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%Sujet aimablement communiqué par Olivier Noël
%Tapuscrit : Denis Vergès, relecture François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\marginpar{\rotatebox{90}{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}}
\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 14 novembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 14 novembre 2018~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

$f$ est la fonction définie sur [0~;~12] par 

\[f(x) = 2x\text{e}^{-x}.\] 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline
 1	&Dériver$(2*x*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
	&\multicolumn{1}{r|}{$-2*x*\text{exp}(-x)+2*\exp(-x)$}\\ \hline   
2	&Factoriser$(-2*x*\text{exp}(-x)+ 2*\text{exp}(-x))$ \\ \hline    
  	&\multicolumn{1}{r|}{$2*(1-x)*\text{exp}(-x)$}\\ \hline  
3	&Dériver$(2*(1-x)*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
	&\multicolumn{1}{r|}{$2*x*\text{exp}(- x) - 4*\text{exp}(- x)$}\\ \hline   
4	&Factoriser$(2 *x*\text{exp}(-x) - 4*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
 	&\multicolumn{1}{r|}{$2 *(x - 2)*\text{exp}(- x)$}\\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel. 
\end{enumerate}
\smallskip

\emph{Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier.}

\medskip 
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12] en le justifiant. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet deux solutions dans [0~;~12]. 

Donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12]. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Le taux d'alcoolémie d'une personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d'une certaine quantité d'alcool est modélisé par la fonction $f$ : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$x$ représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la consommation d'alcool; 
\item[$\bullet~~$]$f(x)$ représente le taux d'alcoolémie (exprimé en g/L) de cette personne. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire les variations du taux d'alcoolémie de cette personne pendant les 12 heures suivant la consommation d'alcool. 
		\item À quel instant le taux d'alcoolémie de cette personne est-il maximal? 

Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième. 
	\end{enumerate}
\item  Le Code de la route interdit toute conduite d'un véhicule lorsque le taux d'alcoolémie est supérieur ou égal à 0,5 g/L. 

Une fois l'alcool consommé, au bout de combien de temps le taux d'alcoolémie de l'automobiliste reprend-il une valeur conforme à la législation ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}

\smallskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Une entreprise produit des valises de deux types: des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d'évaluer leur solidité. 

On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le stock contient 30\:\% de valises à deux roues ; 
\item[$\bullet~~$] 98\:\% des valises à deux roues réussissent les tests; 
\item[$\bullet~~$] 95\:\% des valises à quatre roues réussissent les tests.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les évènements suivants: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og La valise a deux roues \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og La valise réussit les tests \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous, illustrant cette situation. 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\taput{\ldots} 
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\taput{\ldots} 
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}}	
}
\end{center}

\item Démontrer que la probabilité que la valise choisie réussisse les tests est de $0,959$. 
\item Sachant que la valise réussit les tests, quelle est la probabilité que ce soit une valise à quatre roues ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Parmi les tests de solidité effectués, l'un d'eux consiste à charger la valise et à la faire rouler sur une piste bosselée. On appelle \og durée de vie \fg{} de la valise, le nombre de kilomètres parcourus avant d'atteindre une certaine usure des roues. 

\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à deux roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 41$ et d'écart-type $\sigma = 6$. 

\smallskip

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à quatre roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu' = 52$ et d'écart-type $\sigma' = 10$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres ? 
\item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les densités associées aux variables aléatoires $X$ et~$Y$. 

À l'aide de ce graphique, déterminer pour quel type de valise (à deux roues ou à quatre roues) la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à 50 kilomètres est la plus grande. Expliquer. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=100cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.005)(100,0.075)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.01](0,0)(0,0)(100,0.075)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=41,sigma=6]{10}{72}\uput[r](46,0.05){\blue courbe 1}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=red,mue=52,sigma=10]{10}{94}\uput[r](57,0.035){\red courbe 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

L'entreprise souhaite commercialiser un nouveau modèle de valises. Afin de mieux connaître les attentes des consommateurs, elle réalise un sondage auprès de \np{2000}~personnes. Parmi elles, $872$ déclarent que la solidité est le principal critère pris en compte lors de l'achat (devant la légèreté, le prix, la couleur ... ). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\:\% la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix. 
\item Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à $0,04$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Série ES : Enseignement obligatoire -- Série L : Enseignement de spécialité}

\medskip  

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit. 

Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché. En 2017, la société $A$ entretient 30\:\% de ces ascenseurs. 

On estime que, chaque année: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante; 
\item[$\bullet~~$] 5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante; 
\item[$\bullet~~$] les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$. 

On note $a_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $A$ pendant l'année $(2017 + n)$. De même, on note $b_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$. 

On a donc $a_0 = 0,3$ et $b_0 = 0,7$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_1$. Interpréter le résultat. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} = 0,97a_n + 0,05b_n$ puis en déduire que $a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5$\:\%. 

Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$. 
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
\[a_n = - 0,325 \times 0,92^n + 0,625.\] 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'expression donnée dans la question \textbf{3. b.}, résoudre l'inéquation $a_n \geqslant 0,5$. Quel résultat antérieur retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{ES Enseignement de spécialité}

\medskip  

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun
d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.

En 2017, la société $A$ entretient 30\;:\% de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante;
\item[$\bullet~~$]5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante;
\item[$\bullet~~$]les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de
ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}a_n &b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste de l'année $(2017 + n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les
sommets dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$
en 2018.
\item Montrer que $P = \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a :
	
\[a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par
sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5\:\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%. 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que		&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$	&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on
précisera la raison et le premier terme $u_0$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :
		
\[a_n = - 0,325 \times 0,92n + 0,625.\]
		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'expression donnée dans la question \textbf{2. b.}, résoudre l'inéquation
	\[a_n \geqslant 0,5.\]
	
Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 4  \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.

Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Au seuil de 95\:\%, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère. 

\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% d'une fréquence de ce 
caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par:} 

\[I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

\item Dans une gare, le temps d'attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~;~ 7]. 

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Le temps d'attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes. 
\item La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. 

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$. 
\item  $x$ désigne un nombre réel négatif. 

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} $\ln \left(\text{e}^{x + 1}\right) - \ln \left(\text{e}^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.
\end{enumerate}
\end{document}