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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture : Arié Yallouz
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 19 juin 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesjuin}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 19 juin 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  4 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse, plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse choisie.}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Soit la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[-10~;~10]$ par $f(x) = (2x - 3)\text{e}^{-3x}$.

L'équation $f(x) = 0$ admet sur l'intervalle $[-10~;~10]$ :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{XX}
\textbf{a.~~} 0 solution&\textbf{b.~~}1 solution\\
\textbf{c.~~} 2 solutions&\textbf{d.~~}3 solutions ou plus
\end{tabularx}
\medskip

\item  Dans un repère \Oij{} on considère la courbe représentative de la fonction $x \longmapsto \ln (x)$ ; l'équation de sa tangente au point d'abscisse $1$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y= 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-1$ &\textbf{c.~~} $y = 1- x$ &\textbf{d.~~} $y = x+ 1$
\end{tabularx}
\medskip
\item  Soit $X$ une variable aléatoire qui suit la loi normale de paramètres $\mu = 25$ et $\sigma = 3$.

La meilleure valeur approchée du réel $t$ tel que $P(X > t) = 0,025$ est:

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $t \approx 0,97$ &\textbf{b.~~} $t \approx 19,12$ &\textbf{c.~~} $t \approx 28$ &\textbf{d.~~} $t \approx 30,88$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Anne prévoit d'appeler Benoît par téléphone à un moment choisi au hasard entre
8~h 30 et 10~h. Benoît sera dans un train à partir de 9~h pour un trajet de plusieurs
heures.

Quelle est la probabilité qu'Anne appelle Benoît alors qu'il est dans le train ?

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$\dfrac{60}{150}$&\textbf{b.~~}$\dfrac{2}{3}$&\textbf{c.~~}$\dfrac{6}{13}$&\textbf{d.~~}$\dfrac{1}{3}$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice les résultats seront arrondis au centième si nécessaire}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Victor a téléchargé un jeu sur son téléphone. Le but de ce jeu est d'affronter des obstacles à l'aide de personnages qui peuvent être de trois types: \og Terre \fg, \og Air\fg{} ou \og Feu \fg.

Au début de chaque partie, Victor obtient de façon aléatoire un personnage d'un des trois types et peut, en cours de partie, conserver ce personnage ou changer une seule fois de type de personnage.

Le jeu a été programmé de telle sorte que :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$ ;
\item[$\bullet~~$] la probabilité que la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} est $0,5$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,5$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Air\fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,4$ ;
\item[$\bullet~~$] si la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg, la probabilité que celui-ci soit conservé est $0,9$.
\end{itemize}
 

On note les évènements suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $T$ : la partie débute avec un personnage de type \og Terre \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $A$ : la partie débute avec un personnage de type \og Air \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $F$ : la partie débute avec un personnage de type \og Feu \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $C$ : Victor conserve le même personnage tout au long de la partie.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre de probabilités ci-dessous.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepA=0pt,nodesepB=3pt]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$T$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
\pstree{\TR{$A$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}
\pstree{\TR{$F$~}}
	{\TR{$C$}
	\TR{$\overline{C}$}
	}		
}
\end{center}
\item Calculer la probabilité que Victor obtienne et conserve un personnage de type \og Air \fg.
\item  Justifier que la probabilité que Victor conserve le personnage obtenu en début de partie est $0,53$.
\item  On considère une partie au cours de laquelle Victor a conservé le personnage obtenu en début de partie.

Quelle est la probabilité que ce soit un personnage de type \og Air\fg{} ?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère $10$ parties jouées par Victor, prises indépendamment les unes des autres.
On rappelle que la probabilité que Victor obtienne un personnage de type \og Terre \fg{} est $0,3$.

$Y$ désigne la variable aléatoire qui compte le nombre de personnages de type \og Terre \fg{} obtenus au début de ses $10$ parties.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que cette situation peut être modélisée par une loi binomiale dont on précisera les paramètres.
\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu exactement 3 personnages de type \og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
\item Calculer la probabilité que Victor ait obtenu au moins une fois un personnage de type
\og Terre \fg{} au début de ses $10$ parties.
\end{enumerate}
 
\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant  suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties} A \emph{et} B \emph{sont indépendantes}

\medskip

Franck joue en ligne sur internet.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Après plusieurs semaines, des statistiques données par le logiciel lui permettent de dire que :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] quand il gagne une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à $0,65$ ;
\item[$\bullet~~$] quand il perd une partie, la probabilité qu'il gagne la suivante est égale à $0,42$.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

On note G l'état : \og Franck gagne la partie \fg{} et P l'état : \og Franck perd la partie \fg.

Sur une période donnée, on note, pour tout entier naturel $n$ non nul :

\setlength\parindent{8mm}
\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $g_n$ la probabilité que Franck gagne la $n$-ième partie ;
\item[$\bullet~~$] $p_n$ la probabilité que Franck perde la $n$-ième partie.
\end{itemize}
\setlength\parindent{0mm}

\medskip

Dans cette période, Franck a gagné la première partie.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Représenter la situation par un graphe probabiliste de sommets notés G et P.
\item  
	\begin{enumerate}
		\item Écrire la matrice de transition $M$ dans l'ordre G-P.
		\item Calculer la probabilité que Franck gagne la troisième partie.
 	\end{enumerate}
\item  Déterminer l'état stable du système et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
 \end{enumerate}

\bigskip
 
\textbf{Partie B}
 
 \medskip
 
Dans ce jeu vidéo, Franck circule dans des catacombes infestées de monstres qu'il doit combattre.
 
\smallskip

\parbox{0.48\linewidth}{On a représenté ci-contre le graphe modélisant ces catacombes.

Les sommets représentent les salles et les arêtes représentent les couloirs.

Les étiquettes du graphe correspondent au nombre de monstres présents dans chaque couloir.}\hfill
\parbox{0.48\linewidth}{\psset{unit=0.8cm}
\begin{flushright}
\begin{pspicture}(7.4,4.4)
\psset{dotstyle=*,dotscale=1.2,linewidth=1pt}
\begin{footnotesize}
\rput(0,1.5){\dotnode{A}{\uput[l](0,0){A}}}
\rput(2,4){\dotnode{B}{\uput[u](0,0){B}}}
\rput(2,0){\dotnode{C}{\uput[d](0,0){C}}}
\rput(4,2.5){\dotnode{D}{\uput[u](0,0){D}}}
\rput(5.5,0){\dotnode{E}{\uput[d](0,0){E}}}
\rput(6,3.5){\dotnode{F}{\uput[u](0,0){F}}}
\rput(7,2){\dotnode{G}{\uput[r](0,0){G}}}
\end{footnotesize}
\begin{scriptsize}
\ncline{A}{C}\ncput*{\textsf{12}} \ncline{C}{E}\ncput*{\textsf{19}}\ncline{E}{F} \ncput*{\textsf{11}}\ncline{F}{G}\ncput*{\textsf{5}}\ncline{G}{E}\ncput*{\textsf{7}} \ncline{E}{D}\ncput*{\textsf{4}}\ncline{D}{F}\ncput*{\textsf{3}} \ncline{F}{B}\ncput*{\textsf{22}} \ncline{B}{D}\ncput*{\textsf{7}} \ncline{D}{C}\ncput*{\textsf{5}}\ncline{C}{B}\ncput*{\textsf{18}} \ncline{B}{A}\ncput*{\textsf{11}}
\end{scriptsize}
\end{pspicture}
\end{flushright}
%\begin{pspicture}(8,6)
%\psset{arcangle=20} \cnodeput(0,3){A}{A} \cnodeput(2,5){B}{B} \cnodeput(2.5,0.5){C}{C} \cnodeput(5,3){D}{D} \cnodeput(6,0.7){E}{E} \cnodeput(7,4.5){F}{F} \cnodeput(7.5,2){G}{G}
%\ncarc{A}{B} \ncput*{11}\ncarc{A}{C} \ncput*{12}\ncarc{B}{C} \ncput*{18}\ncarc{B}{D} \ncput*{7}\ncarc{B}{F} \ncput*{22}\ncarc{D}{E} \ncput*{4}\ncarc{D}{F} \ncput*{3}\ncarc{E}{F} \ncput*{11}\ncarc{E}{G} \ncput*{7}
%\ncarc{F}{G} \ncput*{5}\ncarc{C}{D} \ncput*{5}\ncarc{C}{E} \ncput*{19}
%\end{pspicture}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Justifier qu'il est possible, au départ d'une salle quelconque, d'y revenir après avoir parcouru tous les couloirs une et une seule fois.
		\item Donner un tel chemin.
	\end{enumerate}
\item Franck débute le jeu dans la salle A et doit atteindre l'adversaire final en salle G.
	
Existe-t-il un chemin permettant de se rendre de la salle A à la salle G en passant une et une seule fois par tous les couloirs ?
\item Une fois arrivé en salle G, Franck souhaite revenir en salle A en affrontant le moins de monstres possible afin de recommencer une nouvelle partie.
	
Déterminer ce trajet minimal et préciser le nombre de monstres affrontés.
\end{enumerate}


\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  5 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

On définit deux suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ par, pour tout entier naturel $n$

\[\left\{\begin{array}{l c l}
u_0 &=& 10\\
u_{n+1}& =& u_n + 0,4
\end{array}\right.\quad  \text{et} \quad  \left\{\begin{array}{l c l} v_0 &=& 8\\
v_{n+1}& =& 1,028v_n\end{array}\right.\]

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Parmi ces deux suites, préciser laquelle est arithmétique et laquelle est géométrique ; donner leurs raisons respectives.
		\item Exprimer $u_n$ et $v_n$ en fonction de l'entier naturel $n$.
 	\end{enumerate}
\item On donne l'algorithme suivant dans lequel $n$ est un entier naturel, et $U$ et $V$ sont des réels qui désignent respectivement les termes de rang $n$ des suites $\left(u_n\right)$ et $\left(v_n\right)$ :
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{0.4\linewidth}{|X|}\hline
$n \gets 0$\\
$U \gets 10$\\
$V \gets 8$\\
Tant que $U > V$\\
\hspace{0.8cm}$U \gets U + 0,4$\\
\hspace{0.8cm}$V \gets  V \times 1,028$\\
\hspace{0.8cm}$n \gets n+1$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

En sortie de cet algorithme, $n$ a pour valeur 46.

Interpréter ce résultat.
\item En 1798, l'économiste anglais Thomas Malthus publie \og \emph{An essay on the principle of population }\fg{} dans lequel il émet l'hypothèse que l'accroissement de la population, beaucoup plus rapide que celui des ressources alimentaires, conduira son pays à la famine.

Il écrit :

\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|}\hline
\og \emph{Nous pouvons donc tenir pour certain que, lorsque la population n'est arrêtée par aucun obstacle, elle va doublant tous les vingt-cinq ans, et croît de période en période selon une progression géométrique. [\ldots] Nous sommes donc en état de prononcer, en partant de l'état actuel de la terre habitée, que les moyens de subsistance, dans les circonstances les plus favorables de l'industrie, ne peuvent jamais augmenter plus rapidement que selon une progression arithmétique.}\fg \\ \hline
\end{tabularx}

\smallskip

En 1800, la population de l'Angleterre était estimée à $8$ millions d'habitants et l'agriculture anglaise pouvait nourrir $10$ millions de personnes. Le modèle de Malthus admet que la population augmente de $2,8$\,\% chaque année et que les progrès de l'agriculture permettent de nourrir $0,4$~million de personnes de plus chaque année.

On utilisera ce modèle pour répondre aux questions suivantes.
	\begin{enumerate}
		\item Quelle aurait été, en million d'habitants, la population de l'Angleterre en 1810 ?
		
On arrondira le résultat au millième.
		\item À partir de quelle année la population de l'Angleterre aurait-elle dépassé 16 millions
d'habitants?
		\item À partir de quelle année la population de l'Angleterre serait -elle devenue trop grande pour ne plus être suffisamment nourrie par son agriculture ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{3}{>{\centering \arraybackslash}X}}
\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{2 x mul x dup mul add 2.71828 x exp div}
\uput[u](3,0.9){$\mathcal{C}_f$}
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{2 x dup mul sub 2.71828 x exp div}
\uput[d](3.5,-0.4){$\mathcal{C}_{f'}$}
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
\end{pspicture}&\psset{unit=0.6cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-2)(5.5,3)
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(0,-2)(5.5,3)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{0}{5}{x dup mul 2 x mul  sub 2 sub  2.71828 x exp div}
\uput[u](3.5,0.4){$\mathcal{C}_{f''}$}
\end{pspicture}\\
\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_f$ &\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_{f'}$ &\textbf{Courbe} $\mathcal{C}_{f''}$\\
\end{tabularx}

\medskip

On donne ci-dessus la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative dans un repère donné d'une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle [0~;~5] ainsi que les courbes représentatives $\mathcal{C}_{f'}$ et $\mathcal{C}_{f''}$ respectivement de la dérivée $f'$ et de la dérivée seconde $f''$ de la fonction $f$.

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Dans cette partie les réponses seront obtenues à l'aide de lectures graphiques.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner un encadrement par deux entiers consécutifs du nombre réel pour lequel la
fonction $f$ semble atteindre son maximum.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Donner un intervalle défini par deux entiers sur lequel la fonction $f$ semble convexe.
		\item Expliquer pourquoi on peut conjecturer que la courbe $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion.
		
Donner un encadrement par deux entiers consécutifs de l'abscisse de ce point d'inflexion.
	\end{enumerate}
\item Parmi les équations suivantes quelle est l'équation de la tangente à la courbe $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $0$ ?
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
$y=x$ & $y = 2x+ 1$ &  $y= 2x$ &  $y= \dfrac{3}{4}x$\\
\end{tabularx}
\end{center}

\item On note $I = \displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x$ où $f'$ est la fonction dérivée de $f$.

Comment s'interprète graphiquement ce nombre $I$ ?
\end{enumerate}
 
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La fonction $f$ représentée ci-dessus est définie sur l'intervalle [0~;~5] par $f(x) = \left(x^2 + 2x\right)\text{e}^{-x}$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la dérivée $f'$ de $f$ est définie par $f'(x) = \left(- x^2 + 2\right)\text{e}^{-x}$ pour tout réel $x$ de l'intervalle [0~;~5].
		\item Déterminer les variations de $f$ sur [0~;~5] et préciser l'abscisse de son maximum.
		\item Donner la valeur arrondie au millième du maximum de $f$.
	\end{enumerate}
\item Avec un outil de calcul on obtient, pour $\displaystyle\int_0^1 f'(x)\:\text{d}x$ et $f(1)$, la même valeur approchée \np{1,10364}.
	
Ces deux valeurs sont-elles égales ?
\end{enumerate}
\end{document}