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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès, relecture François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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pdfauthor = {APMEP},
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pdftitle = {Amérique du Sud 13 novembre 2019},
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%Tapuscrit : François Hache
%Relecture : Denis Vergès
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 13 novembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} 
\textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 13 novembre 2019~\decofourright} 
\end{center}

\vspace{1cm}

\textbf{\large Exercice 1\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples.\index{Q. C. M.}\\
Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte.\\ Une bonne réponse
rapporte un point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse
à une question ne rapporte ni n'enlève de point. \\
Pour répondre, indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre de la réponse choisie.\\
Aucune justification n'est demandée.}

\smallskip

Pour les questions 1 et 2, on considère une entreprise qui produit des plaquettes de
beurre de 250 grammes.

\medskip

\begin{enumerate}
\item La masse des plaquettes est modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la
loi normale d'espérance $\mu = 250$ et d'écart type $\sigma = 1$.\index{loi normale}

Alors, à $10^{-3}$ près, on a :

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\qquad A. \quad $P(X < 250) \approx 0,459$ &  \qquad B. \quad $P(X > 249) \approx 0,659$\\
\hline
\qquad C. \quad $P(X < 249) \approx 0,159$ & \qquad  D. \quad $P(X < 252) \approx 0,997$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Pour être conformes, ces plaquettes de beurre doivent avoir une masse nette comprise entre $248$ et $252$ grammes.

Un contrôleur prélève au hasard un échantillon de $900$ plaquettes et constate que $864$ sont conformes.

L'intervalle de confiance, au seuil de confiance de $95\,\%$, de la proportion de plaquettes de beurre conformes est, avec les bornes données à $10^{-3}$ près:\index{intervalle de confiance}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\qquad A. \quad $[0,91~;~1,01]$ &  \qquad  B. \quad $[0,926~;~0,994]$\\
\hline
\qquad C. \quad $[0,245~;~0,255]$ & \qquad  D. \quad $[0,958~;~0,962]$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}


\item  Lors d'une tombola, les organisateurs affirment que $20\,\%$ des tickets sont gagnants. L'intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de $95\,\%$ de la fréquence observée des tickets gagnants pour un échantillon de $200$ tickets tirés au hasard est, avec des valeurs approchées des bornes données à $10^{-3}$ près:\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\qquad A. \quad $[0,150~;~0,250]$ &  \qquad  B. \quad $[0,195~;~0,205]$\\
\hline
\qquad C. \quad $[0,182~;~0,218]$ & \qquad  D. \quad $[0,144~;~0,256]$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item  Soit $f$ une fonction définie sur l'intervalle $[0~;~30]$ par:

\[f(x) = x^3 - 39x^2 + 315x + 45.\]

On note $\mathcal{C}$ sa courbe représentative. On a alors:\index{convexite@convexité}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|}
\hline
\qquad A. \quad $f$ est convexe sur l'intervalle $[0~;~30]$\\
\hline
\qquad B. \quad $f$ est concave sur l'intervalle $[5~;~21]$\\
\hline
\qquad C. \quad $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion au point d'abscisse 13\\
\hline
\qquad D. \quad \parbox[t]{\linewidth}{Si $f'$ désigne la fonction dérivée de $f$, alors $f'$ est croissante sur \\l'intervalle $[0~;~5]$ et sur l'intervalle $[21~;~30]$\rule[-7pt]{0pt}{0pt}}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 2\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{Au 1\ier{} janvier 2018, un arboriculteur possède \np{5000} pommiers. Chaque année:}
\item il arrache $4\,\%$ des pommiers car ils sont endommagés;
\item il replante $300$ nouveaux pommiers.
\end{list}

On modélise la situation par une suite $(u_n)$ où, pour tout entier naturel $n$, $u_n$ représente le nombre de pommiers possédés par l'arboriculteur au 1\ier{} janvier de l'année $(2018 + n)$.\index{suite}

\smallskip

On obtient ainsi une suite $(u_n)$ telle que: $u_0 = \np{5000}$ et $u_{n+1} = 0,96u_n + 300$, pour tout entier naturel $n$.

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.

Combien de pommiers possèdera l'arboriculteur au 1\ier{} janvier 2020 ?

\item  On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{7500}$, pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.\index{suite géométrique}
		\item  Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item  En déduire que, pour tout entier naturel $n$: $u_n = \np{7500} - \np{2500} \times  0,96^n$.
 	\end{enumerate}
\item  La superficie des terrains de l'arboriculteur lui permet d'avoir au maximum \np{6000} pommiers. L'arboriculteur voudrait savoir en quelle année il devra acquérir un autre terrain pour pouvoir planter de nouveaux pommiers.

On considère l'algorithme ci-dessous\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3cm}|p{3cm}|}
\hline
Ligne 1 & $ n\leftarrow 0$\\
Ligne 2 & $u\leftarrow \np{5000}$\\
Ligne 3 & Tant que \ldots\ldots\\
Ligne 4 & \qquad\qquad $n \leftarrow n+1$\\
Ligne 5 & \qquad\qquad $u \leftarrow \ldots\ldots$\\
Ligne 6 & Fin tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter les lignes 3 et 5 de cet algorithme afin qu'il  réponde à la problématique énoncée ci-dessus.
		\item  Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme? Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
 	\end{enumerate}
 	
\item  Si l'évolution se poursuit toujours selon ce modèle, vers quelle valeur va tendre à terme le nombre de pommiers de cet arboriculteur? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip 

Lors d'une course cyclosportive, $70\,\%$ des participants sont licenciés dans un club, les autres ne sont pas licenciés.

Aucun participant n'abandonne la course.

\begin{list}{\textbullet}{}
\item Parmi les licenciés, $66\,\%$ font le parcours en moins de 5 heures; les autres en
plus de 5 heures.
\item Parmi les non licenciés, $83\,\%$ font le parcours en plus de 5 heures; les autres
en moins de 5 heures.
\end{list}

On interroge au hasard un cycliste ayant participé à cette course et on note:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $L$ l'évènement \og le cycliste est licencié dans un club\fg{} et $\overline{L}$ son évènement contraire,
\item $M$ l'évènement \og le cycliste fait le parcours en moins de 5 heures\fg{} et $\overline{M}$ son évènement contraire.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item À l'aide des données de l'énoncé préciser les valeurs de $P(L)$, $P_L(M)$ et $P_{\overline{L}}\left (\overline{M}\right )$.\index{probabilites@probabilités}
\item  Recopier et compléter l'arbre pondéré suivant représentant la situation.\index{arbre}

\begin{center}
{\bigskip
\psset{levelsep=3cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$L$}\naput{$\cdots\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$\cdots\cdots$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$\cdots\cdots$}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{L}$}\nbput{$\cdots\cdots$}}
	                        {
	                        \TR{$M$}\naput{$\cdots\cdots$}
			                \TR{$\overline{M}$}\nbput{$\cdots\cdots$}
	                        }
      }
}
\bigskip
\end{center}
\item  Calculer la probabilité que le cycliste interrogé soit licencié dans un club et ait réalisé le parcours en moins de 5 heures.
\item  Justifier que $P(M) = 0,513$.
\item  Un organisateur affirme qu'au moins $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le parcours en moins de 5 heures sont licenciés dans un club. A-t-il raison? Justifier la réponse.
\item  Un journaliste interroge indépendamment dix cyclistes au hasard. On note $X$ la variable aléatoire qui donne, parmi les dix cyclistes interrogés, le nombre de cyclistes ayant fait le parcours en moins de cinq heures. On suppose le nombre de cyclistes suffisamment important pour assimiler le choix de dix cyclistes à un tirage aléatoire avec remise.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle est la loi de probabilité suivie par $X$?\index{loi binomiale}
		\item  Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'exactement quatre des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures.
		\item  Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'au plus trois des dix cyclistes aient réalisé le parcours en moins de cinq heures?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B peuvent être traitées indépendamment.}

\medskip

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\medskip

Une course cyclosportive propose deux parcours: un grand de 130 kilomètres et un petit de 70 kilomètres.

L'étude ci-après porte sur les cyclistes fidèles qui participent tous les ans à cette épreuve.

\smallskip

En 2018, $42\,\%$ des cyclistes ont fait le grand parcours, les autres le petit.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{Ces dernières années, les organisateurs ont constaté que:}
\item $90\,\%$ des cyclistes ayant fait le grand parcours une année se réinscrivent pour ce même parcours l'année suivante; les autres s'inscrivent pour faire le petit parcours.
\item $15\,\%$ des cyclistes ayant fait le petit parcours une année s'inscrivent sur le grand parcours l'année suivante; les autres restent fidèles au petit parcours.
\end{list}

On note G l'état: \og le cycliste fait le grand parcours\fg{}, S l'état: \og le cycliste fait le petit
parcours\fg{} et 
$P_n = \begin{pmatrix} g_n & s_n\end{pmatrix}$\index{matrice}
désigne la matrice ligne donnant la probabilité, pour un cycliste, de participer respectivement au grand et au petit parcours lors de la course de l'année $(2018 + n)$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un graphe probabiliste de sommets G et S.\index{graphe}
\item Recopier et compléter la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre des sommets G puis S:

\[M= \begin{pmatrix} 0,9 & \ldots \\ \ldots & \ldots \end{pmatrix}.\]
\item  Déterminer l'état initial $P_0$ et l'état $P_1$.

En déduire le pourcentage de cyclistes qui, selon ce modèle, participeront au grand parcours en 2019.

\item  On note $P = \begin{pmatrix} x & y \end{pmatrix}$ la matrice associée à l'état stable de ce graphe.\index{etat stable@état stable}
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $x$ et $y$ en résolvant un système.
		\item Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme le grand parcours aura plus de succès que le petit?
 	\end{enumerate}
 \end{enumerate}
 
\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\begin{list}{\textbullet}{Au village départ de cette course cyclosportive, les différents stands présents sont:}
\item le stand des vélos de routes (R),
\item le stand des VTT (T),
\item le stand des BMX (B),
\item le stand de l'habillement (H),
\item le stand des compteurs et GPS (C),
\item le stand des accessoires et pièces détachées (A).
\end{list}

Le graphe ci-dessous représente le plan du village départ: les sommets correspondent aux stands et les arêtes aux allées qui les relient.

\begin{center}
\psset{,xunit=1.1cm,yunit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(0,-0.5)(6,6.5)
%%% sommets
\cnodeput(1,2){H}{H}
\cnodeput(1,6){B}{B}
\cnodeput(4,6){R}{R}
\cnodeput(3,0){C}{C}
\cnodeput(5.5,0.5){A}{A}
\cnodeput(5.5,4.5){T}{T}
%%% arêtes
\ncline{B}{H} \ncline{B}{R} \ncline{H}{C} \ncline{A}{H} \ncline{T}{H}
\ncline{A}{C} \ncline{C}{R} \ncline{R}{A} \ncline{A}{T} \ncline{R}{T}
\end{pspicture}
\end{center}


\begin{enumerate}
\item Ce graphe est-il complet ? Est-il connexe ? Justifier les réponses.
\item  Un cycliste peut-il visiter tous les stands en empruntant une et une seule fois
chacune des allées? Justifier la réponse. Si oui, donner un trajet possible en
précisant le stand de départ et celui d'arrivée.
\end{enumerate}
 
% \end{enumerate}

%\printindex
% \end{document}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\large Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}


\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

La courbe $(\mathcal{C})$ ci-dessous, associée à une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~19], représente l'audience journalière d'une chaîne de télévision entre le 1\ier{} janvier 2000 (année numéro 0) et le 1\ier{} janvier 2019 (année numéro 19), c'est-à-dire le nombre quotidien de téléspectateurs, en milliers.


\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm, yunit=0.01cm,labelFontSize=\scriptstyle}
\def\xmin {0}   \def\xmax {19}
\def\ymin {-50}   \def\ymax {1000}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[xunit=0.6cm,yunit=1cm,subgriddiv=1, gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(19,10) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dy=100]{->}(0,0)(\xmin,0)(\xmax,\ymax)
\def\f{ x 20 x mul 80 sub mul 460 add 2.7183 -0.1 x mul exp mul}%          définition de la fonction
\psset{linecolor=blue}
\psplot[plotpoints=4000]{\xmin}{\xmax}{\f}%  tracé de la courbe
\psdots(0,460)(3,82) \uput[r](0,460){\blue A}  \uput[20](3,82){\blue B} 
\psplot{0}{3.9}{-126 x mul 460 add}
\uput[150](11,666){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

Ainsi, le 1\ier{} janvier 2000 la chaîne a été regardée par environ 460 000 téléspectateurs.

%\medskip

\begin{enumerate}
\item Décrire l'évolution de l'audience journalière de cette chaîne de télévision entre le 1\ier{} janvier 2000 et le 1\ier{} janvier 2019.
\item  Donner une valeur approchée du nombre de téléspectateurs le 1\ier{} janvier 2014.
\item  La droite (AB), où les points A et B ont pour coordonnées A\,(0~;~460) et B\,(3~;~ 82),
est la tangente à la courbe $(\mathcal{C})$ au point A.

Déterminer la valeur de $f'(0)$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ représentée par $(\mathcal{C})$?
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On cherche maintenant à prévoir l'évolution de l'audience de cette chaîne de télévision lors des dix prochaines années.

On considère que le nombre journalier (exprimé en milliers) de téléspectateurs de la chaîne est modélisé par la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~29] par:

\[f(x)= (20 x^2 - 80 x + 460) \e^{-0,1x}\]

où $x$ représente le nombre d'années depuis 2000 (par exemple $x = 19$ pour l'année
2019).\index{fonction exponentielle}

\begin{enumerate}
\item Donner une valeur approchée au millier du nombre de téléspectateurs de la
chaîne le 1\up{er} janvier 2014.
\item  On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~29].
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $f'$ est définie par:

\[f'(x)= (-2 x^2 +48 x -126) \e^{-0,1x}.\]

		\item On considère l'équation: $-2 x^2 +48 x -126=0$.
		
Un logiciel de calcul formel donne:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.7}
\begin{tabular}{|p{4cm}|p{3cm}|}
\hline
\textbf{Instruction:} & \textbf{Résultat:}\\
 \hline
$\text{Solve}(-2 x^2 +48 x -126=0)$\rule{0pt}{12pt} & \hfill 3 et 21\\
 \hline
\end{tabular}
\end{center}

Retrouver ce résultat par le calcul.

		\item En déduire le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~29] et construire le tableau des variations de $f$ sur l'intervalle [0~;~29]. Arrondir les éléments du tableau à l'unité.
		\item Le nombre journalier de téléspectateurs de cette chaîne de télévision dépassera-t-il la barre du million avant l'année 2029? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 800$ admet une unique solution $\alpha$ dans l'intervalle [3~;~21]. Déterminer un encadrement d'amplitude 1 de $\alpha$.

Au cours de quelle année le nombre journalier de téléspectateurs de la chaîne de télévision dépassera-t-il \np{800000} ?
\item  On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~29] par:

\[F(x)=(-200x^2 - \np{3200} x - \np{36600})\e^{-0,1x}\]

est une primitive de la fonction $f$.\index{primitive}
	
Déterminer à mille près l'audience journalière moyenne de téléspectateurs de la chaîne de télévision entre le 1\up{er} janvier 2018 et le 1\up{er} janvier 2019.\index{valeur moyenne}
\end{enumerate}

%\printindex

\end{document}