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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture : Arié Yallouz
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 10 septembre 2019}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 10 septembre 2019
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse à une question ne rapportent ni n'enlèvent de point.}

\smallskip

\textbf{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse correspondante.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item L'équation $\ln 5 + \ln (x + 1) = 1$ a pour solution :
	\begin{enumerate}
		\item $x = \text{e}- 6$
		\item  $x = - 1$
		\item  $x = \dfrac{1}{5}\text{e} - 1$
		\item  $x = - 0,5$
	\end{enumerate}
\item  Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'intervalle $]0~;~+\infty[$ par $f(x) = 2\ln (x) - x$. Le nombre $f'(2)$ est égal à :
	\begin{enumerate}
		\item $-1$
		\item $0$
		\item $2\ln 2 - 2$
		\item $2\ln 2 - 1$
	\end{enumerate}
\item  Le plus petit entier naturel $n$ solution de l'inéquation $2^n > 175$ est:
	\begin{enumerate}
		\item $n = \ln \left(\dfrac{175}{2}\right)$
		\item $n = 7$
		\item $n = 8$
		\item $n = \ln 175 - \ln 2$
	\end{enumerate}
\item  Soit une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~- 1]$. On note $f'$ sa dérivée et $F$ une de ses primitives.
	
On sait que pour tout $x$ de l'intervalle $[-3~;~- 1]$, $f'(x) > 0$.
	
On peut affirmer que, sur l'intervalle $[-3~;~- 1]$, la fonction $F$ est :
	\begin{enumerate}
		\item décroissante;
		\item strictement croissante;
		\item convexe ;
		\item négative.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats de L}

\medskip

Un grossiste en flacons de parfum souhaite étudier la qualité des flacons qu'il reçoit.

 Il a reçu \np{1500} flacons d'un certain modèle provenant de deux sites de production différents, le site A et le site B. Sur les \np{1500} flacons de ce modèle reçus, $900$ proviennent du site A, les autres du site B.
 
\emph{Les trois parties \emph{A}, \emph{B} et \emph{C} sont indépendantes}.
 
\emph{Si nécessaire, les résultats seront arrondis au millième}.
 
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le grossiste s'intéresse à l'aspect du flacon.

Parmi les flacons provenant du site A, 95\,\% ont un aspect conforme au cahier des charges tandis que 92\,\% des flacons provenant du site B ont un aspect conforme.

Il prélève au hasard un des flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison.

On note :

\begin{description}
\item[ ] $A$ l'évènement \og Le flacon provient du site A \fg{} ;
\item[ ] $B$ l'évènement \og Le flacon provient du site B \fg{} ;
\item[ ]$C$ l'évènement \og Le flacon a un aspect conforme au cahier des charges \fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer la probabilité que le flacon provienne du site A et ait un aspect conforme au cahier des charges.
\item  Montrer que la probabilité que le flacon ait un aspect conforme au cahier des charges est $0,938$.
\item  Le flacon prélevé se trouve avoir un aspect non conforme. Déterminer la probabilité qu'il provienne du site B.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le grossiste souhaite également étudier le volume de parfum contenu dans les flacons qu'il a reçus lors de la dernière livraison.

On considère qu'un flacon est correctement rempli s'il contient plus de $98$~ml de parfum.

On admet que le volume de parfum, exprimé en millilitre, contenu dans un flacon prélevé au hasard peut être modélisé par une variable aléatoire $X$ qui suit une loi normale d'espérance $\mu = 100$ et d'écart type $\sigma = 1$.

Déterminer la probabilité qu'un flacon prélevé au hasard soit correctement rempli.

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Le producteur du site A indique que le pourcentage de flacons \og correctement remplis \fg{} est de 96\,\%.

Le grossiste contrôle un échantillon de $120$ flacons prélevés au hasard dans la livraison du producteur du site A et compte $18$ flacons qui ne sont pas correctement remplis. Le grossiste met alors en doute l'affirmation du producteur. Comment peut-il justifier sa contestation ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

Suite à des intempéries, un chasse-neige doit déblayer toutes les routes reliant les stations de son secteur. On modélise ce secteur par le graphe ci-dessous dont les sommets représentent les différentes stations désignées par des lettres. Les poids des arêtes sont les durées moyennes de parcours, en minute, du chasse-neige entre deux stations.

\begin{center}
\begin{pspicture}(10,6.5)
%\psgrid
\cnode*(2,2){3pt}{A}\cnode*(3,6){3pt}{B}
\cnode*(7,6){3pt}{C}
\ncline{C}{B}\ncput*{46}
\cnode*(9,5){3pt}{D}
\cnode*(6,0.5){3pt}{E}
\cnode*(9,2){3pt}{F}
\cnode*(0.5,4){3pt}{G}
\ncline{A}{C}\ncput*{64}
\ncline{A}{E}\ncput*{35}
\ncline{A}{F}\ncput*{92}
\ncline{A}{B}\ncput*{43}
\ncline{B}{G}\ncput*{38}
\ncline{A}{G}\ncput*{14}
\ncline{B}{G}\ncput*{38}
\ncline{B}{F}\ncput*{74}
\ncline{C}{F}\ncput*[npos=0.4]{37}
\ncline{C}{E}\ncput*[npos=0.55]{77}
\ncline{D}{F}\ncput*{17}
\ncline{D}{E}\ncput*[npos=0.55]{62}
\ncline{E}{F}\ncput*{23}
 \uput[d](2,2){A} \uput[u](3,6){B} \uput[u](7,6){C}
 \uput[u](9,5){D} \uput[d](6,0.5){E} \uput[dr](9,2){F}
 \uput[l](0.5,4){G}
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item Le chasse-neige part de la station G. Peut-il partir de cette station et y revenir en parcourant une et une seule fois chacune des routes, matérialisées par les arêtes de ce graphe ?
\item  Une saleuse doit de même parcourir l'ensemble des routes du secteur après déblaiement de la neige. Elle est garée à la station A et, après son travail, peut se garer dans n'importe quelle station. 

Peut-elle parcourir une et une seule fois chacune des routes
pour traiter l'ensemble du secteur ?
\item  On appelle $M$ la matrice d'adjacence associée au graphe, les sommets étant rangés

dans l'ordre alphabétique et on donne : $M^4 = \begin{pmatrix}
61 &48 &52 &28 &45 &55 &24\\
48 &44 &41 &21 &42 &45 &20\\
52 &41 &50 &25 &41 &52 &25\\
28 &21 &25 &15 &20 &24 &10\\
45 &42 &41 &20 &44 &48 &21\\
55 &45 &52 &24 &48 &61 &28\\
24 &20 &25 &\bm 1 \bm 0 & 21 &28 &15
\end{pmatrix}$.

Interpréter dans le contexte de l'exercice le nombre $10$ figurant en caractère gras  dans la matrice.
\item  Déterminer, pour le chasse-neige, le chemin le plus rapide pour aller de la station G à la station D. On donnera le parcours trouvé ainsi que sa durée totale.
\item  Le conducteur du chasse-neige part de la station G et va directement à la station A.

Il apprend alors que la route allant de la station E à la station F est barrée. 

Comment
peut-il terminer son parcours au plus vite jusqu'à la station D ? Préciser le temps qu'il
mettrait alors pour finir son parcours.

Aucune justification n'est attendue ici.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}
 
\medskip
 
Un particulier souhaite réaménager l'espace paysager de sa parcelle boisée comptant \np{10000} arbres en 2018. Pour cela, il se fixe un plan progressif qui consiste à couper chaque année $20$\,\% des arbres et à planter $600$ nouveaux pieds d'arbre.
 
On modélise l'évolution du nombre d'arbres de cette parcelle par une suite 
 $\left(u_n\right)$ dans laquelle, pour tout entier naturel $n$,\; $u_n$ est le nombre d'arbres de la parcelle en $2018 + n$, ainsi
$u_0 = \np{10000}$.
 
\newpage
 
\textbf{Partie A}
 
\medskip
 
\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $u_1$ et $u_2$.
		\item Justifier, pour tout entier naturel $n$, l'égalité $u_{n+1} = 0,8 \times u_n + 600$.
	\end{enumerate}
\item On définit la suite $\left(v_n\right)$ par $v_n = u_n - \np{3000}$ pour tout entier naturel $n$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera la raison et le premier terme $v_0$.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $v_n$ en fonction de $n$.
		\item En déduire que pour tout entier naturel $n$,\; $u_n = \np{7000} \times  
		0,8^n + \np{3000}$.
		\item Si le réaménagement de cette parcelle se poursuit selon ce même modèle, que
peut-on conjecturer à long terme concernant le nombre d'arbres de celle-ci ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
\medskip
 
Le propriétaire de la parcelle souhaite conserver au moins \np{4000} arbres sur sa parcelle. Il cherche à déterminer l'année où il devra cesser son plan de réaménagement progressif.
 
 \medskip
 
\begin{enumerate}
\item On admet que la suite $\left(u_n\right)$ est décroissante. Dans les algorithmes ci-dessous, $U$ est un nombre réel et $N$ est un nombre entier. 

Parmi ces algorithmes ci-dessous, un seul donne le nombre d'années nécessaires pour que le nombre d'arbres devienne inférieur ou égal à \np{4000}.

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|p{0.5cm}|X|p{0.5cm}|X|}\cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
$U \gets \np{10000}$&&$U \gets \np{10000}$&&$U \gets \np{10000}$\\
$N \gets 0$&&$N \gets 0$&&$N \gets 0$\\
Tant que $U \leqslant  \np{4000}$&&Tant que $U >  \np{4000}$&&Tant que $U >  \np{4000}$\\
\begin{tabular}{p{0.18cm}|l}
&$N\gets N+1$\\
&$U \gets 0,8 \times U + 600$
\end{tabular}&&\begin{tabular}{p{0.18cm}|l}
&$N\gets N+1$\\
&$U \gets 0,8^N \times U + 600$
\end{tabular}&& \begin{tabular}{p{0.18cm}|l}
&$N\gets N+1$\\
&$U \gets 0,8 \times U + 600$
\end{tabular}\\
Fin Tant Que &&Fin Tant Que&& Fin Tant Que\\ \cline{1-1}\cline{3-3}\cline{5-5}
\end{tabularx}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\textbf{algorithme 1}& \textbf{algorithme 2}& \textbf{algorithme 3}\\
\end{tabularx}
\end{center}

Indiquer pourquoi les algorithmes 1 et 2 ne conviennent pas.
\item  Déterminer l'année au cours de laquelle le propriétaire devra cesser son plan de réaménagement.
\end{enumerate}
 
\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\emph{Cet exercice comporte trois parties.}

\medskip

On donne ci-dessous la courbe $\mathcal{C}$ représentative d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~3]. On note $f'$ la fonction dérivée de $f$.

La droite $\mathcal{D}$ est la tangente à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse $0$ ; elle passe par le point A de coordonnées (0,5~;~1).

La tangente $T$ à la courbe $\mathcal{C}$ au point d'abscisse 1 est parallèle à l'axe des abscisses.

\begin{center}
\psset{unit=3cm}
\begin{pspicture*}(-0.4,-0.2)(3.2,1.8)
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=gray](0,0)(4,2)
\psaxes[linewidth=1.25pt]{->}(0,0)(0,0)(3.2,1.8)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{3}{2 x  mul 2.71828 x dup mul 0.5 mul exp div}
\psline(0.8,1.6)
\psline{<->}(0.7,1.22)(1.3,1.22)
\psline(1.3,1.16)(2.3,0.27)
\uput[u](2.8,0.12){\blue $\mathcal{C}$}\uput[u](1.2,1.22){$T$}
\psdots[dotstyle=+,dotscale=1.8](1.732,0.773)(0.5,1)
\uput[ul](0.5,1){A}
\end{pspicture*}
\end{center}
\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie les réponses seront obtenues par lecture graphique.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Déterminer une équation de la droite $\mathcal{D}$.
\item Donner la valeur de $f'(1)$.
\item Proposer un intervalle sur lequel la fonction semble concave.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ est définie sur l'intervalle [0~;~3] par 

\[f(x) = 2x\text{e}^{-0,5x^2}.\]

\begin{enumerate}
\item On note $f'$ la fonction dérivée de $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que $f'(x) = \left(2 - 2x^2\right)\text{e}^{-0,5x^2}$.
		\item Étudier les variations de la fonction f sur l'intervalle [0; 3] et dresser son tableau
de variation.
	\end{enumerate}
\item On admet que la fonction $F$, définie par $F(x) = - 2\text{e}^{-0,5x^2}$, est une primitive de $f$ sur l'intervalle [0~;~3].
En déduire la valeur moyenne de $f$ sur l'intervalle [0~;~3] et en donner une valeur approchée au millième.
 \end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

En Europe, les observateurs d'une maladie nécessitant une hospitalisation considèrent qu'ils peuvent modéliser par cette fonction $f$ l'évolution du nombre de lits occupés par des malades pendant les trois mois d'hiver.

Pour tout $x$ appartenant à l'intervalle [0~;~3], $f(x)$ représente le nombre de lits occupés, exprimé en million, à l'instant $x$, exprimé en mois.

Un journal affirme que cet hiver:

{\setlength\parindent{10mm}
\begin{itemize}
\item le nombre de lits occupés lors du pic de la maladie a dépassé le million ;
\item le nombre moyen de lits occupés sur les trois mois a été d'environ \np{400000}.
\end{itemize}}

Que dire de ces deux affirmations ?
\end{document}