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%Sujet aimablement communiqué par Johann Dolivet
%Tapuscrit : Denis Vergès, relecture François Hache
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\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
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\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
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\lhead{\small Baccalauréat ES }
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 23 novembre 2017}
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\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud~\decofourright\\[4pt]
23 novembre 2017} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 11 + 5 \ln (x)$.

Une équation de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $1$ est :\index{equation de tangente@équation de tangente}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = 5x + 11$ &\textbf{b.~~} $y = 5x + 6$ &\textbf{c.~~} $y = 11x - 6$  &\textbf{d.~~} $y = 5x + 16$
\end{tabularx}
\medskip

\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = 11 + 5 \ln (x)$.\index{fonction logarithme}

L'équation $f(x) = 0$ d'inconnue $x$ a pour solution :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $- \dfrac{\text{e}^{11}}{5}$&\textbf{b.~~} $- \ln \left(\dfrac{11}{5}\right)$&\textbf{c.~~} $\text{e}^{\frac{- 11}{5}}$&\textbf{d.~~} $\dfrac{\text{e}^{- 11}}{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item On lance cinq fois de suite un dé équilibré à six faces.

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeurs le nombre de $6$ qu'on obtient.

La probabilité $p(X = 1)$ d'obtenir exactement un $6$, arrondie à $10^{-2}$, est:\index{loi binomiale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,08 &\textbf{b.~~} 0,17  &\textbf{c.~~} 0,40 &\textbf{d.~~} 0,80
\end{tabularx}
\medskip

\item On considère une variable aléatoire $T$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [2~;~7].\index{loi uniforme}

La fonction de densité de $T$ est représentée ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=10cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-0.1)(9,0.42)
\multido{\n=0+1}{10}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=cyan](\n,0)(\n,0.4)}
\multido{\n=0.0+0.1}{5}{\psline[linewidth=0.25pt,linecolor=cyan](0,\n)(9,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1]{->}(0,0)(0,0)(9,0.4)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.1](0,0)(0,0)(9,0.41)
\psline[linewidth=1.5pt](2,0.2)(7,0.2)
\end{pspicture}
\end{center}

La probabilité conditionnelle $P_{(T\geqslant 3)}(T \leqslant 5)$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{2}$ &\textbf{b.~~} $\dfrac{3}{5}$  &\textbf{c.~~} $\dfrac{2}{5}$&\textbf{c.~~} $\dfrac{3}{4}$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip 

Mathieu dispose d'un capital de \np{20000}~euros qu'il veut placer. Sa banque lui propose de choisir entre deux contrats d'épargne.

\smallskip

Contrat A : Le capital augmente chaque année de 4\,\%.

Contrat B : Le capital augmente chaque année de 2,5\,\% et une prime annuelle fixe de 330 euros est versée à la fin de chaque année et s'ajoute au capital.

\smallskip

On note $a_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat A.

$\phantom{\text{On note}}$ $b_n$ le capital, en euro, acquis au bout de $n$ années si Mathieu choisit le contrat B.

On a donc $a_0 = b_0 = \np{20000}$ et, pour tout entier naturel $n$,

\[a_{n+1} = 1,04 a_n\quad \text{ et }\quad  b_{n+1} = 1,025 b_n + 330.\]

\begin{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat A.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la valeur, arrondie à l'euro, du capital disponible au bout de 10 ans.
		\item Déterminer le pourcentage d'augmentation du capital entre le capital de départ et celui obtenu au bout de $10$ ans. Arrondir le résultat à 1\,\%.
	\end{enumerate}
\item Dans cette question, on suppose que Mathieu choisit le contrat B.
	
On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
	
$u_n = \np{13200} + b_n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est géométrique de raison $1,025$ et calculer son premier terme $u_0$.
		\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a 
		
		\[b_n = \np{33200} \times 1,025^n - \np{13200}.\]
		
		\item Déterminer au bout de combien d'années le capital disponible devient supérieur à \np{40000} euros.
	\end{enumerate}
\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.6\linewidth}{|X|}\hline
\textbf{Variables}\\
$A$ est un nombre réel\\
$B$ est un nombre réel\\
$N$ est un nombre entier naturel\\
\textbf{Traitement}\\
$A$ prend la valeur \np{20 000}\\
$B$ prend la valeur \np{20 000}\\
$N$ prend la valeur $0$\\
Tant que $A \leqslant B$\\
\hspace{1cm}$A$ prend la valeur $1,04 \times A$\\
\hspace{1cm}$B$ prend la valeur $1,025 \times B + 330$\\
\hspace{1cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $N$\\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Le tableau ci-dessous traduit l'exécution pas à pas de l'algorithme.
		
Recopier et compléter ce tableau en ajoutant autant de colonnes que nécessaire. Les valeurs de $A$ et de $B$ seront arrondies à l'unité.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}>{\centering \arraybackslash}X}\hline		
Valeur de $A$				& \np{20000} 	&\dotfill &\dotfill\\ \hline
Valeur de $B$				& \np{20000} 	&\dotfill &\dotfill\\ \hline
Valeur de $N$				& 0 			&\dotfill &\dotfill\\ \hline
Condition $A \leqslant B$	& vraie			&\dotfill &\dotfill\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2}\hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip 

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Pour les déplacements entre les principales villes d'une région, les habitants peuvent acquérir soit la carte d'abonnement bus (PassBus), soit la carte d'abonnement train (PassTrain), toutes les deux étant valables un an.

Une étude récente montre que le nombre global d'abonnements reste constant dans le temps et que, chaque année, la répartition des abonnements évolue de la manière suivante :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 10\,\% des abonnements PassBus sont remplacés par des abonnements PassTrain ;
\item[$\bullet~~$] 15\,\% des abonnements PassTrain sont remplacés par des abonnements PassBus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets B et T où le sommet B représente l'état \og abonné PassBus \fg{} et T l'état \og abonné PassTrain \fg.\index{graphe probabiliste}
\item Déterminer la matrice de transition de ce graphe en respectant l'ordre B, T des sommets.\index{matrice de transition}
\item En 2016, les abonnements PassBus représentaient 25\,\% de l'ensemble des abonnements, tandis que les abonnements PassTrain en représentaient 75\,\%.

Quelle sera la part, en 2019, des abonnements PassBus dans l'ensemble des abonnements ? 

Donner le résultat en pourcentage arrondi à $0,1$\,\%.
\item Déterminer l'état stable du graphe probabiliste et interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.\index{etat stable@état stable}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le réseau ferroviaire de la région est schématisé par le graphe ci-dessous.

Les sommets représentent les villes et les arêtes représentent les voies ferrées.

Sur les arêtes du graphe sont indiquées les distances exprimées en kilomètre entre les villes de la région.

\begin{center}
\psset{unit=0.75cm}
\begin{pspicture}(14,6.7)
\psframe(14,6.7)
%\psdots(1,4.2)(4.2,6)(4.2,3.5)(9.7,6)(9.7,2.9)(5.7,0.7)(11.2,1.8)(13.2,4.2)%ABCDEFGH
\uput[l](1,4.2){A} \uput[u](4.2,6){B} \uput[d](4.2,3.5){C} \uput[u](9.7,6){D} 
\uput[ur](9.7,2.9){E} \uput[d](5.5,0.7){F} \uput[dr](11.2,1.8){G} \uput[r](13.2,4.2){H} 
\cnode*(1,4.2){0.1cm}{A}
\cnode*(4.2,6){0.1cm}{B}
\cnode*(4.2,3.5){0.1cm}{C}
\cnode*(9.7,6){0.1cm}{D}
\cnode*(9.7,2.9){0.1cm}{E}
\cnode*(5.7,0.7){0.1cm}{F}
\cnode*(11.2,1.8){0.1cm}{G}
\cnode*(13.2,4.2){0.1cm}{H}
\ncline{A}{B}\ncput*{20}
\ncline{A}{C}\ncput*{28}
\ncline{A}{F}\ncput*{80}
\ncline{B}{C}\ncput*[npos=0.6]{26}
\ncline{B}{D}\ncput*{82}
\ncline{B}{E}\ncput*{78}
\ncline{B}{F}\ncput*[npos=0.7]{54}
\ncline{C}{E}\ncput*{70}
\ncline{D}{E}\ncput*{20}
\ncline{D}{H}\ncput*{36}
\ncline{E}{F}\ncput*{20}
\ncline{E}{G}\ncput*{16}
\ncline{F}{G}\ncput*{40}
\ncline{H}{G}\ncput*{24}
\end{pspicture}
\end{center}

Déterminer, en utilisant l'algorithme de Dijkstra, le trajet le plus court pour aller de la ville A à la ville H. Préciser la longueur en kilomètre de ce trajet.\index{algorithme de Dijkstra}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Une entreprise d'élevage de poissons en bassin a constaté qu'une partie de sa production est infectée par une nouvelle bactérie.

Un laboratoire a réalisé deux prélèvements, l'un au mois de janvier et l'autre au mois de juin, afin d'étudier l'évolution de l'infection.

\smallskip

\emph{Les trois parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Au mois de janvier, lors du premier test, le laboratoire a prélevé au hasard \np{1000}~poissons parmi l'ensemble des poissons du bassin.

La fréquence de poissons infectés par la bactérie dans cet échantillon est $f_1 = 5$\,\%.

Au mois de juin, le laboratoire a prélevé de nouveau \np{1000} poissons.

Pour ce second test, la fréquence de poissons infectés est $f_2 = 10$\,\%.

La fréquence de poissons infectés dans les deux échantillons ayant doublé en cinq mois, le laboratoire préconise d'arrêter la vente des poissons de l'entreprise.

On note $p_1$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de janvier et $p_2$ la proportion de poissons infectés parmi tous les poissons du bassin au mois de juin.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer les intervalles de confiance au niveau de confiance 95\,\% de la proportion $p_1$ puis de la proportion $p_2$.\index{intervalle de confiance} 

On arrondira les bornes des intervalles à $10^{-3}$.
\item Quel argument pourrait donner l'entreprise pour éviter l'arrêt de la vente ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour déterminer la fréquence de poissons infectés dans un prélèvement, le laboratoire dispose d'un test de dépistage dont les résultats sont les suivants :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] sur des poissons infectés par la bactérie, le test est positif dans 60\,\% des cas ;
\item[$\bullet~~$] sur des poissons non infectés par la bactérie, le test est positif dans 10\,\% des cas.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Pour un poisson prélevé au hasard, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $B$  l'évènement : \og le poisson est infecté par la bactérie \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $T$  l'évènement : \og le test du poisson est positif \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $\overline{B}$ et $\overline{T}$ les évènements contraires de $B$ et $T$.\index{probabilité}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note $x$ la probabilité qu'un poisson soit infecté par la bactérie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré traduisant cette situation.\index{arbre}

\begin{center}
\psset{treemode=R,nodesepB=2.5pt,nodesepA=0pt}
\pstree{\TR{}}
{
  \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$B$}\taput{$x$}}
     {
     \TR{$T$} \taput{$\ldots$}
     \TR{$\overline{T}$} \tbput{$\ldots$}
     }
  \pstree[nodesepA=2.5pt]{\TR{$\overline{B}$}\tbput{$1 - x$}}
     {
     \TR{$T$} \taput{$\ldots$}
     \TR{$\overline{T}$} \tbput{$\ldots$}
     }
}
\end{center}

\item 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que $p(T) = 0,5x + 0,1$.
		\item Le laboratoire a constaté que $12,5$\,\% des poissons d'un prélèvement ont eu un test positif.
		
Quelle estimation de la proportion de poissons infectés le laboratoire va-t-il proposer pour ce prélèvement ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un traitement antibiotique permet de guérir les poissons infectés par la bactérie.

Le temps de guérison d'un poisson infecté, exprimé en jours, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale de moyenne $\mu = 21$ et d'écart-type $\sigma = 5$.

\smallskip

\emph{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p(14 < X < 28)$.
\item Déterminer la probabilité qu'un poisson infecté ne soit pas encore guéri après $5$ semaines de traitement antibiotique.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4}\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

Le graphique ci-dessous représente, dans un repère orthonormal, la courbe représentative 
$\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~2].

On suppose que $f$ est deux fois dérivable et on note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

\medskip

On sait que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le point A(0~;~1) appartient à la courbe $\mathcal{C}_f$.
\item[$\bullet~~$] la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point B d'abscisse $0,25$ est parallèle à l'axe des abscisses.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-0.5,-0.35)(2.5,1.75)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=2,labelFontSize=\scriptstyle,gridwidth=0.25pt,subgridwidth=0.2pt](0,0)(2.4,1.75)
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.49,1.75)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dx=0.5,Dy=0.5]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{4 x mul 1 add 2.71828 2 x mul exp div}
\uput[dr](0,1){A} \uput[u](0.25,1.213){B}\uput[u](1.8,0.25){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psline[linewidth=1pt]{<->}(0.025,1.213)(0.475,1.213)
\uput[d](2.3,0){$x$}
\uput[l](0,1.7){$y$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On suppose que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~2] par $f(x) = (ax + b)\text{e}^{-2x}$  où $a$ et $b$ sont deux réels à déterminer.

\medskip

\begin{enumerate}
\item En utilisant le graphique et les données de l'énoncé, déterminer $f(0)$ et $f'(0,25)$.\index{lecture graphique}
\item Déterminer l'expression de $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.
\item Déduire des deux questions précédentes les valeurs des réels $a$ et $b$.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~2] par 

\[f(x) = (4x + 1)\text{e}^{-2x}.\]

On admet par ailleurs que $f'(x) = (2 - 8x)\text{e}^{-2x}$ et $f''(x) = (16x - 12)\text{e}^{-2x}$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier le signe de $f'$ sur [0~;~2] puis en déduire les variations de $f$ sur [0~;~2].
\item Montrer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet, sur l'intervalle [0~;~2], un unique point d'inflexion dont on précisera l'abscisse.\index{point d'inflexion}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~2] par 
$F(x) = (- 2x - 1,5)\text{e}^{-2x}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~2].\index{primitive}
		\item En déduire l'aire exacte $\mathcal{A}$, en unité d'aire, du domaine $D$ du plan situé entre $\mathcal{C}_f$ l'axe des abscisses, l'axe des ordonnées et la droite d'équation $x = 2$.
		\item Déterminer la valeur moyenne, arrondie à $10^{-1}$, de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~2].
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{document}