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%Tapuscrit : Denis Vergès, François Hache 
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{A. P{}. M. E. P{}.}
\lhead{\small{Baccalauréat ES/L : l'intégrale 2018}}
\cfoot{\thepage}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}
{\huge \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  
2018~\decofourright \\ \vspace{1cm} L'intégrale de mai 
à novembre 2018}}

\vspace{1cm}

%Pour un accès direct cliquez sur les liens {\Large 
%\textcolor{blue}{bleus}}
\end{center}
%\hypertarget{Retour}{}

\vspace{1cm}
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{>{\Large}X}
\hyperlink{Pondichery}{Pondichéry  4 mai 2018} \dotfill \pageref{Pondichery} \\
\hyperlink{AmeriqueNord}{Amérique du Nord 29 mai 2018} \dotfill \pageref{AmeriqueNord} \\
\hyperlink{Liban}{Liban 5 juin 2018} \dotfill \pageref{Liban}\\
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\hyperlink{Antillessep}{Antilles-Guyane 7  septembre 2018} \dotfill \pageref{Antillessep} \\
\hyperlink{Metrosep}{Métropole 14  septembre 2018} \dotfill \pageref{Metrosep} \\
\hyperlink{AmeriSud}{Amérique du Sud  23 novembre 2018} \dotfill \pageref{AmeriSud}  \\
\hyperlink{Caledonienov}{Nouvelle-Calédonie 28 novembre 2018} \dotfill \pageref{Caledonienov}  \\
\hyperlink{Caledomars}{Nouvelle-Calédonie 1\up{er} mars 2019} \dotfill \pageref{Caledomars}
\end{tabularx}

%\vspace{1cm}\hyperlink{Index}{À la fin index des notions abordées}

%À la fin de chaque exercice cliquez sur {\blue *} pour aller à l'index
\newpage ~
\newpage

\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
%%%%%%%%%%%%  Pondichéry 4 mai 2018
\hypertarget{Pondichery}{}

\lfoot{\small{Pondichéry}}
\rfoot{\small 4 mai 2018} 
\label{Pondichery}
\thispagestyle{empty} 
\begin{center}{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES  Pondichéry 4 mai 2018~\decofourright}} 
\end{center}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). \\
Pour chacune des questions posées, une seule des trois réponses est exacte. Recopier le numéro de la question et la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée. Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0,5~;~5] par :

\[f(x) = \dfrac{5 + 5\ln x}{x}.\]\index{fonction logarithme}

Sa représentation graphique est la courbe $\mathcal{C}$ donnée ci-dessous dans un repère d'origine O. On
admet que le point A placé sur le graphique est le seul point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur
l'intervalle [0,5~;~5]. On note B le point de cette courbe d'abscisse e.\index{point d’inflexion}

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur cet intervalle.

On rappelle que $f'$ désigne la fonction dérivée de la fonction $f$ et $f''$ sa fonction dérivée seconde.


\begin{center}
\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,arrowsize=2pt 3}
\begin{pspicture}(-0.5,-1)(6,7)
\psgrid[unit=1cm,gridwidth=0.1pt,gridcolor=darkgray,subgriddiv=0,gridlabels=0](0,0)(-1,-1)(12,7)
\psaxes[linewidth=1.25pt,ticksize=-2pt 2pt,Dx=1,Dy=1]{->}(0,0)(-.25,-0.5)(5.5,6.5)[$x$,-45][$y$,45]
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt, linecolor=blue]{0.5}{5}{5 5 x ln mul add x div}
\uput[dl](0,0){O}
\psdots[linecolor=blue](1.649,4.549)(2.718,3.679)
\psline[linecolor=blue,linestyle=dashed](2.718,3.679)(2.718,0)
\uput[dl](1.649,4.549){\blue A} \uput[dl](2.718,3.679){\blue B}
\uput[d](2.718,0){\blue e}
\uput[u](3.5,3.2){\blue \Large $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

On admet que pour tout $x$ de l'intervalle [0,5~;~5] on a :

\[f'(x) = \dfrac{- 5\ln x}{x^2} \qquad\qquad f''(x) = \dfrac{10\ln x - 5}{x^3}.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f'$ est:
	\begin{enumerate}
		\item positive ou nulle sur l'intervalle [0,5~;~5]
		\item négative ou nulle sur l'intervalle [1~;~5]
		\item négative ou nulle sur l'intervalle [0,5~;~1]
	\end{enumerate}
\item  Le coefficient directeur de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point B est égal à :\index{coefficient directeur}
		
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~}$- \dfrac{5}{\text{e}^2}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{10}{\text{e}}$&\textbf{c.~~}$ \dfrac{5}{\text{e}^3}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  La fonction $f'$ est:
	\begin{enumerate}
		\item croissante sur l'intervalle [0,5~;~1]
		\item décroissante sur l'intervalle [1~;~5]
		\item croissante sur l'intervalle [2~;~5]
	\end{enumerate}
\item  La valeur exacte de l'abscisse du point A de la courbe $\mathcal{C}$ est égale à :\index{lecture graphique}
	
\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} 1,65 &\textbf{b.~~} 1,6 &\textbf{c.~~} $\text{e}^{0,5}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  On note $\mathcal{A}$ l'aire, mesurée en unités d'aire, du domaine plan délimité par la courbe $\mathcal{C}$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = 1$ et $x = 4$. Cette aire vérifie :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}X}
\textbf{a.~~} $20 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 30$&\textbf{b.~~} $10\leqslant \mathcal{A} \leqslant 15$&\textbf{c.~~} $5 \leqslant \mathcal{A} \leqslant 8$
\end{tabularx}
\medskip

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à $0,01$ près.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un commerçant dispose dans sa boutique d'un terminal qui permet à ses clients, s'ils souhaitent
régler leurs achats par carte bancaire, d'utiliser celle-ci en mode sans contact (quand le montant de
la transaction est inférieur ou égal à 30~\euro) ou bien en mode code secret (quel que soit le montant
de la transaction).

Il remarque que :

$\bullet~~$ 80\,\% de ses clients règlent des sommes inférieures ou égales à 30~\euro. Parmi eux :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item 40\,\% paient en espèces;
\item 40\,\% paient avec une carte bancaire en mode sans contact ;
\item les autres paient avec une carte bancaire en mode code secret.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}
$\bullet~~$ 20\,\% de ses clients règlent des sommes strictement supérieures à 30~\euro. Parmi eux :
\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item 70\,\% paient avec une carte bancaire en mode code secret ;
\item les autres paient en espèces.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On interroge au hasard un client qui vient de régler un achat dans la boutique.

\smallskip

On considère les évènements suivants :

$\bullet~~$ $V$ : \og pour son achat, le client a réglé un montant inférieur ou égal à 30~\euro \fg ;

$\bullet~~$ $E$ : \og pour son achat, le client a réglé en espèces\fg ;

$\bullet~~$ $C$ : \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode code secret\fg ;

$\bullet~~$ $S$ : \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte bancaire en mode sans contact \fg.

\medskip\index{probabilités}

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner la probabilité de l'évènement $V$, notée $P(V)$, ainsi que la probabilité de $S$ sachant
$V$ notée $P_V(S)$.
		\item Traduire la situation de l'énoncé à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la probabilité que pour son achat, le client ait réglé un montant inférieur ou égal à
30~\euro{} et qu'il ait utilisé sa carte bancaire en mode sans contact.
		\item Montrer que la probabilité de l'évènement: \og pour son achat, le client a réglé avec sa carte
bancaire en utilisant l'un des deux modes\fg{} est égale à $0,62$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $X$ la variable aléatoire qui prend pour valeur la dépense en euros d'un client suite à un
achat chez ce commerçant.

On admet que $X$ suit la loi normale de moyenne $27,5$ et d'écart-type $3$.\index{loi normale}

On interroge au hasard un client qui vient d'effectuer un achat dans la boutique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que ce client ait dépensé moins de 30~\euro.
\item Calculer la probabilité que ce client ait dépensé entre 24,50~\euro{} et 30,50~\euro.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Une enquête de satisfaction a été réalisée auprès d'un échantillon de $200$ clients de cette boutique.

Parmi eux, 175 trouvent que le dispositif sans contact du terminal est pratique.

Déterminer, avec un niveau de confiance de $0,95$, l'intervalle de confiance de la proportion $p$ de
clients qui trouvent que le dispositif sans contact est pratique.\index{intervalle de confiance}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

On considère la suite $\left(u_n\right)$ définie par $u_0 = 65$ et pour tout entier naturel $n$ :

\[u_{n+1} = 0,8u_n + 18.\]\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose : $v_n = u_n - 90$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$.\index{suite géométrique}
		
On précisera la valeur de $v_0$.
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$ :

		\[u_n = 90 - 25 \times  0,8^n.\]
	\end{enumerate}
\item  On considère l'algorithme ci-dessous :\index{algorithme}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|c|X|}\hline
ligne 1&$u \gets 65$\\
ligne 2&$n \gets 0$\\
ligne 3&Tant que .........\\
ligne 4&\hspace{1cm}$n \gets n+1$\\
ligne 5&\hspace{1cm}$u \gets 0,8 \times u + 18$\\
ligne 6&Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la ligne 3 de cet algorithme afin qu'il détermine le plus petit entier
naturel $n$ tel que $u_n \geqslant 85$.
		\item Quelle est la valeur de la variable $n$ à la fin de l'exécution de l'algorithme ?
		\item Retrouver par le calcul le résultat de la question précédente en résolvant l'inéquation
$u_n \geqslant 85$.
 	\end{enumerate}
\item  La société Biocagette propose la livraison hebdomadaire d'un panier bio qui contient des fruits
et des légumes de saison issus de l'agriculture biologique. Les clients ont la possibilité de
souscrire un abonnement de $52$~\euro{} par mois qui permet de recevoir chaque semaine ce panier
bio.
	
En juillet 2017, $65$ particuliers ont souscrit cet abonnement.

\smallskip
	
Les responsables de la société Biocagette font les hypothèses suivantes :
	
$\bullet~~$ d'un mois à l'autre, environ 20\,\% des abonnements sont résiliés ;
	
$\bullet~~$ chaque mois, $18$ particuliers supplémentaires souscrivent à l'abonnement.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que la suite $\left(u_n\right)$ permet de modéliser le nombre d'abonnés au panier bio le $n$-ième mois qui suit le mois de juillet 2017.
		\item Selon ce modèle, la recette mensuelle de la société Biocagette va-t-elle dépasser \np{4420}~\euro{} durant l'année 2018 ? Justifier la réponse.
		\item Selon ce modèle, vers quelle valeur tend la recette mensuelle de la société Biocagette ?
		
Argumenter la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Les différentes parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le graphe pondéré ci-dessous représente les différents lieux A, B, C, D, E, F{}, G et H dans lesquels
Louis est susceptible de se rendre chaque jour. Le lieu A désigne son domicile et G le lieu de son
site de travail. 

Le poids de chaque arête représente la distance, en kilomètres, entre les deux lieux
reliés par l'arête.


\begin{center}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(15,11.5)
%\psgrid
\rput(2.3,9.7){\circlenode{C}{C}}
\rput(3.5,6.4){\circlenode{B}{B}}
\rput(10.2,8.3){\circlenode{D}{D}}
\rput(8,5){\circlenode{E}{E}}
\rput(1.4,1.5){\circlenode{A}{A}}
\rput(7,0.5){\circlenode{F}{F}}
\rput(14,6){\circlenode{G}{G}}
\rput(12.5,1.8){\circlenode{H}{H}}
\ncarc[arcangle=-30]{C}{A}\ncput*[nrot=:U]{56}
\ncarc[arcangle=20]{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{47}
\ncarc[arcangle=20]{A}{E}\ncput*[nrot=:U]{23}
\ncarc[arcangle=20]{A}{F}\ncput*[nrot=:U]{30}
\ncarc[arcangle=20]{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{10}
\ncarc[arcangle=20]{B}{E}\ncput*[nrot=:U]{20}
\ncarc[arcangle=20]{C}{D}\ncput*[nrot=:U]{15}
\ncarc[arcangle=20]{E}{D}\ncput*[nrot=:U]{42}
\ncarc[arcangle=20]{D}{G}\ncput*[nrot=:U]{15}
\ncarc[arcangle=20]{E}{F}\ncput*[nrot=:U]{28}
\ncarc[arcangle=20]{E}{H}\ncput*[nrot=:U]{40}
\ncarc[arcangle=20]{F}{H}\ncput*[nrot=:U]{28}
\ncarc[arcangle=20]{G}{H}\ncput*[nrot=:U]{23}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip\index{graphe}

Déterminer le chemin le plus court \index{trajet minimal} qui permet à Louis de relier son domicile à son travail. On
pourra utiliser un algorithme. Préciser la distance, en kilomètres, de ce chemin.\index{algorithme}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Afin de réduire son empreinte énergétique, Louis décide d'utiliser lors de ses trajets quotidiens
soit les transports en commun, soit le covoiturage.

\smallskip\index{probabilités}

$\bullet~~$ s'il a utilisé les transports en commun lors d'un trajet, il utilisera le covoiturage lors de son
prochain déplacement avec une probabilité de $0,53$ ;

$\bullet~~$ s'il a utilisé le covoiturage lors d'un trajet, il effectuera le prochain déplacement en transport en commun avec une probabilité de $0,78$.

Louis décide de mettre en place ces résolutions au 1\up{er} janvier 2018.

Pour tout entier naturel $n$, on note :

$\bullet~~$ $c_n$ la probabilité que Louis utilise le covoiturage $n$ jour(s) après le 1\up{er} janvier 2018;

$\bullet~~$ $t_n$ la probabilité que Louis utilise les transports en commun $n$ jour(s) après le 1\up{er} janvier 2018 ;

La matrice ligne $P_n = \left(c_n \quad t_n\right)$ traduit l'état probabiliste $n$ jour(s) après le 1\up{er}  janvier 2018.

Le 1\up{er} janvier 2018, Louis décide d'utiliser le covoiturage.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Préciser l'état probabiliste initial $P_0$.
		\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste.
On notera \og C \fg{} et \og T \fg{} ses deux sommets :
		
$\bullet~~$ \og C\fg{} pour indiquer que Louis utilise le covoiturage ;
		
$\bullet~~$ \og T\fg{} pour indiquer que Louis utilise les transports en commun.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer la matrice de transition du graphe probabiliste en considérant ses sommets dans
l'ordre alphabétique.\index{matrice de transition}
\item  Calculer l'état probabiliste $P_2$ et interpréter ce résultat dans le cadre de l'exercice.
\item  Soit la matrice ligne $P = (x \quad y)$ associée à l'état stable du graphe probabiliste.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer les valeurs exactes de $x$ et de $y$ puis en donner une valeur approchée à $0,01$ près.
		\item Selon ce modèle, peut-on dire qu'à long terme, Louis utilisera aussi souvent le covoiturage
que les transports en commun ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, si nécessaire, les valeurs numériques approchées seront données à $0,01$ près}.

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle [0~;~4] par:

\[f(x) = (3,6x + 2,4)\text{e}^{-0,6x}- 1,4.\]

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On admet que la fonction $f$ est dérivable sur l'intervalle [0~;~4] et on note $f'$ sa fonction dérivée.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~4] on a:

\[f'(x) = (- 2,16 x + 2,16)\text{e}^{-0,6x}.\]\index{dérivée}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Étudier le signe de $f'(x)$ sur l'intervalle [0~;~4].
		\item Dresser le tableau de variation de la fonction $f$ sur cet intervalle.
		
On donnera les valeurs numériques qui apparaissent dans le tableau de variation sous
forme approchée.
 	\end{enumerate}
\item  On admet que la fonction $F$ définie par:
	
\[F(x) = (- 6x - 14)\text{e}^{-0,6x} - 1,4x\]
	
est une primitive de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].\index{primitive}
	
Calculer la valeur exacte de $\displaystyle\int_0^4  f(x)\:\text{d}x$ puis en donner une valeur numérique approchée.
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].

On considère la fonction $g$ définie par :

\[g(x) = 4x^2 - 4x + 1.\]

On note $\mathcal{C}_g$ la courbe représentative de cette fonction sur l'intervalle [0~;~0,5].

On a tracé ci-dessous les courbes $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ dans un repère d'origine O et, en pointillés, les courbes obtenues par symétrie de $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ par rapport à l'axe des abscisses :

\begin{center}
\psset{unit=1.25cm}
\begin{pspicture}(-1,-3)(5,3)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.15pt]

\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0.5}{0}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub}
\psline(4,0.124)(4,-0.124)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{4}{0}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub neg}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{0.5}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add neg}
}
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-1,-3)(5,3)
\psaxes[linewidth=1pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{4}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{0.5}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue,linestyle=dashed]{0}{4}{3.6 x mul 2.4 add 2.71828 0.6 x mul exp div 1.4 sub neg}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red,linestyle=dashed]{0}{0.5}{x dup mul 4 mul 4 x mul sub 1 add neg}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $\displaystyle\int_0^{0,5}g(x)\:\text{d}x = \dfrac{1}{6}$.\index{aire et intégrale}
\item On considère le domaine plan délimité par les courbes $\mathcal{C}_f$, \:$\mathcal{C}_g$, leurs courbes symétriques (en pointillés) ainsi que la droite d'équation $x = 4$.

Ce domaine apparaît grisé sur la figure ci-dessus.

Calculer une valeur approchée de l'aire, en unités d'aire, de ce domaine.
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Pondichéry 4 mai 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Nord 29 mai 2018
\hypertarget{AmeriqueNord}{}

\label{AmeriqueNord}
\lfoot{\small{Amérique du Nord}}
\rfoot{\small 29 mai 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Liban}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Amérique du Nord 29 mai 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la question et indiquerez la seule réponse choisie.}\index{Q. C. M.}

\begin{enumerate}
\item Un pépiniériste cultive des bulbes de fleurs. La probabilité qu'un bulbe germe, c'est-à-dire qu'il donne naissance à une plante qui fleurit, est de $0,85$.

Il prélève au hasard 20 bulbes du lot. La production est assez grande pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un tirage avec remise de 20 bulbes.\index{probabilités}

On peut affirmer que:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de $0,103$.\\
\hline
\textbf{B.} \quad La probabilité qu'au maximum 15 bulbes germent est proche de $0,067$.\\
\hline
\textbf{C.} \quad La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de $0,830$.\\
\hline
\textbf{D.} \quad La probabilité qu'au minimum 15 bulbes germent est proche de $0,933$.\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère une fonction $f$ définie sur $[0\,;\,8]$ dont $\mathcal{C}_f$ est la courbe représentative dessinée ci-dessous:

\begin{center}
\bigskip
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-0.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-0.8}   \def\ymax {5.8}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)[$x$,-110][$y$,200] 
\def\f{x x neg 10 add mul 16 add 8 div}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{0}{8}{\f}
\uput[ul](2,4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){$0$}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $8 \leqslant \displaystyle\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 9$ \rule[-15pt]{0pt}{0pt}
&
\textbf{B.} \quad $9 \leqslant \displaystyle\int_2^4 f(x) \d x \leqslant 10$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x =f(4)-f(2)$ \rule[-15pt]{0pt}{0pt}
&
\textbf{D.} \quad $\displaystyle\int_2^4 f(x) \d x = 9$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On considère la fonction $g$ définie sur $]0\,;\,+\infty[$ par $g(x)=\ln(x)$.

Une primitive de $g$ sur $]0\,;\,+\infty[$ est la fonction $G$ définie par:\index{primitive}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{2}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $G(x)=\ln(x)$ & \textbf{B.} \quad $G(x)=x \ln(x)$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $G(x)= x \ln(x) - x$ & \textbf{D.} \quad $G(x)= \dfrac{1}{x}$ \rule[-10pt]{0pt}{0pt}\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item L'ensemble des solutions de l'inéquation $\ln(x)>0$ est:\index{inéquation}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.9\linewidth}{|X|X|}\hline
\textbf{A.} \quad $]0\,;\,+\infty[$ & \textbf{B.} \quad $]0\,;\,1[$\\\hline
\textbf{C.} \quad $]1\,;\,+\infty[$ & \textbf{D.} \quad $]\e\,;\,+\infty[$ \\\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\textbf{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}

\textbf{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

Le site internet \og ledislight.com \fg{} spécialisé dans la vente de matériel lumineux vend deux sortes de rubans LED flexibles: un premier modèle dit d'\og intérieur \fg{} et un deuxième modèle dit d'\og extérieur \fg{}. Le site internet dispose d'un grand stock de ces rubans LED.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}  

\begin{enumerate}
\item Le fournisseur affirme que, parmi les rubans LED d'extérieur expédiés au site internet, 5\,\% sont défectueux. Le responsable internet désire vérifier la validité de cette affirmation. Dans son stock, il prélève au hasard $400$ rubans LED d'extérieur parmi lesquels 25 sont défectueux.

Ce contrôle remet-il en cause l'affirmation du fournisseur?

\medskip

\emph{\textbf{Rappel:} lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\% d'une fréquence d'apparition de ce caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donnée par:}\index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\[I= \left [ p-1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\,;\, p+1,96 \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}\right ]\]

\item Le fournisseur n'a donné aucune information concernant la fiabilité des rubans LED d'intérieur. Le directeur du site souhaite estimer la proportion de rubans LED d'intérieur défectueux. Pour cela, il prélève un échantillon aléatoire de 400 rubans d'intérieur, parmi lesquels 38 sont défectueux.

Donner un intervalle de confiance de cette proportion au seuil de confiance de 95\,\%.\index{intervalle de confiance}
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

À partir d'une étude statistique réalisée sur de nombreux mois, on peut modéliser le nombre de rubans LED d'intérieur vendus chaque mois par le site à l'aide d'une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale de moyenne $\mu = \np{2500}$ et d'écart-type $\sigma=400$.\index{loi normale}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le site internet vende entre \np{2100} et \np{2900} rubans LED d'intérieur en un mois?
\item
	\begin{enumerate}
		\item Trouver, arrondie à l'entier, la valeur de $a$ telle que $P(X \leqslant a)=0,95$.
		\item Interpréter la valeur de $a$ obtenue ci-dessus en termes de probabilité de rupture de stock.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

\begin{list}{\textbullet}{On admet maintenant que:}
\item 20\,\% des rubans LED proposés à la vente sont d'extérieur;
\item 5\,\% des rubans LED d'extérieur sont défectueux.
\end{list}

On prélève au hasard un ruban LED dans le stock.

\begin{list}{\textbullet}{On appelle:}
\item $E$ l'évènement: \og le ruban LED est d'extérieur \fg{};
\item $D$ l'évènement: \og le ruban LED est défectueux \fg{}.  
\end{list}

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré, que l'on complètera au fur et à mesure.\index{arbre}
\item Déterminer la probabilité que le ruban LED soit d'extérieur et défectueux.
\item D'autre part on sait que 6\,\% de tous les rubans LED sont défectueux. \\
Calculer puis interpréter $P_{\overline{E}}(D)$.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L}

\medskip

Une société propose des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Le directeur de cette société remarque que, chaque année, 14\,\% des contrats supplémentaires sont souscrits et 7 sont résiliés.

En 2017, l'entreprise dénombrait $120$ contrats souscrits.

On modélise la situation par une suite $\left(u_n\right)$ où $u_n$ est le nombre de contrats souscrits l'année $2017+n$.\index{suite}

Ainsi on a $u_0 = 120$.

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, on a $u_{n+1} =1,14 u_n-7$.
		\item Estimer le nombre de contrats d'entretien en 2018.
	\end{enumerate}
\item Compte tenu de ses capacités structurelles actuelles, l'entreprise ne peut prendre ne charge que 190 contrats. Au-delà, l'entreprise devra embaucher davantage de personnel.

On cherche donc à savoir en quelle année l'entreprise devra embaucher.

Pour cela, on utilise l'algorithme suivant:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.25}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}
\hline
$n\longleftarrow 0$\\
$u\longleftarrow 120$\\
Tant que $\ldots\ldots\ldots$\\
\hspace*{1cm} $n\longleftarrow n+1$\\
\hspace*{1cm} $\ldots\ldots\ldots$\\
 Fin Tant que\\
 Afficher $2017+n$\\
 \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.\index{algorithme}
\item Quelle est l'année affichée en sortie d'algorithme ? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n-50$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.\index{suite géométrique}
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier naturel $n$,

\[u_n=70\times 1,14^n+50.\]

		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $u_n > 190$.\index{inéquation}

Quel résultat de la question \textbf{2.} retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

Deux entreprises concurrentes \og Alphacopy \fg{} et \og Bêtacopy \fg{} proposent des contrats annuels d'entretien de photocopieurs. Ces deux entreprises se partagent le marché des contrats d'entretien sur un secteur donné. 

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{Le patron de Alphacopy remarque que, chaque année:}
\item 15\,\% des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Alphacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Bêtacopy. Les autres restent fidèles à Alphacopy ;
\item 25\,\% des clients qui avaient souscrit un contrat d'entretien chez Bêtacopy décident de souscrire un contrat d'entretien chez Alphacopy. Les autres restent fidèles à Bêtacopy.
\end{list}

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{On définit les évènements suivants:}
\item $A$: \og le client est sous contrat avec l'entreprise Alphacopy \fg{};
\item $B$: \og le client est sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy \fg{}.  
\end{list}

\smallskip

À partir de 2017, on choisit au hasard un client ayant un contrat d'entretien de photocopieurs et on note, pour tout entier naturel $n$:

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{}
\item $a_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Alphacopy l'année $2017+n$;
\item $b_n$ la probabilité que le client soit sous contrat avec l'entreprise Bêtacopy l'année $2017+ n$.
\end{list}

On note $P_n=\begin{pmatrix} a_n & b_n\end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste pour l'année $2017+n$.\index{matrice}

\smallskip

L'objectif de l'entreprise Alphacopy est d'obtenir au moins 62\,\% des contrats d'entretien des photocopieurs.

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Représenter le graphe probabiliste de cette situation et donner la matrice de transition $M$ associée à ce graphe dont les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique.
\item Montrer que $P = \begin{pmatrix} 0,625 & 0,375\end{pmatrix}$ est l'état stable.\index{etat stable@état stable}
\item À votre avis, l'entreprise Alphacopy peut-elle espérer atteindre son objectif?
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

En 2017, on sait que 46\,\% des clients ayant un contrat d'entretien de photocopieurs étaient sous contrat avec l'entreprise Alphacopy.

On a ainsi $P_0=\begin{pmatrix} 0,46 & 0,54\end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
\item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1}=P_n \times M$.

Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, $a_{n+1}= 0,85 a_n + 0,25 b_n$ puis que

\[a_{n+1} = 0,60 a_n + 0,25.\]\index{suite}

\item À l'aide de l'algorithme ci-dessous, on cherche à déterminer en quelle année l'entreprise Alphacopy atteindra son objectif.

\begin{center}
\begin{tabular}{|p{3.5cm}|}
\hline
$n \leftarrow 0$\\
$a\leftarrow 0,46$\\
Tant que \ldots\ldots\ldots\\
\hspace*{1cm} $n\leftarrow n+1$\\
\hspace*{1cm} \ldots\ldots\ldots\\
Fin Tant que\\
Afficher $2017+n$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessus.\index{algorithme}
\item Quelle est l'année en sortie de l'algorithme? Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item On définit la suite $\left(u_n\right)$ par $u_n=a_n-0,625$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.\index{suite géométrique}
		\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ puis démontrer que, pour tout entier $n$,

\[a_n=-0,165 \times 0,60^n + 0,625.\]

		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $a_n \geqslant 0,62$.

Quel résultat de la question \textbf{2.} retrouve-t-on?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On appelle fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} toute fonction dérivable qui prend ses valeurs entre 0 et 100. Lorsque la fonction  \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint la valeur $100$, on dit qu'il y a \og \emph{saturation} \fg{}.

On définit aussi la fonction \og \emph{envie} \fg{} comme la fonction dérivée de la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{}. On dira qu'il y a \og \emph{souhait} \fg{} lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est positive ou nulle et qu'il y a \og \emph{rejet} \fg{}  lorsque la fonction \og \emph{envie} \fg{} est strictement négative.

\medskip

\textbf{Dans chaque partie, on teste un modèle de fonction \og \emph{\textbf{satisfaction}} \fg{} différent. \\[5pt]Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\begin{center}
\textbf{Partie A}
\end{center}

Un étudiant prépare un concours, pour lequel sa durée de travail varie entre 0 et 6 heures par jour. Il modélise sa satisfaction en fonction de son temps de travail quotidien par la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $f$ dont la courbe représentative est donnée ci-dessous ($x$ est exprimé en heures).

\begin{center}
%\bigskip
\psset{xunit=1cm,yunit=0.05cm,arrowsize=2pt 2}
\def\xmin {-0.8}   \def\xmax {7.5}
\def\ymin {-15}   \def\ymax {110}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(8,6)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=20]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)%[$x$,-110][$y$,200] 
\def\f{x x -100 mul 600 add mul 9 div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue]{0}{6}{\f}
\uput[ur](5,58){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=2,linecolor=blue](3,100)
\psline[linewidth=1.5pt,linecolor=blue]{<->}(2,100)(4,100)
\end{pspicture*}
\end{center}


\textbf{Par lecture graphique, répondre aux questions suivantes.}\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Lire la durée de travail quotidien menant à \og \emph{saturation} \fg{}.
\item Déterminer à partir de quelle durée de travail il y a \og \emph{rejet} \fg{}.
\end{enumerate}

\begin{center}
\textbf{Partie B}
\end{center}

Le directeur d'une agence de trekking modélise la satisfaction de ses clients en fonction de la durée de leur séjour. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $g$ est définie sur l'intervalle $[0\,;\,30]$ par
$g(x)=12,5 x \e^{-0,125x+1}$ ($x$ est exprimé en jour).

\begin{enumerate}
 \item Démontrer que, pour tout $x$ de l'intervalle   $[0\,;\,30]$,
 
 \[g'(x)=(12,5-\np{1,5625} x) \e^{-0,125x+1}.\]\index{dérivée}
 
\item \'Etudier le signe de $g'(x)$ sur l'intervalle  $[0\,;\,30]$ puis dresser le tableau des variations de $g$ sur cet intervalle.
\item Quelle durée de séjour correspond-elle à l'effet \og \emph{saturation} \fg{} ?
 \end{enumerate} 

\begin{center}
\textbf{Partie C}
\end{center}

La direction des ressources humaines d'une entreprise modélise la satisfaction d'un salarié en fonction du salaire annuel qu'il perçoit. On admet que la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} $h$, est définie sur l'intervalle $[10\,;\,50]$ par

\[h(x)=\dfrac{90}{1+\e^{-0,25 x +6}}\] \index{fonction exponentielle}

($x$ est exprimé en millier d'euros).

La courbe $\mathcal{C}_h$ de la fonction $h$ est représentée ci-dessous:

\begin{center}
\psset{xunit=0.25cm,yunit=0.1cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-3}   \def\xmax {54}
\def\ymin {-5}   \def\ymax {105}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[unit=1cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(-1,-1)(8,6)
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt,Dy=10,Dx=5]{->}(0,0)(0,0)(\xmax,\ymax)[$x$,110][$y$,-10] 
\def\f{90 1 2.7183 x -0.25 mul 6 add exp add div}                           % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{10}{50}{\f}
\uput[ur](22,50){\blue $\mathcal{C}_h$}
\end{pspicture*}
\end{center}

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabular}{|l|l|}
\hline
   & \verb!Dériver(90/(1 + exp(-0.25 * x +6)))!\\
1 & \\
   & \hfill{}$\dfrac{22,5 \e^{-0,25x+6}}{(1+\e^{-0,25x+6})^2}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\
\hline
   & \verb!Dériver(22.5 * exp(-0,25 x + 6)/(1 + exp(-0,25 * x + 6))²!\\
2 & \\
   & \hfill{}$\dfrac{5,625 \e^{-0,25x+6} (\e^{-0,25x + 6} -1)}{(1+\e^{-0,25x+6})^3}$\rule[-20pt]{0pt}{0pt}\hfill{~}\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Donner sans justification une expression de $h''(x)$.
\item Résoudre dans l'intervalle $[10\,;\,50]$ l'inéquation $\e^{-0,25x+6}-1>0$.
\item Étudier la convexité de la fonction $h$ sur l'intervalle $[10\,;\,50]$.\index{convexité}
\item À partir de quel salaire annuel peut-on estimer que la fonction \og \emph{envie} \fg{} décroît ? Justifier.
\item Déterminer, en le justifiant, pour quel salaire annuel la fonction \og \emph{satisfaction} \fg{} atteint 80.

\emph{Arrondir au millier d'euros.}  
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Nord 29 mai 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Liban 29 mai 2018
\hypertarget{Liban}{}

\label{Liban}
\lfoot{\small{Liban}}
\rfoot{\small 29 mai 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Liban}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Liban
29 mai 2018~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Dans un aéroport, les portiques de sécurité servent à détecter les objets métalliques que peuvent emporter les voyageurs.

On choisit au hasard un voyageur franchissant un portique.

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $S$ l'évènement \og le voyageur fait sonner le portique \fg{};
\item $M$ l'évènement \og le voyageur porte un objet métallique \fg.
\end{list}

On considère qu'un voyageur sur $500$ porte sur lui un objet métallique.
  
\begin{enumerate}
\item 
\begin{list}{\textbullet}{On admet que:}
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique avec un objet métallique, la probabilité que le portique sonne est égale à $0,98$;
\item Lorsqu'un voyageur franchit le portique sans objet métallique, la probabilité que le portique ne sonne pas est aussi égale à $0,98$.
\end{list}

\begin{enumerate}
\item  À l'aide des données de l'énoncé, préciser les valeurs de $P(M)$, $P_{M}(S)$ et $P_{\overline{M}}\left(\overline{S}\right)$.\index{probabilités}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous illustrant cette situation.\index{arbre}

\begin{center}
\bigskip
  \pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=5pt,levelsep=3.5cm,treesep=1.25cm]{\TR{}}
 {
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$M$}\naput{$\cdots$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\cdots$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\cdots$}	   
 	  }
 	\pstree[nodesepA=5pt]{\TR{$\overline{M}$}\nbput{$\cdots$}}
 	  { 
 		  \TR{$S$}\naput{$\cdots$}
 		  \TR{$\overline{S}$}\nbput{$\cdots$}	   
 	  }
}
\bigskip
\end{center}

\item Montrer que: $P(S)=\np{0,02192}$.
\item En déduire la probabilité qu'un voyageur porte un objet métallique sachant qu'il a fait sonner le portique. (On arrondira le résultat à $10^{-3}$.)

\end{enumerate}

\item 80 personnes s'apprêtent à passer le portique de sécurité. On suppose que pour chaque personne la probabilité que le portique sonne est égale à $\np{0,02192}$.

Soit $X$ la variable aléatoire donnant le nombre de personnes faisant sonner le portique, parmi les 80 personnes de ce groupe.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.\index{loi binomiale}
		\item Calculer l'espérance de $X$ et interpréter le résultat.
		\item 
\begin{list}{\textbullet}{Sans le justifier, donner la valeur arrondie à $10^{-3}$ de:}
\item la probabilité qu'au moins une personne du groupe fasse sonner le portique;
\item la probabilité qu'au maximum 5 personnes fassent sonner le portique.
\end{list}
		\item Sans le justifier, donner la valeur du plus petit entier $n$ tel que $P(X \leqslant n) \geqslant 0,9$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi la spécialité et candidats de L}

\medskip

Maya possède 20~\euro{} dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2018.

À partir de cette date, chaque mois elle dépense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20~\euro{} supplémentaires.

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du $n$-ième mois. On a $u_0=20$. 


\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Montrer que la somme d'argent contenue dans la tirelire de Maya à la fin du 1\ier{} mois est de 35~\euro.
\item Calculer $u_2$.
\end{enumerate}

\item On admet que pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1}=0,75 u_n + 20$.

On considère l'algorithme suivant:\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}
\hline
$U \longleftarrow 20$\\
$N \longleftarrow 0$\\
Tant que $U < 70$\\
\hspace*{1cm} $U \longleftarrow 0,75 \times U + 20$\\
\hspace*{1cm} $N \longleftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
Afficher $N$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le tableau ci-dessous qui retrace les différentes étapes de l'exécution de l'algorithme. On ajoutera autant de colonnes que nécessaire à la place de celle laissée en pointillés. Arrondir les résultats au centième.

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{|*5{>{\ca}p{2cm}|}}
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
Valeur de $U$ & 20 & \hspace*{2cm}  &  & \\
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
Valeur de $N$ & 0 & & & \\
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
\shortstack{Condition\\$U<70$} & vrai & & vrai & faux \\
\cline{1-2}\cdashline{3-3}[1pt/2pt]\cline{4-5}
\end{tabular}
\end{center}

\item Quelle valeur est affichée à la fin de l'exécution de cet algorithme?

Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.

\end{enumerate}

\item Pour tout entier $n$, on pose $v_n=u_n-80$.
	\begin{enumerate}
		\item  Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,75$.\index{suite géométrique}
		\item Préciser son premier terme $v_0$.
		\item En déduire que, pour tout entier $n$, $u_n = 80 - 60\times 0,75^{n}$.
		\item Déterminer, au centime près, le montant que Maya possèdera dans sa tirelire au 1\ier{} juin 2019.
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(v_n\right)$.
		\item En déduire la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi la spécialité}

\medskip

Dans un pays deux opérateurs se partagent le marché des télécommunications mobiles. Une étude révèle que chaque année:

\begin{list}{\textbullet}{}
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}, 70\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 30\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone};
\item parmi les clients de l'opérateur \emph{GenialPhone}, 55\,\% se réabonnent à ce même opérateur et 45\,\% souscrivent un contrat avec l'opérateur \emph{Efficaceréseau}.
\end{list}

On note $E$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} \fg{} et $G$ l'état: \og la personne possède un contrat chez l'opérateur \emph{GenialPhone} \fg{}.

À partir de 2018, on choisit au hasard un client de l'un des deux opérateurs.

\medskip

\begin{list}{\textbullet}{On note également:}
\item $e_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
\item $g_n$ la probabilité que le client possède un contrat avec l'opérateur \emph{GenialPhone} au 1\ier{} janvier $(2018+n)$;
\item $P_n = \begin{pmatrix} e_n & g_n \end{pmatrix}$ désigne la matrice ligne traduisant l'état probabiliste du système au 1\ier{} janvier $(2018+n)$.\index{matrice}
\end{list} 

Au 1\ier{} janvier 2018, on suppose que 10\,\% des clients possèdent un contrat chez \emph{EfficaceRéseau}, ainsi $P_0 = \begin{pmatrix} 0,1 & 0,9 \end{pmatrix}$.

\begin{enumerate}
 \item Représenter cette situation par un graphe probabiliste de sommets $E$ et $G$.\index{graphe}
 
 \item
 \begin{enumerate}
  \item Déterminer la matrice de transition $M$ associée au graphe en rangeant les sommets dans l'ordre alphabétique. \index{matrice de transition}
  \item Vérifier qu'au 1\ier{} janvier 2020, environ 57\,\% des clients ont un contrat avec l'opérateur \emph{EfficaceRéseau}.
  \end{enumerate} 
  
\item
\begin{enumerate}
  \item On rappelle que pour tout entier naturel $n$, $P_{n+1} = P_n\times M$.
  
Exprimer $e_{n+1}$ en fonction de $e_n$ et $g_n$.
  
  \item En déduire que pour tout entier naturel $n$, $e_{n+1} = 0,25 e_n + 0,45$.
  \end{enumerate}  

\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous de façon à ce qu'il affiche l'état probabiliste au 1\ier{} janvier $(2018+n)$:\index{algorithme}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\begin{tabular}{|l|}
\hline 
$E\longleftarrow 0,1$\\
$G \longleftarrow 0,9$\\
Pour $I$ allant de 1 à $N$\hspace*{3cm}\\
\hspace*{1cm} $E \longleftarrow \cdots \times E + \cdots $\\
\hspace*{1cm} $G \longleftarrow \cdots$\\
Fin Pour\\
Afficher $E$ et $G$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Déterminer l'affichage de cet algorithme pour $N = 3$. Arrondir au centième.
		\item Déterminer l'état stable du système et interpréter votre réponse dans le contexte de l'exercice.\index{etat stable@état stable}
	\end{enumerate}
\end{enumerate} 

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre propositions est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point. Pour répondre, vous recopierez \textbf{sur votre copie} le numéro de la question et indiquerez la seule bonne réponse.}\index{Q. C. M.}

Pour les questions \textbf{1.} et \textbf{2.} et \textbf{3.}, on a représenté ci-dessous la courbe représentative d'une fonction $f$ ainsi que deux de ses tangentes aux points d'abscisses respectives 2 et 4.

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-4.8}   \def\xmax {8.8}
\def\ymin {-3.6}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray] 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\def\f{x x x 6 sub mul 4 add mul 32 add 8 div} % définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{\xmin}{\xmax}{\f}
\rput(-2.6,-2.5){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x 2 div}% Tangente en x = 4
\psplot[plotpoints=2000,linestyle=dashed]{\xmin}{\xmax}{x neg 5 add}% Tangente en x = 2
\psdots[dotstyle=+](4,2)(2,3)
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item $f'(4)$ est égal à:\index{lecture graphique}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $2$ & \textbf{B.} \quad $-1$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $0,5$ & \textbf{D.} \quad $0$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item $f$ est convexe sur l'intervalle:\index{convexité}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $]-\infty\,;\,2]$ & \textbf{B.} \quad $]-\infty\,;\,0,5]$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $[0\,;\,4]$ & \textbf{D.} \quad $[2\,;\,5]$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Une valeur approchée au dixième de la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle $[0\,;\,5]$ est:\index{valeur moyenne}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $-0,1$ & \textbf{B.} \quad $2,5$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $2,9$ & \textbf{D.} \quad $14,5$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item Dans le repère ci-dessous, on a tracé la courbe représentative de la fonction de densité de probabilité d'une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale et telle que\index{loi normale}

\[P(X \leqslant 649) \approx \np{0,1587}.\]

On note respectivement $\mu$ et $\sigma$ l'espérance et l'écart-type de cette loi normale.

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm, yunit=200cm, runit=1cm, arrowsize=3pt 3, algebraic=true}
\def\xmin {-5}   \def\xmax {165}
\def\ymin {-0.0047} \def\ymax {0.02}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psline(-5,0)(165,0)
\def\m{80}% moyenne 
\def\s{20}% écart type
\def\f{1/(\s*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-\m)/\s)^2)/2)}
\def\inf{\xmin} \def\sup{60}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=blue!20]
{
\psplot{\inf}{\sup}{\f} % courbe de f sur [inf ; sup]
\lineto(\sup,0)\lineto(\inf,0)
\closepath % indispensable !
}
\psline[linestyle=dashed,dash=2pt 2pt](80,0)(80,0.4)
\psplot[plotpoints=1000,linecolor=blue]{\xmin}{\xmax}{\f}
\multido{\n=646+1,\i=0+20}{9}
{
\uput[d](\i,0){\n}
\psline(\i,0.0005)(\i,-0.0005)
}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|X|X|}
\hline
\textbf{A.} \quad $P(X\leqslant 651) \approx \np{0,6587}$ & \textbf{B.} \quad $P( 649  \leqslant X\leqslant 651) \approx \np{0,683}$\\
\hline
\textbf{C.} \quad $\sigma=650$ & \textbf{D.} \quad $\mu=649$\\
\hline
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[1\,;\,25]$ par

\[f(x)=\dfrac{x+2-\ln(x)}{x}.\]\index{fonction logarithme}

	\begin{enumerate}
		\item  On admet que $f$ est dérivable sur $[1\,;\,25]$.

Démontrer que pour tout réel $x$ appartient à l'intervalle $[1\,;\,25]$,

\[f'(x)=\dfrac{-3+\ln(x)}{x^2}.\]\index{dérivée}

\medskip

		\item Résoudre dans $[1\,;\,25]$ l'inéquation $-3+\ln(x)>0$.\index{inéquation}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur $[1\,;\,25]$.
		\item Démontrer que dans l'intervalle $[1\,;\,25]$, l'équation $f(x)=1,5$ admet une seule solution. On notera $\alpha$ cette solution.
		\item Déterminer un encadrement d'amplitude $0,01$ de $\alpha$ à l'aide de la calculatrice.
	\end{enumerate}
\item Une entreprise fabrique chaque jour entre 100 et \np{2500} pièces électroniques pour des vidéoprojecteurs. Toutes les pièces fabriquées sont identiques.

On admet que lorsque $x$ centaines de pièces sont fabriquées, avec $1 \leqslant x \leqslant 25$, le coût moyen de fabrication d'une pièce est de $f(x)$ euros.

En utilisant les résultats obtenus à la question \textbf{1.}:
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, à l'unité près, le nombre de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit minimal.

Déterminer alors ce coût moyen, au centime d'euro près.
		\item Déterminer le nombre minimal de pièces à fabriquer pour que le coût moyen de fabrication d'une pièce soit inférieur ou égal à $1,50$ euro.
		\item Est-il possible que le coût moyen d'une pièce soit de 50 centimes? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Liban 29 mai 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Centres étrangers  11 juin 2018
\hypertarget{Etranger}{}

\label{Etranger}
\lfoot{\small{Centres étrangers}}
\rfoot{\small 11 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Etranger}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Centres étrangers Terminale ES 11 juin 2018~\decofourright\\[5pt]}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions
suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification
n'est demandée. \\
Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni
n'enlèvent de point.\\
 Pour répondre, vous recopierez sur votre copie le numéro de la
question et indiquerez la seule réponse choisie.}
 
\bigskip
 
\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie pour tout réel $x$ par $f(x) = \text{e}^{-3x} + \text{e}^2$.

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} $f'(x) = - \text{e}^{-3x} + 2\text{e}$ 	&\textbf{B.~~} $f'(x) = -3\text{e}^{-3x}+ \text{e}^2$\\
\textbf{C.~~} $f'(x) = - 3\text{e}^{-3x}$ 		&\textbf{D.~~} $f'(x) = \text{e}^{-3x}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  D'après une étude, le nombre d'objets connectés à Internet à travers le monde
est passé de $4$ milliards en 2010 à $15$ milliards en 2017. L'arrondi au dixième
du taux d'évolution annuel moyen est de :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 10,5\,\% &\textbf{B.~~} 68,8\,\%\\
\textbf{C.~~} 39,3\,\% &\textbf{D.~~} 20,8\,\%
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale d'espérance $\mu = 13$ et
d'écart-type $\sigma = 2,4$. L'arrondi au centième de $P(X \geqslant 12,5)$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~} 0,58&\textbf{B.~~} 0,42\\
\textbf{C.~~} 0,54&\textbf{D.~~} 0,63
\end{tabularx}
\medskip

\item  Soit $Y$ une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [14~;~16].
$P(X \leqslant 15,5)$ est égal à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{A.~~}0,97 &\textbf{B.~~} 0,75\\
\textbf{C.~~}0,5&\textbf{D.~~}$\dfrac{1}{4}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\medskip

Des algues prolifèrent dans un étang. Pour s'en débarrasser, le propriétaire installe
un système de filtration.

En journée, la masse d'algues augmente de 2\,\%, puis à la nuit tombée, le propriétaire
actionne pendant une heure le système de filtration qui retire 1$00$~kg d'algues. On
admet que les algues ne prolifèrent pas la nuit.

Le propriétaire estime que la masse d'algues dans l'étang au matin de l'installation
du système de filtration est de \np{2000}~kg.

On modélise par $a_n$ la masse d'algues dans l'étang, exprimée en kg, après utilisation
du système de filtration pendant $n$ jours ; ainsi, $a_0 = \np{2000}$. On admet que cette
modélisation demeure valable tant que $a_n$ reste positif.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier par le calcul que la masse $a_2$ d'algues après deux jours de
fonctionnement du système de filtration est de \np{1878,8} kg.
\item On affirme que pour tout entier naturel $n$,\: $a_{n+1} = 1,02a_n - 100$.
	\begin{enumerate}
		\item Justifier à l'aide de l'énoncé la relation précédente.
		\item  On considère la suite $\left(b_n\right)$ définie pour tout nombre entier naturel $n$ par:
		
\[b_n = a_n - \np{5000}.\]
		
Démontrer que la suite $\left(b_n\right)$ est géométrique. Préciser son premier terme
$b_0$ et sa raison.
		\item  En déduire pour tout entier naturel $n$, une expression de $b_n$ en fonction de
$n$, puis montrer que $a_n = \np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n$.
		\item  En déterminant la limite de la suite $\left(a_n\right)$, justifier que les algues finissent
par disparaître.
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant afin qu'il détermine le nombre
de jours nécessaire à la disparition des algues.
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline	
$N \gets 0$\\
$A \gets \np{2000}$\\
Tant que \ldots\\
\hspace{1cm}$A \gets \ldots$\\
\hspace{1cm}$N \gets N + 1$\\
Fin Tant que\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
		\item Quel est le résultat renvoyé par l'algorithme ?
 	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre par le calcul l'inéquation $\np{5000} - \np{3000} \times 1,02^n \leqslant 0$.\index{inéquation}
		\item Quel résultat précédemment obtenu retrouve-t-on ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Une société d'autoroute étudie l'évolution de l'état de ses automates de péage en
l'absence de maintenance.

Un automate peut se trouver dans l'un des états suivants:

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] fonctionnel (F) ;
\item[$\bullet~~$] en sursis (S) s'il fonctionne encore, mais montre des signes de faiblesse;
\item[$\bullet~~$] défaillant (D) s'il ne fonctionne plus.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

La société a observé que d'un jour sur l'autre :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] concernant les automates fonctionnels, 90\,\% le restent et 10\,\% deviennent
en sursis;
\item[$\bullet~~$] concernant les automates en sursis, 80\,\% le restent et 20\,\% deviennent
défaillants.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Reproduire et compléter le graphe probabiliste ci-après qui représente les
évolutions possibles de l'état d'un automate.\index{graphe}
		
\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(7.5,1.5)
\cnodeput(0,0){A}{\large F}\cnodeput(3,0){B}{\large S}\cnodeput(6,0){C}{\large D}
\ncline{->}{A}{B}\ncline{->}{B}{C}
%\ncloop{A}{A}\ncloop{B}{B}\ncloop{C}{C}
\nccircle[angleA=90]{->}{A}{0.4cm}\Bput{\ldots}
\nccircle[angleA=-90]{->}{C}{0.4cm}\Bput{1}
\nccircle[nodesep=3pt]{->}{B}{0.4cm}\Aput{\ldots}
\uput[u](1.5,0){\ldots}\uput[u](4.5,0){\ldots}
\end{pspicture}
\end{center}
		\item  Interpréter le nombre 1 qui apparaît sur ce graphe.
		\item  Voici la matrice de transition $M = \begin{pmatrix}0,9 &0,1 &0\\0 &0,8 &0,2\\0&0&1\end{pmatrix}$ associée à ce graphe en prenant les sommets dans l'ordre F, S, D.\index{matrice de transition}

Préciser la signification du coefficient $0,2$ dans cette matrice.
	\end{enumerate}
\item  À compter d'une certaine date, la société relève chaque jour à midi l'état de
ses automates. On note ainsi pour tout entier naturel $n$ :
	
\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$f_n$ la probabilité qu'un automate soit fonctionnelle $n$-ième jour;
\item[$\bullet~~$] $s_n$ la probabilité qu'un automate soit en sursis le $n$-ième jour;
\item[$\bullet~~$] $d_n$ la probabilité qu'un automate soit défaillant le $n$-ième jour.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

On note alors $P_n = \begin{pmatrix}f_n &s_n&d_n \end{pmatrix}$ la matrice ligne de l'état probabiliste le $n$-ième jour.\index{matrice}

Enfin, la société observe qu'au début de l'expérience tous ses automates sont fonctionnels: on a donc $P_0 = \begin{pmatrix}1 &0 &0\end{pmatrix}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_1$.
		\item Montrer que, le 3\up{e} jour, l'état probabiliste est $\begin{pmatrix}0,729 &0,217 &0,054\end{pmatrix}$.
		\item  Vérifier que ce graphe possède un unique état stable $P = \begin{pmatrix}0 &0 &1\end{pmatrix}$.\index{etat stable@état stable}
		
Quelle est la signification de ce résultat pour la situation étudiée ?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que pour tout entier naturel $n$, $s_{n+1} = 0,1f_n + 0,8s_n$.
		\item On vérifierait de même que pour tout entier naturel $n$,
		
\[d_{n+1} = 0,2s_n + d_n \quad \text{et } \:f_{n+1} = 0,9f_n.\]
		
Compléter l'algorithme ci-dessous de sorte qu'il affiche le nombre de jours au
bout duquel 30\,\% des automates ne fonctionnent plus.\index{algorithme}
		
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$D \gets 0$\\
$S \gets ...$\\
$F \gets 1$\\
$N \gets 0$\\
Tant que \ldots\\
\hspace{1cm}$D \gets 0,2 \times S + D$\\
\hspace{1cm}$S \gets 0,1 \times F + 0,8 \times S$\\
\hspace{1cm}$F \gets 0,9 \times F$\\
\hspace{1cm}$N \gets ...$\\
Fin Tant que\\
Afficher \ldots\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

		\item  Au bout de combien de jours la proportion d'automates défaillants devient-elle
supérieure à 30\,\% ?
		\item  Dans le codage de la boucle \og Tant que \fg, l'ordre d'affectation des
variables $D$, $S$ et $F$ est-il important ? Justifier.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip

Une entreprise dispose d'un stock de guirlandes électriques. On sait que 40\,\% des
guirlandes proviennent d'un fournisseur A et le reste d'un fournisseur B.

Un quart des guirlandes provenant du fournisseur A et un tiers des guirlandes
provenant du fournisseur B peuvent être utilisées uniquement en intérieur pour des
raisons de sécurité. Les autres guirlandes peuvent être utilisées aussi bien en
intérieur qu'en extérieur.

\bigskip

\begin{enumerate}
\item On choisit au hasard une guirlande dans le stock.

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] On note $A$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur A\fg{} et
$B$ l'évènement \og la guirlande provient du fournisseur B \fg.
\item[$\bullet~~$] On note $I$ l'évènement \og la guirlande peut être utilisée uniquement en
intérieur \fg.\index{probabilités}
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

	\begin{enumerate}
		\item Construire un arbre pondéré décrivant la situation.\index{arbre}
		\item Montrer que la probabilité $P(I)$ de l'évènement $I$ est $0,3$.
		\item On choisit une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en
extérieur. Le responsable de l'entreprise estime qu'il y a autant de chance
qu'elle provienne du fournisseur A que du fournisseur B.
		
Le responsable a-t-il raison ? Justifier.
 	\end{enumerate}
\item  Une guirlande pouvant être utilisée aussi bien en intérieur qu'en extérieur est
vendue $5$~\euro{} et une guirlande pouvant être utilisée uniquement en intérieur est
vendue $3$~\euro.
	
Calculer le prix moyen d'une guirlande prélevée au hasard dans le stock.
\item  Lors d'un contrôle qualité, on prélève au hasard $50$ guirlandes dans le stock. Le
stock est suffisamment grand pour que l'on puisse assimiler ce prélèvement à un
tirage aléatoire avec remise. On admet que la proportion de guirlandes
défectueuses est égale à $0,02$.
	
Calculer la probabilité qu'au moins une guirlande soit défectueuse. Arrondir le
résultat à $10^{-3}$.\index{loi binomiale}
\item L'entreprise souhaite connaître l'opinion de ses clients quant à la qualité de ses
guirlandes électriques. Pour cela elle souhaite obtenir, à partir d'un échantillon
aléatoire, une estimation de la proportion de clients satisfaits au niveau de
confiance de 95\,\% à l'aide d'un intervalle de confiance d'amplitude inférieure ou
égale à 8\,\%.\index{intervalle de confiance}
	
Combien l'entreprise doit-elle interroger de clients au minimum ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\medskip

On considère la fonction dérivable $f$ définie sur $I = [0~;~20]$ par:

\[f(x) = \np{1000}(x + 5)\text{e}^{- 0,2x}.\]\index{fonction exponentielle}

\medskip

\textbf{Partie A - Étude graphique}

\medskip

On a représenté sur le graphique ci-dessous, la courbe représentative de la
fonction $f$.

\emph{Répondre aux questions suivantes par lecture graphique.}

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=0.0012cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-1,-200)(22,6000)
\multido{\n=0.0+0.4}{56}{\psline[linewidth=0.1pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+2}{12}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,6000)}
\multido{\n=0+200}{31}{\psline[linewidth=0.1pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{7}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(22,\n)}
\multido{\n=0+1000}{6}{\uput[l](0,\n){\np{\n}}}
\uput[u](21,0){$x$} \uput[l](0,5800){$f(x)$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=6000]{->}(0,0)(0,0)(22,6000)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{20}{x 5 add 1000 mul 2.71828 0.2 x mul exp div}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement et de façon approchée l'équation $f(x) = \np{3000}$.
\item Donner graphiquement une valeur approchée de l'intégrale de $f$ entre 2 et 8 à
une unité d'aire près. Justifier la démarche.\index{lecture graphique}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B - Étude théorique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la dérivée de la fonction $f$ sur [0~;~20].

Démontrer que pour tout $x$ de [0~;~20], $f'(x) = - 200x\text{e}^{-0,2x}$.\index{dérivée}
\item En déduire le sens de variation de $f$ et dresser son tableau des variations sur
l'intervalle [0~;~20]. Si nécessaire, arrondir à l'unité les valeurs présentes dans
le tableau.
\item Démontrer que l'équation $f(x) = \np{3000}$ admet une unique solution $\alpha$ sur
[0~;~20], puis donner une valeur approchée de $\alpha$ à $10^{-2}$ près à l'aide de la
calculatrice.
\item  On admet que la fonction $F$ définie sur l'intervalle [0~;~20] par l'expression

$F(x) = - \np{5000}(x + 10)\text{e}^{-0,2x}$ est une primitive de la fonction $f$ sur [0~;~20].\index{primitive}

Calculer $\displaystyle\int_2^8 f(x)\:\text{d}x$. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie à
l'unité.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C - Application économique}

\medskip

La fonction de demande d'un produit est modélisée sur l'intervalle [0~;~20] par la
fonction $f$ étudiée dans les parties A et B.

Le nombre $f(x)$ représente la quantité d'objets demandés lorsque le prix unitaire est
égal à $x$ euros.

Utiliser les résultats de la partie B afin de répondre aux questions suivantes:

\bigskip

\begin{enumerate}
\item En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle
supérieure à \np{3000}~objets ?
\item Déterminer la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle
[2~;~8]. Interpréter ce résultat.\index{valeur moyenne}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Centres étrangers  11 juin 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Asie 21 juin 2018
\hypertarget{Asie}{}

\label{Asie}
\lfoot{\small{Asie}}
\rfoot{\small{21 juin 2018}}
\pagestyle{fancy}
\label{Asie}
\thispagestyle{empty} 

\begin{center} {\Large{\textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES -- Asie~21 juin 2018~\decofourright}}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

%\subsection*{\textsc{Exercice 1} \hfill 5 points}
\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 5 points}}

\medskip

\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip


\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions
posées, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Indiquer sur la copie le
numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.\\ Aucune justification n'est demandée.\\ Une réponse exacte rapporte $1$ point; une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Pour la recherche d'un emploi, une personne envoie sa candidature à $25$ entreprises.

La probabilité qu'une entreprise lui réponde est de $0,2$ et on suppose que ces réponses
sont indépendantes.

Quelle est la probabilité, arrondie au centième, que la personne reçoive au moins $5$
réponses ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0,20 &\textbf{b.~~}0,62&
\textbf{c.~~}0,38  &\textbf{d.~~}0,58
\end{tabularx}
\medskip

\item Pour tout évènement $E$ on note $P(E)$ sa probabilité. $X$ est une variable aléatoire suivant la loi normale d'espérance $30$ et d'écart type $\sigma$. Alors :\index{loi normale}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $P(X = 30) = 0,5$ 		&\textbf{b.~~} $P(X < 40) < 0,5$\\
\textbf{c.~~} $P(X < 20) = P(X > 40)$	&\textbf{d.~~} $P(X < 20) > P(X < 30)$
\end{tabularx}
\medskip

\item En France, les ventes de tablettes numériques sont passées de $6,2$ millions d'unités en 2014 à 4,3 millions d'unités en 2016. Les ventes ont diminué, entre 2014 et 2016, d'environ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 65\,\%&\textbf{b.~~}31\,\% &\textbf{c.~~} 20\,\%&\textbf{d.~~}  17\,\%
\end{tabularx}
\medskip

\parbox{0.48\linewidth}{Pour les questions 4 et 5, on donne ci-contre
la représentation graphique d'une
fonction $f$ définie sur $\R$.

\item Soit $f'$ la dérivée de $f$ et $F$ une
primitive de $f$ sur $\R$.\index{lecture graphique}
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur [2~;~4].
		\item $f'$ est négative sur [-3~;~-1]-
		\item $F$ est décroissante sur [2~;~4].
		\item $F$ est décroissante sur [-3~;~-1].
	\end{enumerate}
\item Une des courbes ci-dessous
représente la fonction $f''$. Laquelle ?}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.5cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 4 exp 40 div x 3 exp 6 div sub x dup mul 5 div sub 2 x mul add}
\end{pspicture*}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.}&\textbf{b.}\\
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 5 exp 5 div x 4 exp 1.7 mul sub x 3 exp 2.41667 mul sub x dup mul 39.6 mul add 35 div}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 3 exp x dup mul 5 mul sub 4 x mul sub  20 add 10 div}
\end{pspicture*}\\

\textbf{c.}&\textbf{d.}\\
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x x 3.4 add mul x 4.5 sub mul x 5.5 sub mul  68 neg div}
\end{pspicture*}&
\psset{unit=0.48cm}
\begin{pspicture*}(-5,-3.5)(8,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-5,-3.5)(8,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-4.5}{7.2}{x 1.8 sub 2 exp 4 sub 0.35 mul}
\end{pspicture*}\\
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\subsection*{\textsc{Exercice 2} \hfill 4 points}
\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 4 points}}

\medskip
 
\textbf{Commun  à tous les candidats}

\bigskip

Un navigateur s'entraîne régulièrement dans le but de battre le record du monde de
traversée de l'Atlantique à la voile.

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}

\medskip

\emph{Pour tous évènements $A$ et $B$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire de $A$, $P(A)$ la probabilité de $A$
et si $B$ est de probabilité non nulle, $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le navigateur décide de modéliser la durée de sa traversée en jour par une loi normale de
paramètres $\mu = 7$ et $\sigma= 1$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que le navigateur termine sa course entre $5$ et $8$ jours après le départ ?
\item Dans sa catégorie de voilier, le record du monde actuel est de $5$ jours.

Quelle est la probabilité que le navigateur batte le record du monde?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Une entreprise nommée \og Régate \fg, s'intéresse aux résultats de ce navigateur.

La probabilité qu'il réalise la traversée en moins de 6 jours est de 0,16.

Si le navigateur réalise la traversée en moins de 6 jours, l'entreprise le sponsorise avec une probabilité de 0,95.

Sinon, l'entreprise hésite et le sponsorise avec une probabilité de 0,50.

On note :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $M$ l'évènement \og la traversée est réalisée par le navigateur en moins de 6 jours \fg ;
\item[$\bullet~~$] $F$ l'évènement \og l'entreprise sponsorise le navigateur \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0cm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter cette situation à l'aide d'un arbre pondéré.\index{arbre}
\item Montrer que la probabilité que l'entreprise ne sponsorise pas le navigateur à la
prochaine course est $0,428$.\index{probabilités}
\item  L'entreprise a finalement choisi de ne pas financer le navigateur.

Calculer la probabilité que le navigateur ait tout de même réalisé la traversée en moins
de $6$ jours.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

L'entreprise \og Régate \fg sponsorise plusieurs catégories de sportifs dans le monde nautique.

Ces derniers doivent afficher le slogan \og Avec Régate. j'ai 97\,\% de chance d'être sur le podium! \fg.

L'étude des résultats sportifs de l'année a révélé que, parmi $280$ sportifs de chez \og Régate \fg, $263$ sont montés sur le podium. Que penser du slogan ?

\vspace{0,5cm}

%\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip
 
\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\bigskip

Un pays compte $300$ loups en 2017. On estime que la population des loups croit
naturellement au rythme de 12\,\% par an. Pour réguler la population des loups. le
gouvernement autorise les chasseurs à tuer un quota de $18$ loups par an.

On modélise la population par une suite $\left(u_n\right)$ le terme $u_n$ représentant le nombre de loups de ce pays en $2017+n$.\index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Avec ce modèle vérifier que le nombre de loups de ce pays en 2018 sera de $318$.
		\item Justifier que, pour tout entier $n \in \N$, \:  $u_{n+1} = 1,12u_n - 18$.
	\end{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme suivant pour qu'il détermine au bout de combien
d'années la population de loups aura doublé.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 0$\\
$U \gets 300$\\
Tant que \ldots faire\\
\hspace{1cm}$U \gets,\ldots$\\
\hspace{1cm}$N \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : $v_n = u_n - 150$ pour tout $n \in \N$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $1,12$.\index{suite géométrique}
		
Préciser son terme initial.
		\item Exprimer, pour tout $n \in \N$, $v_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire $u_n$ en fonction de $n$.
		\item Quelle est la limite de la suite $\left(u_n\right)$ ? Justifier.
		
		Que peut-on en déduire?
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Résoudre dans l'ensemble des entiers naturels l'inéquation :
		
\[150 + 1,12^n \times 150 > 600.\]\index{inéquation}

		\item Interpréter le résultat précédent dans le contexte de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\item En 2023. avec ce modèle, la population de loups est estimée à $446$ loups et le rythme de croissance annuel de la population reste identique. Dans ce cas, une nouvelle
décision sera prise par le gouvernement: afin de gérer le nombre de loups dans le
pays, il autorisera les chasseurs à tuer un quota de $35$ loups par an.

En quelle année la population de loups dépassera-t-elle $600$ loups ?

Toute trace de recherche sera valorisée dans cette question.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\subsection*{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 5 points}}

\medskip
  
\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\bigskip

Pour la nouvelle année, Lisa prend la bonne résolution d'aller au travail tous les matins à
vélo. Le premier jour, très motivée, Lisa se rend au travail à vélo. Par la suite, elle se rend toujours au travail à vélo ou en voiture.

Elle se rend compte que :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] si elle a pris son vélo un jour, cela renforce sa motivation et elle reprend le vélo le lendemain avec une probabilité de $0,7$ ;
\item[$\bullet~~$] si elle a pris sa voiture un jour, la probabilité qu'elle reprenne la voiture le lendemain est de $0,5$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

Cette situation peut être modélisée par un graphe probabiliste de sommets A et B où :\index{graphe}

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ est l'évènement \og Lisa prend le vélo \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $B$ est l'évènement \og Lisa prend la voiture \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $a_n$ la probabilité que Lisa aille au travail à vélo le jour $n$ ;
\item[$\bullet~~$] $b_n$ la probabilité que Lisa aille au travail en voiture le jour $n$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Traduire les données par un graphe probabiliste.\index{graphe}
		\item En déduire la matrice de transition $M$.\index{matrice de transition}
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Donner les valeurs de $a_1$ et $b_1$ correspondant à l'état initial.
		\item Calculer la probabilité arrondie au centième que Lisa prenne le vélo le 8\up{e} jour.
	\end{enumerate}
\item Déterminer l'état stable du graphe puis interpréter le résultat obtenu.\index{etat stable@état stable}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout nombre entier naturel $n$ non nul : $a_{n+1} = 0,7a_n + 0,5b_n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel non nul $n$ : $a_{n+1} = 0,2a_n + 0,5$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme suivant permettant de déterminer le plus petit entier $n$ tel que $a_n < 0,626$.\index{inéquation}\index{algorithme}
		
		\begin{center}
		\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$N \gets 1$\\
$A \gets 1$\\
Tant que \ldots faire\\
\hspace{1cm}$A \gets \ldots$\\
\hspace{1cm}$N \gets \ldots $\\ 
Fin Tant que\\ \hline	
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur de $N$ après exécution de l'algorithme ? Interpréter ce
résultat.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

%\subsection*{\textsc{Exercice 4} \hfill 6 points}
\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 6 points}}

\medskip
  
\textbf{Commun à tous les candidats}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On a tracé sur le graphique ci-dessous la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ d'une fonction $f$ définie sur [0~;~25] par :

\[f(x) = (ax + b)\text{e}^{- 0,2x}\]\index{fonction exponentielle}

où $a$ et $b$ sont deux nombres réels.

On a représenté également sa tangente $T$ au point A(0~;~7). $T$ passe par le point B(2~;~14,2).

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(-3,-1)(25,15)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(-3,0)(25,15)
\psaxes[linewidth=1.25pt](0,0)(-3,0)(25,15)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{-2}{2.2}{3.6 x mul 7 add}
\uput[dr](0,7){A} \uput[r](2,14.2){B} \uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psdots(0,7)(2,14.2)
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Résoudre graphiquement l'équation $f(x) = 6$.\index{lecture graphique}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer, par un calcul le coefficient directeur de la droite $T$.
		\item Exprimer, pour tout $x \in [0~;~25]$,\: $f'(x)$ en fonction de $a$ et $b$.\index{dérivée}
		\item Montrer que $a$ et $b$ sont solutions du système 
		
		\[\left\{\begin{array}{r c r}
		a - 0,2b&=&3,6 \\
		b&=&7
		\end{array}\right.\]
		
En déduire la valeur de $a$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Étudier les variations de la fonction $f$ définie sur [0~;~25] par 

\[f(x) = (5x + 7)\text{e}^{- 0,2x}.\]\index{fonction exponentielle}

Justifier.
\item  Montrer que l'équation $f(x) = 6$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~25].

Donner une valeur approchée au dixième de $\alpha$.
\item  Un logiciel de calcul formel donne le résultat suivant.

\begin{center}
\renewcommand\arraystretch{1.8}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
\texttt{Dériver} $((- 25x - 160)\text{e}^{- 0,2x}$\\ \hline
\multicolumn{1}{|r|}{$(5x + 7)\text{e}^{- 0,2x}$}\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

Exploiter ce résultat pour donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au millième de
$\displaystyle\int_0^{25} f(x)\:\text{d}x$.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Un organisme de vacances souhaite ouvrir un nouveau centre avec une piscine bordée de
sable. Il dispose d'un espace rectangulaire de $25$ mètres de longueur sur $14$ mètres de
largeur et souhaite que la piscine et la \og plage \fg se partagent l'espace comme indiqué sur le schéma ci-dessous.

La bordure est modélisée par la fonction $f$ étudiée dans la partie précédente.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est l'aire en m$^2$ de la zone hachurée représentant la piscine ?
\item L'organisme décide de remplacer cette piscine par une piscine rectangulaire de 25
mètres de longueur et de même superficie.

Quelle en sera la largeur arrondie au dixième de mètre?
\end{enumerate}

\medskip

\psset{unit=0.5cm}
\begin{center}
\begin{pspicture}(0,0)(25,14)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=1,gridwidth=0.2pt](0,0)(25,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\pscustom[fillstyle=hlines,hatchcolor=blue]{
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psline(25,0)(0,0)}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=orange]{\psline(0,14)(25,14)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{25}{0}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.75pt,linecolor=blue]{0}{25}{5 x mul 7 add 2.71828 0.2 x mul exp div}
\psline[linecolor=blue,linewidth=1.75pt](25,1)(25,0)(0,0)(0,7)
\rput(17,10){\huge PLAGE}\rput(7,4){\huge \blue PISCINE}\uput[ur](7,10.4){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Asie  21 juin 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane  19 juin 2018
\hypertarget{Antillesjuin}{}

\label{Antillesjuin}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 19 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~10]$ par $f(x) = (2x - 3)\text{e}^{-3x}$.\index{fonction exponentielle}

L'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $[-10~;~10]$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} 0 solution&\textbf{b.~~}1 solution\\
\textbf{c.~~} 2 solutions&\textbf{d.~~}3 solutions ou plus
\end{tabularx}
\medskip

\item  Dans un repère \Oij{} on considère la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \ln (x)$ ; l'équation de sa tangente au point d'abscisse $1$ est :\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y= 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-1$ &\textbf{c.~~} $y = 1- x$ &\textbf{d.~~} $y = x+ 1$
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 25$ et $\sigma = 3$.\index{loi normale}

La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t) = 0,025$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $t \approx 0,97$ &\textbf{b.~~} $t \approx 19,12$ &\textbf{c.~~} $t \approx 28$ &\textbf{d.~~} $t \approx 30,88$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Anne prévoit d'appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre
8~h 30 et 10~h. Benoît sera dans un train à partir de 9~h pour un trajet de plusieurs
heures.

Quelle est la probabilité qu'Anne appelle Benoît alors qu'il est dans le train ?\index{loi uniforme}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{60}{150}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{6}{13}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg.

Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d'un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} est $0,5$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.
\end{itemize}
 

On note les évènements suivants :\index{probabilités}

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T$ : la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $A$ : la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
\pstree{\TR{$A$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
\pstree{\TR{$F$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}		
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type \og Air \fg.
\item  Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
\item  On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.

Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type \og Air\fg{} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$.

$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre \fg{} obtenus au début de ses $10$ parties.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.\index{loi binomiale}
\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type \og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type
\og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}

\medskip

Franck joue en ligne sur internet.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] quand il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à $0,65$ ;
\item[$\bullet~~$] quand il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à $0,42$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note G l'état : \og Franck gagne la partie \fg{} et P l'état : \og Franck perd la partie \fg.\index{probabilités}

Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-ième partie ;
\item[$\bullet~~$] $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-ième partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Dans cette période, Franck a gagné la première partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés G et P.\index{graphe}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice de transition $M$ dans l'ordre G-P.\index{matrice de transition}
		\item Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.\index{etat stable@état stable}
 \end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
 \medskip
 
Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu'il doit combattre.
 
\smallskip

\parbox{0.48\linewidth}{On a représenté ci-contre le graphe modélisant ces catacombes.\index{graphe}

Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.

Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque couloir.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(7.4,4.4)
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.2,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(0,1.5){\dotnode{A}{\uput[l](0,0){A}}}
\rput(2,4){\dotnode{B}{\uput[u](0,0){B}}}
\rput(2,0){\dotnode{C}{\uput[d](0,0){C}}}
\rput(4,2.5){\dotnode{D}{\uput[u](0,0){D}}}
\rput(5.5,0){\dotnode{E}{\uput[d](0,0){E}}}
\rput(6,3.5){\dotnode{F}{\uput[u](0,0){F}}}
\rput(7,2){\dotnode{G}{\uput[r](0,0){G}}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{A}{C}\ncput*{\textsf{12}} \ncline{C}{E}\ncput*{\textsf{19}}\ncline{E}{F} \ncput*{\textsf{11}}\ncline{F}{G}\ncput*{\textsf{5}}\ncline{G}{E}\ncput*{\textsf{7}} \ncline{E}{D}\ncput*{\textsf{4}}\ncline{D}{F}\ncput*{\textsf{3}} \ncline{F}{B}\ncput*{\textsf{22}} \ncline{B}{D}\ncput*{\textsf{7}} \ncline{D}{C}\ncput*{\textsf{5}}\ncline{C}{B}\ncput*{\textsf{18}} \ncline{B}{A}\ncput*{\textsf{11}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{flushright}
%\begin{pspicture}(8,6)
%\psset{arcangle=20} \cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2,5){B}{B} \cnodeput(2.5,0.5){C}{C} \cnodeput(5,3){D}{D} \cnodeput(6,0.7){E}{E} \cnodeput(7,4.5){F}{F} \cnodeput(7.5,2){G}{G}
%\ncarc{A}{B} \ncput*{11}\ncarc{A}{C} \ncput*{12}\ncarc{B}{C} \ncput*{18}\ncarc{B}{D} \ncput*{7}\ncarc{B}{F} \ncput*{22}\ncarc{D}{E} \ncput*{4}\ncarc{D}{F} \ncput*{3}\ncarc{E}{F} \ncput*{11}\ncarc{E}{G} \ncput*{7}
%\ncarc{F}{G} \ncput*{5}\ncarc{C}{D} \ncput*{5}\ncarc{C}{E} \ncput*{19}
%\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible, au départ d'une salle quelconque, d'y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
		\item Donner un tel chemin.
	\end{enumerate}
\item Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l'adversaire final en salle G.
	
Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle A à la salle G en passant une et une seule fois par tous les couloirs ?
\item Une fois arrivé en salle G, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
	
Déterminer ce trajet minimal \index{trajet minimal} et préciser le nombre de monstres affrontés.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$\index{suite}

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 10\\
u_{n+1}& =& u_n + 0,4
\end{array}\right.\quad  \text{et} \quad  \left\{\begin{array}{l c l} v_0 &=& 8\\
v_{n+1}& =& 1,028v_n\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique ; donner leurs raisons respectives.\index{suite arithmétique}\index{suite géométrique}
		\item Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
 	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant dans lequel $n$ est un entier naturel, et $U$ et $V$ sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang $n$ des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :\index{algorithme}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$n \gets 0$\\
$U \gets 10$\\
$V \gets 8$\\
Tant que $U > V$\\
\hspace{0.8cm}$U \gets U + 0,4$\\
\hspace{0.8cm}$V \gets  V \times 1,028$\\
\hspace{0.8cm}$n \gets n+1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En sortie de cet algorithme, $n$ a pour valeur $46$.

Interpréter ce résultat.
\item En 1798, l'économiste anglais Thomas Malthus publie \og An essay on the principle of population \fg{} dans lequel il émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine.

Il écrit :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\og \emph{Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n'est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. [\ldots] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l'état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l'industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique.}\fg \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

En 1800, la population de l'Angleterre était estimée à $8$ millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir $10$ millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de $2,8$\,\% chaque année et que les progrès de l'agriculture permettent de nourrir $0,4$~million de personnes de plus chaque année.

On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle aurait été, en million d'habitants, la population de l'Angleterre en 1810 ?
		
On arrondira le résultat au millième.
		\item À partir de quelle année la population de l'Angleterre aurait-elle dépassé $16$ millions d'habitants ?
		\item À partir de quelle année la population de l'Angleterre serait-elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{2 x mul x dup mul add 2.71828 x exp div}
\uput[u](3,0.9){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{2 x dup mul sub 2.71828 x exp div}
\uput[d](3.5,-0.4){$\mathcal{C}_{f'}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{x dup mul 2 x mul  sub 2 sub  2.71828 x exp div}
\uput[u](3.5,0.4){$\mathcal{C}_{f''}$}
\end{pspicture}\\
\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_f$ &\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_{f'}$ &\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_{f''}$\\
\end{tabularx}

\medskip

On donne ci-dessus la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative dans un repère donné d'une fonction $f$ définie
et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] ainsi que les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f'}$ et $\mathcal{C}_{f''}$ respectivement
de la dérivée $f'$ et de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l'aide de lectures graphiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la
fonction $f$ semble atteindre son maximum.\index{lecture graphique}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.\index{convexité}
		\item Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.
		
Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l'abscisse de ce point d'inflexion.
\index{point d’inflexion}
	\end{enumerate}
\item Parmi les équations suivantes quelle est l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ ?\index{equation de la tangente@équation de la tangente}
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$y=x$ & $y = 2x+ 1$ &  $y= 2x$ &  $y= \dfrac{3}{4}x$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item On note $I = \displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.

Comment s'interprète graphiquement ce nombre $I$ ?\index{aire et intégrale}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0~;~5] par $f(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}$.\index{fonction exponentielle}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par $f'(x) = \left(- x^2 + 2\right)\text{e}^{-x}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5].\index{dérivée}
		\item Déterminer les variations de $f$ sur [0~;~5] et préciser l'abscisse de son maximum.
		\item Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$.\index{maximum}
	\end{enumerate}
\item Avec un outil de calcul on obtient, pour $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x$ et $f(1)$, la même valeur approchée \np{1,10364}.
	
Ces deux valeurs sont-elles égales ?
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane  19 juin 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole--La Réunion  22 juin 2018
\hypertarget{Metropolejuin}{}

\label{Metropolejuin}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 22 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Métropole--La Réunion 22 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Le temps passé par un client, en minute, dans un supermarché peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ suivant la loi normale d'espérance $\mu=45$ et d'écart-type $\sigma=12$.\index{loi normale}

\smallskip

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $p(E)$ sa probabilité.}

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant:
\begin{enumerate}
\item $p(X=10)$
\item $p(X\geqslant 45)$
\item $p(21 \leqslant X \leqslant 69)$
\item $p(21 \leqslant X \leqslant 45)$
\end{enumerate}

\item Calculer la probabilité, arrondie au millième, qu'un client passe entre 30 et 60 minutes dans ce supermarché.

\item Déterminer la valeur de $a$, arrondie à l'unité, telle que $P(X\leqslant a)=0,30$. Interpréter la valeur de $a$ dans le contexte de l'énoncé.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

En 2013, une étude a montré que 89\,\% des clients étaient satisfaits des produits de ce supermarché.

\begin{enumerate}
\item Déterminer un intervalle de fluctuation au seuil de 95\,\% de la proportion de clients satisfaits pour un échantillon de 300 clients pris au hasard en 2013.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}
\end{enumerate}

Lors d'une enquête réalisée en 2018 auprès de 300 clients choisis au hasard, 286 ont déclaré être satisfaits.

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Calculer la fréquence de clients satisfaits dans l'enquête réalisée en 2018.
\item Peut-on affirmer, au seuil de 95\,\%, que le taux de satisfaction des clients est resté stable entre 2013 et 2018? Justifier.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte.\\
Reporter sur la copie le numéro de la question ainsi que la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Une réponse exacte rapporte 1 point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.\\
Les parties \emph{A} et \emph{B} sont indépendantes.}\index{Q. C. M.}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

Dans un établissement scolaire, 30\,\% des élèves sont inscrits dans un club de sport, et parmi eux, 40\,\% sont des filles. Parmi ceux n'étant pas inscrits dans un club de sport, 50\,\% sont des garçons.

\smallskip

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $p(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}\index{probabilités}

\medskip
\begin{list}{\textbullet}{On interroge un élève au hasard et on considère les évènements suivants:}
    \item $S$: \og l'élève est inscrit dans un club de sport \fg{}
    \item $F$: \og l'élève est une fille \fg{}  
\end{list}

\begin{minipage}{0.75\linewidth}
La situation est représentée par l'arbre pondéré ci-contre.\index{arbre}

\begin{enumerate}
\item La probabilité $p_{\overline{F}}(S)$ est la probabilité que l'élève soit:
\begin{enumerate}
\item inscrit dans un club de sport sachant que c'est un garçon;
\item un garçon inscrit dans un club de sport;
\item inscrit dans un club de sport ou un garçon;
\item un garçon sachant qu'il est inscrit dans un club de sport.
\end{enumerate}
\end{enumerate}
\end{minipage}
\begin{minipage}{0.23\linewidth}
\scalebox{0.8}{
\psset{treesep=.75cm,levelsep=2cm,nodesepB=4pt, treesep=10mm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt]% R pour Right
       {\TR{}}
       {
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$S$}\naput{$0,3$}}
	                        {
	                        \TR{$F$}\naput{$0,4$}
			                \TR{$\overline{F}$}\nbput{}
	                        }
       \pstree[nodesepA=4pt]{\TR{$\overline{S}$}\nbput{}}
	                        {
	                        \TR{$F$}\naput{}
			                \TR{$\overline{F}$}\nbput{$0,5$}
	                        }
      }
}% fin du scalebox
\end{minipage}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item On admet que $P(F) = 0,47$. La valeur arrondie de $P_{F}(S)$ est:

\medskip

\hspace*{1cm}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$0,141$ & \textbf{b.}~~$0,255$ & \textbf{c.}~~$0,400$ & \textbf{d.}~~$0,638$
\end{tabularx}

\medskip

\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Soit $g$ la fonction définie sur $[-1~;~4]$ par $g(x) = - x^3 + 3x^2 - 1$ et $\mathcal{C}_g$ sa courbe représentative dans un repère.

\begin{enumerate}
\item La tangente à la courbe $\mathcal{C}_g$ au point d'abscisse 1 a pour équation:\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$y = - 3x^2 + 6x$ & \textbf{b.}~~$y= 3x-2$ & \textbf{c.}~~$y= 3x - 3$ & \textbf{d.}~~$y = 2x - 1$
\end{tabularx}
\end{center}

\item La valeur moyenne de la fonction $g$ sur l'intervalle $[-1~; a]$ est nulle pour:\index{valeur moyenne}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{XXXX}
\textbf{a.}~~$a=0$ & \textbf{b.}~~$a=1$ & \textbf{c.}~~$a=2$ & \textbf{d.}~~$a=3$
\end{tabularx}
\end{center}

\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Un lac de montagne est alimenté par une rivière et régulé par un barrage, situé en aval, d'une hauteur de 10~m.

On mesure le niveau de l'eau chaque jour à midi.

Le 1\ier{} janvier 2018, à midi, le niveau du lac était de $6,05$~m.

\smallskip

\begin{list}{\textbullet}{Entre deux mesures successives, le niveau d'eau du lac évolue de la façon suivante:
}
\item d'abord une augmentation de 6\,\% (apport de la rivière);
\item ensuite une baisse de 15~cm (écoulement à travers le barrage).
\end{list}

\begin{enumerate}
\item On modélise l'évolution du niveau d'eau du lac par une suite $\left(u_n\right)_{n\in \N}$, le terme $u_n$ représentant le niveau d'eau du lac à midi, en cm, $n$ jours après le 1\ier{} janvier 2018.\index{suite}

Ainsi le niveau d'eau du lac, en cm, le 1\ier{} janvier 2018 est donné par $u_0=605$.

	\begin{enumerate}
		\item Calculer le niveau du lac, en cm, le 2 janvier 2018 à midi.
		\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_{n+1}=1,06 u_n - 15$.
	\end{enumerate}

\item On pose, pour tout $n\in \N$, $v_n=u_n-250$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $(v_n)$ est géométrique de raison $1,06$.\index{suite géométrique}

Préciser son terme initial.
\item Montrer que, pour tout $n\in\N$, $u_n=355\times 1,06^{n}+250$.
\end{enumerate}

\item Lorsque le niveau du lac dépasse 10~m, l'équipe d'entretien doit agrandir l'ouverture des vannes du barrage.

\begin{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$.
\item L'équipe d'entretien devra-t-elle ouvrir les vannes afin de réguler le niveau d'eau? Justifier la réponse.
\end{enumerate}

\item Afin de déterminer la première date d'intervention des techniciens, on souhaite utiliser l'algorithme incomplet ci-dessous.

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.2}
\begin{tabular}{|p{5cm}|}
\hline
$N \leftarrow 0$\\
$U \leftarrow 605$\\
Tant que ..................... faire\\
\hspace{1cm} $U \leftarrow ....................$\\
\hspace{1cm} $N\leftarrow N+1$\\
Fin Tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'algorithme.
\item À la fin de l'exécution de l'algorithme, que contient la variable $N$?
\item En déduire la première date d'intervention des techniciens sur les vannes du barrage.
\end{enumerate}


\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{multicols}{2}

Un parcours sportif est composé d'un banc pour abdominaux, de haies et d'anneaux. Le graphe orienté ci-contre indique les différents parcours conseillés partant de D et terminant à F.

\smallskip

Les sommets sont: D (départ), B (banc pour abdominaux), H (haies), A (anneaux) et F (fin du parcours).

Les arêtes représentent les différents sentiers reliant les sommets. 

\columnbreak

\begin{flushright}
\psset{unit=0.8cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} 
%%% tracés des arêtes et des étiquettes
\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
\ncline{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
\ncline{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
%%% noms des points
\uput[-36](3;-36){A}       \uput[-180](3;-180){B}    \uput[108](3;108){D}
\uput[-108](3;-108){F}   \uput[36](3;36){H}
\end{pspicture}
\end{flushright}
\end{multicols}

\begin{enumerate}
\item Quel est l'ordre du graphe?\index{graphe}
\item On note $M$ la matrice d'adjacence de ce graphe où les sommets sont rangés dans l'ordre alphabétique.

\begin{enumerate}
\item Déterminer $M$.
\item On donne
$M^3 =
\begin{pmatrix}
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 & 3 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
\end{pmatrix}$

Assia souhaite aller de D à F en faisant un parcours constitué de 3 arêtes.

Est-ce possible? Si oui, combien de parcours différents pourra-t-elle emprunter?

Préciser ces trajets.
\end{enumerate}

\item Assia a relevé ses temps de course en minute entre les différents sommets. Ces durées sont portées sur le graphe ci-dessous.

Lors d'un entraînement, Assia souhaite courir le moins longtemps possible en allant de D à F. Déterminer le trajet pour lequel le temps de course est minimal et préciser la durée de sa course.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {3.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} 
%%% tracés des arêtes et des étiquettes
\ncline{D}{H} \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} \nbput{40} %%% DB
\ncline{H}{B} \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} \naput{26} %%% HA
\ncline{A}{B} \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} \nbput{14} %%% BF
%%% noms des points
\uput[-36](3;-36){A}       \uput[-180](3;-180){B}    \uput[108](3;108){D}
\uput[-108](3;-108){F}   \uput[36](3;36){H}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

Le responsable souhaite ajouter une barre de traction notée T. De nouveaux sentiers sont construits et de nouveaux parcours sont possibles.

\smallskip

La matrice d'adjacence $N$ associée au graphe représentant les nouveaux parcours, dans lequel les sommets sont classés en ordre alphabétique, est\index{matrice d'adjacence}

\[N =
\begin{pmatrix}
0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\
1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\
\end{pmatrix}
\]

Compléter l'annexe 1 à rendre avec la copie, en ajoutant les arêtes nécessaires au graphe orienté correspondant à la matrice $N$.

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On désigne par $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~;~4]$ par

\[f(x) = (2x+1)\e^{-2x}+3.\]\index{fonction exponentielle}

On note $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de $f$ dans une repère. Une représentation graphique est donnée en annexe.

\medskip

\begin{enumerate}
 \item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$. Montrer que, pour tout $x\in  [-2~;~4]$,
 
 \[f'(x)=-4x\e^{-2x}.\]\index{dérivée}
 
\item Étudier les variations de $f$.

\item Montrer que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution sur $[-2~;~0]$ et donner une valeur approchée au dixième de cette solution.

\item On note $f''$ la fonction dérivée de $f'$. On admet que, pour tout $x\in [-2~;~4]$,

\[f''(x)=(8x-4)\e^{-2x}.\]

\begin{enumerate}
 \item Étudier le signe de $f''$ sur l'intervalle $[-2~;~4]$.
 \item En déduire le plus grand intervalle sur lequel $f$ est convexe.\index{convexité} 
 \end{enumerate} 
 
\item On note $g$ la fonction définie sur l'intervalle $[-2~; 4]$ par $g(x)=(2x+1)\e^{-2x}$.

\begin{enumerate}
\item Vérifier que la fonction $G$ définie pour tout $x\in [-2~;~4]$ par $G(x)=(-x-1)\e^{-2x}$ est une primitive de la fonction $g$.\index{primitive}
\item En déduire une primitive $F$ de $f$.
\end{enumerate}

\item On note $\mathcal{A}$ l'aire du domaine $\mathcal{D}$ compris entre la courbe $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites d'équations $x=0$ et $x=1$.\index{aire et primitive}

\begin{enumerate}
\item Hachurer le domaine $\mathcal{D}$ sur le graphique donné en annexe, à rendre avec la copie.
\item Par lecture graphique, donner un encadrement de $\mathcal{A}$, en unité d'aire, par deux entiers consécutifs.
\item Calculer la valeur exacte de $\mathcal{A}$, puis une valeur approchée au centième. 
\end{enumerate}

 \end{enumerate} 

\newpage

\begin{center}
\textbf{Annexe 1}\\
\textbf{Exercice 3 - Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}
\end{center}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {3.5}
\def\ymin {-3.5}   \def\ymax {4.5}
\begin{pspicture}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
%\psgrid[subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray]
%\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\psset{ArrowInside=->,arrowsize=3pt 3}
%%% définitions des points 
\psnode*(3;108){D}{}    \psnode*(3;36){H}{}   \psnode*(3;-36){A}{}
\psnode*(3;-108){F}{}   \psnode*(3;-180){B}{} 
%%% tracés des arêtes et des étiquettes
\ncline{D}{H} % \naput{19} %%% DH
\ncline{D}{A} % \naput{28} %%% DA
\ncline{D}{B} % \nbput{40} %%% DB
\ncline{H}{B} % \nbput[npos=0.6]{16} %%% HB
\ncline{H}{F} % \nbput{32} %%% HF
\ncline{H}{A} % \naput{26} %%% HA
\ncline{A}{B} % \naput[npos=0.6]{12} %%% AB
\ncline{A}{F} % \naput{25} %%% AF
\ncline{B}{F} % \nbput{14} %%% BF
%%% noms des points
\uput[-36](3;-36){A} \uput[-180](3;-180){B} \uput[108](3;108){D}
\uput[-108](3;-108){F} \uput[36](3;36){H}
\psdots[dotscale=1.5,linecolor=blue](0,0) \uput[ur](0,0){\blue T}
\end{pspicture}
\end{center}

\vspace{1.5cm}

\begin{center}
\textbf{Annexe 2}\\
\textbf{Exercice 4 - Commun à tous les candidats}
\end{center}

\bigskip

\begin{center}
\psset{xunit=1.2cm,yunit=0.6cm}
\def\xmin {-3.5}   \def\xmax {4.6}
\def\ymin {-7}   \def\ymax {5.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
\psgrid[unit=1.2cm,subgriddiv=1,  gridlabels=0, gridcolor=lightgray](0,0)(\xmin,-4)(\xmax,5) 
\psaxes[arrowsize=3pt 3, ticksize=-2pt 2pt,Dy=2]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax) 
\uput{10pt}[dl](0,0){$0$}
%\psaxes[ linewidth=1.8pt]{->}(0,0)(1,1) 
%\uput[d](0.5,0){$\vec{\imath}$} \uput[l](0,0.5){$\vec{\jmath}$}
\def\f{2 x mul 1 add 2.7183 -2 x mul exp mul 3 add}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=3000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{4}{\f}
\uput[u](2.5,3){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture*}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole--La Réunion  22 juin 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie  22 juin 2018
\hypertarget{Polynesiejuin}{}

\label{Polynesiejuin}
\rfoot{\small 22 juin 2018}
\lfoot{\small Polynésie}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Polynésie 22 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle ]0~;~3] par 

\[f(x) = x^2(1 - \ln x).\]

On donne ci-dessous sa courbe représentative $\mathcal{C}$.

\begin{center}
\psset{unit=3cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.4,-1.2)(4,2)
\multido{\n=0.0+0.1}{41}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-1.2)(\n,2)}
\multido{\n=0.0+0.5}{9}{\psline[linewidth=0.5pt](\n,-1.2)(\n,2)}
\multido{\n=-1.2+0.1}{33}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(4,\n)}
\multido{\n=0.0+0.5}{5}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(4,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.5,Dy=0.5](0,0)(0,-1.2)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.01}{3.1}{1 x ln sub x dup mul mul}
\uput[u](0.75,0.8){\blue $\mathcal{C}$}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

On admet que $f$ est deux fois dérivable sur ]0~;~3], on note $f'$ sa fonction dérivée et on admet que sa dérivée seconde $f''$  est définie sur ]0~;~3] par : $f''(x) = - 1- 2 \ln x$.

\medskip

Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions posées, une seule réponse est exacte. Aucune justification n'est demandée.

Une réponse exacte rapporte $1$ point, une réponse fausse ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point. Une réponse multiple ne rapporte aucun point.\index{Q. C. M.}


\medskip

\begin{enumerate}
\item Sur ]0~;~3], $\mathcal{C}$ coupe l'axe des abscisses au point d'abscisse :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} e &\textbf{b.~~} 2,72 &\textbf{c.~~} $\dfrac{1}{2}\text{e} + 1$
\end{tabularx}
\medskip

\item  $\mathcal{C}$ admet un point d'inflexion d'abscisse :\index{point d’inflexion}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} e &\textbf{b.~~} $\dfrac{1}{\sqrt{\text{e}}}$&\textbf{c.~~} $\sqrt{\text{e}}$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle ]0~;~3] on a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = x(1 - 2\ln x)$&\textbf{b.~~} $f'(x)= - \dfrac{2}{x}$
&\textbf{c.~~} $f'(x) = - 2$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Sur l'intervalle [1~;~3] :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~}$f$ est convexe &\textbf{b.~~} $f$ est décroissante &\textbf{c.~~} $f'$ est décroissante
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une équation de la tangente à $\mathcal{C}$  au point d'abscisse e s'écrit :\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{X}}
\textbf{a.~~} $y= -x+ \text{e}$&\textbf{b.~~} $y= - \text{e}x$ &\textbf{c.~~} $y = - \text{e}x + \text{e}^2$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Les parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.

Les résultats numériques seront donnés, si nécessaire, sous forme approchée à 0,001 près.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une entreprise est composée de 3 services A, B et C d'effectifs respectifs $450$, $230$ et $320$ employés.

Une enquête effectuée sur le temps de parcours quotidien entre le domicile des employés et
l'entreprise a montré que:

\begin{description}
\item[ ] 40\,\% des employés du service A résident à moins de 30 minutes de l'entreprise;
\item[ ] 20\,\% des employés du service B résident à moins de 30 minutes de l'entreprise;
\item[ ] 80\,\% des employés du service C résident à moins de 30 minutes de l'entreprise.
\end{description}

On choisit au hasard un employé de cette entreprise et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{1cm}
\begin{description}
\item[ ] $A$ : \og l'employé fait partie du service A \fg{} ;
\item[ ] $B$ : \og l'employé fait partie du service B \fg{} ;
\item[ ] $C$ : \og l'employé fait partie du service C \fg{} ;
\item[ ] $T$ : \og l'employé réside à moins de 30 minutes de l'entreprise\fg.
\end{description}
\setlength\parindent{0cm}

On rappelle que si $E$ et $F$ sont deux évènements, la probabilité d'un évènement $E$ est notée $P(E)$ et celle de $E$ sachant $F$ est notée $P_F(E)$.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que $P(A) = 0,45$.
		\item Donner $P_A(T)$.
		\item Représenter la situation à l'aide d'un arbre pondéré en indiquant les probabilités associées à chaque branche.\index{arbre}
 	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'employé choisi soit du service A et qu'il réside à moins de $30$ minutes de son lieu de travail.
\item Montrer que $P(T) = 0,482$.
\item Sachant qu'un employé de l'entreprise réside à plus de $30$ minutes de son lieu de travail, déterminer la probabilité qu'il fasse partie du service C.
\item On choisit successivement de manière indépendante $5$ employés de l'entreprise. On considère que le nombre d'employés est suffisamment grand pour que ce tirage soit assimilé à un tirage avec remise. Déterminer la probabilité qu'exactement $2$ d'entre eux résident à moins de 30 minutes de leur lieu de travail.\index{loi binomiale}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Soit $X$ la variable aléatoire qui, à chaque employé en France, associe son temps de trajet quotidien, en minutes, entre son domicile et l'entreprise. Une enquête montre que $X$ suit une loi normale d'espérance $40$ et d'écart type $10$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que le trajet dure entre 20 minutes et 40 minutes.
\item Déterminer $P(X > 50)$.
\item À l'aide de la méthode de votre choix, déterminer une valeur approchée du nombre $a$ à l'unité près, tel que $P(X > a) = 0,2$. Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Cette entreprise souhaite faire une offre de transport auprès de ses employés. Un sondage auprès de quelques employés est effectué afin d'estimer la proportion d'employés dans l'entreprise intéressés par cette offre de transport. On souhaite ainsi obtenir un intervalle de confiance d'amplitude strictement inférieure à $0,15$ avec un niveau de confiance de $0,95$. Quel est le nombre minimal d'employés à consulter ?\index{intervalle de confiance}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

En économie le résultat net désigne la différence entre la recette et les charges d'une entreprise sur une période donnée. Lorsqu'il est strictement positif, c'est un bénéfice.

Propriétaire d'une société, Pierre veut estimer son résultat net à la fin de chaque mois.

À la fin du mois de janvier 2018, celui-ci était de \np{10000} euros.

Pierre modélise ce résultat net par une suite $\left(u_n\right)$ de premier terme $u_0 = \np{10000}$ et de terme général $u_n$ tel que \index{suite}

\[u_{n+1} = 1,02u_n - 500\]

où $n$ désigne le nombre de mois écoulés depuis janvier 2018.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quel est le montant du résultat net réalisé à la fin du mois de mars 2018 ?
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $a_n = u_n  - \np{25000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(a_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme $a_0$ et la raison.\index{suite géométrique}
		\item  Exprimer $a_n$ en fonction de $n$ et montrer que, pour tout entier naturel $n$,\:
		
$u_n = \np{25000} - \np{15000} \times 1,02^n$.
		\item  Résoudre l'inéquation $\np{25000} - \np{15000} \times 1,02^n > 0$ où $n$ désigne un entier naturel.
		
Interpréter le résultat obtenu dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide d'un algorithme, Pierre souhaite déterminer le cumul total des résultats nets mensuels de la société jusqu'au dernier mois où l'entreprise est bénéficiaire.

Recopier et compléter l'algorithme pour qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le nombre de mois pendant lesquels l'entreprise est bénéficiaire et la variable $S$ le cumul total des résultats nets mensuels sur cette période.\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.3\linewidth}{|X|}\hline
$U \gets \np{10000}$\\
$S \gets 0$\\
$N \gets 0$\\
Tant que \ldots\ldots\\
\hspace{1cm}$S$  \ldots\ldots\\
\hspace{1cm}$U$  \ldots\ldots\\
\hspace{1cm}$N$  \ldots\ldots\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  4 points}

\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Un journaliste britannique d'une revue consacrée à l'automobile doit tester les autoroutes
françaises. Pour remplir sa mission, il décide de louer une voiture et de circuler entre six grandes villes françaises : Bordeaux $(B)$, Lyon $(L)$, Marseille $(M)$, Nantes $(N)$, Paris $(P)$ et Toulouse $(T)$.

\smallskip

Le réseau autoroutier reliant ces six villes est modélisé par le graphe ci-dessous sur lequel les sommets représentent les villes et les arêtes les liaisons autoroutières entre ces villes.\index{graphe}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6.5)
\psset{nodesep=0pt, radius=3pt}
%\psgrid
\Cnode*(2.6,2.8){N} \uput[0](N){$N$}
\Cnode*(2,5.7){P}     \uput[100](P){$P$}
\Cnode*(3.6,3.7){L}  \uput[60](L){$L$}
\Cnode*(5.7,3){M}    \uput[-130](M){$M$}
\Cnode*(2,1.2){B}     \uput[-130](B){$B$}
\Cnode*(6.3,0.7){T}  \uput[-45](T){$T$}
\ncarc[arcangle=30]{N}{P}      \ncarc[arcangle=-30]{L}{P}
\ncarc[arcangle=90]{P}{T}       \ncarc[arcangle=-60]{P}{B}
\ncarc[arcangle=-30]{L}{N}     \ncarc[arcangle=30]{L}{B}
\ncarc[arcangle=-30]{L}{T}     \ncarc[arcangle=-30]{M}{L}
\ncarc[arcangle=30]{M}{T}    \ncarc[arcangle=-30]{N}{B}
\ncarc[arcangle=30]{T}{B}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Quel est l'ordre du graphe?
		\item Le graphe est-il complet? Justifier la réponse.\index{graphe complet}
	\end{enumerate}
\item  
	\begin{enumerate}
		\item On admet que le graphe est connexe. Le journaliste envisage de parcourir chacune des
liaisons modélisées sur le graphe une fois et une seule. Est-ce possible? Justifier la réponse.\index{graphe connexe}
		\item Le journaliste va-t-il pouvoir louer sa voiture dans un aéroport parisien, parcourir chacune des liaisons une et une seule fois puis rendre la voiture dans le même aéroport ? Justifier la réponse.
	\end{enumerate}
\item  On nomme $G$ la matrice d'adjacence du graphe (les villes étant rangées dans l'ordre
alphabétique). On donne :\index{matrice d'adjacence}

\[G = \begin{pmatrix}
0 &\ldots &0 &1 &1 &1 \\
\ldots&0 &1 &1 &1 &1\\ 
0 &1 &\ldots &0 &\ldots &1\\ 
1 &1 &0 &0 &1 &0 \\
1 &1 &\ldots &1 &0 &1\\ 
1 &1 &1 &0 &1 &0 
\end{pmatrix} \quad 
\text{et}\:\: G^3 = \begin{pmatrix}
10 &13 &5 &10 &11 &12\\
13 &12 &8 &11 &13 &12\\
5 &8 &2 &5 &5 &7\\
10 &11 &5 &6 &10 &7\\
11 &13& 5 &10 &10 &12\\
12 &12 &7 &7 &12 &8
\end{pmatrix}\]

	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter la matrice d'adjacence.
		\item Alors qu'il se trouve à Paris, le rédacteur en chef demande au journaliste d'être à Marseille exactement trois jours plus tard pour assister à une course automobile. Le journaliste décide chaque jour de s'arrêter dans une ville différente. 
		
Déterminer le nombre de trajets possibles.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On a indiqué sur le graphe ci-dessous le temps nécessaire en minutes pour parcourir chacune des liaisons autoroutières.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(7,6.5)
\psset{nodesep=0pt, radius=3pt}
%\psgrid
\Cnode*(2.6,2.8){N} \uput[0](N){$N$}
\Cnode*(2,5.7){P}     \uput[100](P){$P$}
\Cnode*(3.6,3.7){L}  \uput[60](L){$L$}
\Cnode*(5.7,3){M}    \uput[-130](M){$M$}
\Cnode*(2,1.2){B}     \uput[-130](B){$B$}
\Cnode*(6.3,0.7){T}  \uput[-45](T){$T$}
\ncarc[arcangle=30]{N}{P}\ncput*{222}      \ncarc[arcangle=-30]{L}{P}\ncput*{268}
\ncarc[arcangle=90]{P}{T}\ncput*{391}       \ncarc[arcangle=-60]{P}{B}\ncput*{340}
\ncarc[arcangle=-30]{L}{N}\ncput*{396}     \ncarc[arcangle=30]{L}{B}\ncput*{336}
\ncarc[arcangle=-30]{L}{T}\ncput*{305}     \ncarc[arcangle=-30]{M}{L}\ncput*{214}
\ncarc[arcangle=30]{M}{T}\ncput*{236}    \ncarc[arcangle=-30]{N}{B}\ncput*{206}
\ncarc[arcangle=30]{T}{B}\ncput*{153}
\end{pspicture}
\end{center}

Le journaliste se trouve à Nantes et désire se rendre le plus rapidement possible à Marseille.

Déterminer un trajet qui minimise son temps de parcours.\index{trajet minimal}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\begin{center}
Les parties de cet exercice peuvent être traitées indépendamment.
\end{center}

\medskip

Une usine qui fabrique un produit A, décide de fabriquer un nouveau produit B afin d'augmenter son chiffre d'affaires. La quantité, exprimée en tonnes, fabriquée par jour par l'usine est modélisée par :

\begin{itemize}
\item la fonction $f$ définie sur [0~;~14] par 

\[f(x) = \np{2000}\text{e}^{-0,2x}\]\index{fonction exponentielle}

pour le produit A ;
\item  la fonction $g$ définie sur [0~;~14] par 

\[g (x) = 15x^2 + 50 x\]

pour le produit B, où $x$ est la durée écoulée depuis le lancement du nouveau produit B exprimée en mois.
\end{itemize}

Leurs courbes représentatives respectives $\mathcal{C}_f$ et $\mathcal{C}_g$ sont données ci-dessous.

\begin{center}
\psset{xunit=0.7cm,yunit=0.002cm}
\begin{pspicture}(-1,-200)(17.5,3700)
\multido{\n=0+1}{18}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3500)}
\multido{\n=0+100}{36}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(17,\n)}
\multido{\n=0+500}{7}{\psline[linewidth=0.5pt](0,\n)(17,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=500]{->}(0,0)(0,0)(17,3500)
\uput[r](0,3600){$y$ en tonnes} 
\uput[u](16.2,0){$x$ en mois}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{14}{2000 2.71828 0.2 x mul exp div}\uput[u](2,1400){\blue $\mathcal{C}_f$}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{14}{x dup mul 15 mul 50 x mul add}\uput[u](2,250){\red $\mathcal{C}_g$}
\end{pspicture}
\end{center}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Par lecture graphique, sans justification et avec la précision permise par le graphique :\index{lecture graphique}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la durée nécessaire pour que la quantité de produit B dépasse celle du produit A.
\item L'usine ne peut pas fabriquer une quantité journalière de produit B supérieure à \np{3000}~tonnes.

Au bout de combien de mois cette quantité journalière sera atteinte ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14] on pose $h(x) = f(x) + g(x)$.

On admet que la fonction $h$ ainsi définie est dérivable sur [0~;~14].

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Que modélise cette fonction dans le contexte de l'exercice ?
		\item Montrer que, pour tout nombre réel $x$ de l'intervalle [0~;~14]
$h'(x) = - 400\text{e}^{-0,2x} + 30x + 50$.
	\end{enumerate}
\item On admet que le tableau de variation de la fonction $h'$ sur l'intervalle [0~;~14] est :

\begin{center}
{\renewcommand{\arraystretch}{1.3}
\psset{nodesep=3pt,arrowsize=2pt 3}
\def\esp{\hspace*{3cm}} \def\hauteur{0pt}
$\begin{array}{|c| *3{c}|}
\hline
 x & 0   & \esp & 14 \\
% \hline
%f'(x) &   & \pmb{+} & \\  
\hline
  &   &    & \Rnode{max}{h'(14) \approx 446}   \\
\shortstack{variations\\ de $h'$} & &  &  \rule{0pt}{\hauteur} \\
 &     \Rnode{min}{-350} & & \rule{0pt}{\hauteur}
\ncline{->}{min}{max}
%\rput*(-3,0.62){\Rnode{zero}{\red 0}}
%\rput(-3,1.9){\Rnode{alpha}{\red \alpha}}
%\ncline[linestyle=dotted, linecolor=red]{alpha}{zero}
\\
\hline
\end{array}$
}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $h'(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle [0~;~14] et donner un encadrement d'amplitude $0,1$ de $\alpha$.
		\item  En déduire les variations de la fonction $h$ sur l'intervalle [0~;~14].
	\end{enumerate}
\item Voici un algorithme :\index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.5\linewidth}{|X|}\hline
$Y \gets -400 \,\text{exp}(- 0,2X) + 30X + 50$\\
Tant que $Y \leqslant 0$\\
\hspace{0.7cm}$X \gets X + 0,1$\\
\hspace{0.7cm}$Y \gets  -400 \,\text{exp}(- 0,2X)+ 30X +50$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Si la variable $X$ contient la valeur 3 avant l'exécution de cet algorithme, que contient la variable $X$ après l'exécution de cet algorithme ?
		\item En supposant toujours que la variable $X$ contient la valeur $3$ avant l'exécution de cet algorithme, modifier l'algorithme de façon à ce que $X$ contienne une valeur approchée à $0,001$ près de $\alpha$ après l'exécution de l'algorithme.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Vérifier qu'une primitive $H$ de la fonction $h$ sur [0~;~14] est :
		
\[H(x) = - \np{10000} \text{e}^{- 0,2x} + 5x^3 + 25x^2.\]

		\item  Calculer une valeur approchée à l'unité près de
$\dfrac{1}{12} \displaystyle\int_0^{12}  h(x)\:\text{d}x$.\index{intégrale}
		\item  Donner une interprétation dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie  22 juin 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Polynésie 4 septembre 2018
\hypertarget{Polynesiesep}{}

\label{Polynesiesep}
\lfoot{\small{Polynésie}}
\label{Polynesie}
\rfoot{\small 4 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures}

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES Polynésie 4 septembre 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Pour chacune des quatre affirmations suivantes, indiquer si elle est vraie ou fausse. Une
justification est attendue.\index{Vrai-Faux}

\bigskip

\textbf{Affirmation A}

\medskip

Un objet subit trois augmentations successives de 10\,\%. Une baisse de 25\,\% suffit à ramener le prix de cet objet en dessous de son prix initial.

\bigskip

\textbf{Affirmation B}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur $]0~;~+ \infty[$ par $f(x) = \ln x - \dfrac{1}{x} + 2$ et 
$\mathcal{C}$ sa courbe représentative dans un repère orthonormé.

La tangente à $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 passe par le point de coordonnées (2~;~3).\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\bigskip

\textbf{Affirmation C}

\medskip

La valeur exacte de la somme des 12 premiers termes de la suite géométrique $\left(u_n\right)$ de premier terme 4 et de raison $\dfrac{1}{3}$ est : $6\left[ 1 - \left(\dfrac{1}{3}\right)^{13}\right]$.\index{suite géométrique}

\bigskip

\textbf{Affirmation D}

\medskip

Dans un hôtel, le petit déjeuner n'est servi que jusqu'à 10 heures 15 minutes. Pierre, qui réside dans cet hôtel, se lève entre 9 heures et 11 heures.

On admet que l'heure de lever de Pierre est modélisée par une variable aléatoire qui suit la loi uniforme sur l'intervalle $[9~;~11]$. La probabilité que Pierre ne puisse pas prendre son petit déjeuner est $0,425$.\index{loi uniforme}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\begin{center}

\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes.\\[5pt]
Sauf mention contraire, les résultats seront donnés sous forme approchée à \boldmath $0,001$\unboldmath près}

\bigskip

\textbf{Partie A}\end{center}

Une étude portant sur la recharge des véhicules électriques indique que 10\,\% des recharges sont effectuées sur des bornes publiques. Dans les autres cas, la recharge s'effectue chez des particuliers.

\smallskip

Il existe deux types de recharge: la recharge \og standard \fg{} et la recharge \og accélérée \fg.

Les recharges \og standard \fg{} représentent 25\,\% des recharges effectuées sur des bornes publiques et 95\,\% des recharges effectuées chez les particuliers.

On choisit au hasard un véhicule électrique qui vient d'être rechargé et on considère les
évènements suivants  :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$U$ : \og la recharge a été effectuée sur une borne publique\fg{} ;
\item[$\bullet~~$]$S$ : \og la recharge a été effectuée de façon standard \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On rappelle que si $A$ et $B$ sont deux évènements, la probabilité de l'évènement $A$ est notée $P(A)$ et celle de $A$ sachant $B$ est notée $P_B(A)$. De plus, $\overline{A}$ désigne l'évènement contraire de $A$.\index{probabilités}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous:\index{arbre}

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U$~} \naput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{U}$~} \nbput{\ldots}}
	{\TR{$S$}\naput{\ldots}
	\TR{$\overline{S}$}\nbput{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Justifier que $P(S) = 0,88$.
\item Sachant que le véhicule choisi a été rechargé de façon standard, calculer la probabilité que la recharge ait été effectuée sur une borne publique.
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie B}\end{center}


Une société fabriquant des batteries pour véhicules électriques effectue une charge complète de chacune de ses batteries lors de la fabrication. Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de charge de ces batteries, exprimée en heures, par une variable aléatoire $T$ suivant une loi normale de moyenne $6$ et d'écart type $\sigma$.\index{loi normale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Sachant qu'environ 95\,\% des durées de charge sont comprises entre $2,6$ h et $9,4$ h, justifier que l'on peut choisir $\sigma = 1,7$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(T > 7)$.
		\item Sachant que l'une des batteries mise en charge n'est pas rechargée complètement au bout de 7 heures, quelle est la probabilité qu'elle ne le soit toujours pas au bout de 9 heures ?
 	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\begin{center}\textbf{Partie C}\end{center}

Le fabriquant de batteries affirme que 80\,\% de ses batteries peuvent assurer $350$ cycles de rechargement complet sans perte significative de puissance.

Une association de consommateurs réalise une enquête sur $57$ batteries de cette marque.

Parmi celles-ci, seules 40 n'ont pas subi de perte de puissance significative. Cette étude peut-elle remettre en cause l'affirmation du constructeur ? Justifier la réponse.

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\begin{center}\textbf{Les différentes parties de cet exercice sont indépendantes}\end{center}


Au 1\up{er} janvier 2018, madame DURAND dispose d'un capital de \np{16000}~\euro. Le 1\up{er} juillet de chaque année, elle prélève 15\,\% du capital disponible en prévision de ses vacances estivales.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

On modélise le montant du capital de madame DURAND au 1\up{er} janvier par une suite 
$\left(u_n\right)$. Plus précisément, si $n$ est un entier naturel, $u_n$ désigne le montant du capital de madame DURAND disponible le 1\up{er} janvier de l'année $2018+n$.\index{suite}

On a donc $u_0 =  \np{16000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
\item Exprimer $u_n$ en fonction de $n$ pour tout $n$ entier naturel.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ en justifiant votre réponse.
		\item Interpréter ce résultat dans le cadre de l'énoncé.
	\end{enumerate}
\item  À l'aide d'un algorithme, madame DURAND souhaite déterminer le nombre d'années à
partir duquel son capital devient inférieur ou égal à \np{2000}~\euro.\index{algorithme}
	\begin{enumerate}
		\item Recopier et compléter l'algorithme ci-dessous pour qu'à la fin de son exécution, la variable $N$ contienne le résultat attendu.
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline	
$U \gets \ldots$\\ 
$N \gets 0$\\
Tant que $U \ldots$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets \ldots$\\
\hspace{0.5cm}$U \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center}

		\item Quelle est la valeur numérique contenue par la variable $N$ à la fin de l'exécution de cet algorithme ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Cherchant à anticiper la diminution de son capital disponible, madame DURAND décide d'ajouter à son capital disponible 300~\euro{} chaque 1\up{er} décembre.

On note $v_n$ la valeur du capital le 1\up{er} janvier de l'année $2018 + n$. On a ainsi $v_0 = \np{16000}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$ , on a $v_{n + 1} = 0,85 \times v_n + 300$.
\item On considère la suite $\left(w_n\right)$ définie pour tout entier naturel $n$ par $w_n = v_n - \np{2000}$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $w_0$.
		\item Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est géométrique de raison $0,85$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier $n$,\: $v_n = \np{2000} + \np{14000} \times 0,85^n$.
 	\end{enumerate}
\item  En s'y prenant ainsi, madame DURAND espère toujours disposer d'un capital supérieur à \np{2500}~\euro. A-t-elle raison ?
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

En vacances, Assan et Chloé projettent de visiter sept sites touristiques et se sont procurés le plan des sentiers reliant ces sites. 

Ci-dessous, ils ont représenté ce plan par un graphe connexe pondéré par les temps de parcours en minutes séparant les lieux de visites notés A, B, C, D, E, F et G.\index{graphe connexe}

\begin{center}
\psset{unit=0.8cm,radius=5pt}
\begin{pspicture}(12,6.5)
%\rput(9.4,3.4){\circlenode{A}{A}}
\cnodeput(9.4,3.4){A}{A}
\cnodeput(9.7,1){B}{B}
\cnodeput(6.5,3.3){C}{C}
\cnodeput(4.2,0.5){D}{D}
\cnodeput(9.4,5.6){E}{E}
\cnodeput(2.5,5.2){F}{F}
\cnodeput(0.3,2){G}{G}
\ncline{B}{A}\ncput*{13}
\ncline{C}{A}\ncput*{17}
\ncline{C}{B}\ncput*{8}
\ncline{D}{B}\ncput*{10}
\ncarc[arcangle=-40]{B}{E}\ncput*{7}
\ncline{D}{C}\ncput*{5}
\ncline{C}{E}\ncput*{2}
\ncline{F}{C}\ncput*{12}
\ncline{F}{D}\ncput*{4}
\ncline{G}{D}\ncput*{22}
\ncline{F}{E}\ncput*{14}
\ncline{G}{F}\ncput*{15}
\end{pspicture}
\end{center}

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Est-il possible, pour Assan et Chloé, d'effectuer un trajet empruntant une et une seule fois tous les sentiers ? Justifier votre réponse.
\item Déterminer, par la méthode de votre choix, le trajet le plus court leur permettant de relier la station A à la station G en précisant le temps de parcours.\index{trajet minimal}
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur les sites B et G, l'office de tourisme loue des audio-guides que les visiteurs peuvent rendre sur l'un ou l'autre des deux sites à la fin de la journée. Une étude a mis en évidence que chaque jour :


\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]10\,\% des audio-guides loués sur le site B sont rendus sur le site G, les autres étant rendus sur le site B ;
\item[$\bullet~~$]15\,\% des audio-guides loués sur le site G sont rendus sur le site B, les autres étant rendus sur le site G.
\end{itemize}

On étudie l'évolution de la répartition des audio-guides sur les deux sites.

Pour tout entier naturel non nul $n$ :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] on note $b_n$ la probabilité qu'un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site B à la fin de la $n$-ième journée,
\item[$\bullet~~$] on note $g_n$ la probabilité qu'un audio-guide choisi au hasard soit rendu sur le site G à la fin de la $n$-ième journée.
\end{itemize}

À l'ouverture de la saison, il y a autant d'audio-guides sur le site B que sur le site G.

\smallskip

Pour tout entier naturel non nul $n$, on note $P_n = \begin{pmatrix}b_n& g_n\end{pmatrix}$ la matrice de l'état probabiliste à la fin de la $n$-ième journée. On rappelle que $b_n + g_n = 1$. On pose $P_0= \begin{pmatrix}0,5& 0,5\end{pmatrix}$.\index{matrice}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter le graphe probabiliste suivant:\index{graphe}

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-4,-1)(4,1.2)
\psset{nodesep=5pt,arcangle=15,arrowsize=2pt 3}%  paramètres du graphe

\newrgbcolor{colorG}{0 0 0}% couleur du sommet de gauche
%%% mettre 0 0 0 pour le noir

%%%% G pour Gauche, D pour Droit
%%%% Entrer dans les 6 lignes qui suivent ce qu'il faut !
\def\nomG{B}%   nom du sommet de gauche
\def\nomD{G}%   nom du sommet de droite
\def\valGD{$\ldots$}%  poids de l'arc du sommet gauche au sommet droit
\def\valDG{$\ldots$}% poids de l'arc du sommet droit au sommet gauche
\def\valGG{$\ldots$}%  poids de la boucle autour du sommet gauche
\def\valDD{$\ldots$}% poids de la boucle autour du sommet droit

%%%% ne pas toucher aux lignes ci-dessous

\Rnode{G}{\colorG \nomG} \hskip 4cm \Rnode{D}{\nomD}
           %   définition des sommets
           \psset{arrowsize=3pt 3}
\ncarc[linecolor=colorG,arcangle=40,ArrowInside=-<]{G}{D} 
      \Aput{\colorG \valGD}% arc pondéré partant de G
\ncarc[arcangle=40,ArrowInside=-<]{D}{G} 
      \Aput{\valDG}% arc pondéré partant de D 
\nccircle[angleA=90,linecolor=colorG]{->}{G}{4mm}   
      \Bput{\colorG \valGG}%   boucle autour de G
\nccircle[angleA=-90]{->}{D}{.4cm} 
      \Bput{\valDD}%  boucle autour de D
\end{pspicture}
\end{center}


\item Donner la matrice de transition $M$ associée au graphe.\index{matrice de transition}
\item  On rappelle que, pour tout entier naturel $n$,\: $P_{n+1} = P_nM$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P_2$. On approchera les valeurs à $10^{-3}$ près.
		\item Interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

Dans la suite, on admettra que pour tout entier naturel $n$, on a 

\[b_{n+ 1} = 0,75 b_n+ 0,15.\]

\begin{enumerate}[resume]
\item  Parmi les quatre propositions suivantes, une seule fournit, pour tout entier $n$, l'expression de $b_n$ en fonction de $n$. Préciser laquelle et justifier votre réponse :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{X X}
\textbf{a.~~} $b_n = -0,1 \times 0,75^n + 0,6$&\textbf{b.~~}$b_n = - 0,6 \times 0,75^n + 0,1$\\
\textbf{c.~~} $b_n = 0,1 \times 0,75^n + 0,6$&\textbf{d.~~}$b_n= - 0,1 \times 0,75^n - 0,6$

\end{tabularx}
\end{center}

\item  La personne chargée de la gestion des audio-guides prétend que le site G accueillera un jour moins de 35\,\% des audio-guides. Qu'en pensez-vous ? Justifier votre réponse.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ et dont la courbe $\mathcal{C}$ est représentée ci-dessous.

On admet que la fonction $f$ est deux fois dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.

On note $f'$ sa dérivée et $f''$ sa dérivée seconde sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.

\medskip

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture*}(-6.5,-3.5)(6,8.5)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=5,gridwidth=0.4pt,subgridwidth=0.2pt]
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-6.5,-3.5)(5.9,8.5)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psaxes[linewidth=1.5pt](0,0)(1,1)
\psplot[linewidth=1.25pt]{-2.2}{5.5}{1.5 x mul}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-6}{4}{2 x mul 1 sub 2.71828 x 0.5 mul neg exp add}
\uput[r](-6,6.5){\blue $\mathcal{C}$}\uput[r](-1.8,-2.8){$\mathcal{D}$}
\psdots(4,6)\uput[r](4,6){B}
\end{pspicture*}
\end{center}

On a représenté $\mathcal{D}$, la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 0.

La droite $\mathcal{D}$ passe par l'origine du repère et par le point B(4~;~6).

\medskip

\begin{enumerate}
\item Avec la précision permise par le graphique :\index{lecture graphique}
	\begin{enumerate}
		\item donner la valeur de $f(0)$ ;
		\item donner la valeur de $f'(0)$ ;
		\item conjecturer la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.\index{convexité}
 	\end{enumerate}
\item  On admet que la fonction $f$ est définie et dérivable sur l'intervalle $[- 6~;~4]$ et que son expression est 
	
	\[f(x) = 2x - 1 + \text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\]\index{fonction exponentielle}
	
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.\index{dérivée}
		\item Montrer que l'ensemble des solutions de l'inéquation $f'(x) \geqslant 0$ est l'intervalle $[-2\ln (4)~;~4]$.
		\item Établir le tableau de variation de la fonction $f$ sur l'intervalle 
		$[- 6~;~4]$.
		\item En déduire le nombre de solutions de l'équation $f(x) = 0$ sur l'intervalle $[- 6~;~4]$.
	\end{enumerate}
\item  Donner un encadrement au centième près de la solution non nulle de l'équation $f (x) = 0$ sur l'intervalle $[-6~;~4]$.
\item  Démontrer la conjecture émise dans la question 1. c.
\item  Soit $g$ la fonction définie sur l'intervalle [0~;~4] par 
	
	\[g(x) = x^2 - x - 2 \text{e}^{-\frac{1}{2}x}.\]\index{fonction exponentielle}
	
On admet que la fonction $g$ est dérivable sur [0~;~4].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la fonction $g$ est une primitive la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].\index{primitive}
		\item En déduire la valeur moyenne de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~4].\index{valeur moyenne} 
		
En donner une valeur approchée à $0,01$ près
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Polynésie 4 septembre 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Antilles-Guyane 6 septembre 2018
\hypertarget{Antillessep}{}

\label{Antillessep}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 6 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 6 septembre 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}

\medskip

Une grande enseigne souhaite étudier l'évolution du chiffre d'affaires des ventes de ses produits
\og bio \fg. Les données collectées ces dernières années sont les suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années 								&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Chiffre d'affaires (millier d'euros)&330 	&361 	&392 	&432 	&489 	&539\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013.\index{taux}
\item Un cabinet d'étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d'affaires
des ventes de produits bio par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représentait le chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, de l'année $2012 + n$.\index{suite}

Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d'affaires augmente de 9\,\% chaque
année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme $u_n$
pour un entier naturel $n$ donné par l'utilisateur.\index{algorithme}
	\begin{enumerate}
		\item Dans les algorithmes ci-dessous, $N$ est un entier, donné par l'utilisateur, qui désigne
le nombre d'années écoulées depuis l'année 2012 et $U$ un nombre réel qui
désigne le chiffre d'affaires en $2012 + N$.
		
Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}}\cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}	
\textbf{Algorithme A}& &\textbf{Algorithme B}&& \textbf{Algorithme C}\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}
$U \gets 330$

Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$W \gets 1,09 \times U$

Fin Pour&&
$U \gets 330$

Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$U \gets 1,09 \times U$

Fin Pour&&
Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$U \gets 330$

\hspace{0.4cm}$U \gets 1,09 \times U$

Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}
\end{tabularx}

\end{center}

On admet que l'algorithme B convient.
		\item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme B, recopier puis compléter, en le
prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|X|m{4cm}}\hline
valeur de $i$&&1&\ldots\\ \hline
valeur de $U$ &330 &&\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Justifier, qu'au vu de ces résultats, le cabinet d'étude conclut que ce modèle n'est
pas pertinent dès 2016.
 	\end{enumerate}
\item Le cabinet d'étude décide de modéliser ce chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros,
par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 432$ et $v_{n+1} = 0,9 v_n + 110$ pour tout entier naturel $n$.
	
Le terme $v_n$ représente alors ce chiffre d'affaires en $2015 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_1$ et $v_2$.
		\item On pose $w_n = v_n - \np{1100}$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.\index{suite géométrique}
		
En déduire que $v_n = \np{1100} - 668 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Ce modèle permet-il d'envisager que le chiffre d'affaires dépasse un jour $2$~millions
d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}

\medskip

Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de surréservation
afin d'abaisser les coûts.

Les réservations ne peuvent se faire qu'auprès d'une agence ou sur le site Internet de la compagnie.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude réalisée par la compagnie a établi que, sur cette ligne, pour une réservation en
agence, 5\,\% des clients ne se présentent pas à l'embarquement alors que, pour une réservation
par Internet, 2\,\% des clients ne se présentent pas à l'embarquement.

Les réservations en agence représentent 30\,\% de l'ensemble des réservations.

Pour un embarquement donné et une réservation prise au hasard, on considère les évènements
suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og la réservation a été faite en agence \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $I$ : \og la réservation a été faite par Internet\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $E$: \og le passager se présente à l'embarquement \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.\index{arbre}
\item Démontrer que la probabilité qu'un client ne se présente pas à l'embarquement est de
$0,029$.
\item Calculer la probabilité que la réservation ait été faite en agence sachant que le client
ne s'est pas présenté à l'embarquement.\index{probabilités}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.

On suppose que le nombre de clients se présentant à l'embarquement peut être modélisé
par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $n = 202$ et $p = 0,971$.\index{loi binomiale}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l'embarquement.
\item Calculer la probabilité qu'un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente
pas à l'embarquement.
\item En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation
(c'est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l'embarquement que de places).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Cette compagnie affirme que 98\,\% de ses clients sont satisfaits.

Sur les $400$ réponses à une enquête de satisfaction, il y a $383$~réponses exprimant leur satisfaction.

Ce résultat contredit-il l'affirmation de la compagnie ?

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire en botanique étudie l'évolution d'une espèce végétale en fonction du temps.

Cette espèce compte initialement 2 centaines d'individus.

Au bout de 2 semaines, l'espèce végétale compte 18 centaines d'individus.

Au bout de 3 semaines, l'espèce végétale prolifère et s'élève à $30,5$ centaines d'individus.

Au bout de 10 semaines, on en compte 90 centaines.

On modélise cette évolution par une fonction polynomiale $f$ donnant le nombre d'individus
de l'espèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaine.

Ainsi $f(2) = 18$ ; $f(3) = 30,5$ et $f(10) = 90$.

On admet que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$, sont des réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $d = 2$.
\item Montrer que $a$, $b$ et $c$ sont solutions du système: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
8a + 4b + 2c 				&=&16\\
27a+9b+3c					&=&28,5\\
\np{1000}a + 100b + 10c 	&=&88
\end{array}\right.\]
\item Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d'écrire le système précédent sous
la forme $AX = B$.\index{matrice}
\item Résoudre le système.
\item En supposant que l'évolution suit, sur l'intervalle [0~;~13], le modèle décrit par la fonction
$f$, déterminer au bout de combien de temps la quantité de l'espèce étudiée sera
maximale (arrondir à la semaine près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le laboratoire en botanique possède un parc d'étude dans lequel est observée l'évolution de
différentes espèces d'arbres.

\parbox{0.4\linewidth}{Les agents chargés du nettoyage circulent dans le parc depuis le local technique (L) jusqu'aux différentes parcelles plantées d'arbres : C, E, F{}, M, O, P, R et S.

Les sommets du graphe ci-contre représentent les différentes parcelles, et les arêtes marquent les allées
permettant de se déplacer dans le parc. Les étiquettes rapportent la distance en mètre entre les
parcelles.} \hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(9,4.7)
%\psgrid
\uput[u](0.2,3.9){S} \uput[l](1,2.4){L} \uput[d](2,0.3){R}
\uput[u](3.2,3.2){C} \uput[d](4.3,2){F} \uput[u](5.1,3.8){E}
\uput[d](6.1,1.4){M} \uput[u](7.6,3){P} \uput[r](8.4,1.7){O}
\psdots(0.2,3.9)(1,2.4)(2,0.3)(3.2,3.2)(4.3,2)(5.1,3.8)(6.1,1.4)(7.6,3)(8.4,1.7)
\psline(0.2,3.9)(1,2.4)(2,0.3)(4.3,2)(6.1,1.4)(8.4,1.7)(7.6,3)(5.1,3.8)(3.2,3.2)(0.2,3.9)
\psline(1,2.4)(3.2,3.2)
\psline(5.1,3.8)(4.3,2)(7.6,3)(6.1,1.4)(5.1,3.8)
\rput(0.3,3){300} \rput(1.8,3.8){80} \rput(2,2.4){310} \rput(4,3.7){150} 
\rput(1.2,1.3){280} \rput(3.2,0.9){110} \rput(4.4,2.9){60} \rput(5.6,3.3){90} 
\rput(5.1,1.4){70} \rput(6.1,2.3){260} \rput(7,2){50} \rput(8.2,2.5){40} 
\rput(7.2,1.3){100} \rput(6.4,3.6){190} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant
du local technique (L) et en y revenant ?  Si oui, donner un tel parcours.

		\item Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant du local technique (L) et sans nécessairement y revenir ? Si oui, donner un tel parcours.
	\end{enumerate}
\item Déterminer un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle O.\index{trajet minimal}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x).\]\index{fonction logarithme}

On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = 3$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{6}{x x ln sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{6}{x 2 mul 3 div  1 add  3 ln sub}
\uput[u](1,1){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[d](1,0.6){$T$}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1.901)
\end{pspicture}
\end{center}

Cette tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ passe- t -elle par l'origine du repère ?\index{equation de la tangente@équation de la tangente}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune
justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}\index{Q. C. M.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = - 7 x\text{e}^x.\]\index{fonction exponentielle}

Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f'$ et
une dérivée seconde $f''$.

On donne ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative
de la fonction $f$.}\hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(1,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-7,-4)(1,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{0.388}{7 x mul 2.71828 x exp mul neg}
\uput[u](-3.5,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :\index{primitive}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(-7 - 7x)\text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $-7\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $- 7x\text{e}^x$ &\textbf{d.~~} $(- 7x + 7)\text{e}^x$
\end{tabularx}
\medskip
\item Soit $A$ l'aire, exprimée en unité d'aire, comprise entre la courbe représentative de $f$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$ . On a :\index{lecture graphique}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$3 < A < 4$ &\textbf{b.~~}$5 < A < 6$ &\textbf{c.~~}$A < 0$ &\textbf{d.~~}$A > 7$
\end{tabularx}
\medskip
\item On a:
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur l'intervalle $[-6~;~0]$ ;
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1~;~0]$ ;\index{convexité}
		\item $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion pour $x = - 1$ ;\index{point d’inflexion}
		\item $f''$ change de signe en $x = -2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.
\index{loi normale}

\begin{enumerate}[resume]
\item La meilleure valeur approchée de $P(19 \leqslant X \leqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,385 &\textbf{b.~~}0,084 &\textbf{c.~~}0,885 &\textbf{d.~~}0,5
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p \approx 0,885$ &\textbf{b.~~} $p \approx 0,115$ &\textbf{c.~~} $p \approx 0,385$ &\textbf{d.~~} $p \approx 0,501$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le nombre entier $k$ tel que $P(X > k) \approx 0,42$ à $10^{-2}$ près est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $k = 19$ &\textbf{b.~~} $k = 29$ &\textbf{c.~~} $k = 20$ &\textbf{d.~~} $k = 14$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Antilles-Guyane 6 septembre 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Métropole La Réunion 13 septembre 2018
\hypertarget{Metrosep}{}

\label{Metrosep}
\lfoot{\small{Métropole--La Réunion}}
\rfoot{\small 13 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Metropoleseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Métropole--La Réunion 13 septembre 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un QCM (questionnaire à choix multiples). Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponses est exacte.\\
 Recopier sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse exacte. Aucune justification n'est demandée.\\
Une réponse exacte rapporte $1$ point ; une réponse fausse, une réponse multiple ou
l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Q. C. M.}
 
\medskip

\parbox{0.53\linewidth}{\begin{enumerate}
\item On considère l'algorithme ci-contre :\index{algorithme}

On affecte 3 à la variable $N$.

Que contient la variable $S$, arrondie au dixième, à la fin de l'exécution de
l'algorithme ?
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.43\linewidth}
{\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
$v \gets 9$\\
$S \gets 9$\\
Pour $i$ allant de 1 à $N$\\
\hspace{0.5cm}$v \gets 0,75 \times v$\\
\hspace{0.5cm}$S \gets S + v$\\
Fin Pour\\\hline
\end{tabularx}
}

\bigskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 24,6 &\textbf{b.~~} $-25$ &\textbf{c.~~} 27 &\textbf{d.~~} 20,8
\end{tabularx}

\begin{enumerate}
\setcounter{enumi}{1}
\item Soit $a$ un réel, l'expression $\dfrac{2\text{e}^{a - 1}}{\left(\text{e}^a\right)^2}$ est égale à :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1 &\textbf{b.~~} $2\text{e}^{3a - 1}$ &\textbf{c.~~}$\text{e}^{-2}$&
\textbf{d.~~}$\dfrac{2}{\text{e}^{a + 1}}$ 
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\smallskip

Pour les questions 3, 4 et 5, on considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $\R$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}_f$ est donnée ci-dessous.

\smallskip

On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ et $f''$ la fonction dérivée de $f'$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=5cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-7,-0.65)(7,0.65)
\multido{\n=-7+1}{15}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,-0.65)(\n,0.65)}
\multido{\n=-0.6+0.2}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](-7,\n)(7,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2]{->}(0,0)(-7,-0.65)(7,0.65)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dy=0.2](0,0)(0,0)(7,0.65)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{7}{x x dup mul 1 add div}
\uput[d](-4.5,-0.2){\blue $\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item Le nombre de solutions dans $[-7~;~7]$ de l'équation $f'(x) = 0$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}0 &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~}3
\end{tabularx}
\medskip

\item Une valeur approchée de la solution de l'équation $f(x) = - 0,3$ sur l'intervalle $[-1~;~6]$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $-3$ &\textbf{b.~~} $-0,3$ &\textbf{c.~~} 0,3 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip

\item Le nombre de points d'inflexion dans $[- 7~;~7]$ de $\mathcal{C}_f$ est :\index{point d’inflexion}

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$0$ &\textbf{b.~~}1 &\textbf{c.~~}2 &\textbf{d.~~} 3
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A, B et C sont indépendantes.}

\medskip

\emph{Dans tout l'exercice, les résultats seront arrondis, si besoin, au millième.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude réalisée dans des écoles en France indique que 12,9\,\% des élèves sont gauchers. Parmi ces gauchers, on trouve 40\,\% de filles.

On choisit au hasard un élève et on considère les évènements suivants :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $G$ : \og l'élève est gaucher \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : \og l'élève est une fille \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\emph{Pour tout évènement $A$, on note $p(A)$ sa probabilité et $\overline{A}$ son évènement contraire. De plus, si $B$ est un évènement de probabilité non nulle, on note $P_B(A)$ la probabilité de $A$ sachant $B$.}\index{probabilités}

\medskip

\parbox{0.65\linewidth}{
\begin{enumerate}
\item Recopier l'arbre pondéré ci-contre et traduire sur cet arbre
les données de l'exercice.\index{arbre}
\item Quelle est la probabilité que l'élève choisi soit une fille
gauchère ?
\item Dans ces écoles, il y a 51\,\% de filles.

Montrer que $p\left(\overline{G} \cap  F\right) = \np{0,4584}$.
\item Sachant que l'on est en présence d'une élève fille, quelle est
la probabilité qu'elle soit droitière ?
\end{enumerate}}
\hfill
\parbox{0.43\linewidth}{\hspace{0.4cm}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt,treesep=1cm,levelsep=2cm]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$G~$} \taput{\ldots}}
	{\TR{$F$} \taput{\ldots}
	\TR{$\overline{F}$}\tbput{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$\overline{G}~$} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$F$} 
	\TR{$\overline{F}$}
	}
}}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

En France, la proportion de gauchers est de 13\,\%.

Un club d'escrime compte $230$ adhérents dont $110$ gauchers.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la fréquence de gauchers observée dans le club d'escrime ?
\item À l'aide d'un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95\,\%, déterminer si le club d'escrime est représentatif de la population française.\index{intervalle de fluctuation asymptotique}
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs gauchers est modélisé par une
variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_1 = 268$ et d'écart type $\sigma_1 = 20$.\index{loi normale}

Le temps de réaction en milliseconde chez les escrimeurs droitiers est modélisé par une
variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu_2 = 280$ et d'écart type $\sigma_2 = 22$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $P(X \leqslant 300)$ et $P(Y \leqslant 300)$.
		\item Interpréter ces résultats dans le contexte de l'exercice.
	\end{enumerate}
\item Sur le graphique ci-dessous, les courbes $C$ et $C'$ représentent les fonctions de densité des variables aléatoires $X$ et $Y$.\index{fonction densité}
	
Indiquer, pour chaque variable aléatoire $X$ et $Y$, la courbe correspondante. Justifier.
\end{enumerate}

\begin{center}
\psset{xunit=0.07cm,yunit=150cm,algebraic=true,comma=true}
\begin{pspicture}(0,-0.005)(160,0.0275)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Ox=200,Dx=10,Dy=0.005,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,0)(160,0.0275)
%\psGauss[linecolor=blue,linewidth=1.25pt,mue=84,sigma=20]{0}{160}
\def\f{1/(20*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-68)/20)^2)/2)}
\def\g{1/(22*sqrt(2*PI))*EXP((-((x-80)/22)^2)/2)}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{160}{\f}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linestyle=dashed]{0}{160}{\g}
\multido{\n=0+10}{17}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,0.0275)}
\multido{\n=0.000+0.005}{6}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(160,\n)}
\uput[ul](40,0.008){\blue $C$}\uput[ur](100,0.0125){$C'$}
\end{pspicture}
\end{center}
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L}

\medskip

Une école de danse a ouvert ses portes en 2016. Cette année là, elle comptait $800$ inscrits.

Chaque année, elle prévoit une augmentation de 15\,\% des inscriptions ainsi que $90$
désinscriptions.

\smallskip

Pour tout entier naturel $n$, on note $u_n$ le nombre d'inscrits l'année $2016+n$.

\smallskip

Chaque inscrit paye une cotisation annuelle de $150$ euros, sur laquelle l'école conserve un bénéfice de $20$~euros après avoir payé tous ses frais fixes. L'école économise ce bénéfice afin de construire une nouvelle salle de danse. Pour cela, elle a besoin d'un budget de \np{125000}~euros.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Les données sont saisies dans une feuille de calcul donnée en annexe.\index{tableur}

Le format de cellule a été choisi pour que les nombres de la colonne C soient arrondis à
l'unité.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir en C3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le nombre
d'inscrits l'année de rang $n$ ?
\item Quelle formule peut-on saisir en E3 pour obtenir, par recopie vers le bas, le bénéfice cumulé à l'année de rang $n$ ?
\item Compléter sur l'annexe, à rendre avec la copie, les six cellules des lignes qui
correspondent aux années 2021 et 2022.
\item En quelle année l'école pourra-t-elle construire sa nouvelle salle de danse ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que, pour tout entier naturel $n$, \:$u_{n+1} = 1,15u_n - 90$ et préciser $u_0$.\index{suite}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie, pour tout entier naturel $n$, par $v_n = u_n - 600$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique.\index{suite géométrique}
		
Préciser sa raison et son premier terme $v_0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\: $u_n = 200 \times  1,15^n + 600$.
	\end{enumerate}
\item À partir de quelle année, cette école accueillera-t-elle plus de \np{2000} adhérents ?\index{inéquation}
\end{enumerate}

\medskip

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill 5 points}

\textbf{Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

Un investisseur immobilier doit visiter plusieurs biens à vendre dans une ville. \index{graphe}

Le graphe ci-contre représente le plan de la
ville. Les biens à visiter sont identifiés par les
lettres A, B, C, D, E, F et G. 

Les poids des arêtes sont les durées de parcours, en minute,
entre deux biens.} \hfill
\parbox{0.52\linewidth}{\begin{center}
\psset{unit=0.7cm}
%\begin{pspicture}(12,6.5)
%%(9.4,3.5)(9.7,1.8)(6.5,3.3)(4.2,0.5)(9.4,5.6)(2.5,5.2)(0.3,2)%ABCDEFG
%\rput(0.4,6){\circlenode{A}{A}}
%\rput(3,5.5){\circlenode{B}{B}}
%\rput(3,3.3){\circlenode{C}{C}}
%\rput(10,4){\circlenode{D}{D}}
%\rput(6.4,2){\circlenode{E}{E}}
%\rput(0.8,0.2){\circlenode{F}{F}}
%\rput(8.7,0.2){\circlenode{G}{G}}
%\ncarc[arcangle=20]{A}{B}\ncput*[nrot=:U]{8}
%\ncarc[arcangle=-20]{A}{C}\ncput*[nrot=:U]{12}
%\ncarc[arcangle=-20]{F}{A}\ncput*[nrot=:U]{14}
%\ncarc[arcangle=-20]{C}{B}\ncput*[nrot=:U]{11}
%\ncarc[arcangle=20]{B}{D}\ncput*[nrot=:U]{16}
%\ncarc[arcangle=20]{B}{E}\ncput*[nrot=:U]{15}
%\ncarc[arcangle=20]{C}{E}\ncput*[nrot=:U]{10}
%\ncarc[arcangle=20]{F}{C}\ncput*[nrot=:U]{19}
%\ncarc[arcangle=20]{F}{E}\ncput*[nrot=:U]{9}
%\ncarc[arcangle=20]{E}{D}\ncput*[nrot=:U]{6}
%\ncarc[arcangle=20]{G}{D}\ncput*[nrot=:U]{6}
%\ncarc[arcangle=20]{F}{G}\ncput*[nrot=:U]{19}
%\end{pspicture}
\begin{pspicture}(12,6.5)
\rput(0.4,7){\dotnode{A}{\uput[u](A){A}}}
\rput(4,6.5){\dotnode{B}{\uput[u](B){B}}}
\rput(3,3.3){\dotnode{C}{\uput[l](C){C}}}
\rput(10,4){\dotnode{D}{\uput[r](D){D}}}
\rput(6.4,2){\dotnode{E}{\uput[d](E){E}}}
\rput(0.8,0.2){\dotnode{F}{\uput[d](F){F}}}
\rput(8.7,0.2){\dotnode{G}{\uput[d](G){G}}}
\begin{footnotesize}
\ncline{A}{B}\ncput*{8}
\ncline{A}{C}\ncput*{12}
\ncline{F}{A}\ncput*{14}
\ncline{C}{B}\ncput*{11}
\ncline{B}{D}\ncput*{16}
\ncline{B}{E}\ncput*{15}
\ncline{C}{E}\ncput*{10}
\ncline{F}{C}\ncput*{19}
\ncline{F}{E}\ncput*{9}
\ncline{E}{D}\ncput*{6}
\ncline{G}{D}\ncput*{6}
\ncline{F}{G}\ncput*{19}
\end{footnotesize}
\end{pspicture}
\end{center}}



\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Afin de découvrir la ville, l'investisseur souhaite emprunter, une fois et une seule, chacune des rues reliant les biens. Quelles caractéristiques du graphe
permettent d'affirmer qu'il existe un tel trajet ?
		\item Donner un exemple d'un tel trajet et préciser sa durée en minute.
	\end{enumerate}
\item Lorsque l'investisseur immobilier termine ses visites par le bien A, il souhaite revenir au bien G le plus rapidement possible. Déterminer ce plus court chemin à l'aide d'un algorithme. Quelle est sa durée en minute ?\index{trajet minimal}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'investisseur commande une étude sur la population de sa ville qui lui révèle qu'en 2018,
80\,\% des locataires occupent un studio et 20\,\% des locataires occupent un T2 (appartement de deux pièces).

Le nombre total de locataires ne varie pas mais chaque année :

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la moitié des locataires en studio le conserve tandis que l'autre moitié change pour un T2 ;
\item[$\bullet~~$] un quart des locataires en T2 change pour un studio tandis que les autres conservent leur T2.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On considère les évènements suivants:

\setlength\parindent{5mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $S$ : \og le locataire occupe un studio \fg{};
\item[$\bullet~~$] $T$ : \og le locataire occupe un T2 \fg.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\begin{enumerate}
\item Traduire les données de l'énoncé par un graphe probabiliste de sommets S et T.
\item Pour tout entier naturel $n$, on note $s_n$ la proportion de locataires en studio et $t_n$ la proportion de locataires en T2 l'année $2018 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Donner la matrice de transition associée à ce graphe.\index{matrice de transition}
		\item Donner l'état initial du graphe.
		\item Quel sera le pourcentage, arrondi à 0,1\,\%, de locataires en studio en 2023 ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill 5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Une entreprise vend des voitures télécommandées. La vente mensuelle varie entre \np{1000} et \np{5000}~voitures.

Une étude montre que la recette mensuelle totale de l'entreprise est de \np{70000} euros
lorsqu'elle vend \np{1000} voitures.

On note $r(x)$ la recette mensuelle réalisée par l'entreprise, exprimée en dizaine de milliers d'euros, pour la vente de $x$ milliers de voitures.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner $r(1)$.
\item On admet que, pour tout $x \in [1~;~5]$, la recette mensuelle est modélisée par :

\[r(x) = 6 + x + 2\ln (x).\]\index{fonction logarithme}

	\begin{enumerate}
		\item Montrer que, pour tout $x \in [1~;~5]$,

\[r'(x) = \dfrac{x+2}{x}\]\index{dérivée}
		
		\item Étudier les variations de $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $r(x) = 10$ admet une unique solution $\alpha$ dans
l'intervalle $[1~;~5]$, puis donner une valeur approchée de $\alpha$ au millième.
		\item Déterminer le nombre minimal de voitures télécommandées vendues à partir
duquel l'entreprise réalise une recette supérieure à \np{100000}~euros.\index{inéquation}
	\end{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Soit $g$ la fonction définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par $g(x) = 2\ln (x)$.
		
Montrer que la fonction $G$ définie pour tout $x \in [1~;~5]$ par
		
\[G(x) = 2x[\ln (x) - 1]\]
		
est une primitive de la fonction $g$.
		\item En déduire une primitive $R$ de la fonction $r$ sur l'intervalle $[1~;~5]$.\index{primitive}
		\item Donner une valeur approchée à la dizaine d'euros de la valeur moyenne de la
recette totale lorsque l'entreprise vend entre \np{2000} et \np{4000} voitures
télécommandées.\index{valeur moyenne}
	\end{enumerate} 
 \end{enumerate}
 
 \newpage
 
\begin{center}
\textbf{ANNEXE À RENDRE AVEC LA COPIE}

\bigskip

\begin{flushleft}
\textbf{Exercice 3}
\end{flushleft}

\bigskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|c|*{4}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
  & A 		&B 				&C 					&D 				&E\\ \hline
1 &année 	&rang de l'année &nombre d'inscrits &bénéfice annuel &bénéfices cumulés\\ \hline
2 &2016 	&0 				&800 				&\np{16000} 		&\np{16000}\\ \hline
3 &2017 	&1 				&830 				&\np{16600} 		&\np{32600}\\ \hline
4 &2018 	&2 				&865 				&\np{17300} 		&\np{49900}\\ \hline
5 &2019 	&3 				&904 				&\np{18080} 		&\np{67980}\\ \hline
6 &2020 	&4 				&950 				&\np{19000} 		&\np{86980}\\ \hline
7 &2021 	&5				&					&					&\\ \hline
8 &2022 	&6				&					&					&\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}
%%%%%%%%%%%%   fin Métropole La Réunion 13 septembre 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Amérique du Sud 14 novembre 2018
\hypertarget{AmeriSud}{}

\label{AmeriSud}
\lfoot{\small{Amérique du Sud}}
\rfoot{\small 14 novembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\thispagestyle{empty}

\begin{center} \textbf{\Large\decofourleft~Baccalauréat ES/L Amérique du Sud 14 novembre 2018~\decofourright} \end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1}\hfill 5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

$f$ est la fonction définie sur [0~;~12] par 

\[f(x) = 2x\text{e}^{-x}.\]\index{fonction exponentielle} 

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Un logiciel de calcul formel donne les résultats suivants : 

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|c|X|}\hline
 1	&Dériver$(2*x*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
	&\multicolumn{1}{r|}{$-2*x*\text{exp}(-x)+2*\exp(-x)$}\\ \hline   
2	&Factoriser$(-2*x*\text{exp}(-x)+ 2*\text{exp}(-x))$ \\ \hline    
  	&\multicolumn{1}{r|}{$2*(1-x)*\text{exp}(-x)$}\\ \hline  
3	&Dériver$(2*(1-x)*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
	&\multicolumn{1}{r|}{$2*x*\text{exp}(- x) - 4*\text{exp}(- x)$}\\ \hline   
4	&Factoriser$(2 *x*\text{exp}(-x) - 4*\text{exp}(-x))$\\ \hline     
 	&\multicolumn{1}{r|}{$2 *(x - 2)*\text{exp}(- x)$}\\ \hline
 \end{tabularx}
 \end{center}

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Vérifier le résultat de la ligne 1 donné par le logiciel de calcul formel. 
\end{enumerate}
\smallskip

\emph{Dans la suite, on pourra utiliser les résultats donnés par le logiciel de calcul formel sans les justifier.}

\medskip 
\begin{enumerate}[resume]
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Dresser le tableau des variations de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12] en le justifiant. 
		\item Démontrer que l'équation $f(x) = 0,5$ admet deux solutions dans [0~;~12]. 

Donner à l'aide de la calculatrice une valeur approchée au centième de chacune de ces solutions. 
	\end{enumerate}
\item Étudier la convexité de la fonction $f$ sur l'intervalle [0~;~12].\index{convexité}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip 

Le taux d'alcoolémie d'une personne pendant les $12$ heures suivant la consommation d'une certaine quantité d'alcool est modélisé par la fonction $f$ : 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$x$ représente le temps (exprimé en heure) écoulé depuis la consommation d'alcool; 
\item[$\bullet~~$]$f(x)$ représente le taux d'alcoolémie (exprimé en g/L) de cette personne. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Décrire les variations du taux d'alcoolémie de cette personne pendant les 12 heures suivant la consommation d'alcool. 
		\item À quel instant le taux d'alcoolémie de cette personne est-il maximal ? 

Quelle est alors sa valeur ? Arrondir au centième. 
	\end{enumerate}
\item  Le Code de la route interdit toute conduite d'un véhicule lorsque le taux d'alcoolémie est supérieur ou égal à 0,5 g/L. 

Une fois l'alcool consommé, au bout de combien de temps le taux d'alcoolémie de l'automobiliste reprend-il une valeur conforme à la législation ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 2\hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\textbf{Tous les résultats demandés dans cet exercice seront arrondis au millième.}

\smallskip

\textbf{Les parties A, B et C peuvent être traitées de façon indépendante.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

Une entreprise produit des valises de deux types: des valises à deux roues et des valises à quatre roues. Sur chacun des deux modèles, on effectue des tests afin d'évaluer leur solidité. 

On dispose des informations suivantes sur le stock de production de cette entreprise: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] le stock contient 30\:\% de valises à deux roues ; 
\item[$\bullet~~$] 98\:\% des valises à deux roues réussissent les tests; 
\item[$\bullet~~$] 95\:\% des valises à quatre roues réussissent les tests.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On choisit au hasard une valise de ce stock. On considère les évènements suivants: \index{probabilités}

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $D$ : \og La valise a deux roues \fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og La valise réussit les tests \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre pondéré ci-dessous, illustrant cette situation.\index{arbre} 

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$D$~} \taput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\taput{\ldots} 
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}}
\pstree{\TR{$\overline{D}$~} \tbput{\ldots}}
	{\TR{$R$}\taput{\ldots} 
	\TR{$\overline{R}$}\tbput{\ldots}}	
}
\end{center}

\item Démontrer que la probabilité que la valise choisie réussisse les tests est de $0,959$. 
\item Sachant que la valise réussit les tests, quelle est la probabilité que ce soit une valise à quatre roues ? 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip
 
Parmi les tests de solidité effectués, l'un d'eux consiste à charger la valise et à la faire rouler sur une piste bosselée. On appelle \og durée de vie \fg{} de la valise, le nombre de kilomètres parcourus avant d'atteindre une certaine usure des roues. 

\smallskip

On note $X$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à deux roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $X$ suit la loi normale d'espérance $\mu = 41$ et d'écart-type $\sigma = 6$.\index{loi normale}

\smallskip

On note $Y$ la variable aléatoire qui, à chaque valise à quatre roues, associe sa durée de vie en kilomètre. On admet que $Y$ suit la loi normale d'espérance $\mu' = 52$ et d'écart-type $\sigma' = 10$. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité qu'une valise à deux roues ait une durée de vie supérieure à $52$ kilomètres ? 
\item Sur le graphique ci-dessous, on a représenté les densités associées aux variables aléatoires $X$ et~$Y$.\index{fonction densité}

À l'aide de ce graphique, déterminer pour quel type de valise (à deux roues ou à quatre roues) la probabilité que la durée de vie soit supérieure ou égale à 50 kilomètres est la plus grande. Expliquer. 

\begin{center}
\psset{xunit=0.12cm,yunit=100cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-5,-0.005)(100,0.075)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=5,Dy=0.01](0,0)(0,0)(100,0.075)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=41,sigma=6]{10}{72}\uput[r](46,0.05){\blue courbe 1}
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=red,mue=52,sigma=10]{10}{94}\uput[r](57,0.035){\red courbe 2}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip 

L'entreprise souhaite commercialiser un nouveau modèle de valises. Afin de mieux connaître les attentes des consommateurs, elle réalise un sondage auprès de \np{2000}~personnes. Parmi elles, $872$ déclarent que la solidité est le principal critère pris en compte lors de l'achat (devant la légèreté, le prix, la couleur ... ). 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Estimer par un intervalle de confiance au niveau de confiance de 95\:\% la proportion de consommateurs pour lesquels la solidité est le principal critère de choix.\index{intervalle de confiance} 
\item Quelle aurait dû être la taille de l'échantillon pour obtenir un intervalle de confiance d'amplitude égale à $0,04$ ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{Série ES : Enseignement obligatoire -- Série L : Enseignement de spécialité}

\medskip  

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit. 

Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché. En 2017, la société $A$ entretient 30\:\% de ces ascenseurs. 

On estime que, chaque année: 

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] 3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante; 
\item[$\bullet~~$] 5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante; 
\item[$\bullet~~$] les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$. 

On note $a_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $A$ pendant l'année $(2017 + n)$. De même, on note $b_n$ la proportion d'ascenseurs entretenus par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$. 

On a donc $a_0 = 0,3$ et $b_0 = 0,7$. \index{suite}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $a_1$. Interpréter le résultat. 
		\item Démontrer que, pour tout entier naturel $n$, on a : $a_{n+1} = 0,97a_n + 0,05b_n$ puis en déduire que $a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05$. 
	\end{enumerate}
\item
	\begin{enumerate}
		\item Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par sa société augmente au cours des années et se stabilise à $62,5$\:\%. 

Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%.\index{algorithme} 

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question. 
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$. 
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $u_0$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a : 
		
\[a_n = - 0,325 \times 0,92^n + 0,625.\] 
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat. 
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'expression donnée dans la question \textbf{3. b.}, résoudre l'inéquation $a_n \geqslant 0,5$. Quel résultat antérieur retrouve-t-on ? 
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm}

\textbf{Exercice 3\hfill 5 points}

\textbf{ES Enseignement de spécialité}

\medskip  

\textbf{Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante}

\medskip

On s'intéresse à l'ensemble des ascenseurs d'une grande ville en 2017. Pour chacun
d'eux, un contrat annuel d'entretien doit être souscrit.

Deux sociétés d'ascensoristes, notées $A$ et $B$, se partagent ce marché.

En 2017, la société $A$ entretient 30\;:\% de ces ascenseurs.

On estime que, chaque année :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]3\:\% des ascenseurs entretenus par la société $A$ seront entretenus par la société $B$ l'année suivante;
\item[$\bullet~~$]5\:\% des ascenseurs entretenus par la société $B$ seront entretenus par la société $A$ l'année suivante;
\item[$\bullet~~$]les autres ascenseurs ne changeront pas de société d'ascensoristes l'année suivante.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

On étudie l'évolution, au fil des années, de la répartition des contrats d'entretien de
ces ascenseurs entre les sociétés $A$ et $B$.

Pour un ascenseur choisi au hasard, et pour tout entier naturel $n$, on note :

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$]$a_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item[$\bullet~~$]$b_n$ la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $B$ lors de l'année $(2017 + n)$ ;
\item[$\bullet~~$]$P_n = \begin{pmatrix}a_n &b_n\end{pmatrix}$ l'état probabiliste de l'année $(2017 + n)$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}\index{matrice}

On a donc $P_0 = \begin{pmatrix}0,3 &0,7\end{pmatrix}$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets $A$ et $B$.\index{graphe}
		\item Écrire la matrice de transition $M$ associée à ce graphe en prenant les
sommets dans l'ordre alphabétique.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que l'ascenseur choisi soit entretenu par la société $A$
en 2018.
\item Montrer que $P = \begin{pmatrix}0,625& 0,375\end{pmatrix}$ est un état stable de la matrice et interpréter le résultat.\index{etat stable@état stable}
\item Démontrer que pour tout entier naturel $n$, on a :
	
\[a_{n+1} = 0,92a_n + 0,05.\]

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le directeur de la société $A$ constate que la proportion d'ascenseurs entretenus par
sa société augmente au cours des années et se stabilise à 62,5\:\%.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Indiquer, en le justifiant, lequel des algorithmes suivants donne l'année à partir de laquelle cette proportion dépasse 50\:\%. \index{algorithme}

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.05cm}|X|p{0.05cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
Algorithme 1				&& Algorithme 2&& Algorithme 3\\\cline{1-1} \cline{3-3}\cline{5-5}
$A \gets 0,3$				&&$A \gets 0,3$&&$A \gets 0,3$\\
$N \gets 0$					&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $A \leqslant 0,5$&&Tant que $A > 0,5$&&Tant que $A \leqslant 0,5$\\
\hspace{0.5cm}$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$&&$A \gets 0,92 \times A + 0,05$\\
\hspace{0.5cm}$N \gets N+1$&&$N\gets N+1$&&Fin Tant que\\
Fin Tant que		&&Fin Tant que&&$N\gets N+1$\\
Afficher $2017 + N$	&&Afficher $2017 + N$&&Afficher $2017 + N$\\\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\end{center}

		\item Exécuter l'algorithme qui détermine l'année en question.
	\end{enumerate}
\item Pour tout entier naturel $n$, on pose $u_n = a_n - 0,625$.
	\begin{enumerate}
		\item Démontrer que la suite $\left(u_n\right)$ est une suite géométrique dont on
précisera la raison et le premier terme $u_0$.\index{suite géométrique}
		\item En déduire que, pour tout entier naturel $n$, on a :
		
\[a_n = - 0,325 \times 0,92n + 0,625.\]
		
		\item Déterminer la limite de la suite $\left(a_n\right)$. Interpréter le résultat.
	\end{enumerate}
\item À l'aide de l'expression donnée dans la question \textbf{2. b.}, résoudre l'inéquation

\[a_n \geqslant 0,5.\]\index{inéquation}
	
Quel résultat antérieur retrouve-t-on ?
\end{enumerate}

\vspace{0.5cm} 

\textbf{Exercice 4  \hfill 4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip 

\emph{Pour chacune des quatre affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la réponse. Les quatre affirmations sont indépendantes.}\index{Vrai-Faux} 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Un caractère est présent dans une population selon une proportion $p = 0,1$.

Dans un échantillon de $400$ personnes, on observe ce caractère sur $78$ individus. 

\medskip

\textbf{Affirmation 1 :} Au seuil de 95\:\%, cet échantillon est représentatif de la population totale pour ce caractère. 

\emph{Rappel : Lorsque la proportion $p$ d'un caractère dans la population est connue, l'intervalle $I$ de fluctuation asymptotique au seuil de 95\:\% d'une fréquence de ce 
caractère obtenue sur un échantillon de taille $n$ est donné par:} \index{intervalle de fluctuation asymptotique}

\[I = \left[p - 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}~;~p + 1,96 \sqrt{\dfrac{p(1 - p)}{n}}\right].\] 

\item Dans une gare, le temps d'attente à un guichet donné, exprimé en minute, peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi uniforme sur l'intervalle [1~;~ 7]. 

\medskip

\textbf{Affirmation 2 :} Le temps d'attente moyen à ce guichet est de $4$ minutes. 
\item La fonction $g$ est définie sur $\R$ par $g(x) = x^2$. 

\medskip

\textbf{Affirmation 3 :} La valeur moyenne de $g$ sur l'intervalle $[- 2~;~2]$ est égale à $\dfrac{16}{3}$. 
\item  $x$ désigne un nombre réel négatif. 

\medskip

\textbf{Affirmation 4 :} $\ln \left(\text{e}^{x + 1}\right) - \ln \left(\text{e}^x\right)$ est un nombre positif quel que soit le nombre réel $x$.\index{fonction logarithme}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Amérique du Sud 14 novembre 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%%   Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018
\hypertarget{Caledonienov}{}

\label{Caledonienov}
\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small  27 novembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Etranger}
\thispagestyle{empty}
\begin{center} { \Large{ \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES Nouvelle Calédonie  27 novembre 2018~\decofourright}}} 

\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1 \hfill 4 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chaque question, une seule des quatre réponses proposées est correcte. \\
Une réponse exacte rapporte $1$ point. Une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point. Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}

\medskip 

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur $]0~;~5]$ par $f(x) = x\ln (x) + 1$. Pour tout $x \in ]0~;~5]$,\index{fonction logarithme} 
	\begin{enumerate}
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}$ 
		\item $f'(x) = \dfrac{1}{x}+1 $
		\item $f'(x) = \ln (x) + 2$ 
		\item $f'(x) = \ln (x) + 1$ 
	\end{enumerate}
\item On donne ci-dessous  la courbe $C$ représentant un fonction $g$ sur $[0~;~2]$.

\begin{center}
\psset{xunit=5cm,yunit=2cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.3)(2.1,3.3)
\multido{\n=0.0+0.2}{11}{\psline[linewidth=0.2pt](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0.0+1}{3}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,3.3)}
\multido{\n=0.0+0.5}{7}{\psline[linewidth=0.2pt](0,\n)(2.1,\n)}
\multido{\n=0+1}{2}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(2.1,\n)}
\psaxes[linewidth=1pt,Dx=0.2,Dy=0.5](0,0)(0,0)(2.1,3.3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=500,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{2}{3 x 3 exp mul 9 x dup mul mul sub 4 div 3 add}
\uput[ur](0.7,2.2){\blue $C$}
\end{pspicture}
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item $g$ est concave sur l'intervalle $[0~;~2]$.\index{convexité} 
		\item $g''(x) \geqslant  0$ pour tout $x \in [0~;~2]$. 
		\item La courbe $C$ admet un point d'inflexion sur $[0~;~2]$.\index{point d’inflexion} 
		\item $g'(1) > 0$. 
	\end{enumerate}
\item Soit $I = \displaystyle\int_0^{\ln 2}  3\text{e}^x\:\text{d}x$. On a : 
	\begin{enumerate}
		\item $I = 3 $
		\item $I = 6$ 
		\item $I = - 3$ 
		\item $I = 3\ln (2)$ 
	\end{enumerate}
\item Pour tout évènement $E$, on note $P(E)$ sa probabilité. Soit $X$ une variable aléatoire suivant une loi binomiale de paramètre $n = 10$ et $p = 0,3$.\index{loi binomiale} 
	\begin{enumerate}
		\item $P(X = 3) = 120 \times  0,3^2 \times 0,78 $
		\item $P(X = 3) = 12 \times 0,3^3 \times 0,7^7$ 
		\item $P(X \geqslant 1) \approx 0,972$ 
		\item L'espérance de $X$ est $5,15$. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textsc{\textbf{Exercice 2\hfill 5 points}}

\textbf{Candidats de la série ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de la série L }

\medskip

Dans un quartier d'une petite ville, les services de Pôle Emploi ont relevé le nombre de demandeurs d'emploi chaque trimestre. 

Après observations, ils constatent que, chaque trimestre, $123$ nouveaux demandeurs d'emploi s'inscrivent tandis que $37,5$\,\% des chômeurs trouvent un emploi et sont retirés des listes. 

Au début du premier trimestre 2017 (1\up{er} janvier 2017), le nombre de demandeurs d'emploi était de $490$. 

\smallskip

On note $u_n$ le nombre de demandeurs d'emploi au début du $n$-ième trimestre après le 1\up{er} janvier 2017. 

Ainsi, $u_1 = 490$.

\smallskip

Dans tout l'exercice, les valeurs seront arrondies à l'unité. 

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième et du troisième trimestre 2017. 
\item Justifier que l'on peut modéliser la situation précédente par la relation, pour tout entier 

$n \in  \N^*$ : 

\[u_{n+1} = 0,625u_n + 123.\]\index{suite}
 
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par : pour tout entier $n \in \N^*,\: v_n = u_n - 328$. 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le terme initial.\index{suite géométrique}
		\item Exprimer, pour tout entier $n \in \N^*$,\: $v_n$ en fonction de $n$. 
		\item En déduire que, pour tout entier $n \in \N^*$, on a $u_n = 162 \times  0,625^{n-1} + 328$. 
	\end{enumerate}
\item Calculer le nombre de demandeurs d'emploi au début du deuxième trimestre 2019. 
\item Le directeur de l'agence pourra-t-il atteindre son objectif de diminuer le nombre de demandeurs d'emploi de $30$\,\% par rapport au premier trimestre 2017 ?\index{inéquation} 

Si oui, indiquer à quelle date son objectif sera atteint. Justifier la réponse. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2 \hfill 5 points}}

Candidats de la série ES ayant suivi l'enseignement de spécialité 

\medskip

\parbox{0.4\linewidth}{Naïma fait partie d'une école de musique. En vue du spectacle de fin d'année, elle souhaite déposer à vélo des affiches publicitaires sur les panneaux de sa ville. Les pistes cyclables reliant ces panneaux sont représentées sur le graphe $\mathcal{G}$ ci-contre. 

Le sommet E désigne son école de musique, le sommet S la salle de spectacle et les sommets A, B, C, et D les panneaux d'affichage.}\hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,5)
\psdots(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(2,3.5)(3.5,2)(3.8,0.5)%EBSCDA
\psline(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(3.5,2)(2,3.5)(2.8,4.5)(3.5,2)(0.5,4)(3.8,0.5)(5.5,2.5)%EBSDCBDEAS
\uput[ul](0.5,4){E} \uput[u](2.8,4.5){B} \uput[r](5.5,2.5){S} 
\uput[l](2,3.5){C} \uput[d](3.5,2){D} \uput[d](3.8,0.5){A} 
\end{pspicture}} 

\smallskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer, en justifiant la réponse, si le graphe $\mathcal{G}$ est :\index{graphe}
	\begin{enumerate}
		\item complet ; 
		\item connexe. 
	\end{enumerate}
\item Naïma pourra-t-elle déposer ses affiches sur tous les panneaux en allant de son école de musique à la salle de spectacle et en empruntant une et une seule fois chaque piste cyclable ?

Justifier la réponse. Si un tel trajet existe, en citer un. 
\item Donner la matrice d'adjacence $M$ liée à ce graphe dans laquelle les sommets seront classés dans l'ordre suivant : E, A, B, C, D, S.\index{matrice d'adjacence} 
\item On donne la matrice incomplète $M^2$ :  $M^2 =
\begin{pmatrix}3& 0& 1 &\ldots& 1& 3\\
 0& 2& 2& 0& 2& 0\\
  1& 2& 4& 1& 3& 1\\ 
\ldots&0& 1& 2& 1& 2\\
 1& 2& 3& 1& 4& 1\\
  3& 0& 1& 2& 1& 3
  \end{pmatrix}$. 

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer les coefficients manquants de la matrice $M^2$, en détaillant les calculs. 
		\item Combien existe-t-il de chemins permettant de se rendre de l'école de musique à la salle de spectacle en empruntant exactement deux pistes cyclables ? 
	\end{enumerate} 
\item Lorsqu'elle a déposé ses affiches, Naïma a relevé le temps de trajet entre chaque panneau d'affichage. Le graphe ci-dessous indique ces durées, exprimées en minutes. 

\parbox{0.4\linewidth}{Indiquer, à l'aide d'un algorithme, le chemin permettant à Naïma de se rendre le plus rapidement possible de son école de musique à la salle de spectacle le soir de la représentation.\index{algorithme}\index{trajet minimal}
 
\medskip

Donner la durée de ce parcours.} \hfill
\parbox{0.55\linewidth}{\psset{unit=1.2cm}
\begin{pspicture}(6,5)
%\psgrid
\rput(1.6,4.4){4} \rput(4.2,3.9){8} \rput(2.2,4.1){2} 
\rput(2,2.8){7} \rput(2.8,3){2} \rput(3.4,3.3){1} 
\rput(4.4,2.4){3} \rput(2,2.1){9} \rput(4.6,1.1){7} 
\psdots(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(2,3.5)(3.5,2)(3.8,0.5)%EBSCDA
\psline(0.5,4)(2.8,4.5)(5.5,2.5)(3.5,2)(2,3.5)(2.8,4.5)(3.5,2)(0.5,4)(3.8,0.5)(5.5,2.5)%EBSDCBDEAS
\uput[ul](0.5,4){E} \uput[u](2.8,4.5){B} \uput[r](5.5,2.5){S} 
\uput[l](2,3.5){C} \uput[d](3.5,2){D} \uput[d](3.8,0.5){A} 
\end{pspicture}} 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3 \hfill 6 points}}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Dans une entreprise, 60\,\% des salariés viennent au travail en transports en commun et parmi eux, seulement 7,5\,\% ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes. Parmi les employés qui n'utilisent pas les transports en commun, 28,5\,\% ont un trajet d'une durée inférieure à 30 minutes. 

Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_F(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.\index{probabilités} 

\medskip

On interroge au hasard un employé de l'entreprise et on considère les évènements suivants : 

\smallskip

\setlength\parindent{9mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $C$ : \og l'employé utilise les transports en commun\fg{} ; 
\item[$\bullet~~$] $R$ : \og le trajet de l'employé a une durée inférieure à 30 minutes \fg. 
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\smallskip

Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième. 

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Construire l'arbre pondéré représentant la situation et le compléter.\index{arbre} 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $P(C \cap R)$ et interpréter le résultat obtenu. 
		\item Montrer que $P(R) = 0,159$. 
	\end{enumerate}
\item On interroge un employé choisi au hasard dont la durée du trajet est inférieure à $30$~minutes. Calculer la probabilité qu'il utilise les transports en commun. 
\end{enumerate}

\textbf{Partie B}

\medskip  

Une étude a montré que la durée du trajet en minutes d'un employé peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma = 10$.\index{loi normale}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer $P(X \leqslant 30)$. Indiquer si ce résultat est cohérent avec la partie A, en justifiant la réponse. 
\item Déterminer $P(20 \leqslant X \leqslant 60)$ et en déduire $P(X > 60)$. 
\item Dans cette question, on se propose de déterminer le plus petit entier $a$ tel que \mbox{$P(X \geqslant a) \approx 0,008$}. 
	\begin{enumerate}
		\item On admet que lorsque la valeur de $a$ augmente, la valeur de $P(X \geqslant a)$ diminue. 

On considère l'algorithme ci-dessous, où $X$ est une variable aléatoire qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 40$ et d'écart type $\sigma = 10$. \index{algorithme}

Recopier et compléter l'algorithme afin qu'il permette de répondre à la question. 

\[\begin{array}{|l|}\hline
a \gets  60\\ 
Y \gets   0,023\\ 
\text{Tant que} \:Y > 0,008\\
 \hspace{0.5cm}a \gets  \ldots\\ 
 \hspace{0.5cm}Y \gets P(X \geqslant a)\\
\text{Fin Tant que}\\ \hline
\end{array}\] 

		\item On exécute cet algorithme. 

Recopier et compléter le tableau suivant, en utilisant autant de colonnes que nécessaire. 


\begin{tabularx}{\linewidth}{|*{7}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$a$& 60& 61& 62 &&&\\ \hline
$Y$& 0,023& 0,018 &0,014 &&&\\ \hline
\end{tabularx}

	\end{enumerate}
\item Donner la valeur de $a$ obtenue après exécution de l'algorithme. 

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'énoncé. 
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4 \hfill 5 points}}

Commun à tous les candidats 

\medskip

L'entreprise ECOLOR est spécialisée dans la production et la vente de peinture éco-responsable. La production quotidienne varie entre $0$ et $800$ litres. Toute la production est vendue. Les montants de la recette et du coût sont exprimés en dizaine d'euros. 

\begin{center}
\psset{xunit=1.4cm,yunit=0.01cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-80)(8.1,870)
\multido{\n=0.0+0.2}{41}{\psline[linewidth=0.15pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+1}{8}{\psline[linewidth=0.8pt](\n,0)(\n,850)}
\multido{\n=0+20}{43}{\psline[linewidth=0.15pt](0,\n)(8,\n)}
\multido{\n=0+100}{9}{\psline[linewidth=0.8pt](0,\n)(8,\n)}
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100]{->}(0,0)(0,0)(8,850)
\psaxes[linewidth=1.5pt,Dy=100](0,0)(0,0)(8,850)
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=2000,linecolor=red]{0}{8}{150 2.71828 1 0.5 x mul sub exp mul 75 x mul add}
\psplot[linewidth=1.5pt,plotpoints=2,linecolor=blue]{0}{8}{100 x mul}
\uput[d](6.2,-50){\footnotesize Quantité de peinture en centaine de litre}
\uput[r](0,860){\footnotesize Montant en dizaines d'euros}
\uput[u](6.5,670){\blue Recette}
\uput[d](6.5,450){\red Coût de production}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Partie A : lecture graphique}

\medskip 

À l'aide du graphique ci-dessus, répondre aux questions suivantes. \index{lecture graphique}

\medskip 

\begin{enumerate}
\item Déterminer le coût de production de $200$ litres de peinture. 
\item Quelle est la production de peinture pour avoir une recette de \np{5000}~euros ? 
\item À partir de combien de litres de peinture vendus l'entreprise réalise-t-elle un bénéfice ? 
\item L'entreprise peut-elle réaliser un bénéfice de plus de \np{3000}~euros pour une production quotidienne variant entre $0$ et $800$ litres ? Justifier. 
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B : étude du bénéfice}

\medskip 

Le bénéfice en dizaine d'euros correspondant à la vente de $x$ centaines de litres de peinture est donné par la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~8]$ par : 

\[f(x) = 25x - 150\text{e}^{-0,5x+1}.\]\index{fonction exponentielle}

\smallskip 

\begin{enumerate}
\item Donner les valeurs exactes de $f(0)$ et de $f(8)$, puis en donner les valeurs arrondies au centième. 
\item Montrer que la dérivée $f'$ de la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~8]$ est :

\[f'(x) = 25 + 75\text{e}^{- 0,5x+1}.\]\index{dérivée}
 
\item Déterminer le signe de $f'$ et en déduire les variations de $f$ sur l'intervalle $[0~;~8]$. 
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier que l'équation $f(x) = 0$ admet une unique solution $\alpha$ sur l'intervalle $[0~;~8]$ puis en donner la valeur arrondie au centième. 
		\item En déduire la quantité de peinture produite et vendue à partir de laquelle l'entreprise ECOLOR réalisera un bénéfice. Donner le résultat au litre près. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%%%%%   fin Nouvelle Calédonie 27 novembre 2018
\newpage
%%%%%%%%%%%% Nouvelle-Calédonie 1\up{er} mars 2019
\hypertarget{Caledomars}{}


\lfoot{\small{Nouvelle Calédonie}}
\rfoot{\small 1\up{er} mars 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Caledomars}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat Terminale ES/L -- Nouvelle Calédonie 1\up{er} mars 2019~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

Des professeurs d'éducation physique et sportive proposent à leurs élèves de terminale un cycle de demi-fond qui consiste à courir $3$ fois $500$~mètres.

Le temps cumulé obtenu à l'issue d'un cycle définit une note de performance notée sur 14 points.

Le barème est différent entre les garçons et les filles.

4 classes sont regroupées et $40\,\%$ des élèves sont des filles.

$60\,\%$ des filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

\smallskip

\emph{Les parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes.}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

On choisit un élève au hasard parmi les 120 élèves.\index{probabilités}

\begin{list}{\textbullet}{On note:}
\item $F$ l'évènement : \og L'élève est une fille \fg{};
\item $G$ l'évènement : \og L'élève est un garçon \fg{};
\item $M$ l'évènement : \og La note de performance est supérieure ou égale à 7 sur 14\fg{}. 
\end{list}

\emph{Pour tout évènement $E$, on note $\overline{E}$ l'évènement contraire de $E$ et $P(E)$ sa probabilité. Pour tout évènement $F$ de probabilité non nulle, on note $P_{F}(E)$ la probabilité de $E$ sachant que $F$ est réalisé.}

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre de probabilités correspondant à cette situation.\index{arbre}
\item Déterminer $P(F\cap M)$.
\item Sachant que $P(M) = 0,64$, déterminer $P(G\cap M)$ puis en déduire $P_{G}(M)$, arrondie au millième.
\item Sachant qu'une personne interrogée a obtenu une note de performance supérieure ou égale à 7 points sur 14, quelle est la probabilité que ce soit une fille?
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

On considère un groupe de 70 filles d'un autre établissement.

On note $X$ la variable aléatoire qui compte le nombre de filles de ce groupe ayant une note de performance supérieure ou égale à 7 sur 14.

Les notes obtenues sont indépendantes les unes des autres.

On admet que $X$ suit la loi binomiale de paramètres $n=70$ et $p=0,6$.\index{loi binomiale}

Calculer la probabilité arrondie au dix-millième qu'exactement $30$ filles obtiennent une note de performance supérieure ou égale à 7.

\begin{flushleft}
\textbf{Partie C}
\end{flushleft}

Cette épreuve permet de développer sa VMA (vitesse maximale aérobie) qui correspond à une vitesse de course rapide. L'unité de mesure de la VMA est le km/h.

On choisit un élève au hasard parmi les $120$ élèves.

On admet que la VMA d'un élève pris au hasard est modélisée par une variable aléatoire $Y$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu=11,8$ et d'écart type $\sigma = 1,2$.\index{loi normale}

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité arrondie à $10^{-3}$, qu'un élève de terminale de ce lycée ait une VMA comprise entre $10$ et $13$~km/h?
\item Déterminer la valeur arrondie au dixième de $\alpha$ tel que $P(Y\leqslant \alpha) = 0,8$. Interpréter cette valeur dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

%\vspace{0,5cm}
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. \\
Pour chacune des questions posées, une seule des quatre réponse est exacte.\\
Une réponse exacte rapporte $0,75$ point, une réponse fausse, une réponse multiple ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève de point.\\
Aucune justification n'est demandée.}\index{Q. C. M.}
 
 \textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la lettre de la réponse choisie.}

\medskip


\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

\begin{enumerate}
\item Soit $f$ la fonction continue et dérivable sur $]0~;\,+\infty[$ définie par $f(x)=\dfrac{\ln(x)}{x}$.

La valeur exacte de $f'(\text{e})$ est:\index{dérivée}

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $0$
\item $\dfrac{1}{\e}$
\item $1$
\item $\e^{2}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Entre janvier 2005 et décembre 2012, le prix hors taxe du tarif réglementé du gaz a augmenté de $80\,\%$.

Quel est le taux annuel d'augmentation du prix du gaz sur la même période arrondi à $0,01\,\%$?

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $10\,\%$
\item $7,62\,\%$
\item $6,75\,\%$
\item $8,76\,\%$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite géométrique de raison $q = 1,05$ et de premier terme $u_1=3$.\index{suite géométrique}

La valeur exacte de $S=u_1+u_2+u_3+\cdots+u_{49}$ est égale à:

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $S=\dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\item $S=3\times \dfrac{1+1,05^{49}}{1+1,05}$

\columnbreak

\item $S=595,280$
\item $S=3\times \dfrac{1-1,05^{49}}{1-1,05}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\item Lors du passage en caisse dans un supermarché, on considère que le temps d'attente d'un client, exprimé en minute, suit la loi uniforme sur l'intervalle $[0~;\,12]$.\index{loi uniforme}

Quelle est la probabilité que le temps d'attente d'un client soit compris entre 2 et 5 minutes?

\begin{multicols}{2}
\begin{enumerate}
\item $\dfrac{1}{4}$
\item $\dfrac{7}{12}$
\item $\dfrac{1}{12}$
\item $\dfrac{1}{3}$
\end{enumerate}
\end{multicols}

\end{enumerate}

\newpage

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

\emph{Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier.\\
Une réponse exacte justifiée rapporte 1 point, une réponse fausse, non justifiée ou l'absence de réponse ne rapporte ni n'enlève aucun point.}\index{Vrai-Faux}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Lors d'une élection, un candidat sollicite un institut de sondage pour qu'il détermine un intervalle de confiance au niveau de confiance $0,95$ de la proportion des intentions de vote en sa faveur.\index{intervalle de confiance}

\medskip

\textbf{Affirmation 1}: Afin que cet intervalle ait une amplitude inférieure ou égale à $0,02$, l'institut de sondage doit interroger au minimum \np{10000} personnes. 

\medskip

\item On considère une variable aléatoire $X$ suivant une loi normale de moyenne 6.\index{loi normale}

On donne ci-dessous la courbe qui représente la densité $f$ associée à la variable aléatoire $X$.
La partie grisée vaut $0,95$ unité d'aire.

\medskip

\begin{center}
\psset{xunit=0.6cm,yunit=50cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-3,-0.01)(16,0.15)
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray]{
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{0}{12}
\psline(12,0)(0,0)
}
\multido{\n=-2+2}{10}{\psline[linestyle=dashed](\n,0)(\n,0.15)}
\multido{\n=0.00+0.02}{8}{\psline[linestyle=dashed](-3,\n)(16,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=2,Dy=0.02]{->}(0,0)(-3,0)(16,0.15)
\psGauss[linewidth=1.25pt,linecolor=blue,mue=6,sigma=3]{-3}{16}
\end{pspicture}
\end{center}

\medskip

\textbf{Affirmation 2}: L'écart type de $X$ est égal à 6.\index{ecart type@écart type}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de  spécialité et candidats de L}

\medskip

Une colonie de vacances héberge des enfants dans des tentes de 10 places chacune. Pendant l'été 2017, 160 enfants ont participé à cette colonie.

À la suite d'une étude prévisionnelle, on estime que, chaque année, $80\,\%$ des enfants déjà inscrits se réinscrivent l'année suivante et 50 nouveaux enfants les rejoignent.

\begin{enumerate}
\item 
\begin{enumerate}
\item Donner une estimation du nombre d'enfants inscrits à l'été 2018.
\item Donner le nombre minimal de tentes nécessaire pour loger l'ensemble des inscrits pendant l'été 2018.
\end{enumerate}
\item Soit $\left(u_n\right)$ la suite numérique qui modélise le nombre d'inscrits lors de l'année $2017+n$. Ainsi $u_0 = 160$.

Expliquer pourquoi, pour tout entier naturel $n$, on a: $u_{n+1} = 0,8 u_n + 50$.\index{suite}

\item Voici la copie d'écran d'une feuille de tableur utilisée pour déterminer les valeurs des termes de la suite.\index{tableur}

\begin{center}
\newcommand{\ca}{\centering\arraybackslash}
\begin{tabular}{| >{\cellcolor{lightgray}}c|c| *6{>{\ca}p{1cm}|}}
\hline
\rowcolor{lightgray} &A & B & C & D  & E & F & G\\
\hline
1 & indice $n$ & 0 & 1 & 2 & 3 & 4  & 5\\
\hline
2 & valeur de $u(n)$ &  160 &   &  & & & \\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Quelle formule peut-on saisir dans la cellule \texttt{C2} pour obtenir, par recopie vers la droite, le nombre d'inscrits l'année $2017 + n$?
\item Recopier et compléter ce tableau en arrondissant chacune des valeurs à l'entier.
\item Donner une estimation du nombre d'inscrits en 2021.
\end{enumerate}

\item Soit $\left(v_n\right)$ la suite numérique dont le terme général est défini par $v_n= u_n - 250$ pour tout $n\in\N$.
\begin{enumerate}
\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est géométrique de raison $0,8$ et préciser son terme initial.\index{suite géométrique}
\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$, pour tout entier naturel $n$.
\item Montrer que, pour tout $n \in \N$, $u_n=250 - 90\times 0,8^n$.
\item Déterminer la limite de la suite $(u_n)$.

Interpréter ce résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\item En 2017, la colonie comptait 22 tentes.

Afin de déterminer à partir de quelle année il sera nécessaire de construire une nouvelle tente, on propose l'algorithme ci-dessous:\index{algorithme}

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.4}
\begin{tabular}{|l|}
\hline
$U \leftarrow 160$\\
$N \leftarrow 0$\\
Tant que $\dots\dots\dots\dots\dots\dots$ faire \hspace*{1cm}\\
\hspace*{1cm} $U\leftarrow 0,8\, U + 50$\\
\hspace*{1cm} $N \leftarrow \dots\dots\dots$\\
Fin tant que\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter cet algorithme afin qu'il permette de répondre au problème.
\item Quelle est la valeur de $N$ obtenue après exécution de cet algorithme?
\end{enumerate}
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{Exercice 4 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie et dérivable sur $[-2~;\,6]$ dont la courbe représentative $\mathcal{C}$ est donnée ci-dessous.

Le point A de coordonnées $(0~;\,3)$ est l'unique point d'inflexion de la courbe $\mathcal{C}$ sur l'intervalle  $[-2~;\,6]$.\index{point d'inflexion}

La droite $T$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.

La courbe $\mathcal{C}$ admet une tangente horizontale au point B d'abscisse $-1$.

\begin{center}
\psset{unit=0.9cm,arrowsize=3pt 3}
\def\xmin {-2.5}   \def\xmax {6.5}
\def\ymin {-2.3}   \def\ymax {6.5}
\begin{pspicture*}(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)
{\psset{linestyle=dashed,dash=3pt 3pt,linecolor=gray}
\multido{\i=-2+1}{9}{\psline(-3,\i)(7,\i) \psline(\i,-3)(\i,7)}
}
\psaxes[ticksize=-2pt 2pt]{->}(0,0)(\xmin,\ymin)(\xmax,\ymax)%[$x$,110][$y$,-10] 
\def\f{x 2 add 2.7183 x neg exp mul 1 add}% définition de la fonction
\psplot[plotpoints=2000,linecolor=blue,linewidth=1.25pt]{-2}{6}{\f}
\psplot[plotpoints=2000]{-3}{6}{x neg 3 add}
\uput[ur](4,1.11){\blue $\mathcal{C}$}
\uput[dl](4,-1){$T$}
\uput{8pt}[dl](0,0){$0$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.5](-1,3.7183)(0,3)
\uput[d](-1,3.7183){B} \uput[ur](0,3){A}
\end{pspicture*}
\end{center}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie A}
\end{flushleft}

En utilisant le graphique, répondre aux questions suivantes:\index{lecture graphique}

\begin{enumerate}
\item Déterminer $f(0)$.
\item Déterminer $f'(0)$. En déduire une équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point A.
\item Déterminer le signe de $f'$ sur $[-2~;\,6]$.
\item Donner la convexité de $f$ sur $[-2~;\,6]$.\index{convexité}
\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de $I=\ds\int_{-1}^{0} f(x) \d x$.
\end{enumerate}

\begin{flushleft}
\textbf{Partie B}
\end{flushleft}

La fonction $f$ est définie par $f(x)= (x + 2)\e^{-x} + 1$ pour tout $x \in [-2~;\,6]$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la valeur exacte de $f(6)$ puis en donner la valeur arrondie au centième.
\item Montrer que, pour tout $x \in [-2~;\,6]$, $f'(x)=(-x-1)\e^{-x}$.\index{dérivée}
\item Étudier le signe de $f'$ sur $[-2~;\,6]$ puis donner le tableau des variations de $f$ sur $[-2~;\,6]$.
\item Un logiciel de calcul formel donne l'information suivante:

\begin{center}
\renewcommand{\arraystretch}{1.5}
$\begin{array}{|lr|}
\hline
\texttt{Dériver } \left ( (-x-3)\e^{-x}\strut\right ) & \\
\hline
& (x+2)\e^{-x}\\
\hline
\end{array}$
\end{center}

	\begin{enumerate}
		\item Déterminer une primitive de $f$ sur $[-2~;\,6]$.\index{primitive}
		\item Calculer la valeur moyenne de $f$ sur $[-1~;\,0]$. On donnera sa valeur exacte puis sa valeur arrondie au dixième.\index{valeur moyenne}
	\end{enumerate}
\end{enumerate}
%%%%%%%%   fin Nouvelle-Calédonie 1\up{er} mars 2019
\setlength{\columnsep}{1.5cm}
\printindex
\end{document}