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% Tapuscrit François Hache
%Relecture : Arié Yallouz
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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pdfsubject = {Baccalauréat ES/L Amérique du Nord},
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\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%%               le e de l'exponentielle
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small mai 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{AmNord}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Amérique du Nord mai 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-3}$ si nécessaire.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On rappelle que le triathlon est une discipline qui comporte trois sports: la natation, le cyclisme et la course à pied.

Fabien s'entraîne tous les jours pour un triathlon et organise son entraînement de la façon suivante :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item chaque entraînement est composé d'un ou deux sports et commence toujours par une séance de course à pied ou de vélo ;
\item lorsqu'il commence par une séance de course à pied, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,4$ ;
\item lorsqu'il commence par une séance de vélo, il enchaîne avec une séance de natation avec une probabilité de $0,8$.
\end{list} 

Un jour d'entraînement, la probabilité que Fabien pratique une séance de vélo est de $0,3$.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $C$ l'évènement: \og Fabien commence par une séance de course à pied \fg{}; 
\item $V$ l'évènement: \og Fabien commence par une séance de vélo \fg{}; 
\item $N$ l'évènement: \og Fabien enchaîne par une séance de natation \fg.
\end{list}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités suivant représentant la situation :

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=2.5cm,treesep=1cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$C$}\naput{$\ldots\ldots$}}
 	  { 
 		  \TR{$N$}\naput{$\ldots\ldots$}
 		  \TR{$\overline{N}$}\nbput{$\ldots\ldots$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$V$}\nbput{$\ldots\ldots$}}
 	  {
 		  \TR{$N$}\naput{$\ldots\ldots$}
          \TR{$\overline{N}$}\nbput{$\ldots\ldots$} 
     }
}
\bigskip
\end{center}

\item Quelle est la probabilité que Fabien commence par une séance de course à pied et enchaîne par une séance de natation ? 
\item Démontrer que: $P(N)= 0,52$.
\item Sachant que Fabien n'a pas fait de séance de natation, quelle est la probabilité qu'il ait commencé son entraînement par une séance de vélo ?
\end{enumerate}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

L'épreuve de triathlon s'est déroulée.

Pour chaque participant on enregistre sa performance, c'est-à-dire le temps total pour effectuer les trois épreuves du parcours.

On admet que l'ensemble des performances des participants, exprimées en heure, peut être modélisé par une variable aléatoire $T$ qui suit la loi normale d'espérance $2,5$ et d'écart-type $0,25$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $P(T\geqslant 3)$ et interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\item Calculer la probabilité qu'une performance prise au hasard se situe entre 2 heures et 3 heures.
\item Déterminer $t$, à la minute près, pour que $P(T\leqslant t)=0,75$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Chaque participant au triathlon complète une fiche d'inscription comportant différents renseignements, dont le sexe du participant.

L'organisateur affirme que le pourcentage de femmes ayant participé à ce triathlon est de 50\,\%.

En raison du très grand nombre de participants au triathlon, l'organisateur décide de vérifier cette affirmation sur la base d'un échantillon de 60 fiches tirées au hasard.

\begin{enumerate}
\item Calculer l'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la proportion de femmes dans un échantillon aléatoire de 60 fiches.
\item L'échantillon prélevé au hasard comprend 25 fiches correspondant à des femmes.\\
Ce constat remet-il en question l'affirmation de l'organisateur ? Justifier la réponse.

\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Une commune dispose de 380 voitures et propose un système de locations de ces voitures selon les modalités suivantes :

\begin{list}{\textbullet}{}
\item chaque voiture est louée pour une durée d'un mois ;
\item la location commence le 1\ier{} jour du mois et se termine le dernier jour du même mois ;
\item le nombre de voitures louées est comptabilisé à la fin de chaque mois.
\end{list}

À la fin du mois de janvier 2019, 280 voitures ont été louées avec ce système de location.

Le responsable de ce système souhaite étudier l'évolution du nombre de locations de voitures.

Pour cela il modélise le nombre de voitures louées chaque mois par une suite $(u_n)$, où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de voitures louées le $n$-ième mois après le mois de janvier 2019. Ainsi $u_0=280$.

On admet que cette modélisation conduit à l'égalité: $u_{n+1}=0,9 u_n + 42$.

\begin{enumerate}
\item Combien de voitures ont-elles été louées avec ce système de location au mois de février 2019 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose: $v_n=u_n-420$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique. On précisera le premier terme $v_0$ et la raison.
\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$ et montrer que \\
$u_n=-140\times 0,9^{n} + 420$.
\end{enumerate}

\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$ puis interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\item La commune, qui possède initialement 380 véhicules, envisage d'acheter des voitures supplémentaires pour répondre à la demande. Le responsable de la commune souhaite prévoir à partir de quelle date le nombre de voitures sera insuffisant.

On souhaite utiliser l'algorithme ci-dessous :

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{4cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 280$\\
Tant que $\ldots\ldots\ldots$\\
\hspace*{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow \ldots\ldots\ldots$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme.
\item Que contient la variable $N$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
\item En déduire le mois durant lequel la commune devra augmenter le nombre de voitures.
\end{enumerate}

\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation :

\hfill{}$-140\times 0,9^n + 420 > 380$\hfill{}

et retrouver le résultat précédent.
\end{enumerate}


\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les deux parties de cet exercice sont indépendantes.}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Pour accéder à un local d'une petite entreprise, les employés doivent choisir un code reconnu par l'automate suivant :

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,radius=5pt,arrowsize=3pt 3}
\begin{pspicture}(-1,0)(12,6)
%\psgrid
\cnodeput(8,1){3}{3} \cnodeput[linewidth=1.6pt](10,4){4}{4}
\cnodeput(1,4){1}{1} \cnodeput(6,5){2}{2}
\ncarc[arcangleA=-40,arcangleB=-40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{4}{2}\ncput*{$~c~$}
\ncarc[arcangleA=-40,arcangleB=-40,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{3}{4}\ncput*{$~b~$}
\ncarc[arcangleA=30,arcangleB=30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{2}{3}\ncput*{$~b~$}
\ncarc[arcangleA=-30,arcangleB=-30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{1}{3}\ncput*{$~b~$}
\nccircle[angleA=180,ArrowInside=->,ArrowInsidePos=0.3]{->}{3}{4mm}\ncput*{$a$}   
\ncline[ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{1}{2}\ncput*{$~b~$}
\ncarc[arcangleA=30,arcangleB=30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{1}{2}\ncput*{$~a~$}
\ncarc[arcangleA=30,arcangleB=30,ArrowInside=->,ArrowInsideNo=3]{2}{1}\ncput*{$~c~$}
\psline[linewidth=1mm,arrowsize=2pt 2,arrowinset=0]{->}(-1,4)(0.7,4)
\end{pspicture}
\end{center}

Une succession de lettres constitue un code possible si ces lettres se succèdent sur un chemin du graphe orienté ci-dessus, en partant du sommet $\pscirclebox{1}$ et en sortant au sommet $\pscirclebox{4}$.

\begin{list}{\textbullet}{Par exemple:}
\item le mot $bcbab$ est un mot reconnu par cet automate, et correspond au chemin 121334 ;
\item le mot $abac$ n'est pas reconnu par cet automate.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Parmi les mots suivants, quels sont ceux qui sont reconnus par cet automate ?

\hfill{}$abab$, $abc$, $abbcbb$.\hfill{}

\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence
$M=
\begin{pmatrix}
0 & 2 & 1 & 0\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots\\
\cdots & \cdots & \cdots & \cdots
\end{pmatrix}$
associée au graphe orienté dans laquelle les sommets sont rangés dans l'ordre croissant.

\item Un logiciel de calcul formel donne

\[M^4=
\begin{pmatrix}
5 & 3 & 10 & 5\\
1 & 6 & 7 & 4 \\
1 & 3 & 4 & 2 \\
2 & 1 & 4 & 2
\end{pmatrix}
\qquad\text{et}\qquad
M^5=
\begin{pmatrix}
3 & 15 & 18 & 10\\
6 & 6 & 14 & 7\\
3 & 4 & 8 & 4\\
1 & 6 & 7 & 4
\end{pmatrix}
\]

Combien de mots de 4 lettres sont-ils reconnus par l'automate ? Justifier. Quels sont-ils ?
\end{enumerate}


\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Dans le graphe ci-après, on a fait figurer les distances routières, exprimées en kilomètre, entre certaines grandes villes de la région Auvergne-Rhône-Alpes.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{p{5cm}p{5cm}}
A: Aurillac & G: Grenoble\\
B: Bourg-en-Bresse & L: Lyon\\
C: Clermont-Ferrand & P: Le Puy-en-Velay\\
E: Saint-Étienne & V: Valence 
\end{tabular}
\end{center}

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(0.5,0.5)(9.5,7.5)
%\psgrid
\cnodeput(1,3){A}{A} \cnodeput(8,7){B}{B} \cnodeput(4,5){C}{C}
\cnodeput(3,1){P}{P} \cnodeput(5,3){E}{E} \cnodeput(7,1){V}{V}
\cnodeput(7,4){L}{L} \cnodeput(9,5){G}{G}
\ncline{P}{A}\ncput*{180} \ncline{C}{A}\ncput*{160} \ncline{C}{P}\ncput*{130}
\ncline{C}{E}\ncput*{140} \ncline{L}{C}\ncput*{180} \ncline{L}{E}\ncput*{70}
\ncline{E}{V}\ncput*{100} \ncline{P}{V}\ncput*{100} \ncline{L}{V}\ncput*{100}
\ncline{V}{G}\ncput*{90} \ncline{G}{L}\ncput*{110} \ncline{B}{L}\ncput*{80}
\ncline{G}{B}\ncput*{180} \ncline{P}{E}\ncput*{80}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Un technicien doit vérifier l'état des routes du réseau représenté par le graphe ci-dessus.
\begin{enumerate}
\item Peut-il parcourir l'ensemble du réseau en empruntant chaque route une et une seule fois ? Justifier la réponse.
\item Si un tel parcours est possible, préciser par quelle(s) ville(s) de ce réseau routier le technicien doit commencer sa vérification.
\end{enumerate}

\item Ayant terminé sa semaine de travail à Bourg-en-Bresse, le technicien souhaite retourner chez lui à Aurillac en faisant le moins de kilomètres possibles.
\begin{enumerate}
\item Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le plus court chemin entre les villes de Bourg-en-Bresse et Aurillac en empruntant le réseau routier.
\item La route entre Le Puy-en-Velay et Aurillac est fermée à la circulation. Quel chemin doit-il alors emprunter ?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage
%\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse à une question ne rapporte ni n'enlève de point. Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée.}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item La variable aléatoire $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=10$ et $p=0,3$.\\
On peut affirmer que $P(X\geqslant 1)$ est égale à :

\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{~A.} environ $0,972$     & \textbf{~B.} environ $0,999$\\
\hline
\textbf{~C.} environ $0,121$     & \textbf{~D.} $\frac{3}{10}$\\
\hline
\end{tabularx}
}

\item La variable aléatoire $T$ suit la loi uniforme sur l'intervalle $\left [ 10~;\, 40\strut\right ]$.\\
On peut affirmer que $P(15\leqslant T \leqslant 25)$ est égale à :

\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{~A.} $\frac{2}{3}$     & \textbf{~B.} $\frac{1}{3}$\\
\hline
\textbf{~C.} $\frac{3}{8}$     & \textbf{~D.} $\frac{5}{8}$\\
\hline
\end{tabularx}
}

\item L'arrondi au centième de la somme $1+1,2+1,2^2 + 1,2^3 + \cdots + 1,2^{10}$ est :

\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{~A.} $3,27$     & \textbf{~B.} $25,96$\\
\hline
\textbf{~C.} $26,96$     & \textbf{~D.} $32,15$\\
\hline
\end{tabularx}
}

\item On considère la fonction $g$ deux fois dérivable sur $\left [ 0,1~;\, 10\strut\right ]$ par :

\[g(x)=x^2\left ( 2 \ln(x) - 5\right )+2.\]

\medskip

{\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{~A.} $g$ est concave sur $\left [ 0,1~;\, 10\strut\right ]$     & \textbf{~B.} $g$ est concave sur $\left [ \e~;\, 10\strut\right ]$\\
\hline
\textbf{~C.} $g$ est convexe sur $\left [ 0,1~;\, 7\strut\right ]$     & \textbf{~D.} $g$ est convexe sur $\left [ \e~;\, 10\strut\right ]$\\
\hline
\end{tabularx}
}

\end{enumerate}

%\vspace{0.5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans le repère orthogonal donné ci-dessous, $\mathcal{C}_f$ est la représentation graphique d'une fonction $f$ définie et dérivable sur $\left [ 0~;\, 30\strut\right ]$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point A d'abscisse 0 passe par le point B\,$(5~;\, 0)$.

La tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point C d'abscisse 11 est parallèle à l'axe des abscisses.

\medskip

\begin{center}
\scalebox{0.8}{
\psset{xunit=0.5cm, yunit=0.2cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-2}   \def\xmax {30}
\def\ymin {-15}   \def\ymax {20}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](-1,-3)(14.5,4) 
\psaxes[xunit=0.5cm,yunit=0.2cm,arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,labels=none](0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt, Dx=2,Dy=5]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline[linecolor=blue]{<->}(6,12.188)(16,12.188)
\psline[linecolor=blue]{<->}(-1.5,-14.3)(6.5,3.3)
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{30}{x dup mul 11 sub 2.71828 -0.2 x mul exp mul}
\psdots[linecolor=blue](0,-11)(5,0)(11,12.188)
\uput[-30](0,-11){\blue A} \uput[u](5,0){\blue B} \uput[u](11,12.188){\blue C} 
\end{pspicture}
}%%% fin du scalebox
\end{center}

Dans toute la suite, on note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur $\left [ 0~;\, 30\strut\right ]$ et $F$ une primitive de $f$ sur $\left [ 0~;\, 30\strut\right ]$.

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A -- Lectures graphiques}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Lire graphiquement les valeurs de $f(0)$, $f'(0)$ et $f'(11)$.
\item L'affirmation \og La fonction $F$ est croissante sur $\left [ 0~;\, 11\strut\right ]$. \fg{} est-elle vraie ou fausse ? Justifier.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B -- Étude d'une fonction}
\end{flushleft}

La fonction $f$ est définie sur $\left [ 0~;\, 30\strut\right ]$ par :

\[f(x)=\left (x^2-11\right ) \e^{-0,2x}.\]

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|c|l|c|}
\hline
 & \hfill{}\textbf{Instruction:}\hfill{} & \textbf{Résultat:}\\
 \hline
 1 & $f(x)=(x^2-11) * \exp(-0,2*x)$ & $\left (x^2-11\right ) \e^{-0,2x}$ \\
 \hline
 2 & $\text{Dérivée}(f(x))$ & $\left (-0,2 x^2 +2x + 2,2\right )  \e^{-0,2x}$ \\
 \hline
  3 & $\text{Intégrale}(f(x))$ & $\left (-5x^2 -50x -195\right )  \e^{-0,2x}$ \\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Pour tout réel $x \in \left [ 0~;\, 30\strut\right ]$, justifier le résultat de l'instruction obtenu en ligne 2 du logiciel.
\item Étudier le signe de $f'$ sur $\left [ 0~;\, 30\strut\right ]$ puis dresser le tableau des variations de $f$ sur $\left [ 0~;\, 30\strut\right ]$.
\item Démontrer que l'équation $f(x)=0$ admet une unique solution $\alpha$ sur $\left [ 0~;\, 11\strut\right ]$ puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près.
\item En utilisant sans le démontrer un résultat du logiciel, calculer la valeur exacte puis l'arrondi à $10^{-2}$ de l'intégrale : $I=\ds\int_{10}^{20} f(x) \d x$.
\end{enumerate}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C -- Application économique}
\end{flushleft}

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis à $10^{-2}$ si nécessaire.}

\smallskip

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle $\left [ 5~;\, 30\strut\right ]$ par la fonction $f$ étudiée dans la \textbf{partie B.}

Le nombre $f(x)$ représente la quantité demandée, exprimée en centaines de milliers d'objets, lorsque le prix unitaire est égal à $x$ euros.

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'objets demandés, au millier près, lorsque le prix unitaire est fixé à 15 euros.
\item En utilisant les résultats de la \textbf{partie B}, déterminer la demande moyenne arrondie au millier d'objets, lorsque le prix unitaire varie entre 10 et 20 euros.
\item L'élasticité $E(x)$ de la demande par rapport au prix est le pourcentage de variation de la demande pour une augmentation de $1\,\%$ du prix.

On admet qu'une bonne approximation de $E(x)$ est donnée par :

\[E(x)=\dfrac{f'(x)}{f(x)}\times x \text{ lorsque } x\in \left [ 5~;\, 30\strut\right ].\]

Calculer $E(15)$ et interpréter le résultat.  
\end{enumerate}
\end{document}