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% Tapuscrit Denis Vergès
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\def\Oij{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O},~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O},~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat TES}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 1\up{er} juin 2016}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Amérique du Nord
~\decofourright\\[5pt]1\up{er} juin 2016}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

À une sortie d'autoroute, la gare de péage comporte trois voies.

Une étude statistique a montré que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]28\,\% des automobilistes empruntent la voie de gauche, réservée aux abonnés;
un automobiliste empruntant cette voie franchit toujours le péage en moins de 10 secondes;
\item[$\bullet~~$]52\,\% des automobilistes empruntent la voie du centre, réservée au paiement par carte bancaire ; parmi ces derniers, 75\,\% franchissent le péage en moins de 10 secondes ;
\item[$\bullet~~$]les autres automobilistes empruntent la voie de droite en utilisant un autre moyen de paiement  (pièces ou billets).
\end{itemize}\index{probabilités}

\medskip

On choisit un automobiliste au hasard et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$G$  : \og l'automobiliste emprunte la voie de gauche \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$C$  : \og l'automobiliste emprunte la voie du centre \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$D$  : \og l'automobiliste emprunte la voie de droite \fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$T$  : \og l'automobiliste franchit le péage en moins de 10 secondes \fg.
\end{itemize} 
\setlength\parindent{0mm}

On note $\overline{T}$ l'évènement contraire de l'évènement $T$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.\index{arbre de probabilités}

Cet arbre sera complété au fur et à mesure de l'exercice.
\item Calculer la probabilité $p(C \cap T)$.
\item L'étude a aussi montré que 70\,\% des automobilistes passent le péage en moins de 10~secondes.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $p (D \cap T) = 0,03$.
		\item Calculer la probabilité qu'un automobiliste empruntant la voie de droite passe le péage en
moins de 10 secondes.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Quelques kilomètres avant la sortie de l'autoroute, un radar automatique enregistre la vitesse de
chaque automobiliste. On considère la variable aléatoire $V$ qui, à chaque automobiliste, associe sa
vitesse exprimée en km.h$^{-1}$.

On admet que $V$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 120$ et d'écart-type $\sigma = 7,5$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité $p(120 < V < 130)$. On arrondira le résultat au millième.
\item Une contravention est envoyée à l'automobiliste lorsque sa vitesse est supérieure ou égale à
138 km.h$^{-1}$.

Déterminer la probabilité qu'un automobiliste soit sanctionné. On arrondira le résultat au millième.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série~L}

\medskip

Une société propose un service d'abonnement pour jeux vidéo sur téléphone mobile.

Le 1\up{er} janvier 2016, on compte \np{4000} abonnés.

À partir de cette date, les dirigeants de la société ont constaté que d'un mois sur l'autre, 8\,\% des
anciens joueurs se désabonnent mais que, par ailleurs, \np{8000} nouvelles personnes s'abonnent.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre d'abonnés à la date du 1\up{er} février 2016.

Pour la suite de l'exercice, on modélise cette situation par une suite numérique $\left(u_n\right)$ où $u_n$  représente le nombre de milliers d'abonnés au bout de $n$ mois après le 1\up{er} janvier 2016.

La suite $\left(u_n\right)$ est donc définie par : 

\[u_0 = 4\quad  \text{et, pour tout entier naturel } \:n,\: u_{n+1} = 0,92 u_n + 8.\]

\item On considère l'algorithme suivant :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
\textbf{Variables}\\
$N$ est un nombre entier naturel\\
$U$ est un nombre réel\\
\textbf{Traitement}\\
$U$ prend la valeur 4\\
$N$ prend la valeur 0\\
Tant que $U < 40$\\
\hspace{0,5cm}$U$ prend la valeur $0,92 \times U + 8$\\
\hspace{0,5cm}$N$ prend la valeur $N + 1$\\
Fin Tant que\\
\textbf{Sortie}\\
Afficher $N$\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier le tableau suivant et le compléter en ajoutant autant de colonnes que nécessaire.
		
Les valeurs de $U$ seront arrondies au dixième.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|*{3}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline		
Valeur de $U$& 4&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
Valeur de $N$& 0&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
Condition $U < 40$& vraie&\ldots&\multicolumn{1}{>{\centering \arraybackslash}X}{\ldots}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Donner la valeur affichée en sortie par cet algorithme et interpréter ce résultat dans le
contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $v_n = u_n - 100$.\index{suite}
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,92$ et calculer son premier terme $v_0$.
		\item Donner l'expression de $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_n = 100 - 96 \times  0,92^n$.
	\end{enumerate}
\item  En résolvant une inéquation, déterminer la date (année et mois) à partir de laquelle le nombre
d'abonnés devient supérieur à \np{70000}.\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un groupe de presse édite un magazine qu'il propose en abonnement.

Jusqu'en 2010, ce magazine était proposé uniquement sous forme papier. Depuis 2011, les abonnés
du magazine ont le choix entre la version numérique et la version papier.

Une étude a montré que, chaque année, certains abonnés changent d'avis: 10\,\% des abonnés à la
version papier passent à la version numérique et 6\,\% des abonnés à la version numérique passent à la version papier.

On admet que le nombre global d'abonnés reste constant dans le temps.

Pour tout nombre entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{description}
\item[ ]$a_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version papier l'année $2010 + n$ ;
\item[ ]$b_n$ la probabilité qu'un abonné pris au hasard ait choisi la version numérique l'année 

$2010 + n$ ;
\item[ ]$P_n = \begin{pmatrix}a_n& b_n\end{pmatrix}$ la matrice correspondant à l'état probabiliste de l'année $2010 + n$.
\end{description}
\setlength\parindent{0mm}\index{probabilités}

\smallskip

On a donc $a_0 = 1,\: b_0 = 0$ et $P_0 = \begin{pmatrix}1& 0\end{pmatrix}$.\index{matrice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets A et B où le sommet A
représente l'état \og abonné à la version papier\fg{} et B l'état \og abonné à la version numérique \fg.
		\item Déterminer la matrice de transition $M$ de ce graphe en respectant l'ordre A, B des sommets.
		\item Montrer que $P_1 = \begin{pmatrix}0,9& 0,1\end{pmatrix}$.
	\end{enumerate}
\item On admet que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,9a_n + 0,06 b_n$  et 
	
$b_{n+1} = 0,1 a_n + 0,94 b_n$.
	
Le directeur du groupe de presse souhaite visualiser l'évolution des deux types d'abonnements. Pour
cela, on lui propose les deux algorithmes suivants :\index{algorithme}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{1cm}|X|}
\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 1}}&\multicolumn{1}{l}{}&\multicolumn{1}{l}{\textbf{Algorithme 2}}\\\cline{1-1}\cline{3-3}
Entrée&&Entrée\\
Saisir $n$&&Saisir $n$\\
Traitement&&Traitement\\
$a$ prend la valeur 1&&$a$ prend la valeur 1\\
$b$ prend la valeur $0$&&$b$ prend la valeur 0 \\
Pour $i$ allant de $1$ à $n$&&Pour $i$ allant de $1$ à $n$\\
\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$&&\hspace{0,4cm} $c$ prend la valeur  $a$\\
\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times a + 0,94 \times b$&&\hspace{0,4cm}$a$ prend la valeur $0,9 \times a + 0,06 \times b$\\
\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$&&\hspace{0,4cm}$b$ prend la valeur $0,1 \times c + 0,94 \times b$\\
Fin Pour&&\hspace{0,4cm}Afficher $a$ et $b$\\
&&Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3}
\end{tabularx}
\end{center}

Sachant qu'un seul des algorithmes proposés permet de répondre au souhait du directeur, préciser
lequel en justifiant la réponse.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $a_{n+1} = 0,84 a_n + 0,06$.
		\item On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par 
		
$u_n = a_n - 0,375$.
		
Montrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique de raison 0,84 et calculer $u_0$.
		\item Donner l'expression de $u_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que, pour tout entier naturel n, on a $a_n = 0,375 + 0,625 \times 0,84^n$.
	\end{enumerate}
\item En résolvant une inéquation, déterminer l'année à partir de laquelle la proportion d'abonnés à la
version papier du magazine devient inférieure à 50\,\%.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill 4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule
des quatre réponses est exacte. Une réponse exacte rapporte un point. Une réponse fausse ou l'absence
de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie. Aucune justification
n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard un nombre réel dans l'intervalle [10~;~50]. La probabilité que ce nombre
appartienne à l'intervalle [15~;~20] est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{5}{50}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{1}{8}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{1}{40}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item Le prix d'un produit est passé de 200~\euro{} à 100~\euro.

Cette évolution correspond à deux baisses successives et identiques d'environ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}50\,\% &\textbf{b.~~} 25\,\% &\textbf{c.~~} 29\,\% &\textbf{d.~~} 71\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\item On donne ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ définie et continue sur l'intervalle
[0~;~18].

\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.1cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-2,-40)(20,50)
\multido{\n=0+2}{11}{\psline[linewidth=0.3pt](\n,-40)(\n,50)}
\multido{\n=-40+10}{10}{\psline[linewidth=0.3pt](0,\n)(20,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=10]{->}(0,0)(-1.99,-40)(20,50)
%\pscurve[linewidth=1.25pt,linecolor=blue](0,-33)(2,0)(4,20)(6,30)(8,32)(10,31)(12,27)(14,26)(16,28.5)(18,38)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{18}{x 2 sub x dup mul 31 x mul sub 274 add mul 5 mul 83 div}
\uput[u](17,33){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}
\end{center}

On peut affirmer que :

	\begin{enumerate}
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [0 ; 2].
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont négatives sur l'intervalle [8~;~12].
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [0~;~2].
		\item Toutes les primitives de la fonction $f$sur l'intervalle [0~;~18] sont croissantes sur l'intervalle [8~;~12].\index{primitive}
	\end{enumerate}
\item Lors d'un sondage, 53,5\,\% des personnes interrogées ont déclaré qu'elles voteront pour le
candidat A aux prochaines élections. L'intervalle de confiance au seuil de 95\,\% donné par l'institut
de sondage est [51\,\%~;~56\,\%]. Le nombre de personnes qui ont été interrogées est alors:\index{intervalle de confiance}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}	40&\textbf{b.~~} 400&\textbf{c.~~} \np{1600}&\textbf{d.~~} \np{6400}
\end{tabularx}
\medskip\hyperlink{Index}{*}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Partie A : Étude d'une fonction}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par 

\[f(x) = 9x^2(1 - 2\ln x) + 10.\]

La courbe représentative de $f$ est donnée ci-dessous:
\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=0.2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.15,-3)(1.8,25)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,Dy=5]{->}(0,0)(0,0)(1.8,25)
\psplot[plotpoints=4000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{1.5}{1 x ln 2 mul sub x dup mul mul 9 mul 10 add}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = - 36 x \ln x$ où $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ sur
l'intervalle ]0~;~1,5].\index{dérivée}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].
		\item Déduire de la question précédente les variations de la fonction $f$ sur l'intervalle ]0~;~1,5].
	\end{enumerate}
\item On admet que $f''(x) = - 36 \ln x - 36$ où $f''$ désigne la dérivée seconde de la fonction $f$ sur
l'intervalle ]0~;~1,5].
	
Montrer que la courbe représentative de la fonction $f$ admet un point d'inflexion dont l'abscisse
est $\text{e}^{ -1}$.\index{point d'inflexion}
\item Soit $F$ la fonction définie sur l'intervalle ]0~;~1,5] par 
	
\[F(x) = 10 x + 5x^3 - 6x^3\ln x.\]
	
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $F$ est une primitive de la fonction $f$ sur ]0~;~1,5].\index{primitive}
		\item Calculer $\displaystyle\int_1^{1,5}  f(x)\:\text{d}x$. 
		
On donnera le résultat arrondi au centième.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
	
\bigskip	
	
\textbf{Partie B : Application économique}
	
	\medskip
	
\emph{Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, sera prise en compte dans l'évaluation.}
	
	\medskip
	
Une société est cotée en bourse depuis un an et demi.
	
Le prix de l'action depuis un an et demi est modélisé par la fonction $f$ définie dans la partie A, où $x$
représente le nombre d'années écoulées depuis l'introduction en bourse et $f(x)$ représente le prix de
l'action, exprimé en euros.
	
Pour chacune des propositions suivantes, indiquer si la proposition est vraie ou fausse en justifiant la
réponse.
	
\smallskip
	
\textbf{Proposition 1 :}
	
\og Sur la période des six derniers mois, l'action a perdu plus d'un quart de sa valeur. \fg

\smallskip
	
\textbf{Proposition 2 :}	

\og Sur la période des six derniers mois, la valeur moyenne de l'action a été inférieure à 17~\euro.\fg
\end{document}