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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture : Arié Yallouz
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 6 septembre 2018}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 6 septembre 2018
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Dans tout cet exercice, les résultats seront arrondis à l'unité.}

\medskip

Une grande enseigne souhaite étudier l'évolution du chiffre d'affaires des ventes de ses produits
\og bio \fg. Les données collectées ces dernières années sont les suivantes:

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{6}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
Années 								&2012 	&2013 	&2014 	&2015 	&2016 	&2017\\ \hline
Chiffre d'affaires (millier d'euros)&330 	&361 	&392 	&432 	&489 	&539\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer le taux d'évolution en pourcentage du chiffre d'affaires entre 2012 et 2013.
\item Un cabinet d'étude avait, en 2012, conduit une étude et modélisé le chiffre d'affaires
des ventes de produits bio par une suite $\left(u_n\right)$ où, pour tout entier naturel $n$,\: $u_n$ représentait le chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros, de l'année $2012 + n$.

Dans cette modélisation, on suppose que le chiffre d'affaires augmente de 9\,\% chaque
année à partir de 2012 et on construit un algorithme donnant en sortie le terme $u_n$
pour un entier naturel $n$ donné par l'utilisateur.
	\begin{enumerate}
		\item Dans les algorithmes ci-dessous, $N$ est un entier, donné par l'utilisateur, qui désigne
le nombre d'années écoulées depuis l'année 2012 et $U$ un nombre réel qui
désigne le chiffre d'affaires en $2012 + N$.
		
Justifier que les algorithmes A et C ne conviennent pas.
	
\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}|X|m{0.2cm}}\cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}	
\textbf{Algorithme A}& &\textbf{Algorithme B}&& \textbf{Algorithme C}\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}
$U \gets 330$

Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$W \gets 1,09 \times U$

Fin Pour&&
$U \gets 330$

Pour $i$ variant de $1$ à $N$

\hspace{0.4cm}$U \gets 1,09 \times U$

Fin Pour&&
Pour $i$ variant de $1$ à $N$

$U \gets 330$

\hspace{0.4cm}$U \gets 1,09 \times U$

Fin Pour\\ \cline{1-1}\cline{3-3} \cline{5-5}
\end{tabularx}

\end{center}

On admet que l'algorithme B convient.
		\item Pour la valeur 5 de $N$ saisie dans l'algorithme B, recopier puis compléter, en le
prolongeant avec autant de colonnes que nécessaire, le tableau ci-dessous.

\begin{center}
\begin{tabularx}{0.8\linewidth}{|l|X|X|m{4cm}|}\hline
valeur de $i$&&1&\ldots\\ \hline
valeur de $U$ &330 &&\ldots \\ \hline
\end{tabularx}
\end{center} 

		\item Justifier, qu'au vu de ces résultats, le cabinet d'étude conclut que ce modèle n'est
pas pertinent dès 2016.
 	\end{enumerate}
\item Le cabinet d'étude décide de modéliser ce chiffre d'affaires, exprimé en millier d'euros,
par la suite $\left(v_n\right)$ définie par $v_0 = 432$ et $v_{n+1} = 0,9 v_n + 110$ pour tout entier naturel $n$.
	
Le terme $v_n$ représente alors ce chiffre d'affaires en $2015 + n$.
	\begin{enumerate}
		\item Calculer $v_1$ et $v_2$.
		\item On pose $w_n = v_n - \np{1100}$ pour tout entier naturel $n$. Montrer que la suite $\left(w_n\right)$ est une suite géométrique dont on précisera le premier terme et la raison.
		\item Pour tout entier naturel $n$, exprimer $w_n$ en fonction de $n$.
		
En déduire que $v_n = \np{1100} - 668 \times 0,9^n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item Ce modèle permet-il d'envisager que le chiffre d'affaires dépasse un jour $2$~millions
d'euros ?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

\emph{Dans cet exercice, les résultats seront arrondis au millième si nécessaire.}

\medskip

Une compagnie aérienne a mis en place pour une de ses lignes un système de surréservation
afin d'abaisser les coûts.

Les réservations ne peuvent se faire qu'auprès d'une agence ou sur le site Internet de la compagnie.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Une étude réalisée par la compagnie a établi que, sur cette ligne, pour une réservation en
agence, 5\,\% des clients ne se présentent pas à l'embarquement alors que, pour une réservation
par Internet, 2\,\% des clients ne se présentent pas à l'embarquement.

Les réservations en agence représentent 30\,\% de l'ensemble des réservations.

Pour un embarquement donné et une réservation prise au hasard, on considère les évènements
suivants :

\begin{itemize}
\item[$\bullet~~$] $A$ : \og la réservation a été faite en agence \fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $I$ : \og la réservation a été faite par Internet\fg{} ;
\item[$\bullet~~$] $E$: \og le passager se présente à l'embarquement \fg.
\end{itemize}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Construire un arbre pondéré traduisant cette situation.
\item Démontrer que la probabilité qu'un client ne se présente pas à l'embarquement est de
$0,029$.
\item Calculer la probabilité que la réservation ait été faite en agence sachant que le client
ne s'est pas présenté à l'embarquement.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Sur cette ligne, la compagnie affrète un appareil de $200$ places et a vendu $202$ réservations.

On suppose que le nombre de clients se présentant à l'embarquement peut être modélisé
par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi binomiale de paramètres $\mu = 202$ et $p = 0,971$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Calculer la probabilité que tous les clients se présentent à l'embarquement.
\item Calculer la probabilité qu'un seul client parmi les $202$ qui ont réservé ne se présente
pas à l'embarquement.
\item En déduire la probabilité que la compagnie se trouve en situation de surréservation
(c'est-à-dire avec plus de clients qui se présentent à l'embarquement que de places).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

Cette compagnie affirme que 98\,\% de ses clients sont satisfaits.

Sur les $400$ réponses à une enquête de satisfaction, il y a $383$~réponses exprimant leur satisfaction.

Ce résultat contredit-il l'affirmation de la compagnie ?

\newpage

\textbf{Exercice 2 \hfill  4 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

\emph{Les parties A et B sont indépendantes.}

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Un laboratoire en botanique étudie l'évolution d'une espèce végétale en fonction du temps.

Cette espèce compte initialement 2 centaines d'individus.

Au bout de 2 semaines, l'espèce végétale compte 18 centaines d'individus.

Au bout de 3 semaines, l'espèce végétale prolifère et s'élève à 30,5 centaines d'individus.

Au bout de 10 semaines, on en compte 90 centaines.

On modélise cette évolution par une fonction polynomiale $f$ donnant le nombre d'individus
de l'espèce, exprimé en centaine, en fonction du temps écoulé $x$, exprimé en semaine.

Ainsi $f(2) = 18$ ; $f(3) = 30,5$ et $f(10) = 90$.

On admet que $f(x)$ peut s'écrire $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$, où $a$, $b$, $c$ et $d$, sont des réels.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $d = 2$.
\item Montrer que $a$, $b$ et $c$ sont solutions du système: 

\[\left\{\begin{array}{l c l}
8a + 4b + 2c 				&=&16\\
27a+9b+3c					&=&28,5\\
\np{1000}a + 100b + 10c 	&=&88
\end{array}\right.\]
\item Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d'écrire le système précédent sous
la forme $AX = B$.
\item Résoudre le système.
\item En supposant que l'évolution suit, sur l'intervalle [0~;~13], le modèle décrit par la fonction
$f$, déterminer au bout de combien de temps la quantité de l'espèce étudiée sera
maximale (arrondir à la semaine près).
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Le laboratoire en botanique possède un parc d'étude dans lequel est observée l'évolution de
différentes espèces d'arbres.

\parbox{0.4\linewidth}{Les agents chargés du nettoyage circulent dans le parc depuis le local technique (L) jusqu'aux différentes parcelles plantées d'arbres : C, E, F{}, M, O, P, R et S.

Les sommets du graphe ci-contre représentent les différentes parcelles, et les arêtes marquent les allées
permettant de se déplacer dans le parc. Les étiquettes rapportent la distance en mètre entre les
parcelles.} \hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=0.95cm}
\begin{pspicture}(9,4.7)
%\psgrid
\uput[u](0.2,3.9){S} \uput[l](1,2.4){L} \uput[d](2,0.3){R}
\uput[u](3.2,3.2){C} \uput[d](4.3,2){F} \uput[u](5.1,3.8){E}
\uput[d](6.1,1.4){M} \uput[u](7.6,3){P} \uput[r](8.4,1.7){O}
\psdots(0.2,3.9)(1,2.4)(2,0.3)(3.2,3.2)(4.3,2)(5.1,3.8)(6.1,1.4)(7.6,3)(8.4,1.7)
\psline(0.2,3.9)(1,2.4)(2,0.3)(4.3,2)(6.1,1.4)(8.4,1.7)(7.6,3)(5.1,3.8)(3.2,3.2)(0.2,3.9)
\psline(1,2.4)(3.2,3.2)
\psline(5.1,3.8)(4.3,2)(7.6,3)(6.1,1.4)(5.1,3.8)
\rput(0.3,3){300} \rput(1.8,3.8){80} \rput(2,2.4){310} \rput(4,3.7){150} 
\rput(1.2,1.3){280} \rput(3.2,0.9){110} \rput(4.4,2.9){60} \rput(5.6,3.3){90} 
\rput(5.1,1.4){70} \rput(6.1,2.3){260} \rput(7,2){50} \rput(8.2,2.5){40} 
\rput(7.2,1.3){100} \rput(6.4,3.6){190} 
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant
du local technique (L) et en y revenant ?  Si oui, donner un tel parcours.
E
o
280
110 M
R
		\item Existe-t-il un parcours empruntant toutes les allées, une et une seule fois, en partant
du local technique (L) et sans nécessairement y revenir? Si oui, donner un tel
parcours.
	\end{enumerate}
\item Déterminer un parcours de distance minimale joignant le local technique à la parcelle
O.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 3 \hfill  3 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur l'intervalle $[0~;~+\infty[$ par 

\[f(x) = x - \ln (x).\]

On appelle $\mathcal{C}_f$ la courbe représentative de la fonction $f$ dans un repère \Oij{} et $T$ la tangente à $\mathcal{C}_f$ au point d'abscisse $x = 3$.

\begin{center}
\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-0.5,-0.5)(6,4)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(6,4)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0.02}{6}{x x ln sub}
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt]{1}{6}{x 2 mul 3 div  1 add  3 ln sub}
\uput[u](1,1){\blue $\mathcal{C}_f$}\uput[d](1,0.6){$T$}
\psline[linestyle=dashed](3,0)(3,1.901)
\end{pspicture}
\end{center}

Cette tangente $T$ à $\mathcal{C}_f$ passe- t -elle par l'origine du repère ?

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 4\hfill  4 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Pour chacune des questions suivantes, une seule des quatre réponses proposées est exacte. Aucune
justification n'est demandée. Une bonne réponse rapporte un point. Une mauvaise réponse,
plusieurs réponses ou l'absence de réponse ne rapportent, ni n'enlèvent aucun point.}

\medskip

\emph{Indiquer sur la copie le numéro de la question et la réponse choisie.}

\medskip

\textbf{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\parbox{0.38\linewidth}{\textbf{Partie A}

\medskip

On considère la fonction $f$ définie sur $\R$ par

\[f(x) = - 7 x\text{e}^x.\]

Cette fonction admet sur $\R$ une dérivée $f'$ et
une dérivée seconde $f''$.

On donne ci-contre la courbe $\mathcal{C}_f$ représentative
de la fonction $f$.}\hfill
\parbox{0.58\linewidth}{\psset{unit=1cm}
\begin{pspicture}(-7,-4)(1,3)
\psaxes[linewidth=1pt](0,0)(-7,-4)(1,3)
\psaxes[linewidth=1.5pt]{->}(0,0)(1,1)
\psplot[plotpoints=3000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-7}{0.388}{7 x mul 2.71828 x exp mul neg}
\uput[u](-3.5,0.8){\blue $\mathcal{C}_f$}
\uput[dl](0,0){O}
\end{pspicture}}

\medskip

\begin{enumerate}
\item On note $F$ une primitive de $f$ sur $\R$, une expression de $F(x)$ peut être :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $(-7 - 7x)\text{e}^x$ &\textbf{b.~~} $-7\text{e}^x$ &\textbf{c.~~} $- 7x\text{e}^x$ &\textbf{d.~~} $(- 7x + 7)\text{e}^x$
\end{tabularx}
\medskip
\item Soit $A$ l'aire, exprimée en unité d'aire, comprise entre la courbe représentative de $f$,
l'axe des abscisses et les droites d'équation $x = - 3$ et $x = 0$ . On a :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$3 < A < 4$ &\textbf{b.~~}$5 < A < 6$ &\textbf{c.~~}$A < 0$ &\textbf{d.~~}$A > 7$
\end{tabularx}
\medskip
\item On a:
	\begin{enumerate}
		\item $f'$ est positive sur l'intervalle $[-6~;~0]$ ;
		\item $f$ est convexe sur l'intervalle $[-1~;~0]$ ;
		\item $\mathcal{C}_f$ admet un point d'inflexion pour $x = - 1$ ;
		\item $f''$ change de signe en $x = -2$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}	
\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

On considère la loi normale $X$ de paramètres $\mu = 19$ et $\sigma = 5$.
\begin{enumerate}[resume]
\item La meilleure valeur approchée de $P(19 \leqslant X \leqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 0,385 &\textbf{b.~~}0,084 &\textbf{c.~~}0,885 &\textbf{d.~~}0,5
\end{tabularx}
\medskip

\item  Une valeur approchée à $10^{-3}$ près de la probabilité $P(X \geqslant 25)$ est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~}$p \approx 0,885$ &\textbf{b.~~} $p \approx 0,115$ &\textbf{c.~~} $p \approx 0,385$ &\textbf{d.~~} $p \approx 0,501$
\end{tabularx}
\medskip

\item  Le nombre entier $k$ tel que $P(X > k) \approx 0,42$ à $10^{-2}$ près est :

\medskip
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $k = 19$ &\textbf{b.~~} $k = 29$ &\textbf{c.~~} $k = 20$ &\textbf{d.~~} $k = 14$
\end{tabularx}
\medskip
\end{enumerate}
\end{document}