive de $f$ vaut $F$, d'après la copie d'écran donnée dans le sujet. En effet :
				
\[F'(x) = x\times \e^{-x}+4\times \e^{-x}-2= (x+4)\times\e^{-x}-2=-2+(x+4)\e^{-x}.\]
				
Calculons ensuite :
				\begin{itemize}
					\item[$\bullet~~$] $F(-3)=-2\times (-3) +(+3-5)\e^{+3}=-2\e^{3}+6$
					\item[$\bullet~~$] $F(0)=-2\times 0+(-0-5)\e^{-0}=-5$
				\end{itemize}		
				
Ainsi :
				
$\left.\begin{array}{ccl}
             \mathcal{A}& = &  \displaystyle\int_{-3}^{0}f(x)\text{d}x\\
                    	& =	& \left[F(x)\right]_{-3}^0\\
                    	& =	& F(0)-F(-3)\\
						& =	& -5-\left(-2\e^{3}+6\right)\\
						& = & 2\e^3-11\\
						& \approx& 29,17~\text{U.A.}
                    		\end{array}\right.$
		\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip
\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Cette fonction est deux fois dérivables sur $\R_+^\star$
\begin{itemize}
	\item[$\bullet~~$] $f'(x)=3-3\ln x -3x\times \dfrac{1}{x}=-3\ln x$.
	\item[$\bullet~~$] $f''(x) = -\dfrac{3}{x}$.
\end{itemize}

Sur  $\R_+^\star$, $f''(x)<0$, $f'$ est donc strictement décroissante sur  $\R_+^\star$. Nous en déduisons que $f$ est concave sur  $\R_+^\star$.

Toutes ses tangentes sont donc au-dessus de $\mathcal{C}_f$ sur  $\R_+^\star$, plus particulièrement la tangente $T$ au point d'abscisse 1.


%%%%%%%%%%%% fin Métropole La Réunion 24  juin 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%% début Polynésie septembre 2015 
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\lfoot{\small{Polynésie}}
\rfoot{\small{9 septembre  2015}}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Polynésie~\decofourright\\9 septembre  2015}
}
\end{center}
\label{Polynesiesep}

%\vspace{0,25cm}

\subsection*{Exercice 1 \hfill Commun à tous les candidats\hfill 5 points}
%
%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
%plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

À une roue de loterie dans une fête foraine, la probabilité annoncée de gagner une partie est égale à $0,12$. Un joueur a la possibilité de jouer plusieurs parties.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un joueur achète un carnet de tickets permettant de faire quatre parties. La valeur la plus approchée de la probabilité que le joueur gagne une seule fois sur les quatre parties
est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\fbox{\textbf{a.} \np{0,3271}}& \textbf{b.} \np{0,0002} &\textbf{c.} \np{0,4824} &\textbf{d.} \np{0,1215}
\end{tabularx}
%\medskip

La variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de parties gagnées suit la loi binomiale de paramètres $n=4$ et $p=0,12$.
On cherche $P(X=1)$.


\item  Après avoir gagné une partie, le joueur a la possibilité d'emporter son lot ou de le remettre en jeu. La probabilité qu'un joueur emporte son lot sachant qu'il a gagné est 0,8. La valeur la plus approchée de la probabilité qu'il parte avec son lot après une seule partie est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,024 &\textbf{b.} 0,12 &\fbox{\textbf{c.} 0,096} &\textbf{d.} 0,8
\end{tabularx}
%\medskip

En construisant un arbre pondéré, on suit le chemin: $0,12\times 0,8=0,096$

\item
On modélise le nombre de parties jouées par jour à cette loterie par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart-type $\sigma = 10$.

Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de $P(140 < X < 160)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} 0,954 & \fbox{\textbf{b.} 0,683} &\textbf{c.} 0,997 &\textbf{d.} 0,841
\end{tabularx}
%\medskip

On connaît $P(\mu-\sigma < X < \mu + \sigma)\approx 0,68$.

\end{enumerate}

\subsubsection*{Partie B}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{3}
\item La fonction $f'$, dérivée de la fonction $f$ définie sur $\R$ par $f(x) = (2x + 1)\text{e}^{-x}$, a pour expression :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $(-x - 1)\text{e}^{-x}$ & \textbf{b.} $(- 2x - 3)\text{e}^{-x}$ & \textbf{c.} $(2x + 3)\text{e}^{-x}$ & \fbox{\textbf{d.} $(-2x + 1)\e^{-x}$}
\end{tabularx}

%\medskip
On applique la formule de dérivation d'un produit de fonctions.

\item Soit un nombre réel strictement positif $a$. 

Parmi ces suites d'inégalités quelle est l'inégalité correcte ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.} $a < \ln a < \text{e}^a$& \textbf{b.} $\text{e}^a < a < \ln a$
& \textbf{c.} $\ln a < \text{e}^a < a$& \fbox{\textbf{d.} $\ln a < a < \text{e}^a$}
\end{tabularx}
%\medskip

Il suffit de tracer les trois courbes d'équations $y=\ln x$, $y=x$ et $y=\e^{x}$ pour s'en convaincre.

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

%\newpage

\subsection*{Exercice 2 \hfill Candidats ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill  5 points}

%\textbf{}
%
%\medskip
%
%Dans un plan de lutte contre la pollution urbaine, une municipalité a décidé de réduire l'utilisation des automobiles en ville en instaurant une taxe pour les automobiles circulant dans une zone du centre ville appelée ZTL (Zone à Trafic Limité) et de développer un réseau de navettes.
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
%
%L'objectif affiché par la municipalité est de réduire de moitié la présence des automobiles dans
%la zone ZTL, dans les deux ans à venir.
%
%Initialement, 40\,\% des automobiles circulant dans la ville, circulaient dans cette zone ZTL.
%Suite à l'instauration de la taxe, l'évolution du trafic dans la ville a été suivie mois après mois.
%L'étude a révélé que, parmi les automobiles circulant dans la ville :
%
%\begin{itemize}
%\item[*] 3\,\% des automobiles circulant dans la zone ZTL n'y circulaient plus le mois suivant.
%\item[*] 0,2\,\% des automobiles qui ne circulaient pas dans la zone ZTL ont été amenés à y circuler le mois suivant.
%\end{itemize}
%
%On note $Z$ l'état: \og l'automobile a circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg et 
%$\overline{Z}$ l'état :
%\og l'automobile n'a pas circulé dans la zone ZTL au cours du mois\fg.
%
%Pour tout entier naturel $n$, on note :
%
%\begin{itemize}
%\item[*] $a_n$ la proportion d'automobiles circulant dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois;
%\item[*] $b_n$ la proportion d'automobiles ne circulant pas dans la zone ZTL au cours du $n$-ième mois;
%\item[*] $P_n = \left(a_n\: b_n\right)$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste après $n$ mois.
%\end{itemize}
%
%On a : $a_n + b_n; = 1$ et $P_0 = \begin{pmatrix}0,4& 0, 6\end{pmatrix}$.
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $Z$ et $\overline{Z}$:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{Z1}{$Z$} \hskip 4cm \Rnode{Z2}{$\overline{Z}$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{Z1}{Z2} \Aput{0,03}%  arc pondéré partant de Z
\ncarc{->}{Z2}{Z1} \Aput{0,002}% arc pondéré arrivant à Z
\nccircle[angleA=90]{->}{Z1}{4mm}   \Bput{0,97}%   boucle autour de Z
\nccircle[angleA=-90]{->}{Z2}{.4cm} \Bput{0,998}%  boucle autour de Z barre
\end{pspicture}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item% Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe (la première colonne concerne $Z$ et la deuxième concerne $\overline{Z}$).
D'après le texte, on a:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,97\,a_{n} + 0,002\,b_{n}\\
b_{n+1} & 0,03\,a_{n} + 0,998\,b_{n}
\end{array}
\right. $
		
Autrement dit:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix} =
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}$

La matrice de transition de l'état $n$ à l'état $n+1$ est donc
$M=
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}$


		\item% Vérifier que $P_1 = \begin{pmatrix}\np{0,3892}& \np{0,6108}\end{pmatrix}$.
$P_1=P_0\times M = 
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,4\times 0,97 + 0,6 \times 0,002 & 0,4\times 0,03 + 0,6 \times 0,998
\end{pmatrix}\\
\phantom{P_1}
=
\begin{pmatrix}
0,388 + \np{0,0012} & 0,012 + \np{5988}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
\np{0,3892} & \np{0,6108}
\end{pmatrix}
$		
		
 	\end{enumerate}

\item%  L'objectif affiché par la municipalité sera-t-il atteint ?
Pour que l'objectif de la municipalité soit atteint, il faudrait que le pourcentage d'automobiles en ZTL soit ramené à la moitié de 40\,\% en deux ans, c'est-à-dire à 20\,\% en 24 mois.

D'après le cours, on sait que, pour tout entier $n\pg 1$, $P_n = P_0\times M^n$.

\`A la calculatrice on obtient 
$P_{24} 
=
\begin{pmatrix}
0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
\times 
\begin{pmatrix}
0,97 & 0,03 \\ 0,002 & 0,998
\end{pmatrix}^{24}
\approx
\begin{pmatrix}
\np{0,2171} & \np{0,7829}
\end{pmatrix}$

Donc $a_{24}\approx \np{0,2171} > 0,20$ donc l'objectif affiché par la municipalité ne sera pas atteint.

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}

\parbox{0.4\linewidth}{Un réseau de navettes gratuites est mis en
place entre des parkings situés aux abords de la ville et les principaux sites de la ville.
 
Le graphe ci-contre indique les voies et les temps des liaisons, en minutes, entre ces différents sites.}
\hfill
\parbox{0.57\linewidth}{ \psset{unit=1.15cm}
\begin{pspicture}(6.5,5)
\cnodeput(2,4.5){A}{A}
\cnodeput(2,2.5){B}{B}
\cnodeput(2,0.5){C}{C}
\cnodeput(4,4.5){D}{D}
\cnodeput(4,0.5){E}{E}
\cnodeput(5.5,4.5){F}{F}
\cnodeput(6,2.5){G}{G}
\cnodeput(0.5,2.5){H}{P}
\ncline{A}{D}\ncput*{5}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{A}{H}\ncput*{9}
\ncline{A}{E}\ncput*{6}
\ncline{B}{H}\ncput*{8}
\ncline{B}{C}\ncput*{3}
\ncline{B}{E}\ncput*{5}
\ncline{C}{H}\ncput*{4}
\ncline{C}{E}\ncput*{9}
\ncline{D}{B}\ncput*{6}
\ncline{D}{E}\ncput*{4}
\ncline{D}{G}\ncput*{8}
\ncline{D}{F}\ncput*{5}
\ncline{F}{G}\ncput*{7}
\ncline{E}{G}\ncput*{10}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Peut-on envisager un itinéraire qui relierait le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites ?
Sur ce graphe, c'est assez facile de trouver un itinéraire reliant le parking P à la gare G en desservant une et une seule fois tous les sites:

\hfill P -- B -- C -- E -- A -- D -- F -- G\hfill{} 

\medskip

\emph{Note du correcteur}

\emph{Rechercher dans un graphe un trajet qui passe une et une seule fois par tous les sommets, c'est chercher un chemin hamiltonien; cette notion n'est pas au programme de la spécialité en ES mais dans le graphe proposé ici, il n'y avait guère de difficulté pour répondre à la question.}

\emph{Il n'existe pas -- à ma connaissance -- de condition nécessaire et suffisante pour qu'un graphe admette un chemin hamiltonien.}

\item% Peut-on envisager un itinéraire qui emprunterait une et une seule fois toutes les voies ?
On cherche un chemin qui emprunte une et une seule fois toutes les voies et qui relie P à G, autrement dit un chemin eulérien.

Or, d'après le théorème d'Euler, il existe un chemin eulérien dans un graphe si et seulement si tous les sommets ou tous les sommets sauf 2 sont de degrés pairs. Tous les sommets de ce graphe sont de degrés impairs sauf F, donc il n'existe aucun itinéraire qui emprunte une et une seule fois toutes les voies.

\item On va déterminer un trajet de durée minimale pour se rendre du parking P à la gare G au moyen de l'algorithme de Dijkstra:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
%\scriptsize
\newcommand{\sur}[1]{\fcolorbox{yellow}{yellow}{#1}}
\begin{tabular}{|*{9}{c|}}
\hline 
 P &  A  &  B  &  C  &  D   &   E   &   F   &   G  &{\small On garde} \\ 
\hline 
0 & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & P \\
\hline
 & 9 P & 8 P & \sur{4 C} & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & $\infty$ & C \\
\hline
 & 9 P & \sout{8 P} &  & $\infty$ &  & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 &     & \sur{7 C} &  &  & 13 C &  &  & B \\
\hline
 & \sur{9 P} &  &  &      & 13 C  & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 &     &  &  & 13 B &  &  &  & A \\
\hline
 &  &  &  & \sur{13 B} & 13 C        & $\infty$ & $\infty$ &  \\[-3pt]
 &  &  &  & \sout{14 A}& \sout{15 A} &  &  & D \\
\hline
 &  &  &  &  & \sur{13 C} &  &  &  \\[-3pt]
  &  &  &  &  &  & 18 D & 21 D & E \\
\hline
  &  &  &  &  &  & \sur{18 D} & 21 D        &  \\[-3pt]
  &  &  &  &  &  &            & \sout{23 E} & F \\
\hline
$\phantom{21 D}$  &  &  &  &  &  &  & \sur{21 D}  &  \\[-3pt]
  &  &  &  &  &  &  & \sout{25 F} & G \\
\hline
\end{tabular} }
\end{center} 

Le chemin le plus rapide de P vers G est d'une durée de 21 minutes:

\hfill{}
P $\stackrel{4}{\longrightarrow}$ 
C $\stackrel{3}{\longrightarrow}$ 
B $\stackrel{6}{\longrightarrow}$ 
D $\stackrel{8}{\longrightarrow}$ G
\hfill{}


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

%\newpage

\subsection*{Exercice 3 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\medskip
 
\textbf{Étude de la répartition des salaires dans deux entreprises}

%\medskip
%
%Un cabinet d'audit a été chargé d'étudier la répartition des salaires dans deux filiales d'une entreprise, appelées A et B. Pour l'étude, les salaires sont classés par ordre croissant.
%\medskip
%
%\parbox{0.47\linewidth}{Le cabinet d'audit a modélisé la répartition de
%salaires par la fonction $u$ pour la filiale A et par la fonction $v$ pour la filiale B.
%
%Les fonctions $u$ et $v$ sont définies sur l'intervalle [0~;~1] par :
%
%$u(x) = 0,6x^2 + 0, 4x$ et
%
%$v(x) = 0,7x^3 + 0,1x^2 + 0, 2x$.
%
%On a tracé ci-contre les courbes représentatives
%$\mathcal C$ et $\mathcal{C'}$ des fonctions $u$ et $v$.}
%\hfill
%\parbox{0.47\linewidth}{
%\psset{unit=5cm,comma=true}
%\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.02,1.1)
%\def\pshlabel#1{\small #1}
%\def\psvlabel#1{\small #1}
%
%\def\f{x}
%\def\u{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
%\def\v{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}
%
%\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{0}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(1,0)\lineto(0,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=white,hatchangle=-45]
%{
%\psplot{0}{1}{\v} % courbe de f sur [inf ; sup]
%\lineto(1,0)\lineto(0,0)
%\closepath % indispensable !
%}
%
%\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
%\psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.09,-0.09)(1.1,1.1)
%\psline(1,0)(1,1.1)
%\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
%\uput[dr](0.72,0.5){$\mathcal C$}
%\uput[ul](0.33,0.17){$\mathcal{C'}$}
%
%\psplot[linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
%\rput{45}(0.75,0.8){$D\::\:y = x$}
%\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{\u}
%\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{\v}
%
%\end{pspicture}
%}
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer la courbe représentative de la fonction $u$ en justifiant la réponse.
La courbe $\mathcal C$ passe par le point E d'abscisse 0,6; graphiquement on voit que son ordonnée est approximativement de 0,3.

$u(0,6)=0,6\times 0,6^2+0,4\times 0,6 = 0,456$
et
$v(0,6)=0,7\times 0,6^3 + 0,1\times 0,6^2 +0,2\times 0,6 = \np{0,3072}$

Donc la courbe $\mathcal C$ est la représentation de la fonction $v$, et donc la courbe représentative de la fonction $u$ est $\mathcal{C'}$.

On a alors:
\hfill
\begin{tabular}[t]{|l |c |c|}
\hline
Filiale & A & B\\
\hline
Fonction & $u$ & $v$ \\
\hline
Courbe & $\mathcal{C'}$ & $\mathcal{C}$\\
\hline
\end{tabular}
\hfill{}

\item % Lorsque $x$ représente un pourcentage de salariés, $u(x)$ et $v(x)$ représentent le pourcentage de la masse salariale que se partagent ces salariés dans leurs filiales respectives.

%Exemple : pour la courbe $C$, le point E(0,60~;~0,3072) signifie que 60\,\% des salariés ayant les plus bas salaires se partagent 30,72\,\% de la masse salariale.

	\begin{enumerate}

		\item% Calculer le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires.
Pour avoir le pourcentage de la masse salariale que se répartissent les 50\,\% des salariés de la filiale A ayant les plus bas salaires, on calcule $u(0,5)$ que l'on exprimera en pourcentage.

$u(0,5)=0,6\times 0,5^2+0,4\times 0,5 = 0,35$ donc 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale A se partagent 35\,\% de la masse salariale.

		\item% Pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, laquelle des filiales, A ou B, distribue la plus grande part de la masse salariale ?
$v(0,5) = 0,7\times 0,5^3 + 0,1\times 0,5^2 +0,2\times 0,5 = \np{0,2125}$;
donc 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires dans la filiale B se partagent 21,25\,\% de la masse salariale.

Donc pour les 50\,\% des salariés ayant les plus bas salaires, c'est la filiale A qui distribue la plus grande part de la masse salariale.

		\item%  Quelle filiale parait avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire ?
D'après la question précédente, c'est la filière B qui semble avoir une distribution des salaires la plus inégalitaire.		
		
 	\end{enumerate}
 	
\item  Pour mesurer ces inégalités de salaires, on définit le coefficient de Gini associé à une fonction $f$ modélisant la répartition des salaires, rangés en ordre croissant, par la formule :
	
\[c_f = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x\right)\]
	
	\begin{enumerate}
	
		\item% Montrer que $c_u = 0,2$.
$c_u = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 u(x)\d x \right)$

Une primitive $U$ de la fonction $u$ sur $\cd 0\,;\,1 \cg$ est définie par:

$U(x)=0,6 \dfrac{x^3}{3} + 0,4 \dfrac{x^2}{2}= 0,2x^3+0,2x^2$;
$\ds\int_{0}^1 u(x) \d x = U(1) - U(0) = 0,4$

Donc $c_u= 2(0,5-0,4)=0,2$
	
		\item% En observant que $\dfrac{c_v}{2} = \displaystyle\int_0^1x\:\text{d}x - \displaystyle\int_0^1v(x)\:\text{d}x$, donner une interprétation graphique de $\dfrac{c_v}{2}$ en termes d' aires.

\begin{multicols}{2}
$c_v = 2\left(\dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 v(x) \d x \right)$
 donc $\dfrac{c_v}{2} = \dfrac{1}{2} - \displaystyle\int_0^1 v(x) \d x$
 
De plus, $\dfrac{1}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ est la moitié de l'aire du carré de côté 1, donc c'est l'aire du domaine compris entre la droite d'équation $y=x$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$; autrement dit $\dfrac{1}{2} = \ds\int_0^1 x \d x$. 

$\ds\int_0^1 v(x) \d x$ représente l'aire du domaine compris entre la courbe $\mathcal C$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.

\columnbreak

\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.02,1.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}

\def\f{x}
\def\u{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
\def\v{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}

\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=white,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\v} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}

\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.09,-0.09)(1.1,1.1)
\psline(1,0)(1,1.1)
\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
\uput[dr](0.72,0.5){$\mathcal C$}
\uput[ul](0.33,0.17){$\mathcal{C'}$}

\psplot[linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
\rput{45}(0.75,0.8){$D\::\:y = x$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{\u}
\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{\v}

\end{pspicture}
\end{multicols}

Donc $\dfrac{c_v}{2}$ représente l'aire du domaine hachuré sur le graphique ci-dessus.

		\item% En déduire que $c_v$ est compris entre 0 et 1.
L'aire du domaine hachuré est plus petite que 0,5 donc $c_v \pp 1$.

De plus, $c_v$ représente une aire donc est positive: $0 \pp c_v \pp 1$

		\item% Justifier l'inégalité $c_u \leqslant c_v$.
\begin{multicols}{2}
De la même manière, on prouverait que $\dfrac{c_u}{2\rule[-3pt]{0pt}{0pt}}$ est égal à l'aire du domaine hachuré dans le graphique ci-contre.\\\\
En comparant les aires, on en déduit que\\[10pt]
\hspace*{2cm}$\dfrac{c_u}{2} \pp \dfrac{c_v}{2}$\\[10pt]
et donc que $c_u \pp c_v$

\columnbreak

\psset{unit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-0.1)(1.02,1.1)
\def\pshlabel#1{\small #1}
\def\psvlabel#1{\small #1}

\def\f{x}
\def\u{x dup mul 0.6 mul 0.4 x mul add}
\def\v{x 3 exp  0.7 mul x dup mul  0.1 mul add 0.2 x mul add}

\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=blue,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\pscustom[fillstyle=solid,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=white,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{1}{\u} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(1,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}

\psgrid[linestyle=dashed,subgriddiv=10,gridlabels=0](0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt,,Dx=0.1,Dy=0.1]{->}(0,0)(-0.09,-0.09)(1.1,1.1)
\psline(1,0)(1,1.1)
\psdots(0.6,0.3072)\uput[dr](0.6,0.3072){E}
\uput[dr](0.72,0.5){$\mathcal C$}
\uput[ul](0.33,0.17){$\mathcal{C'}$}

\psplot[linestyle=dashed]{0}{1}{\f}
\rput{45}(0.75,0.8){$D\::\:y = x$}
\psplot[linewidth=1.5pt]{0}{1}{\u}
\psplot[linewidth=1pt]{0}{1}{\v}

\end{pspicture}

\end{multicols}

	\end{enumerate} 
\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}

%\newpage

\subsection*{Exercice 4 \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

On considère une fonction $P$ définie et dérivable sur l'intervalle \cd{}0~;~60\cg.

On donne page suivante la courbe représentative $\mathcal C$ de la fonction $P$:

%\medskip

\begin{figure}|t]
\centering
\label{fig_Polysep}
\psset{xunit=0.21cm,yunit=0.4cm}
\begin{pspicture}(-1,-1)(62,18)
\psgrid[gridwidth=0.2pt,subgriddiv=1,subgriddots=5,gridlabels=0](0,0)(62,18)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=2](0,0)(62,18)
\def\f{2.71828 0.1 x mul 5 sub exp 60 x sub mul 6 add}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{\f}
\psplot[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{0}{60}{10}
\uput[u](32,11){$\mathcal C$}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{0}{10}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(10,0)\lineto(0,0)
\closepath % indispensable !
}
\end{pspicture}
\end{figure}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

%À partir d'une lecture graphique répondre aux questions qui suivent :
%
%\medskip

\begin{enumerate}
\item% En argumentant la réponse, donner le signe de $P'(54)$, où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
Autour de $x=54$, la fonction $P$ est décroissante donc le nombre dérivé $P'(54)$ est négatif.

\item% Donner un intervalle sur lequel la fonction $P$ est convexe.
D'après le graphique, la fonction $P$ est convexe sur l'intervalle $\cd{}10\,;\,30\cg$.

\item% Donner, à l'unité près, les solutions de l'équation $P(x) = 10$.
Pour déterminer graphiquement les solutions de l'équation $P(x)=10$, on trace la droite d'équation $y=10$. 

Les solutions sont les abscisses des points d'intersection de cette droite et de la courbe $\mathcal C$.

Les solutions de l'équation $P(x)=10$ sont, à l'unité près, 30 et 58.

\item On note $A$ le nombre $\displaystyle\int_0^{10}  P(x)\:\text{d}x$; il correspond à l'aire du domaine hachuré sur le graphique.

Donc $60 < A < 70$

\end{enumerate}
 
%\bigskip
 
\subsubsection*{Partie B}
 
%\medskip
 
La fonction $P$ est définie sur l'intervalle \cd{}0~;~60\cg{} par : 
$P(x) = 6 + (60 - x )\e^{0,1x-5}$
 
%À l'aide d'un logiciel de calcul formel on a obtenu les résultats suivants :
% 
%\begin{center}
%\begin{tabularx}{0.85\linewidth} {|*{2}{X|}}\hline
%\textbf{Actions}&\textbf{Résultats}\\ \hline\hline
%definir(P(x)=6+(60-x)*exp(0,1*x-5))	& x $\mapsto$ 6+(60-x)*exp(0.1*x-5)\\ \hline
%deriver(P(x),x)						&(-0.1*x+5)exp(0.1*x-5)\\\hline
%deriver(deriver(P(x),x),x)			&(-0.01*x+0.4)*exp(0.1*x-5)\\\hline
%\end{tabularx}
%\end{center}

\begin{enumerate}

\item 

	\begin{enumerate}

		\item% Étudier le signe de $P'(x)$ sur l'intervalle [0~;~60] où $P'$ est la fonction dérivée de $P$.
D'après les résultats donnés par le logiciel de calcul formel, 
$P'(x)=(-0,1x+5)\e^{0,1x-5}$

\begin{list}{\textbullet}{Pour tout $x$, $\e^{0,1x-5} >0$ donc $P'(x)$ est du signe de $-0,1x+5$ c'est-à-dire:}
\item strictement positif si $-0,1x+5>0$ soit sur $\cd{}0\,;\,50\cd$;

\item strictement négatif si $-0,1x+5<0$ soit sur $\cg{}50\,;\,60\cg$.

\end{list}

		\item% En déduire les variations de la fonction $P$ sur l'intervalle [0~;~60] et vérifier que la fonction $P$ admet, sur cet intervalle, un maximum valant 16.

\begin{list}{\textbullet}{D'après la question précédente, on peut dire que:}

\item la fonction $P$ est strictement croissante sur $\cd{}0\,;\,50\cg$;

\item la fonction $P$ est strictement décroissante sur $\cd{}50\,;\,60\cg$;

\item la fonction $P$ admet un maximum en $x=50$ qui vaut $P(50)=16$.
\end{list}
		
	\end{enumerate}
	
\item% Montrer que l'équation $P(x) = 10$ a une solution unique $x_0$ sur l'intervalle [0~;~40].
$P(0)\approx 6,4 < 10$ et $P(60)=6$

On peut établir le tableau de variations de la fonction $P$ sur $\cd{}0\,;\,60\cg$:


\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 50 & \hspace*{\esp} & 60 \\ 
\hline
%P'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
%\hline
 & &  &   \Rnode{max}{16}  &  &   \\  
P(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{\approx 6,4} &   &  &  &   \Rnode{min2}{6} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \rput*(-5.7,0.87){\Rnode{zero}{\blue 10}}
\rput(-5.7,2.4){\Rnode{alpha}{\blue x_0}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=blue]{alpha}{zero}
%\rput*(-1.3,0.65){\Rnode{zero2}{\red 0}}
%\rput(-1.3,1.7){\Rnode{beta}{\red \beta}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{beta}{zero2}
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}

D'après ce tableau de variations, on peut dire que l'équation $P(x)=10$ admet une solution unique dans l'intervalle $\cd{}0\,;\,50\cg$.
	
%Donner une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près.
$\left. 
\begin{array}{l !{\approx} r}
P(29) & 9,8\\
P(30) & 10,1
\end{array}
\right\rbrace
\dc
x_0 \in \cd{}29\,;\,30 \cg$ 
\hfill
$\left. 
\begin{array}{l !{\approx} r}
P(29,7) & 9,98\\
P(29,8) & 10,01
\end{array}
\right\rbrace
\dc
x_0 \in \cd{}29,7\,;\,29,8 \cg$ 

\medskip

Donc $29,7$ est une valeur approchée de $x_0$ à 0,1 près.


\item% En exploitant un des résultats donnés par le logiciel de calcul formel, étudier la convexité de la fonction $P$.
La fonction $P$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa courbe représentative est située au-dessus de ses tangentes, ce qui correspond  aux intervalles sur lesquels la fonction dérivée est croissante, ce qui correspond aux intervalles sur lesquels la fonction dérivée seconde est positive.

D'après les résultats donnés par le logiciel de calcul formel, $P''(x)=(-0,01x+0,4)\e^{0,1x-5}$.

$P''(x)>0 \iff -0,01x+0,4 >0 \iff 0,4 > 0,01x \iff 40 >x$

Donc la fonction $P$ est convexe sur $\cd{}0\,;\,40\cd{}$ et concave sur $\cg{}40\,;\,60\cg{}$. 

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%% fin Polynésie septembre 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%%%% début Antilles Guyane septembre 2015
\hypertarget{Antillessep}{}

\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small septembre 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Antilles-Guyane~\decofourright\\septembre 2015}}
\end{center}
\label{Antillessep}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

%\medskip
%
%\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}
%
%\medskip 
%
%\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur [1~;~100] par $f(x) = 200 \ln x + 10x$,\: $f’(x)$ désigne la fonction dérivée de $f$. On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = 200 + \dfrac{1}{x}$&\textbf{b.~~} \fbox{$f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10$}&\textbf{c.~~}  $f'(x) = 200 + 10x$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \dfrac{200}{x} + 10x$ \\
\end{tabularx} 

\medskip

La dérivée de la fonction ln est $x\longmapsto \dfrac{1}{x}$.

\medskip

\item On note $L$ une primitive sur $]0~;~+\infty[$ de la fonction ln. Cette fonction $L$ est : 

\textbf{a.~~} croissante puis décroissante 

\textbf{b.~~}  décroissante sur $[0~;~+\infty[$

\textbf{c.~~} croissante sur $[0~;~+\infty[$

\textbf{d.~~} \fbox{décroissante puis croissante}

\medskip

La fonction ln est négative sur $\cg{}0\,;\,1\cd$ puis positive donc n'importe laquelle de ses primitives est décroissante puis croissante.

\medskip

\item La fonction $g$ définie sur $]0~;~+\infty[$ par $g(x) = x - \ln x$ est : 

\textbf{a.~~}  \fbox{convexe sur  $]0~;~+\infty[$}

\textbf{b.~~} concave sur $]0~;~+\infty[$

\textbf{c.~~} ni convexe ni concave sur $]0~;~+\infty[$ 

\textbf{d.~~} change de convexité sur $]0~;~+\infty[$ 

\medskip

$g(x)=x-\ln x$ donc $g'(x)=1-\dfrac{1}{x}$ et donc $g''(x)=\dfrac{1}{x^2}$\\[5pt]
$g''(x)>0$ sur $\cg{}0\,;\,+\infty\cd$, donc $g$ est convexe sur $\cg{}0\,;\,+\infty\cd$.

\medskip

\item  On a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $h$ définie et dérivable sur $[0~;~+\infty[$ ainsi que sa tangente au point A d'abscisse 2. Par lecture graphique, on peut conjecturer que : 

\medskip

\parbox{0.3\linewidth}{
\textbf{a.~~} $h'(2) = 2$ 

\textbf{b.~~} \fbox{$h'(2) = \dfrac{1}{2}\rule[-3pt]{0pt}{15pt}$}

\textbf{c.~~} $h'(2) = 0$ 

\textbf{d.~~} $h'(2) = 1$}\hfill
\parbox{0.65\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-1.5,-2.5)(6.1,3.2)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,griddots=8]
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-1.5,-2.5)(6,3.2)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(6,3.2)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.1}{6}{x ln 1 add 2 ln sub}
\psplot{-1}{6}{0.5 x mul }
\uput[ul](2,1){A}
\end{pspicture*}
}

\medskip

$h'(2)$ est le coefficient directeur de la droite tracée soit
$\dfrac{y_A-y_O}{x_A-x_O}=\dfrac{1}{2}$.

\medskip

\item La variable aléatoire $X$ suit une loi normale d'espérance $\mu = 0$ et d'écart type $\sigma$ inconnu mais on sait que $P( -10 < X < 10) = 0,8$. On peut en déduire: 

\textbf{a.~~} $P(X < 10) = 0,1$ 

\textbf{b.~~} $P(X < 10) = 0,2$ 

\textbf{c.~~} $P(X < 10) = 0,5$ 

\textbf{d.~~} \fbox{$P(X < 10) = 0,9 $}

\medskip

Un petit dessin peut expliquer la réponse:

\begin{center}
\psset{xunit=0.9cm, yunit=8cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-6}   \def\xmax {6}
\def\ymin {-0.1} \def\ymax {0.31}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=0, gridlabels=0, gridcolor=white, subgridcolor=gray](0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\psaxes[labelFontSize=\small, ticksize=-0pt 0pt, Dx=1, Dy=0.1, labels=none]%
{->}(0,0)(\xmin,-0.1)(\xmax,\ymax)

\def\m{0}% moyenne 
\def\s{2}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=1000]{\xmin}{\xmax}{\f}

\def\inf{-3} \def\sup{3}
\pscustom[fillstyle=hlines,linestyle=solid,linewidth=0.5pt, hatchcolor=red,hatchangle=-45]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}

%\uput[d](\m,0){$\mu$} 
%\psline[linestyle=dashed, dash=1pt 1pt](\m,0)(\m,\ymax)
\uput[d](\inf,0){$-10$}
\uput[d](\sup,0){$10$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt,linecolor=red]{->}(2,0.25)(1,0.1)
\uput[70](2,0.25){\red $80\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(5,0.2)(3.5,0.03)
\uput[ur](5,0.2){$10\,\%$}

\psline[linestyle=dashed, dash=2pt 2pt]{->}(-5,0.2)(-3.5,0.03)
\uput[ul](-5,0.2){$10\,\%$}

\end{pspicture*}
\end{center}


\medskip

\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L }

%\medskip 
%
%Un supermarché dispose d'un stock de pommes. On sait que 40\,\% des pommes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B. 
%
%Il a été constaté que 85\,\% des pommes provenant du fournisseur A sont commercialisables. La proportion de pommes commercialisables est de 95\,\% pour le fournisseur B. 
%
%Le responsable des achats prend au hasard une pomme dans le stock. On considère les évènements suivants : 
%
%A : \og La pomme provient du fournisseur A \fg. 
%
%B : \og La pomme provient du fournisseur B \fg. 
%
%C : \og La pomme est commercialisable \fg. 
%
%%\bigskip

 \subsubsection*{PARTIE A}

%\medskip 

\begin{enumerate}


\item% Construire un arbre pondéré traduisant cette situation. 
On construit un arbre pondéré traduisant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,4$}}
	  { 
		  \TR{$C$}\naput{$0,85$}
		  \TR{$\overline C$}\nbput{\red $1-0,85=0,15$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}}
	  {
		  \TR{$C$}\naput{$0,95$}
		  \TR{$\overline{C}$}\nbput{\red $1-0,95=0,05$}
	  }
}
\end{center}

\bigskip

\item% Montrer que la probabilité que la pomme ne soit pas commercialisable est 0,09. 
L'événement \og la pomme n'est pas commercialisable\fg{} est l'événement $\overline C$.

D'après la formule des probabilités totales:

$P(\overline C)= P( \overline C\cap A) + P( \overline C\cap B) = P(A)\times P_A(\overline C) + P(B)\times P_B(\overline C)
= 0,4\times 0,15 + 0,6\times 0,05 = 0,06+0,03 = 0,09$

\item% La pomme choisie est non commercialisable. Le responsable des achats estime qu'il y a deux fois plus de chance qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B. A-t-il raison ? 
Il s'agit, dans cette question, de comparer
$P_{\overline C}(A)$ et $P_{\overline C}(B)$.

$P_{\overline C}(A) = \dfrac{P(A \cap \overline C)}{P(\overline C)}
= \dfrac{0,06}{0,09} = \dfrac{2}{3}$;
$P_{\overline C}(B) = \dfrac{P(B \cap \overline C)}{P(\overline C)}
= \dfrac{0,03}{0,09} = \dfrac{1}{3}$

Donc le responsable des achats a raison quand il dit qu'une pomme non commercialisable a deux fois plus de chance de provenir du fournisseur A que du fournisseur B.

\end{enumerate}

%Pour les parties B et C, on admet que la proportion de pommes non commercialisables est 0,09 et, quand nécessaire, on arrondira les résultats au millième. 

%\bigskip

\subsubsection*{PARTIE B}

%\medskip  

On prend au hasard 15 pommes dans le stock. Le stock est suffisamment important pour qu'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage aléatoire avec remise. 

Donc la variable aléatoire $X$ qui donne le nombre de pommes commercialisables suit la loi binomiale de paramètres 
$n=15$ et $p=1-0,09 = 0,91$.

\begin{enumerate}

\item% Quelle est la probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables ? 
La probabilité que les 15 pommes soient toutes commercialisables est:

$P(X=15)=\ds\binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\approx 0,243$

\item% Quelle est la probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables ? 
La probabilité qu'au moins 14 pommes soient commercialisables est:

$P(X \pg 14) = P(X=14) + P(X=15)=\ds\binom{15}{14} \,0,91^{14} \,0,09^{1} + \ds\binom{15}{15} \,0,91^{15} \,0,09^{0}\approx \np{0,3605} + \np{0,2430} \approx 0,604$

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{PARTIE C}

%\medskip  

Le responsable des achats prélève dans le stock un échantillon de 200 pommes. Il s'aperçoit que 22 pommes sont non commercialisables. 

%Est-ce conforme à ce qu'il pouvait attendre? 

$n=200 \pg 30$; $np=200\times 0,09 = 18 \pg 5$ et $n(1-p)=200(1-0,09) = 182 \pg 5$ 

donc on peut déterminer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% de la fréquence de pommes non commercialisables:\\

$I=\left [ p-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\,;\, p+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{p(1-p)}}{\ds\sqrt{n}}\right ]$
ce qui donne pour $p=0,09$ et $n=200$:\\

$I=\left [ 0,09-1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,09\times 0,91}}{\ds\sqrt{200}}\,;\, 0,09+1,96 \dfrac{\ds\sqrt{0,09\times 0,91}}{\ds\sqrt{200}}\right ] \approx \cd 0,050 \,;\, 0,130 \cg$

La fréquence de pommes non commercialisables dans l'échantillon est $f=\dfrac{22}{200}=0,11$.

$f \in I$ donc le résultat est conforme à ce qu'on pouvait attendre.

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité} 

\medskip 

\parbox{0.4\linewidth}{Un cycliste désire visiter plusieurs villages notés A, B, C, D, E, F et G reliés entre eux par un réseau de pistes cyclables. 

Le graphe ci-contre schématise son plan ; les arêtes représentent les pistes cyclables et les distances sont en kilomètre. }
\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{pspicture}(8,6)
%\psgrid
\psdots(0.2,1.5)(0.2,5.5)(2,5.5)(7,5.5)(2,1.5)(7,1.5)(5.5,0.2)%FABCGDE
\uput[ul](0.2,5.5){A}\uput[u](2,5.5){B}\uput[u](7,5.5){C}
\uput[r](7,1.5){D}\uput[u](5.5,0.2){E}\uput[dl](0.2,1.5){F}
\uput[dl](2,1.5){G}
\pspolygon(0.2,1.5)(0.2,5.5)(7,5.5)(7,1.5)(5.5,0.2)(2,1.5)(0.2,1.5)%FACDEGF
\pspolygon(2,1.5)(2,5.5)(7,1.5)%GBD
\uput[u](1.1,5.5){15} \uput[u](4.5,5.5){21} \uput[r](7,3.5){20}
\uput[u](4.5,1.5){17} \uput[u](1.1,1.5){20} \uput[l](0.2,3.5){30}
\uput[ur](4.5,3.5){25} \uput[dl](3.75,0.85){15} \uput[dr](6.25,0.85){10}
\uput[r](2,3.5){10}
\end{pspicture}}

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

 Pour faire son parcours, le cycliste décide qu'il procèdera selon l'algorithme ci-dessous : 
 
 \begin{center}
\begin{tabularx}{.85\linewidth}{|m{1cm}|X|}\hline
ligne 1&Marquer sur le plan tous les villages comme non \og visités\fg \\ \hline
ligne 2& Choisir un village de départ \\ \hline
ligne 3&Visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ \hline
ligne 4&Rouler vers le village le plus proche\\ \hline
ligne 5& Tant que le village où il arrive n'est pas un village déjà visité \\ \hline
ligne 6&\hspace{0.2cm}|visiter le village et le marquer \og visité\fg\\ 
ligne 7 &\hspace{0.2cm}|rouler vers le village le plus proche sans revenir en arrière\\ \hline
ligne 8& Fin Tant que\\ \hline
ligne 9&afficher la liste des villages visités \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item% Quelle propriété du graphe permet à la ligne 4 d'être toujours exécutable?
Le graphe est connexe, donc il y a au moins une arête qui part de n'importe quel sommet, et donc une arête de poids minimum qui part de ce sommet.

 
\item% En partant du village noté G, quelle sera la liste des villages visités? 
En partant du village G que l'on visite, on roule vers le village B (distance 10) que l'on visite, puis vers le village A (distance 14), enfin vers le village F (distance 30). De F, on ne peut se rendre que dans un village déjà visité, G ou A, donc G puisqu'on ne revient pas en arrière; comme le village est déjà visité, on sort de la boucle \og tant que\fg{}.

\hfill{}
$\text{G} \stackrel{10}{\longmapsto}
\text{B} \stackrel{15}{\longmapsto}
\text{A} \stackrel{30}{\longmapsto}
\text{F} \stackrel{20}{\longmapsto}
\text{G} $\hfill{}

\item% Existe-t-il un village de départ qui permette, en suivant cet algorithme, de visiter tous les villages? 
La question posée revient à chercher si, en suivant cet algorithme, on peut visiter les villages C, D et E avant le village G. La réponse est positive, il suffit de partir du village C:

\hfill{}
$
\text{C} \stackrel{20}{\longmapsto}
\text{D} \stackrel{10}{\longmapsto}
\text{E} \stackrel{15}{\longmapsto}
\text{G} \stackrel{10}{\longmapsto}
\text{B} \stackrel{15}{\longmapsto}
\text{A} \stackrel{30}{\longmapsto}
\text{F}$\hfill{}


\item% Le cycliste abandonne l'idée de suivre l'algorithme. Il souhaite maintenant, partant d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois. Cela sera-t-il possible? 
Partir d'un village, y revenir après avoir emprunté toutes les pistes cyclables une et une seule fois, c'est chercher un cycle eulérien ou un chemin eulérien dans ce graphe.

D'après le théorème d'Euler, un graphe connexe admet un chemin eulérien si et seulement s'il possède exactement deux sommets de degrés impairs, et il possède des cycles eulériens si tous les sommets sont de degrés pairs.

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*7{c|}}
\hline
sommet & A & B & C & D & E & F & G\\
\hline
degré  & 2 & 4 & 2 & 4 & 2 & 2 & 4\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

Dans ce graphe, tous les sommets sont de degré pair, donc il existe au moins un cycle eulérien partant de chaque sommet.

Par exemple: AB -- BC -- CD -- DB -- BG -- GD -- DE -- EG -- GF -- FA est un parcours partant de A et revenant à A, qui passe par les 10 pistes cyclables une et une seule fois.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip
                 
\begin{enumerate}
\item% Écrire la matrice $M$ de transition de ce graphe (dans l'ordre $A, B, C, \ldots ,G$).   
La matrice $M$ de transition de ce graphe est:
$\bordermatrix{
  & A & B & C & D & E & F & G \cr
A & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \cr
B & 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \cr
C & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \cr
D & 0 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \cr
E & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \cr
F & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \cr
G & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \cr
}$

On met un 1 à l'intersection de la ligne $i$ et de la colonne $j$ s'il y a dans le graphe une arête qui relie le sommet de la ligne $i$ au sommet de la colonne $j$; sinon on met un 0.

\item  On donne la matrice $M^4$:
$\bordermatrix{
 &A&   B&   C&   D&   E&   F&   G\cr
A&10	&5		&9	&11   &4   	& \boldsymbol{1}   	&16\cr 
B&5 	&30   	&12  & 23 &18   &16  	&16\cr  
C&9 	&12   	&12  &14  &9   	&4   	&18\cr
D&11& 23  	& 14 &28  &14   &11   	&23\cr   
E&4  &18   	&9   &14   &12  	& 9   	&12\cr   
F&1  &16   	&4   &11   &9   	&10  	& 5\cr   
G&16 &16   	&18  &23   &12  & 5   	&30\cr
}$

Le terme en gras, ligne $A$, colonne $F$ (valant 1), donne le nombre de chemins contenant 4 arêtes (la puissance de la matrice $M$) reliant le sommet $A$ au sommet $F$; ce chemin est $AB - BD - DG - GF$.  


\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

 Un couple fait un placement au taux annuel de 2\,\% dont les intérêts sont capitalisés tous les ans. Son objectif est de constituer un capital de \np{18000}~euros. 

Le couple a placé le montant de \np{1000}~euros à l'ouverture le 1\up{er} janvier 2010 puis, tous les ans à chaque 1\up{er} janvier, verse \np{2400}~euros. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Déterminer le capital présent sur le compte le 1\up{er} janvier 2011 après le versement annuel. 
Les \np{1000} euros placés en 2010 à 2\,\% produisent 
$\np{1000}\times \dfrac{2}{100}=20$ euros d'intérêt.

Le capital au 1\ier{} janvier 2011 après le versement annuel est
$\np{1000} + 20 + \np{2400}= \np{3420}$ euros.

\item  On veut déterminer la somme présente sur le compte après un certain nombre d'années. 

On donne ci-dessous trois algorithmes :

%\hspace*{-1.2cm}
{\footnotesize \begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.4mm}|X|m{0.4mm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\textbf{Variables :}&& \textbf{Variables :} &&\textbf{Variables :} \\
$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel&&$U$ est un nombre réel\\ 
$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers&&$i$ et $N$ sont des nombres entiers\\
\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}&&\textbf{Entrée}\\ 
Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$&&Saisir une valeur pour $N$\\
\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}&&\textbf{Début traitement}\\
Affecter \np{1000} à $U$&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&Affecter \np{1000} à $U$\\ 
Pour $i$ de 1 à $N$ faire&&\hspace{0.2cm}\begin{tabular}{|l}Affecter \np{1000} à $U$\\
 Affecter $1,02\times U + \np{2400}$ à $U$
 \end{tabular}&&Pour $i$ de 1 à $N$ faire\\
 | Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$&&&&\begin{tabular}{|l}
 Affecter $1,02 \times U + \np{2400}$ à $U$\\
 Affecter $N+1$ à $N$\end{tabular}\\
Fin Pour&&Fin Pour&&Fin Pour\\ 
Afficher $U$&&Afficher $U$&&Afficher $U$ \\ 
\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}&&\textbf{Fin traitement}\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}}
\begin{tabularx}{1.15\linewidth}{Xm{0.4mm}Xm{0.4mm}X}
\textbf{algorithme 1} &&\textbf{algorithme 2}&&\textbf{algorithme 3}\\
\end{tabularx}

\medskip

	\begin{enumerate}
	
		\item% Pour la valeur 5 de N saisie dans l'algorithme 1, recopier puis compléter, en le prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous (arrondir les valeurs calculées au centième). 

Pour $N=5$, on remplit le tableau avec les valeurs données  par l'algorithme 1:

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|*6{c|}}\hline
valeur de $i$&     xxx&   1& 2&3&4&5 \\ \hline  
valeur de   $U$ & \np{1000}& \np{3420}& \np{5888,40} & \np{8406,17} & \np{10974,29} & \np{13593,78}  \\ \hline 
\end{tabular}
\end{center} 
		\item%  Pour la valeur 5 de $N$ saisie, quel affichage obtient-on en sortie%e cet algorithme ? 
%
%Comment s'interprète cet affichage ? 
La valeur affichée par l'algorithme 1 pour $N=5$ est \np{13593,78}; c'est le montant du capital obtenu après versement annuel le 1\ier{} janvier $2010+5$ soit 2015. 


		\item%  En quoi les algorithmes 2 et 3 ne fournissent pas la réponse attendue? 
\begin{list}{\textbullet}{}
\item Dans l'algorithme 2, on affecte \np{1000} à $U$ à l'intérieur de la boucle \og pour\fg{}; l'algorithme donnera donc toujours comme résultat $1,02 \times \np{1000}+2400 = \np{3420}$, quelle que soit la valeur de $N$ entrée.

\item Dans l'algorithme 3, on modifie la valeur de $N$ à chaque tour de boucle; cet algorithme ne s'arrêtera jamais.

\end{list}


	\end{enumerate}
	
\item À partir de la naissance de son premier enfant en 2016, le couple décide de ne pas effectuer le versement du premier janvier 2017 et de cesser les versements annuels tout en laissant le capital sur ce compte rémunéré à 2\,\%. 

%Au premier janvier de quelle année l'objectif de \np{18000}~euros est-il atteint ? 

La somme présente sur le compte au 1\ier{} janvier 2015 est \np{13593,78} euros, donc la somme présente sur le compte au 1\ier{} janvier 2016 est:
$\np{13593,78} \times 1,02 + \np{2400}\approx \np{16265,65}$ euros.

\`A partir de 2016, le compte rapporte 2\,\% et il n'y a plus de versement annuel; donc pour passer d'une année à la suivante, il faut augmenter la somme de 2\,\% donc multiplier par $1,02$.

Si on appelle $S_n$ la somme présente sur le compte le 1\ier{} janvier de l'année $2016+n$, on a donc: $S_{n+1}=1,02\times S_n$. La suite $(S_n)$ est donc une suite géométrique de raison $q=1,02$ et de premier terme $S_0=\np{16265,65}$; on a donc pour tout  entier naturel $n$, $S_n= S_0\times q^n = \np{16265,65} \times 1,02^n$.

On cherche alors une valeur entière de $n$ telle que $\np{16265,65} \times 1,02^n \pg \np{18000}$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
\np{16265,65} \times 1,02^n \pg \np{18000}
 & 1,02^n \pg \dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}\\[10pt]
 & \ln\left ( 1,02^n \right ) \pg \ln \dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}
 & \text{croissance de la fonction }\ln\\[10pt]
 & n \ln(1,02) \pg \ln \dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}
 & \text{propriété de la fonction }\ln\\[10pt]
 & n \pg \dfrac{\ln\dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}}{\ln(1,02)}
 & \text{car }\ln(1,02)>0
\end{array}$
 
\medskip 
  
Or $\dfrac{\ln\dfrac{\np{18000}}{\np{16265,65}}}{\ln(1,02)} \approx 5,14$ donc l'objectif sera atteint pour $n=6$ soit au 1\ier{} janvier 2022.

\end{enumerate} 

%\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

L'évolution de la population d'une station balnéaire pour l'été 2015 a été modélisée par une fonction $f$, définie sur l'intervalle [0~;~70], dont la courbe représentative est donnée ci-dessous. 

\medskip
\parbox{0.4\linewidth}{
Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $f(x)$ désigne la population en milliers d'habitants. 

Ainsi $x = 30$ correspond au 31 juillet et $f(30)$ représente la population qu'il est prévu d'accueillir le 31 juillet.
 
On estime qu'un habitant utilisera chaque jour entre 45 et 55~litres d'eau par jour.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{xunit=0.1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(75,11)
\multido{\n=0+10}{8}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,11)}
\multido{\n=0+2}{6}{\psline[linestyle=dashed](0,\n)(75,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2]{->}(0,0)(-4,-1)(75,11)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=10,Dy=2](0,0)(75,11)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{70}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add}
\uput[u](60,0){nombre de jours}
\uput[r](0,10.5){milliers d’habitants}
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](0,8)(70,8)
\psline[linecolor=red,linewidth=1.5pt](16.8,8)(16.8,0)
\uput*[d](16.8,0){\red \bf 17}
\uput*{8pt}[l](0,8){\red \bf 8}
\end{pspicture}
}

%\medskip

\subsubsection*{Partie A }% \emph{Dans cette partie, les réponses sont à fournir par lecture graphique}

%\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Estimer le nombre maximal d'habitants présents dans la station balnéaire selon ce modèle durant l'été 2015 et préciser à quelle date ce maximum serait atteint. 
D'après le graphique, le maximum de la fonction $f$ est $f(40)=10$.

Le nombre 40 correspond au 10 août, et 10 correspond à \np{10000} habitants.

Le nombre maximum d'habitants est donc de \np{10000} et est atteint le 10 août.

		\item% La commune est en capacité de fournir \np{600000}~litres d'eau par jour, est-ce suffisant ? 
Chaque habitant consomme entre 45 et 55 litres d'eau; donc \np{10000} habitants consommeront entre \np{450000} et \np{550000} litres au maximum.

Comme la commune peut fournir \np{600000} litres d'eau par jour, c'est suffisant pour la journée la plus chargée, donc pour toutes les autres.


	\end{enumerate}

\item% Estimer le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants de la station balnéaire devrait rester supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu.  
Le maximum d'habitants prévus est \np{10000} donc 80\,\% du maximum est égal à \np{8000} habitants.

Chercher le nombre de jours durant lesquels le nombre d'habitants est supérieur à 80\,\% du nombre maximal prévu, revient à résoudre sur l'intervalle \cd{}0\,;\,70\cg{} l'inéquation $f(x)\pg \np{8}$ (voir graphique).

$f(x)\pg \np{8}$ sur l'intervalle \cd{}17\,;\,70\cg{}, soit pendant 53 jours.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip 

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~70] par 
$f(x) = 2 + 0,2x\e^{-0,025x+1}$

\begin{enumerate}

\item% Calculer $f(9)$ puis vérifier que la consommation d'eau le 10 juillet serait, selon ce modèle, au plus de \np{324890}~litres. 
$f(9)=2+0,2\times 9\times \e^{-0,025\times 9+1}\approx 5,90706$

$x=9$ correspond au 10 juillet; il y a une estimation de $5,907 \times \np{1000} = \np{5907}$ habitants à cette date. Chaque habitant consomme au maximum 55 litres, donc la consommation d'eau maximale le 10 juillet sera de $5907 \times 55 \approx \np{324885}$ litres que l'on peut majorer par $\np{324890}$ litres. 

\item
	\begin{enumerate}

		\item% Démontrer que $f’(x) = (0,2 - 0,005 x)\text{e}^{-0,025x+1}$ où $f’$ est la fonction dérivée de $f$. 
La fonction $f$ est dérivable sur $\R$ donc sur $\cd{}0\,;\,70\cg$ et:

$f'(x)= 0,2\times 1\times \e^{-0,025x+1} + 0,2x \times (-0,025)\e^{-0,025x+1} = (0,2-0,005x)\e^{-0,025x+1}$

		\item% Étudier le signe de $f’(x)$ sur l'intervalle [0~;~70]. 
Pour tout $x$ réel, $\e^{-0,025x+1}>0$ donc $f'(x)$ est du signe de $0,2-0,005x$.

$0,2-0,005x>0 \iff 0,2 > 0,005x \iff \dfrac{0,2}{0,005} >x \iff 40>x$

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 0 & \hspace*{\esp} & 40 & \hspace*{\esp} & 70 \\
 \hline
0,2-0,005\,x &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
f'(x) &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\  
\hline
%  & \Rnode{max1}{A}  &  &  &  & \Rnode{max2}{C}   \\
%f(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
% &  & &   \Rnode{min}{B} & & \rule{0pt}{\hauteur}
%\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
%\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% En déduire la date de la consommation d'eau maximale. 
D'après le signe de sa dérivée, la fonction $f$ est croissante sur \cd{}0\,;\,40\cg, puis décroissante sur \cd{}40\,;\,70\cg{}; elle atteint donc un maximum pour $x=40$. Cette valeur de $x$ correspond au 10 août et à un maximum de population dans la station, donc à un maximum de consommation d'eau.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip 

On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~70] par 
$g(x) = 55 f(x) = 110 + 11x\text{e}^{-0,025x+1}$

Lorsque $x$ est le nombre de jours écoulés après le 1\up{er} juillet, $g(x)$ représente alors la consommation maximale d'eau prévue ce jour là et exprimée en m$^3$. 

Soit la fonction $G$ définie sur l'intervalle [0~;~70] par 
$G(x) = 110x - (440x + \np{17600})\text{e}^{-0,025x+1}$

On admet que la fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$. 

La somme $S = g(10) + g(11) + g(12) + \cdots + g(20)$ représente la consommation maximale d'eau du 10\up{e} au 20\up{e} jour exprimée en m$^3$. 

\medskip

\begin{enumerate}

\item% En l'illustrant sur la courbe $\mathcal{C}_g$ de l’\textbf{annexe} à rendre avec la copie, donner une interprétation graphique en termes d'aires de la somme $S$. 
$g(10)=g(10)\times 1$ est l'aire d'un rectangle de largeur 1 et de longueur $g(10)$; donc $S=g(10)+g(11)+ \ldots + g(20)$ est la somme des aires des 11 rectangles représentés sur l'annexe en page \pageref{ES_AntGuy_0915_annexe}.

\item% En déduire une valeur approximative de cette quantité d'eau consommée du 10\up{e} au 20\up{e} jour. 
La fonction $g$ est strictement positive sur $\cd{}0\,;\,70\cg$ donc l'aire du domaine défini par la courbe $\mathcal C_g$, l'axe des abscisses, et les droites d'équations $x=10$ et $x=21$ est $I=\ds\int_{10}^{21} g(x) \d x$.

L'aire $I$ de ce domaine est une valeur approchée de la somme $S$.

La fonction $G$ est une primitive de la fonction $g$ donc:

$I=\ds\int_{10}^{21} g(x) \d x = G(21)-G(10) \approx \np{-40849,10} - (\np{-45474,00}) \approx \np{4624,90}$

La quantité d'eau consommée du 10\ieme{} au 20\ieme{} jour est donc approximativement de \np{4625} m\up{3}. 

\end{enumerate} 

\newpage
\begin{center}
\textbf{ANNEXE}
\end{center}

\bigskip

\subsection*{\hfill{}Annexe à l'exercice 4 à rendre avec la copie\hfill{} }
%\label{ES_AntGuy_0915_annexe}

\bigskip

\begin{center} 
\psset{xunit=0.54cm,yunit=0.018cm}
\begin{pspicture}(-1,-25)(24,550) 
\multido{\n=0+1}{25}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,550)}
\multido{\n=0+50}{12}{\psline[linestyle=dashed,linewidth=0.2pt](0,\n)(24,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50]{->}(0,0)(-0.5,-12)(24,550)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=50](0,0)(24,550)
\uput[r](0,525){consommation $\left(\text{m}^3\right)$}
\uput[u](21.5,0){nombre de jours}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{24}{0.2 x mul 2.71828 0.025 x mul 1 sub exp div 2 add 55 mul}
\uput[ul ](8,305){\blue $\mathcal{C}_g$}
{\newcommand{\rect}[4]{\psframe[linecolor=red,fillstyle=vlines,hatchangle=#4,hatchcolor=red](#1,#3)(#2,0)}
\rect{10}{11}{342,87}{45}
\rect{11}{12}{359,83}{-45}
\rect{12}{13}{375,82}{45}
\rect{13}{14}{390,86}{-45}
\rect{14}{15}{404.99}{45}
\rect{15}{16}{418.26}{-45}
\rect{16}{17}{430.69}{45}
\rect{17}{18}{442.32}{-45}
\rect{18}{19}{453.18}{45}
\rect{19}{20}{463.31}{-45}
\rect{20}{21}{472.72}{45}
}
\end{pspicture}
\end{center}

%%%%%%%%%%% fin Antilles Guyane septembre 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%%% début Métropole La Réunion septembre 2015
\hypertarget{Metrosep}{}

\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small  11 septembre 2015}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Métropole-La Réunion ~\decofourright\\11 septembre 2015}}
\end{center}
\label{Metrosep}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 7 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

Lors d'une opération promotionnelle, un magasin d'électroménager propose deux
modèles de téléviseurs: un modèle A et un modèle B.

On s'intéresse aux acheteurs qui profitent de cette promotion.

70\,\% des acheteurs choisissent un téléviseur de modèle A.

Pour ces deux téléviseurs, le magasin propose une extension de garantie de 5 ans.

40\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle A choisissent l'extension de garantie et
50\,\% des acheteurs du téléviseur de modèle B choisissent cette extension.

On interroge au hasard un acheteur à la sortie du magasin.

Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.
Les parties A, B et C peuvent être traitées de manière indépendante.

On note :

A l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle A \fg{} ;

B l'évènement \og Un acheteur choisit le téléviseur de modèle B \fg{} ;

E l'évènement \og Un acheteur choisit l'extension de garantie \fg,

\medskip

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Construire un arbre pondéré illustrant la situation.
On construit un arbre pondéré traduisant la situation:

\medskip

\begin{center}
\pstree[linecolor=blue,treemode=R,nrot=:U,levelsep=4cm,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt, treesep=1cm]
{\Tr{}}
{
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$A$}\naput{$0,7$}}
	  { 
		  \TR{$E$}\naput{$0,4$}
		  \TR{$\overline E$}\nbput{\red $1-0,4=0,6$}
	  }
\pstree[nodesepA=3pt]{\TR{$B$}\nbput{\red $1-0,7=0,3$}}
	  {
		  \TR{$E$}\naput{$0,5$}
		  \TR{$\overline{E}$}\nbput{\red $1-0,5=0,5$}
	  }
}
\end{center}

\bigskip



\item% Calculer la probabilité qu'un acheteur choisisse le modèle A avec l'extension de garantie.
L'événement \og choix du modèle A avec extension de garantie\fg{} est l'événement $A \cap E$.

D'après l'arbre:
$p(A \cap E) = p(A)\times p_A(E)=0,7 \times 0,4 = 0,28$

\item% Montrer que $p(E) = 0,43$.
On calcule $p(E)$ en utilisant la formule des probabilités totales:

$p(E)= p(A \cap E) + p(B \cap E) = 0,28 + 0,3\times 0,5 = 0,28+0,15 = 0,43$

\item Un acheteur n'a pas pris l'extension de garantie; on cherche la probabilité qu'il ait acheté le modèle A, c'est-à-dire $p_{\overline{E}}(A)$.

$p_{\overline{E}}(A) = \dfrac{p(A \cap \overline{E})}{p(\overline{E})} = \dfrac{0,7 \times 0,6}{1-0,43} = \dfrac{0,42}{0,57} \approx 0,737$

\end{enumerate}
 
%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

%Le directeur du magasin souhaite estimer, parmi tous ses clients, le pourcentage de personnes qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

Le directeur du magasin interroge au hasard $210$~clients et note que $123$ trouvent l'opération promotionnelle qu'il propose intéressante.

La fréquence de clients trouvant l'opération promotionnelle intéresante est $f=\dfrac{123}{210}$.\\[5pt]
On regarde si les conditions pour déterminer un intervalle avec un niveau de confiance de plus de 95\,\% sont réunies:
$n=210 \pg 30$; $nf=123 \pg 5$ et $n(1-f)=87 \pg 5$. Les conditions sont donc réunies.

L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% pour la proportion de clients qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante est donc:

\[\left [ f-\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}}\,;\,f+\dfrac{1}{\ds\sqrt{n}} \right ] = \left [ \dfrac{123}{210} - \dfrac{1}{\ds\sqrt{210}}\,;\,\dfrac{123}{210} + \dfrac{1}{\ds\sqrt{210}} \right ] \approx \cd 0,516\,;\,0,655 \cg\]

%Donner un intervalle de confiance au seuil de 95\,\% pour la proportion de clients qui trouvent l'opération promotionnelle intéressante.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie C}

%\medskip

Pour sa prochaine promotion, le directeur s'intéresse à l'âge de ses clients. On modélise l'âge des clients en années par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale de moyenne $\mu = 40$ et d'écart-type $\sigma = 8$.

%\medskip

\begin{enumerate}

\item% Calculer la probabilité qu'un client ait plus de $60$~ans.
\`A la calculatrice, on trouve: $p(X>60) \approx 0,006$

La probabilité qu'un client ait plus de $60$~ans est d'environ $0,006$.

\item% Calculer la probabilité qu'un client ait un âge compris entre $30$ et $50$~ans.
\`A la calculatrice, on trouve: $p(30<X<50) \approx 0,789$

La probabilité qu'un client ait un âge compris entre $30$ et $50$~ans est d'environ 0,789.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip

On considère une fonction $f$ définie sur l'intervalle \cd 0~;~5\cg.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A - À l'aide d'un graphique}

%\medskip

On a représenté ci-dessous la courbe $\left(C_{f'}\right)$ de la fonction dérivée $f'$ ainsi que la courbe $\left(C_{f''}\right)$ de la fonction dérivée seconde $f''$ sur l'intervalle \cd 0~;~5\cg.
Le point A de coordonnées (1~;~0) appartient à $\left(C_{f'}\right)$ et le point B de coordonnées (2~;~0) appartient à la courbe $\left(C_{f''}\right)$.

\begin{figure}[t]
\centering
\psset{xunit=2.3cm,yunit=1.15cm,comma=true}
\def\pshlabel#1{\footnotesize #1}
\def\psvlabel#1{\footnotesize #1}
\begin{pspicture*}(-0.2,-6)(5,6)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=2]{->}(0,0)(-0.15,-5.9)(5,6)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{5}{5 5 x mul sub 2.71828 x exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dotted]{0}{5}{5 x mul 10 sub
 2.71828 x exp div}
\uput[u](0.8,0.8){\blue $\left(C_{f'}\right)$}
\uput[d](0.8,-3.9){\red $\left(C_{f''}\right)$}
\psdots(1,0)(2,0)
\uput[ur](1,0){A}\uput[ur](2,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture*}
\end{figure}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Déterminer le sens de variation de la fonction $f$. Justifier.
La fonction dérivée $f'$ est strictement positive sur $\cd 0\,;\,1\cd$, et elle est strictement négative sur $\cg 1\,;\, 5\cg$; donc la fonction $f$ est strictement croissante sur $\cd 0\,;\,1\cg$, et elle est strictement décroissante sur $\cd 1\,;\, 5\cg$ 

\item% Déterminer sur quel(s) intervalle(s), la fonction $f$ est convexe. Justifier.
La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels la fonction dérivée seconde $f''$ est positive, donc sur l'intervalle $\cd 2\,;\,5\cg$.

\item% La courbe de $f$ admet-elle des points d'inflexion ? Justifier. Si oui, préciser leur(s) abscisse(s).
La courbe de $f$ admet des points d'inflexion quand la dérivée seconde de la fonction $f$ s'annule et change de signe; donc la courbe de $f$ admet sur $\cd 0\,;\, 5\cg$ un point d'inflexion d'abscisse 2.

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B - Étude de la fonction}

%\medskip

La fonction $f$ est définie sur $\cd 0~;~5\cg$ par 
$f(x) = 5x\text{e}^{-x}$

\begin{enumerate}

\item% Justifier que la fonction $f$ est positive sur l'intervalle [0~;~5].
Pour tout $x$ réel, $\e^{-x}>0$ donc $f(x)=5x\e^{-x}$ est positive sur  l'intervalle $\cd 0~;~5\cg$.

\item Soit $F$ la fonction définie sur \cd 0~;~5\cg{} par $F(x) = (-5x - 5)\text{e}^{-x}$.

La fonction $F$ est dérivable sur \cd 0~;~5\cg{} et

$F'(x) = -5\e^{-x}+ (-5x-5)(-1)\e^{-x} = (-5+5x+5)\e^{-x} = 5x\e^{-x}=f(x)$

Donc la fonction $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur $\cd 0\,;\,5\cg$.

\item% Déterminer alors la valeur exacte de l'aire, en unités d'aire, du domaine délimité par la courbe de $f$,  l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$.
La fonction $f$ est positive sur $\cd 0\,;\, 5\cg$ donc l'aire du domaine délimité par la courbe de $f$,  l'axe des abscisses, et les droites d'équation $x = 0$ et $x = 1$ est:
$A= \ds\int_{0}^5 f(x) \d x$.

$A= \ds\int_{0}^5 f(x) \d x = F(5)-F(0) = -10\e^{-1} -(-5) = 5-\dfrac{10}{\e}$

La valeur exacte de l'aire cherchée est $5-\dfrac{10}{\e}$ unité d'aire.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\normalsize Candidats n'ayant pas suivi la spécialité, candidats de L} \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité, candidats de L}

\medskip

Dans une ville, un opéra décide de proposer à partir de 2014 un abonnement annuel pour ses spectacles.

L'évolution du nombre d'abonnés d'une année à la suivante est modélisée par le directeur de l'opéra qui prévoit que 75\,\% des personnes abonnées renouvelleront leur abonnement l'année suivante et qu'il y aura chaque année $300$ nouveaux abonnés.

Ainsi, pour tout entier naturel $n,\:u_n$ modélise le nombre d'abonnés pour l'année
$(2014 + n)$.

Pour l'année 2014, il y a $500$ abonnés, autrement dit $u_0 = 500$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer $u_1$ et $u_2$. Arrondir à l'entier.
Pour calculer $u_1$, on prend 75\,\% de $u_0=500$, ce qui donne 375 et on ajoute 300; donc $u_1=675$.

Pour calculer $u_2$, on prend 75\,\% de $u_1=675$, ce qui donne 506,25 et on ajoute 300, ce qui fait $806,25$; on arrondit à l'entier: $u_2=806$.
 
\item% Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n,\: u_{n+1} = 0,75u_n + 300$.
Prendre 75\,\% d'une somme, c'est multiplier par 0,75; de plus, chaque année il y a 300 abonnés de plus. Donc on passe du nombre d'abonnés d'une année au nombre d'abonnés de l'année suivante en multipliant par 0,75 et en ajoutant 300:
pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75\,u_{n} + 300$.

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par :  pour tout entier naturel $n,\: v_n = u_n - \np{1200}$; donc $u_n=v_n+\np{1200}$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,75$ et préciser $v_0$.
$v_{n+1}=u_{n+1}-\np{1200} = 0,75\,u_n +300 - \np{1200} = 0,75(v_n+\np{1200}) -900 = 0,75\,u_n +900 - 900\\
\phantom{v_{n+1}} = 0,75\,v_n$

$v_0=u_0-\np{1200} = 500-\np{1200} = -700$

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=-700$ et de raison $q=0,75$.

		\item% En déduire alors que pour tout entier naturel $n,\:u_n = - 700 \times 0,75^n + \np{1200}$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de premier terme $v_0=-700$ et de raison $q=0,75$ donc, pour tout entier naturel $n$,  $v_n = v_0\times q^n = -700\times 0,75^n$.

Or $u_n=v_n+\np{1200}$ donc, pour tout entier naturel $n$, $u_n=-700\times 0,75^n+\np{1200}$

		\item% Calculer $u_{10}$ (arrondir à l'entier). Donner une interprétation concrète de la valeur trouvée.
$u_{10}= -700\times 0,75^{10}+\np{1200} \approx \np{1161}$

$n=10$ correspond à $2014+10=2024$; on peut donc estimer qu'il y aura \np{1161} abonnés en 2024.

	\end{enumerate}
	
\item On souhaite écrire un algorithme qui permette d'afficher l'année à partir de laquelle le nombre d'abonnements sera supérieur à \np{1190}.
	
On propose trois algorithmes :
	
\medskip

{\small
\fbox{
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace*{0,5cm}\textbf{Algorithme 1}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace*{0.3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à U la valeur\\
\hspace*{0,6cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Afficher $n$
\end{minipage}
}
\hfill
\fbox{
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace*{0,5cm}\textbf{Algorithme 2}\\
Affecter à n la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur 500\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $U$ la valeur\\
\hspace*{0,6cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
Fin Tant que\\
Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Afficher $n$
\end{minipage}
}
\hfill
\fbox{
\begin{minipage}[t]{0.3\linewidth}
\hspace*{0,5cm}\textbf{Algorithme 3}\\
Affecter à $n$ la valeur 0\\
Affecter à $U$ la valeur $500$\\
Tant que $U \leqslant  \np{1190}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + 1$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $U$ la valeur\\
\hspace*{0,6cm}$- 700 \times 0,75^n + \np{1200}$\\
\hspace*{0,3cm}Affecter à $n$ la valeur $n + \np{2014}$\\
Fin Tant que\\
Afficher $n$
\end{minipage}
}
}% fin du \small
%
%
%Parmi ces trois algorithmes, déterminer lequel convient pour répondre au problème posé et expliquer pourquoi les deux autres ne conviennent pas.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item C'est l'algorithme 1 qui permet de répondre au problème.

\item Dans l'algorithme 2, il y aura un décalage de l'indice $n$ par rapport à la valeur de $U$ puisqu'on affecte $n+1$ à $n$ après le calcul de $U$.

\item Dans l'algorithme 3, on ajoute 2014 à $n$ à l'intérieur de la boucle et on va donc avoir successivement $n=0$ (initialisation), $n=1$ (entrée la 1\iere{} fois dans la boucle), $n=\np{2015}$ (sortie de la 1\iere{} boucle), puis $n=\np{2016}$, $n=\np{4030}$ et on sort de la boucle avec affichage de $n=\np{4030}$ qui n'est pas la bonne réponse.  
\end{list}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill {\normalsize Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité} \hfill 5 points}

%\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}
%
%\medskip

Dans une société d'assurance, les clients peuvent choisir de payer leur cotisation chaque
mois (paiement mensuel) ou en une fois (paiement annuel).

On constate que 30\,\% de ceux qui paient en une fois choisissent le paiement mensuel l'année suivante, alors que 85\,\% de ceux qui paient chaque mois conservent ce mode de paiement l'année suivante.

En 2014, 60\,\% des clients paient en une fois et 40\,\% paient mensuellement.

\medskip

Dans toute la suite de l'exercice, $n$ désigne un nombre entier naturel.

%\newpage

On note :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie en une fois pour l'année
$2014 + n$ ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité qu'un client choisi au hasard paie mensuellement pour l'année $2014 + n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

Comme il n'y a que deux possibilités, on peut dire que, pour tout entier naturel $n$, $a_n+b_n=1$.

On a $a_0 = 0,6$ et $b_0 = 0,4$ et on note $P_n$ l'état probabiliste pour l'année $2014 + n$. Ainsi
$P_0 = \begin{pmatrix}0,6& 0,4\end{pmatrix}$.

On note :

\setlength\parindent{0.5cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] A l'état \og le client paie en une fois \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] B l'état \og le client paie mensuellement \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Représenter un graphe probabiliste de sommets A et B.
On représente la situation au moyen d'un graphe probabiliste de sommets A et B:

\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{A}{A} \hskip 4cm \Rnode{B}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{A}{B} \Aput{0,3}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{B}{A} \Aput{0,15}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{4mm}   \Bput{0,7}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{B}{.4cm} \Bput{0,85}%  boucle autour de V
\end{pspicture}

\item% Écrire la matrice de transition M associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre alphabétique.
D'après le texte, on a, pour tout entier naturel $n$:

$\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,7\,a_n + 0,15\,b_n\\
b_{n+1} & 0,3\,a_n + 0,85\,b_n
\end{array}
\right .$
autrement dit:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3\\
 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$

Donc la matrice de transition associée à ce graphe est:
$M=
\begin{pmatrix}
0,7 & 0,3\\
 0,15 & 0,85
\end{pmatrix}$

\item% Déterminer la probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 (arrondir les résultats au millième).
L'année 2018 correspond à $n=4$; on cherche $a_4$ que l'on va obtenir en calculant $P_4$.

D'après le cours, on peut dire que, pour tout $n$: 
$P_n = P_0\times M^n$.

Donc $P_4= P_0\times M^4$ et on trouve à la calculatrice
$P_4=
\begin{pmatrix}
\np{0,357735} & \np{0,642265}
\end{pmatrix}$

La probabilité qu'un client paie en une fois durant l'année 2018 est donc $0,358$ (valeur arrondie au millième).

\item% Déterminer l'état stable et en donner une interprétation.
L'état stable
$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}$
est solution du système
$S\,:\,
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
& 
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M\\
a + b & 1
\end{array}
\right.$

$\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} =
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M
\iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & 0,7\,a + 0,15\,b\\
b & 0,3\,a + 0,85\,b
\end{array}
\right .
\iff 0,3\,a - 0,15\,b=0 \iff 2\,a = b$

$S \iff
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix}
& 
\begin{pmatrix} a & b \end{pmatrix} \times M\\
a + b & 1
\end{array}
\right.
\iff 
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
2\,a & b\\
a + b & 1
\end{array}
\right.
\iff 
\left \lbrace
\begin{array}{l !{=} l}
a & \dfrac{1}{3}\\[7pt]
b & \dfrac{2}{3}
\end{array}
\right.$

Donc l'état stable est 
$P=
\begin{pmatrix}
\dfrac{1}{3} & \dfrac{2}{3} 
\end{pmatrix}$.

Cela veut dire que, sur le long terme, il y aura $\dfrac{1}{3}$ des clients qui paieront en une fois et $\dfrac{2}{3}$ qui paieront mensuellement.

\item% Pour tout entier naturel $n$, justifier que $a_{n+1} = 0,55a_n + O,15$.
D'après les questions précédentes:
 
$\left.
\begin{array}{l}
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15\,b_n\\
a_n + b_n=1
\end{array}
\right\rbrace
\dc
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15\,(1-a_n)
\dc
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15-0,15\,a_n\\
\phantom{\left.
\begin{array}{l}
a_{n+1} = 0,7\,a_n + 0,15\,b_n\\
a_n + b_n=1
\end{array}
\right\rbrace}
\dc
a_{n+1} = 0,55\,a_n + 0,15$

Donc, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1} = 0,55\,a_n + 0,15$.

\item On cherche à déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.

	\begin{enumerate}

 		\item On écrit un algorithme permettant de déterminer cet entier $n$:
 		
\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|l @{\hspace*{1cm}} l|}
\hline
Variables & $A$ est un réel\\
 & $n$ est un entier\\
 \hline
Initialisation & $A$ prend la valeur 0,6\\
  & $n$ prend la valeur 0\\
  \hline
Traitement & Tant que $A \pg 0,3334$\\
  & \hspace*{1cm} $n$ prend la valeur $n+1$\\
  & \hspace*{1cm} $A$ prend la valeur $0,55\times A + 0,15$\\
  & Fin de Tant que\\
  \hline
Sortie & Afficher $n$\\
  \hline
\end{tabular}
}
\end{center} 		
 		
		\item On admet que pour tout entier naturel $n$,
$a_n  = \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3}$
		
%Déterminer par le calcul le plus petit entier $n$ tel que $a_n < \np{0,3334}$.
On cherche par le calcul la valeur de $n$:

\medskip

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
a_n < 0,3334 & \dfrac{4}{15} \times 0,55^n + \dfrac{1}{3} < 0,3334 & \\[8pt]
 & \dfrac{4}{15} \times 0,55^n  < 0,3334 - \dfrac{1}{3} & \\[8pt]
 & 0,55^n < \dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right ) & \\[8pt]
  & \ln\left (0,55^n\right ) < \ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right ) & \text{croissance de la fonction }\ln \\[8pt]
 & n \ln\left (0,55\right ) < \ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right ) & \text{propriété de la fonction }\ln \\[8pt]
 & n > \dfrac{\ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right )}{\ln(0,55)} & \text{car } \ln(0,55)<0
\end{array}$

\medskip

Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{15}{4} \left ( 0,3334 - \dfrac{1}{3} \right )\right )}{\ln(0,55)} \approx 13,9$ donc le plus petit entier $n$ tel que $a_n<0,3334$ est 14.

	\end{enumerate}
\end{enumerate}
 
\vspace{0,3cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill Commun à tous les candidats \hfill 3 points}

%\textbf{Commun à tous les candidats}
%
%\medskip
On considère la fonction $f$ définie par 
$f(x) = 2x^2\ln (x)$
sur \cd{}0,2~;~10\cg{} et on note $\left(C_f\right)$ sa courbe représentative dans un repère du plan.

%Le but de cet exercice est de prouver que la courbe $\left(C_f\right)$ admet sur [0,2~;~10] une seule tangente passant par l'origine du repère.

%On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que pour $x \in [0,2~;~10],\: f'(x) = 2x(2\ln (x) + 1)$.
La fonction $f$ est dérivable sur \cd{}0,2~;~10\cg{} comme produit de fonctions dérivables et:

$f'(x)= 4x\times \ln(x) + 2x^2 \times \dfrac{1}{x}=4x \ln(x) + 2x = 2x\left (2\ln(x)+1\right )$

\item Soit $a$ un réel de \cd{}0,2~;~10\cg{}.%, montrer que la tangente à la courbe $\left(C_f\right)$ au point d'abscisse $a$ a pour équation $y = 2a(2\ln (a) + 1)x - 2a^2(\ln (a) + 1)$.

Une équation de la tangente $T$ à la courbe $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ est:
$y=f'(a)(x-a)+f(a)$

$f(a)=2a^2\ln(a)$ et
$f'(a)=2a(2\ln(a)+1)$;
donc $T$ a pour équation:

$y=2a(2\ln(a)+1)(x-a)+2a^2\ln(a)
\iff y= 2a(2\ln(a)+1)x -2a(2\ln(a)+1)\times a +2a^2\ln(a)
\iff y= 2a(2\ln(a)+1)x -4a^2\ln(a) -2a^2 +2a^2\ln(a) 
\iff y= 2a(2\ln(a)+1)x -2a^2(\ln(a)+1)$

\item% Répondre alors au problème posé.
La droite $T$ passe par l'origine si et seulement si le réel $a$ est tel que $-2a^2(\ln(a)+1)=0$.

Or $a \in \cd{}0,2~;~10\cg{}$ donc $a\neq 0$; il faut donc que $\ln(a)+1=0 \iff \ln(a)=-1 \iff a=\e^{-1}$

L'unique valeur $a$ de \cd{}0,2~;~10\cg{} pour laquelle la tangente à $(C_f)$ au point d'abscisse $a$ passe par l'origine est $a=\dfrac{1}{\e}$.
L'équation réduite de la tangente est alors:
$y=2\dfrac{1}{\e}(-2+1)x$ soit $y=-\dfrac{2}{\e}x$

\end{enumerate}

%%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion septembre 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%% début Nouvella Calédonie 19 novembre 2015
\hypertarget{Caledonienov}{}

\lfoot{\small{Nouvelle-Calédonie}}
\rfoot{\small 19 novembre 2015}
%\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES -- Nouvelle-Calédonie~\decofourright\\
19 novembre 2015} 
\end{center}
\label{Caledonienov}


\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}


%\medskip
%
%\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\\
%Une réponse exacte rapporte un point Une réponse fausse, une réponse multiple ou
%l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
%Pour chacune des questions posées une seule des quatre réponses est exacte.\\
%Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

%\medski~p


\begin{multicols}{2}
On donne ci-contre la représentation graphique $(\mathcal{C})$ d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[- 1~;~3]$.\\
~\\
~\\
On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $F$ une primitive de $f$.\\
~\\
~\\
La tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point $A(1~;~0)$ est tracée, elle passe par le point de coordonnées $(0~;~3)$.

\columnbreak

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
%\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.5)
%\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-1.5,-3)(3.5,3.5)
%\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(3.5,3.5)
%\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 3 exp 1.5 mul x dup mul 4 mul sub 0.5 x mul add 2 add}
%\uput[ur](1,0){A} \uput[l](2.6,1.3){\blue $(\mathcal{C})$}
%\psplot[plotpoints=1000,linewidth=1.25pt]{-1}{3}{3 3 x mul sub}
%\end{pspicture*}
\begin{pspicture*}(-1.5,-3)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridcolor=orange,griddots=10]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny]{->}(0,0)(-1.5,-2.99)(3.5,3.5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\tiny](0,0)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-1}{3}{x 1 sub x dup mul 2 x mul sub 2 sub mul}
\uput[ur](1,0){A} \uput[r](2.1,1.5){\blue $(\mathcal{C})$}
\psplot[plotpoints=2,linewidth=1.25pt]{-.3}{2}{3 3 x mul sub}
\end{pspicture*}
\end{center}

\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item Calcul de $f'(1)$

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $f'(1) = 3$&\fbox{\textbf{b.~~} $f'(1) = - 3$}\\
\textbf{c.~~} $f'(1) = - \frac{1}{3}$&\hspace*{4pt}\textbf{d.~~} $f'(1) = 0$
\end{tabularx}
\medskip

Soit $B$ le point de coordonnées $(3\,;\,0)$; la tangente tracée est la droite $(AB)$ donc $f'(1)$ est le coefficient directeur de $(AB)$:
$f'(1)=\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{3 - 0}{0 - 1}=-3$

\medskip

\item La fonction $f$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\fbox{\textbf{a.~~} concave sur $[-1~;~ 1]$} &\textbf{b.~~}convexe sur $[-1~;~ 1]$\\ 
\hspace*{4pt}\textbf{c.~~} concave sur $[0~;~2]$ &\textbf{d.~~} convexe sur $[0~;~2]$
\end{tabularx}
\medskip

Sur $[-1\,;\, 1]$ la courbe est entièrement en dessous de ses tangentes donc la fonction $f$ est concave sur cet intervalle.

\medskip

\item On pose $I = \displaystyle\int_0^1 f(x)\:\text{d}x$. Un encadrement de $I$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} $0 \leqslant I \leqslant 1$&\fbox{\textbf{b.~~} $1 \leqslant I \leqslant 2$}\\
\textbf{c.~~} $2 \leqslant I \leqslant 3$ &\hspace*{4pt}\textbf{d.~~}  $3 \leqslant I \leqslant 4$
\end{tabularx}
\medskip

La fonction $f$ est positive sur l'intervalle $[0\,;\,1]$ donc l'intégrale est égale à l'aire sous la courbe; il suffit donc de compter les carreaux unité pour déterminer l'encadrement qui convient.

\medskip

\item La fonction $F$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\fbox{\textbf{a.~~} croissante sur $[0~;~1]$}&\textbf{b.~~} décroissante sur $[0~;~1]$\\
\hspace*{4pt}\textbf{c.~~} croissante sur $[-1~;~0]$&\textbf{d.~~} croissante sur $[- 1~;~ 1]$
\end{tabularx}
\medskip

La fonction $F$ a pour dérivée la fonction $f$; la fonction $F$ est donc croissante sur $[0\,;\,1]$ car $f$ est positive sur cet intervalle.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill Candidats n'ayant pas choisi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip

Dans une ville, un service périscolaire comptabilise $150$~élèves inscrits en septembre 2014. On admet que, chaque année, 80\,\% des élèves inscrits renouvelleront leur inscription l'année suivante et qu'il y aura $40$ nouveaux élèves inscrits. La capacité d'accueil du périscolaire est de $190$ élèves maximum.

On modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$ représente le nombre d'élèves inscrits au périscolaire en septembre de l'année $2014 + n$, avec $n$ un nombre entier naturel.

On a donc $u_0 = 150$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Calculer le nombre d'élèves qui seront inscrits au périscolaire en septembre 2015.
Il y a 150 élèves en périscolaire en 2014. Il en reste 80\,\% ce qui fait $150\times 0,8= 120$. Il y a 40 nouveaux élèves, ce qui fait $120+40=160$.

Il y aura donc 160 élèves inscrits au périscolaire en 2015.

\item% Pour tout entier naturel $n$, justifier que $u_{n+1} = 0,8u_n + 40$.
Il y a $u_n$ élèves inscrits l'année $2014+n$. L'année suivante il en reste 80\,\%, ce qui fait $0,8u_n$. Il y a 40 nouveaux inscrits l'année $2014+(n+1)$ donc $u_{n+1}=0,8u_n+40$, pour tout entier naturel $n$.

\item On donne l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|ll|}\hline
\textbf{Initialisation} & Affecter à $n$ la valeur $0$\\
&  Affecter à $U$ la valeur $150$\\
\textbf{Traitement} & Tant que $U \leqslant 190$\\
& \hspace{1cm}$n$ prend la valeur $n + 1$\\
& \hspace{1cm}$U$ prend la valeur $0,8U + 40$ \hspace*{1cm}\\
& Fin tant que\\
\textbf{Sortie} & Afficher le nombre $2014 + n$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au centième.

On complète le tableau en s'arrêtant dès que $U>190$:

\begin{center}
{\small
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{10}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $n$				&0 		&1 	&2	& 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\ \hline
Valeur de $U$ 				&150	& 160 & 168	& 124,40 & 179,52 & 183,62 & 186,89 & 189,51 & 191,61 \\ \hline
Condition $U \leqslant 190$	& vraie	& vraie	& vraie	& vraie & vraie & vraie & vraie & vraie & fausse \\ \hline
\end{tabularx}
}
\end{center}

		\item% En déduire l'affichage obtenu en sortie de l'algorithme et interpréter ce résultat.
L'affichage en sortie d'algorithme est $2014+8$ soit 2022.

Cela correspond à la première année pour laquelle le nombre d'inscrits en périscolaire va dépasser 190.

	\end{enumerate}

\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 200$; donc $u_n=v_n+200$.

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme.
\begin{list}{\textbullet}{}
\item $v_{n+1}=u_{n+1}-200 = 0,8u_n+40-200 = 0,8\,(v_n+200) - 160 = 0,8v_n+160-160 = 0,8v_n$
\item $v_0=u_0-200=150-200 = -50$
\end{list}		

Donc la suite $(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-50$.

		\item% Pour tout entier naturel $n$, démontrer que $u_n = 200 - 50 \times 0,8^n$.
$(v_n)$ est une suite géométrique de raison $q=0,8$ et de premier terme $v_0=-50$ donc, pour tout entier naturel $n$, $v_n= v_0\times q^n = -50\times 0,8^n$.
Or $u_n= v_n+200$.

On en déduit que, pour tout entier naturel $n$, $u_n=200-50\times 0,8^n$. 

		\item% Déterminer par le calcul le plus petit entier naturel $n$ tel que:
		
On résout l'inéquation $200 - 50 \times 0,8^n > 190$

$\begin{array}{@{} l !{\iff} l l}
200 - 50 \times 0,8^n > 190 & 10 > 50\times 0,8^n & \\
 & 0,2 > 0,8^n & \\
 & \ln(0,2) > \ln(0,8^n) & \text{croissance de la fonction ln sur } \cg0\,;\, +\infty\cd\\
 & \ln(0,2) > n \ln(0,8) & \text{propriété de la fonction ln}\\
 & \dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} < n & \text{car } \ln(0,8)<0
\end{array}$		

$\dfrac{\ln(0,2)}{\ln(0,8)} \approx 7,2$ donc le plus petit entier naturel $n$ tel que $200-50\times 0,8^n>190$ est $n=8$.
				
		\item% À partir de quelle année la directrice du périscolaire sera-t-elle obligée de refuser des inscriptions faute de places disponibles ?
La capacité d'accueil du périscolaire est de 190 élèves maximum.

$n=8$ correspond à l'année $2014+8=2022$; c'est donc à partir de 2022 que la directrice du périscolaire sera obligée de refuser des inscriptions.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Candidats ayant choisi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip

L'été un centre de loisirs propose aux adolescents la pratique du canoë-kayak ou de la planche à rame.

Tous les matins, chaque adolescent doit choisir un et un seul sport parmi les deux proposés.

On admet que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]si un adolescent choisit le canoë-kayak un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse la planche à rame le jour suivant est égale à $0,4$ ;
\item[$\bullet~~$]si un adolescent choisit la planche à rame un jour donné, alors la probabilité qu'il choisisse le canoë-kayak le jour suivant est égale à $0,2$ ;
\item[$\bullet~~$]le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le  canoë-kayak est égale à $0,85$.
\end{itemize}

\medskip

On note :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$K$ l'état : \og l'adolescent choisit le canoë-kayak \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{K}$ l'état : \og l'adolescent choisit la planche à rame \fg.
\end{itemize}

On note, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$p_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse le canoë-kayak lors du $n$-ième jour ;
\item[$\bullet~~$]$q_n$ la probabilité qu'un adolescent pris au hasard choisisse la planche à rame le $n$-ième jour ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}p_n&q_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne donnant l'état probabiliste lors du $n$-ième jour.
\end{itemize}
\medskip

%\emph{Les deux parties peuvent être traitées indépendamment.}
%
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On représente la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets $K$ et $\overline{K}$:

\begin{center}
\hspace*{1cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{U}{$K$} \hskip 4cm \Rnode{V}{$\overline{K}$}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{U}{V} \Aput{0,4}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{V}{U} \Aput{0,2}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{U}{4mm}   \Bput{0,6}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{V}{.4cm} \Bput{0,8}%  boucle autour de V
\end{pspicture}
\end{center}

\item% Donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe, les sommets $K$ et $\overline{K}$ étant classés dans cet ordre.
D'après le texte:
$\left\lbrace 
\begin{array}{@{} l !{=} l}
p_{n+1} & 0,6p_n + 0,2q_n\\
q_{n+1} & 0,4p_n + 0,8q_n
\end{array}
\right. $
ce qui s'écrit sous forme matricielle:

$\begin{pmatrix}
p_{n+1} & q_{n+1}
\end{pmatrix}
= \begin{pmatrix}
p_n & q_n
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

La matrice de transition $M$ associée à ce graphe est donc:
$ M =
\begin{pmatrix}
0,6 & 0,4 \\ 0,2 & 0,8
\end{pmatrix}$

\item% Justifier que $P_1 = \begin{pmatrix}0,85& 0,15\end{pmatrix}$.
Le premier jour, la proportion d'adolescents qui choisissent le canoë-kayak est égale à 0,85 donc $p_1=0,85$. la proportion de ceux qui choisissent la planche à rame est donc $q_1=1-0,85=0,15$.

Donc 
$P_1 =
\begin{pmatrix}
p_1 & q_1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,85 & 0,15
\end{pmatrix}$

\item L'état probabiliste lors du 3\up{e} jour est $P_3$.
\`A la calculatrice, on trouve:

$P_2=P_1M =
\begin{pmatrix}
0,54 & 0,46
\end{pmatrix}$ 
et
$P_3=P_2M =
\begin{pmatrix}
0,416 & 0,584
\end{pmatrix}$ 

\item% Pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, montrer que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$.
Chaque adolescent choisit un et un seul sport parmi les deux proposés, donc, pour tout $n\pg 1$, $p_n+q_n=1$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
p_{n+1}=0,6p_n + 0,2 q_n\\
p_n+q_n=1
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
p_{n+1}=0,6p_n + 0,2\,(1-p_n)
\iff
p_{n+1}=0,4p_n + 0,2$
pour tout $n\pg 1$

\item On considère l'algorithme suivant :

\begin{center}
\begin{tabular}{|l l|}
\hline
\textbf{Initialisation} & Choisir un nombre entier naturel $N \geqslant 2$\\
 & $p$ prend la valeur $0,85$\\
\textbf{Traitement} & Pour $i$ allant de $2$ à $N$\\
 & \hspace{0.5cm}$p$ prend la valeur $0,4p +0,2$\\
 & Fin pour\\

\textbf{Sortie} & Afficher $p$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item% Pour la valeur $N = 5$ saisie, recopier et compléter le tableau suivant par autant de colonnes que nécessaire pour retranscrire l'exécution de l'algorithme. Arrondir les résultats au millième.
on complète le tableau suivant pour la valeur $N=5$ saisie:

\begin{center}
\definecolor{gristab}{gray}{0.80}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|l|*{5}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $i$	&\multicolumn{1}{>{\columncolor{gristab}}c|}{\quad}&2	&	3 & 4 & 5\\ \hline
Valeur de $p$	&0,85	& 0,54 & 0,416 & 0,366 & 0,347 \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item% En déduire l'affichage obtenu quand la valeur de $N$ saisie est $5$.
L'affichage en sortie d'algorithme pour $N=5$ est approximativement de 0,347.		
		
		\item% Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment interpréter le nombre obtenu en sortie de cet algorithme.
Cela signifie que le cinquième jour, il y a une proportion de 34,7\,\% d'adolescents qui pratiquent le canoë-kayak.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

D'après la partie A, on sait que $p_{n+1} = 0,4p_n + 0,2$ pour tout entier naturel 
$n \geqslant 1$.

On admet que $p_n = \dfrac{31}{60} \times 0,4^{n - 1} + \dfrac{1}{3}$ pour tout entier naturel $n \geqslant 1$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Conjecturer la limite de la suite $\left(p_n\right)$.
On peut conjecturer que la suite $(p_n)$ a pour limite $\dfrac{1}{3}$.

\emph{Remarque -- Cela se démontre assez facilement en tenant compte du fait que la suite géométrique $(0,4^n)$ a pour limite 0.}


\item% Interpréter le résultat.
La suite $(p_n)$ a pour limite $\dfrac{1}{3}$ donc, comme $p_n+q_n=1$, on peut dire que la suite $(q_n)$ a pour limite $1-\dfrac{1}{3}=\dfrac{2}{3}$.

Plus le nombre de jours augmente, plus la proportion d'adolescents pratiquant le canoë-kayak se rapproche d'un tiers, et plus la proportion de ceux pratiquant la planche à rame se rapproche des deux-tiers.

\end{enumerate}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

\medskip

Pierre a des pommiers dans son verger. Il décide de faire du jus de pomme avec ses fruits.

Dans sa récolte :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]il dispose de 80\,\% de pommes de variété A et de 20\,\% de pommes de variété~B.
\item[$\bullet~~$]15\,\% des pommes de variété A et 8\,\% des pommes de variété B sont avariées et devront être jetées.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On prend une pomme au hasard dans la récolte et on note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$A$ l'évènement \og la pomme est de variété A\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$B$ l'évènement \og la pomme est de variété B \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$J$ l'évènement \og la pomme est jetée\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$\overline{J}$ l'évènement contraire de l'évènement $J$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $p(A)$ la probabilité de l'évènement $A$.

%\smallskip
%
%\emph{Les trois parties de cet exercice sont indépendantes.}
%
%\smallskip
%
%Dans tout l'exercice, donner des valeurs approchées des résultats au millième.

\medskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}

\item On représente cette situation à l'aide d'un arbre pondéré:

\bigskip

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt,nrot=:U,levelsep=3cm]{\TR{}}
{\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$A$}\naput{0,8}}
	{\TR{$J$}\naput{0,15}
	\TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,15=0,85$}
	}
\pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$B$}\nbput{0,2}}
	{\TR{$J$}\naput{0,08}
	\TR{$\overline{J}$}\nbput{\red $1-0,08=0,92$}
	}
}
\end{center}

\bigskip

\item% Calculer la probabilité que la pomme soit de variété A et soit jetée.
La pomme est de variété A et est jetée est l'événement $A\cap J$:

$p(A\cap J)= p(A)\times p_A(J)=0,8 \times 0,15=0,12$

\item% Montrer que la probabilité qu'une pomme soit jetée est égale à $0,136$.
D'après la formule des probabilités totales:

$p(J)=p(A\cap J)+p(B\cap J) = p(A)\times p_A(J) + p(B)\times p_B(J)=0,12+0,2\times 0,08 = 0,12+0,016 = 0,136$ 


\item La probabilité qu'une pomme soit de variété A sachant qu'elle a été jetée est $P_J(A)$:

$P_J(A) = \dfrac{p(A\cap J)}{p(J)}= \dfrac{0,12}{0,136} \approx 0,882$

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une pomme pèse en moyenne 150~g.
On modélise le poids d'une pomme en grammes par une variable aléatoire $X$ qui suit une
loi normale d'espérance $\mu = 150$ et d'écart type $\sigma = 10$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item La probabilité que la pomme ait un poids inférieur à $150$~g est $p(X\pp 150)$; comme $150=\mu$, on peut dire que $p(X \pp 150)=0,5$.

\item $p(120 \leqslant X \leqslant 170) = p(\mu - 2\sigma \pp X \pp \mu +2\sigma \approx 0,976$ d'après le cours.

Cela veut dire que la probabilité qu'une pomme ait un poids compris entre 120 et 170 grammes est de 0,976.

\emph{Remarque -- On peut naturellement utiliser la calculatrice.}

\end{enumerate}

\medskip

\subsubsection*{Partie C}

\medskip

Pierre a pris rendez-vous dans une fabrique de jus de pomme artisanale. Il arrive au hasard entre 8 heures et 9~heures~30 minutes. 

Son heure d'arrivée est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi uniforme sur [8~;~9,5].

%Déterminer la probabilité que Pierre arrive entre 8~h~30 et 8~h~45.

La probabilité que Pierre arrive entre 8~h~30 et 8~h~45 est $p(8,5 \pp Y \pp 8,75)$.

\smallskip

D'après le cours: $p(8,5 \pp Y \pp 8,75) = \dfrac{8,75-8,5}{9,5-8}=\dfrac{0,25}{1,5}=\dfrac{1}{6}$

\smallskip

Il y a donc une chance sur 6 que Pierre arrive entre  8~h~30 et 8~h~45.

%\newpage

\bigskip

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle \cd 0~;~10\cg{} par
$f(x) = (2x - 5)\text{e}^{- x + 4} + 20$.

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle \cd 0~;~10\cg{}, $f'(x) = (- 2x + 7)\text{e}^{- x + 4}$.
$f'(x)=2\times \e^{-x+4} +(2x-5)\times (-1)\e^{-x+4} + 0 =
(-2x+7)\e^{-x+4}$

\item% En déduire le sens de variation de $f$ et dresser le tableau de variation de $f$ sur l'intervalle [0~;~10]. 
%
%Si nécessaire, arrondir au millième les valeurs présentes dans le tableau de variation.
Pour tout $x$, $\e^{-x+4}>9$ donc $f'(x)$ est du signe de $-2x+7$ qui s'annule et change de signe pour $x=3,5$.

On calcule:

$f(0)=-5\e^{4}+20\approx -252,991$;
$f(3,5) = 2\e^{0,5}+20 \approx 23,297$
et
$f(10) = 15\e^{-6} + 20 \approx 20,037$

D'où le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 3,5 & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
-2x+7 &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
\e^{-x+4} &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom{0} & \pmb{+} & \\ 
\hline
f'(x) &  &   \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{-} & \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{23,297}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-252,991} &   &  &  &   \Rnode{min2}{20,037} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2} 
 \\ 
\hline
\end{array} $
}
\end{center}


\item% Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution  $\alpha$ sur [0~;~10] et déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$.

On complète le tableau de variation de la fonction $f$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}%  paramètres
\def\esp{2.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{20pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c|*5{c}|}
\hline
x & 0  & \hspace*{\esp} & 3,5 & \hspace*{\esp} & 10 \\ 
\hline
 & &  &   \Rnode{max}{23,297}  &  &   \\  
f(x) & &     &  &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\ 
 & \Rnode{min1}{-252,991} &   &  &  &   \Rnode{min2}{20,037} \rule{0pt}{\hauteur}    
 \ncline{->}{min1}{max} 
 \ncline{->}{max}{min2}
\rput*(-7,0.9){\Rnode{zero}{\red 0}}
\rput(-7,2.4){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

On peut en déduire que l'équation $f(x)=0$ admet une solution unique dans $\cd 0\,;\,10\cg$ et que cette solution est dans $\cd 0\,;\,3,5 \cg$.

$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\approx} r}
f(1) & -40,3 <0\\
f(2) & 12,6 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\alpha \in \cd 1\,;\,2 \cg
$
\hfill
$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\approx} r}
f(1,5) & -4,4 <0\\
f(1,6) & 0,16 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\alpha \in \cd 1,5\,;\,1,6 \cg
$
\hfill
$\left. 
\begin{array}{@{} l !{\approx} r}
f(1,59) & -0,26 <0\\
f(1,60) & 0,16 >0
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\alpha \in \cd 1,59\,;\,1,60 \cg
$

\item On admet que la fonction $F$ définie sur \cd 0~;~10\cg{} par
$F(x) = (- 2x + 3)\e^{- x + 4} + 20x$ est une primitive de $f$ sur \cd 0~;~10\cg.

La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle \cd 0~;~10\cg{} est 
$\dfrac{1}{10-0}\ds\int_0^{10}f(t) \d t = \dfrac{1}{10}\left ( F(10)-F(0) \rule{0pt}{12pt}\right )$

$F(10)= -17\e^{-6}+200$ et $F(0)=3\e^{4}$ donc
$F(10)-F(0) = 200 -17\e^{-6} - 3\e^{4}$

La valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $\cd 0\,;\,10\cg$ est donc
$\dfrac{200 -17\e^{-6} - 3\e^{4}}{10}\approx 3,616$. 

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique entre 0 et \np{1000} objets par semaine.

Le bénéfice, en milliers d'euros, que réalise cette entreprise lorsqu'elle fabrique et vend $x$ centaines d'objets est modélisé par la fonction $f$ définie sur \cd 0~;~10\cg{} par :
$f(x) = (2x - 5)\e^{- x + 4} + 20$.

%Répondre aux questions suivantes en utilisant les résultats de la partie A et en arrondissant les résultats à l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}

\item% Quel est le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum ?
Le nombre d'objets à vendre pour réaliser un bénéfice maximum correspond à $x=3,5$ centaines d'objets donc 350 objets.

%Quel est ce bénéfice maximal en euros ?

$f(3,5)\approx 23,297$ donc le bénéfice maximal réalisé est de $\np{23297}$~\euro.

\item% À partir de combien d'objets fabriqués et vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice positif ?
L'entreprise réalise un bénéfice quand il vend au moins $x$ centaines d'objets avec $f(x)>0$. 

D'après le tableau de variation de la fonction $f$, il faut pour cela que $x > \alpha$. 

Or $\alpha \in \cd 1,59\,;\,1,60\cg$ donc il faut vendre au moins 160 objets pour réaliser un bénéfice.

\item% Interpréter le résultat de la question 4 de la partie A.
La valeur moyenne de la fonction $f$ sur $\cd 0\,;\, 10\cg$ correspond au bénéfice moyen hebdomadaire; en moyenne, le bénéfice sera de $3,616\times \np{1000} = \np{3616}$~\euro.

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie novembre 2015

\vfill

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\newpage

%%%%%%%%% début Amérique du Sud novembre 2015
\hypertarget{AmeriSud}{}

\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 25 novembre 2015}
\renewcommand \footrulewidth{.2pt}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Corrigé du baccalauréat ES/L -- Amérique du Sud~\decofourright\\
25 novembre 2015} \end{center}
\label{AmeriSud}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 1}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 5 points}

%\medskip 
%
%\emph{Les deux parties de l'exercice sont indépendantes.\\ Les probabilités demandées seront données à $0,001$ près.}

\medskip

Une étude est menée par une association de lutte contre la violence routière. Des observateurs, sur un boulevard d'une grande ville, se sont intéressés au comportement des conducteurs d'automobile au moment de franchir un feu tricolore.

%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

%\medskip
%
%\emph{Dans cette partie, on s'intéresse au respect de la signalisation par les automobilistes.}
%
%\smallskip

Sur un cycle de deux minutes (120 secondes), le feu est à la couleur \og rouge \fg{} pendant 42 secondes,
\og orange\fg{} pendant 6 secondes et \og vert\fg{} pendant 72 secondes.

Par ailleurs, les observateurs notent que les comportements diffèrent selon la couleur du feu :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] lorsque le feu est rouge, 10\,\% des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent ;
\item[$\bullet~~$] lorsque le feu est orange, 86\,\% des conducteurs continuent de rouler et les autres s'arrêtent;
\item[$\bullet~~$] lorsque le feu est vert, tous les conducteurs continuent de rouler.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On s'intéresse à un conducteur pris au hasard, et on observe son comportement selon la couleur du feu. On note :

\setlength\parindent{6mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $R$ l'évènement \og le feu est au rouge\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $O$ l'évènement \og le feu est à l'orange\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $V$ l'évènement \og le feu est au vert\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ l'évènement \og le conducteur continue de rouler \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

D'après ce qui est dit dans le texte: $p(R)=\dfrac{42}{120}=0,35$, $p(O)=\dfrac{6}{120}=0,05$ et $p(V)= \dfrac{72}{120}=0,6$\\[5pt]
De plus: $P_R(C)=0,1$, $p_O(C)=0,86$ et $p_V(C)=1$

%Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité, $p_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant que $B$ est réalisé et $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item On modélise cette situation par un arbre pondéré:

\medskip

\begin{center}
{%\small
\psset{treesep=.75cm,levelsep=4cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm,nrot=:U}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$R$}\naput{0,35}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{0,1}
			                \TR{$\overline C$}\nbput{$\red 1-0,1=0,9$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$O$}\naput{0,05}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{0,86}
			                \TR{$\overline C$}\nbput{$\red 1-0,86=0,14$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$V$}\nbput{0,60}}
	                        {
	                        \TR{$C$}\naput{1}
%			                \TR{$\overline C$}\nbput{0}
	                        }	                        
      }
}% fin du \small
\end{center}

\bigskip

\item% Montrer que la probabilité que le conducteur continue de rouler au feu est $0,678$.
La probabilité que le conducteur continue de rouler est $p(C)$.

D'après la formule des probabilités totales:

$p(C)= p(R\cap C) + p(O \cap C) + p(V \cap C)
= p(R)\times p_R(C) + p(O)\times p_O(C)  + p(V)\times p_V(C)\\
\phantom{p(C)}
= 0,35 \times 0,1 + 0,05 \times 0,86 + 0,6 \times 1 = 0,678$


\item Sachant qu'un conducteur continue de rouler au feu, la probabilité que le feu soit vert est $p_C(V)$:

$p_C(V) = \dfrac{p(V \cap C)}{p(C)} = \dfrac{0,6\times 1}{0,678} \approx 0,885$

\end{enumerate}

%\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

%\medskip

%\emph{Dans cette partie, on s'intéresse au trafic aux heures de pointe.}
%
%\smallskip

On désigne par $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de voitures par heure à proximité du feu évoqué dans la partie A.
On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne \np{3000} et d'écart type $150$.

\medskip

\begin{enumerate}

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine la probabilité de compter entre \np{2800} et \np{3200} voitures par heure à cet endroit, c'est-à-dire $p(\np{2800} \pp X \pp \np{3200})$; on trouve approximativement 0,818.

\item À l'aide de la calculatrice, on détermine la probabilité de compter plus de \np{3100} voitures par heure à cet endroit, c'est-à-dire $p(X\pg \np{3100})$; on trouve approximativement 0,252. 

\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
%
%\smallskip

À un autre endroit du boulevard, à proximité d'un pont, la variable aléatoire $Y$ qui compte le nombre de voitures par heure suit la loi normale de moyenne \np{3000} et d'écart type $\sigma$ strictement supérieur à $150$.

Sur le graphique ci-dessous, la courbe correspondant à $X$ est en traits pleins et la courbe correspondant à $Y$ est en pointillés.

%Déterminer à quel endroit du boulevard, à proximité du feu ou du pont, la probabilité qu'il passe en une heure, entre \np{2800} et \np{3200} voitures, est la plus grande. Justifier à l'aide du graphique.

\begin{center}
\psset{xunit=0.003cm,yunit=500cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\begin{pspicture*}(-500,-0.0015)(3000,0.015)
\multido{\n=0+500,\na=1500+500}{6}{\uput[d](\n,0){\np{\na}}}
\multido{\n=0+100}{31}{\psline[linestyle=dotted](\n,0)(\n,0.0135)}
\multido{\n=0+0.0005,\na=0+0.002}{7}{\uput[l](0,\na){\np{\n}}}
\multido{\n=0+0.0005,\na=0+0.002}{7}{\psline[linestyle=dotted](0,\na,0)(3500,\na)}
\psline{->}(0,0)(0,0.0135)
%\psaxes[Ox=1500,Dx=500,Dy=0.005](0,0)(-300,-0.0001)(3500,0.0032)
\def\m{1500}% moyenne 
\def\s{150}% écart type
\def\f{1/(0.25*\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{160}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3400}{\f} % courbe de f sur 
\def\m{1500}% moyenne 
\def\s{300}% écart type
\def\g{1/(0.25*\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{3500}{\g} % courbe de f sur 
%\psGauss[sigma=150,\mue=1500,linecolor=red]{1500}{4500}
\uput[u](2900,0){$x$}
\uput[r](0,0.013){$y$}
\psline{->}(0,0)(3000,0)
\psline[linecolor=red](1300,0)(1300,0.008)
\uput*[l](1300,0.007){$\red x=\np{2800}$}
\uput{15pt}[d](1300,0){\red \np{2800}}
\psline[linecolor=red](1700,0)(1700,0.008)
\uput{15pt}[d](1700,0){\red \np{3200}}
\uput*[r](1700,0.007){$\red x=\np{3200}$}
\end{pspicture*}
\end{center}

On trace les droites d'équations $x=\np{2800}$ et $x=\np{3200}$; elles semblent couper les deux courbes en leurs points d'intersection.

\begin{list}{\textbullet}{D'après le cours:}
\item $p(\np{2800} \pp X \pp \np{3200}$ est l'aire $\mathcal A_1$  de l'ensemble des points compris entre la courbe en traits pleins, l'axe des abscisses et les deux droites verticales tracées;

\item $p(\np{2800} \pp Y \pp \np{3200}$ est l'aire $\mathcal A_2$ de l'ensemble des points compris entre la courbe en pointillés, l'axe des abscisses et les deux droites verticales tracées.

\end{list}

Graphiquement, $\mathcal A_1 > \mathcal A_2$, donc la probabilité qu'il passe en une heure, entre \np{2800} et \np{3200} voitures, est plus grande pour le lieu correspondant à l'aire $\mathcal A_1$, donc à proximité du feu.

\end{enumerate}

\newpage

\subsection*{\textsc{Exercice 2}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 6 points}

\medskip
 
%\emph{Les deux parties de l'exercice peuvent être traitées de manière indépendante.}
% 
%\bigskip

\subsubsection*{Partie A}

\medskip

La fonction $f$ est définie pour tout réel $x$ élément de l'intervalle \cd 1~;~7\cg{} par:
$f(x) = 1,5 x^3 - 9 x^2 + 24 x + 48$

On note $f'$ la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa dérivée seconde sur \cd 1~;~7\cg.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x$ de l'intervalle \cd 1~;~7\cg{}:
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = 1,5\times 3x^2 -9\times 2x +24 = 4,5 x^2 -18x +24$
		\item $f''(x)= 4,5 \times 2x -18 = 9x-18$
	\end{enumerate}
\item% Déterminer sur quel intervalle la fonction $f$ est convexe.
La fonction $f$ est convexe sur les intervalles sur lesquels sa dérivée première $f'$ est croissante, c'est-à-dire sur lesquels sa dérivée seconde $f''$ est positive.

$f''(x)\pg 0 \iff 9x-18 \pg 0 \iff 9x \pg 18 \iff x \pg 2$ 

La fonction $f$ est convexe sur l'intervalle \cd 2\,;\, 7\cg.

\end{enumerate}

\bigskip

\subsubsection*{Partie B}

\medskip

Une entreprise fabrique et commercialise un article dont la production est comprise entre \np{1000} et \np{7000} articles par semaine.
On modélise le coût de fabrication, exprimé en milliers d'euros, par la fonction $f$ définie dans la partie A où $x$ désigne le nombre de milliers d'articles fabriqués.

On note $c$ la fonction définie sur \cd 1~;~7\cg{} représentant le coût moyen par article fabriqué, exprimé en euros. On a, par conséquent, pour tout $x$ de \cd 1~;~7\cg{}:
$c(x) = \dfrac{f(x)}{x} = 1,5 x^2 - 9 x + 24 + \dfrac{48}{x}$

\smallskip

On admet que la fonction $c$ est dérivable sur \cd 1~;~7\cg. On note $c'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item% Montrer que, pour tout $x$ de l'intervalle [1~;~7], on a : $c'(x) = \dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}$
$c'(x)= 1,5\times 2x -9 +0 +48\times \left (-\dfrac{1}{x^2}\right )
= 3x-9 -\dfrac{48}{x^2} = \dfrac{3x^3 - 9x^2 -48}{x^2}$

$\dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}
= \dfrac{3(x^3+x^2+4x-4x^2-4x-16)}{x^2}
= \dfrac{3(x^3-3x^2-16)}{x^2}
= \dfrac{3x^3-9x^2-48}{x^2}$

Donc, pour tout $x$ de $\cd 1\,;\,7\cg$, 
$c'(x)= \dfrac{ 3(x - 4)\left(x^2 + x + 4\right)}{x^2}$

\item 
	\begin{enumerate}

		\item% Étudier les variations de la fonction $c$ sur l'intervalle [1~;~7].
\begin{list}{\textbullet}{On cherche le signe de $c'(x)$ sur l'intervalle $\cd 1\,;\,7\cg$.}

\item signe de $x-4$: $x-4>0$ pour $x>4$ donc sur $\cg 4\,;\, 7\cg$

\item signe de $x^2+x+4$: $\Delta=1-16=-15<0$ donc $x^2+x+4>0$ pour tout $x$

\end{list} 		

$c(1)=64,5$, $c(4)=24$ et $c(7)\approx 41,4$

D'où le tableau de variation de la fonction $c$ sur $\cd 1\,;\, 7\cg$:

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}  % paramètres
\def\esp{1.5cm}% pour modifier la largeur du tableau
\def\hauteur{0pt}% mettre au moins 20pt pour augmenter la hauteur
$\begin{array}{|c| *4{c} c|}
\hline
 x & 1 & \hspace*{\esp} & 4 & \hspace*{\esp} & 7 \\
 \hline
x-4 &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\  
 \hline
x^2+x+4 &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom 0 & \pmb{+} & \\ 
 \hline
x^2 &  &  \pmb{+} & \vline\hspace{-2.7pt}\phantom 0 & \pmb{+} & \\ 
 \hline
c'(x) &  &  \pmb{-} & \vline\hspace{-2.7pt}0 & \pmb{+} & \\ 
\hline
  & \Rnode{max1}{64,5}  &  &  &  & \Rnode{max2}{41,4}   \\
c(x) & &  & & &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &  & &   \Rnode{min}{24} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{max1}{min} \ncline{->}{min}{max2}\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

		\item% Déterminer, en milliers, le nombre d'articles à fabriquer pour que le coût moyen par article soit minimal.
Le minimum de la fonction $c$ est atteint pour $x=4$ donc pour $\np{4000}$ articles à fabriquer; le coût moyen par article est alors de $24\times \np{1000}$ soit $\np{24000}$ euros.


	\end{enumerate}

\item On considère la fonction $\Gamma$ définie sur l'intervalle \cd 1~;~7\cg{} par : $\Gamma(x) = 0,5 x^3 - 4,5 x^2 + 24 x + 1 + 48\ln x$
	
	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que $\Gamma$ est une primitive de $c$ sur l'intervalle [1~;~7].
La fonction $\Gamma$ est dérivable sur $\cd 1\,;\,7\cg$ et

$\Gamma'(x)= 0,5\times 3x^2 - 4,5 \times 2x +24 +0 +48\times \dfrac{1}{x}
= 1,5x^2 -9x+24 +\dfrac{48}{x} = c(x)$

Donc la fonction $\Gamma$ est une primitive de la fonction $c$ sur $\cd 1\,;\,7\cg$.

		\item% Calculer la valeur moyenne $\mu$ de $c$ sur l'intervalle [1~;~7]. On donnera la valeur exacte puis la valeur arrondie à $10^{- 2}$.
La valeur moyenne de la fonction $c$ sur $\cd 1\,;\, 7\cg$ est 
$M=\dfrac{1}{7-1} \ds\int_1^7 c(x) \d x = \dfrac{1}{6} \ds\int_1^7 c(x) \d x$

Or $\Gamma$ est une primitive de $c$ sur $\cd 1\,;\, 7\cg$ donc

$\ds\int_1^7 c(x) \d x = \Gamma(7)-\Gamma(1) = \left ( 0,5\times 343 -4,5\times 49 +24\times 7 +1 + 48\times \ln 7 \right ) - \left ( 0,5 - 4,5 +24+1+0\right )\\
\hphantom{\ds\int_1^7 c(x) \d x}
= (120 +48\ln 7) - 21 = 99 +48\ln 7$

La valeur moyenne est donc $M=\dfrac{99+48\ln 7}{6} \approx 32,07$.

	\end{enumerate}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill {\small Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité, et candidats de L} \hfill 5 points}

\medskip 

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et elle demande ou non l'avis du bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg. Son souhait de demander un avis change d'une semaine sur l'autre selon le plaisir qu'elle a eu à lire le livre et selon la pertinence du conseil donné par le bibliothécaire la semaine précédente. 

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis la $n$-ième semaine. On a ainsi $a_1 = 0,1$.

\smallskip

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a : $a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4$.

\begin{enumerate}

\item% Calculer la probabilité $a_2$ que Claudine demande un avis la deuxième semaine.
$a_2=0,5 a_1+0,4 = 0,5\times 0,1+0,4 = 0,45$

La probabilité que Claudine demande un avis la deuxième semaine est égale à 0,45.

\item Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on définit la suite $\left(v_n\right)$ par: $v_n = a_n - 0,8$.

	\begin{enumerate}
	
		\item% Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,5$.
%		
%Préciser son premier terme $v_1$.
Pour tout $n \pg 1$, $v_n=a_n-0,8$ donc $a_n=v_n+0,8$.

\begin{list}{\textbullet}{}

\item $v_{n+1} = a_{n+1} - 0,8 = 0,5 a_n + 0,4 - 0,8 = 0,5(v_n+0,8) - 0,4 = 0,5v_n +0,4-0,4 = 0,5v_n$

\item $v_1=a_1 - 0,8 = 0,1-0,8 = -0,7$

\end{list}

Donc la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $v_1=-0,7$.

		\item% Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
%		\[a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}.\]
		
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$ et de premier terme $v_1=-0,7$ donc, d'après le cours, pour tout $n\pg 1$, $v_n = v_1\times q^{n-1} = -0,7\times 0,5^{n-1}$.

Comme $u_n=v_n+0,8$, on en déduit que, pour tout $n\pg 1$, $u_n=0,8-0,7\times 0,5^{n-1}$.
		
		\item% Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
La suite $(v_n)$ est géométrique de raison $q=0,5$; or $0 < 0,5 < 1$ donc la suite $(v_n)$ est convergente et a pour limite 0.

		\item% En déduire la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter ce résultat.
\ \\[-24pt]

$\left. 
\begin{array}{@{} l}
\ds\lim_{n\to +\infty} v_n = 0\\
a_n = v_n+0,8
\end{array}
\right\rbrace 
\implies
\ds\lim_{n\to +\infty} a_n = 0,8
$

Cela signifie que, quand le nombre de semaines deviendra très grand, Claudine va demander un avis 8 fois sur 10.

	\end{enumerate}

\item On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES :	&$A$ est un réel\\
 			&$N$ est un entier naturel\\
			&$L$ est un réel strictement compris entre $0,1$ et $0,8$\\ \hline
INITIALISATION : &$A$ prend la valeur $0,1$\\
			&$N$ prend la valeur 1\\ \hline
TRAITEMENT:	&Tant que $A \leqslant L$\\
			&\hspace{0,4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
			&\hspace{0,4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\ 
			&Fin du Tant que\\\hline
SORTIE :	&Afficher $N$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Pour la valeur $L = 0,7$, on complète les colonnes du tableau suivant :
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Valeur de $N$& 1 &2& 3 & 4\\
\hline 
Valeur de $A$& 0,1& 0,45 & 0,625 & \np{0,7125}\\
\hline
Condition $A \leqslant L$& vraie& vraie & vraie & \textcolor{red}{fausse}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item L'affichage de $N$ obtenu en sortie d'algorithme quand la valeur de $L$ est $0,7$ est donc 4.
		
		\item% Dans le contexte de cet exercice, expliquer comment on peut interpréter le nombre $N$ obtenu en sortie de l'algorithme quand le nombre $L$ est compris strictement entre $0,1$ et $0,8$.
Le nombre $N$ obtenu par l'algorithme quand le nombre $L$ est compris entre 0,1 et 0,8 est le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à $L$.

	\end{enumerate}

\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
%Déterminer le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis soit supérieure à $0,799$.

On cherche $n$ tel que $a_n>0,799$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} r c l l}
a_n>0,799 & 0,8 - 0,7 \times 0,5^{n-1} & > & 0,799 & \\
 & 0,001 & > & 0,7\times 0,5^{n-1} & \\[5pt]
 & \dfrac{0,001}{0,7} & > & 0,5^{n-1} & \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & \ln\left (0,5^{n-1} \right ) & \text{croissance de la fonction ln} \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & (n-1)\ln 0,5 & \text{propriété de la fonction ln} \\[8pt]  
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} & < & n-1 & \text{car } \ln 0,5<0\\[8pt]
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 & < & n & 
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 \approx 10,5$ donc le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à 0,799 est 11.

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 3}\hfill Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité \hfill 5 points}

\medskip 

Claudine est une passionnée de lecture abonnée à l'hebdomadaire littéraire \og La Lecture \fg. Elle se rend une fois par semaine à la bibliothèque et demande ou non l'avis de la bibliothécaire sur le livre mis en valeur dans l'hebdomadaire \og La Lecture \fg.

Lorsque Claudine demande à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle le demande de nouveau la semaine suivante est $0,9$.

Lorsque Claudine ne demande pas à la bibliothécaire son avis, la probabilité qu'elle ne le demande pas non plus la semaine suivante est $0,6$.

La première semaine, on suppose que la probabilité que Claudine demande un avis vaut $0,1$.

Pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on note:

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que Claudine demande un avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine;
\item[$\bullet~~$] $b_n$, la probabilité que Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire la $n$-ième semaine;
\item[$\bullet~~$] $P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne traduisant l'état probabiliste la $n$-ième semaine.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On a ainsi $a_1 = 0,1$ et $b_1 = 0,9$ et donc
$P_1 =
\begin{pmatrix}
0,1 & 0,9
\end{pmatrix}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item On illustrer la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B:% A représente l'état \og Claudine demande un avis à la bibliothécaire\fg{}; B représente l'état \og Claudine ne demande pas d'avis à la bibliothécaire \fg.
		
\hspace*{2cm}
\begin{pspicture}(-2,-1)(6,1.2)
\Rnode{U}{A} \hskip 4cm \Rnode{V}{B}% définition des sommets
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%       différents paramètres
\ncarc{->}{U}{V} \Aput{0,1}%                 arc pondéré partant de U
\ncarc{->}{V}{U} \Aput{0,4}%                 arc pondéré arrivant à V
\nccircle[angleA=90]{->}{U}{4mm}   \Bput{0,9}%   boucle autour de U
\nccircle[angleA=-90]{->}{V}{.4cm} \Bput{0,6}%  boucle autour de V
\end{pspicture}		
		
		\item% Indiquer la matrice de transition $M$ associée à ce graphe. On prendra les sommets A et B dans l'ordre (A,B).
D'après le texte, on a:
$\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a_{n+1} & 0,9 a_n + 0,4 b_n\\
b_{n+1} & 0,1 a_n + 0,6 b_n
\end{array}
\right.
$

ce qui donne sous forme matricielle:
$\begin{pmatrix}
a_{n+1} & b_{n+1}
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a_{n} & b_{n}
\end{pmatrix}
\times
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
$

Donc la matrice de transition de ce graphe est
$M =
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}$

	\end{enumerate}
\item% Montrer que l'on a $P_2 = \begin{pmatrix}0,45& 0,55\end{pmatrix}$.
$P_2=P_1M = 
\begin{pmatrix}
0,1 & 0,9
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,1 \times 0,9 + 0,9 \times 0,4 &  0,1 \times 0,1 + 0,9 \times 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
0,45 & 0,55
\end{pmatrix}
$

\item

	\begin{enumerate}

		\item% Montrer que l'état stable de la répartition du choix de la demande d'avis est $P = \begin{pmatrix}0,8& 0,2\end{pmatrix}$.
L'état stable est l'état 
$P=\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}$
tel que 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
a+b=1\\
PM=P
\end{array}
\right. $

$PM=P \iff 
\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
0,9 & 0,1 \\ 0,4 & 0,6
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}
\iff
\begin{pmatrix}
0,9 a +0,4 b & 0,1 a + 0,6b
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
a & b
\end{pmatrix}\\
\phantom{PM=P}
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
0,9 a + 0,4 b & a\\
0,1 a + 0,6 b & b
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
-0,1 a + 0,4 b & 0\\
0,1 a - 0,4 b & 0
\end{array}
\right.
\iff
a - 4 b = 0
$

Donc 
$\left\lbrace 
\begin{array}{l}
a+b=1\\
PM=P
\end{array}
\right. 
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{l !{=} l}
a+b & 1\\
a-4b & 0
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
a+b & 1\\
5b & 1
\end{array}
\right.
\iff
\left\lbrace 
\begin{array}{r !{=} l}
a & 0,8\\
b & 0,2
\end{array}
\right.
$

L'état stable est donc 
$P=\begin{pmatrix}
0,8 & 0,2
\end{pmatrix}$.

		\item% Interpréter ce résultat.
Si la répartition est de 80\,\% - 20\,\% pour les états A et B la semaine $n$, cette répartition restera la même la semaine $n+1$ et toutes les suivantes.


	\end{enumerate}

\item On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a :
$a_{n+1} = 0,5a_n + 0,4$.
	
On considère l'algorithme suivant :
	
	\begin{center}
	\begin{tabularx}{0.85\linewidth}{|l X|}\hline
VARIABLES : 	&$A$ est un réel et $N$ est un entier naturel\\ \hline
INITIALISATION :	&$A$ prend la valeur $0,1$\\
				&$N$ prend la valeur 1\\ \hline
TRAITEMENT :		&Tant que $A \leqslant 0,79$\\
				&\hspace{0.4cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
				&\hspace{0.4cm}$A$ prend la valeur $0,5 \times A + 0,4$\\
				&Fin du Tant que\\ \hline
SORTIE :		&Afficher $N$\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

%Préciser ce que cet algorithme permet d'obtenir. (On ne demande pas de donner la valeur de $N$ affichée en sortie d'algorithme.)
Dans cet algorithme, la variable $A$ désigne le terme $a_n$ dont le rang est donné par $N$.
 
Cet algorithme permet d'obtenir, si elle existe, la première valeur de $n$  pour laquelle $a_n$ est strictement supérieur à 0,79.


\item% \emph{Dans cette question, toute trace de recherche, même incomplète, ou d'initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l'évaluation.}

On admet que, pour tout nombre entier naturel $n$ strictement positif, on a:
$a_n = 0,8 - 0,7 \times  0,5^{n-1}$.

On cherche $n$ tel que $a_n>0,799$:

$\begin{array}{@{} l !{\iff} r c l l}
a_n>0,799 & 0,8 - 0,7 \times 0,5^{n-1} & > & 0,799 & \\
 & 0,001 & > & 0,7\times 0,5^{n-1} & \\[5pt]
 & \dfrac{0,001}{0,7} & > & 0,5^{n-1} & \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & \ln\left (0,5^{n-1} \right ) & \text{croissance de la fonction ln} \\[8pt]
 & \ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right ) & > & (n-1)\ln 0,5 & \text{propriété de la fonction ln} \\[8pt]  
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} & < & n-1 & \text{car } \ln 0,5<0\\[8pt]
 & \dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 & < & n & 
\end{array}$

Or $\dfrac{\ln\left (\dfrac{0,001}{0,7}\right )}{\ln 0,5} +1 \approx 10,5$ donc le nombre de semaines à partir duquel la probabilité que Claudine demande un avis est supérieur à 0,799 est 11.


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\subsection*{\textsc{Exercice 4}\hfill Commun à tous les candidats \hfill 4 points}

%\medskip 
%
%\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte un point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}
%
%\smallskip
%
%\emph{Les probabilités sont données à $0,001$ près.}

\smallskip

Pour la fête du village de Boisjoli, le maire a invité les enfants des villages voisins.

Les services de la mairie ayant géré les inscriptions dénombrent $400$ enfants à cette fête ; ils indiquent aussi que 32\,\% des enfants présents sont des enfants qui habitent le village de Boisjoli.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le nombre d'enfants issus des villages voisins est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 128 & \fbox{\textbf{b.~~} 272} &\textbf{c.~~} 303 &\textbf{d.~~} 368
\end{tabularx}

\smallskip

Il y a 32\,\% d'enfants de Boisjoli, donc 68\,\% d'enfants des villages voisins; $\dfrac{68}{100}\times 400 = 272$

\medskip

\end{enumerate}

Lors de cette fête, huit enfants sont choisis au hasard afin de former une équipe qui participera à un défi sportif. On admet que le nombre d'enfants est suffisamment grand pour que cette situation puisse être assimilée à un tirage au hasard avec remise.

On appelle $X$ la variable aléatoire prenant pour valeurs le nombre d'enfants de l'équipe habitant le village de Boisjoli.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}

\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $n = 400$ et $p = 0,32$ & \fbox{\textbf{b.~~} $n = 8$ et $p = 0,32$}\\
\textbf{c.~~} $n = 400$ et $p = 8$ &\hspace*{2pt} \textbf{d.~~} $n = 8$ et $p = 0,68$
\end{tabularx}

\smallskip

La probabilité qu'un enfant soit de Boisjoli est de 0,32 puisqu'il y a 32\,\% d'enfants de ce village. On choisit 8 enfants donc $n=8$.

\medskip

\item La probabilité que dans l'équipe il y ait au moins un enfant habitant le village de Boisjoli est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,125 &\textbf{b.~~} 0,875 & \fbox{\textbf{c.~~} 0,954} &\textbf{d.~~} 1
\end{tabularx}

\smallskip

On cherche $P(X\pg 1)$ c'est-à-dire $1-P(X=0)=1-(1-0,32)^8 \approx 0,954$.

\medskip

\item L'espérance mathématique de $X$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} \np{1,7408} & \fbox{\textbf{b.~~} 2,56} &\textbf{c.~~} 87,04 &\textbf{d.~~} 128
\end{tabularx}

\smallskip

L'espérance mathématique d'une variable aléatoire $X$ suivant la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ est\\
$E(X)=np=8\times 0,32 = 2,56$.

\medskip

\end{enumerate}


%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud novembre 2015

\vfill

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\newpage



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\end{document}