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\begin{document}
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\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES}
\lfoot{\small{Antilles--Guyane}}
\rfoot{\small{Juin 2009}}
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\thispagestyle{empty}
\begin{center}
{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat ES Antilles--Guyane juin 2009~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,25cm}

\textbf{\textsc{Exercice 1} \hfill 4 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\textbf{PARTIE A: aucune justification n'est demandée}

\smallskip

\emph{
Cette partie est un questionnaire à choix multiples. Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées. \textbf{Une seule} de ces réponses est exacte.\\
Indiquer sur la copie le numéro de la question et la lettre correspondant à la réponse choisie.\\
Une réponse exacte rapporte \nombre{0,5} point.\\
Une réponse fausse enlève \nombre{0,25} point.\\
L'absence de réponse en rapporte ni n'enlève aucun point.\\
Si le total des points de la partie A est négatif, la note attribuée à   cette partie est ramenée à zéro.}

\smallskip

On note $\R$ l'ensemble des réels.

Soit $f$ la fonction définie sur $\R$ par 

\[f(x) = (-x + 2)\text{e}^{-x}.\]

\begin{alterqcm}[lq=6cm,nosquare=true]
\AQquestion{La limite de la fonction $f$ en $+\infty$ est égale à:}
{
{\textbf{a.~~} $-\infty$},
{\textbf{b.~~} $0$},
{\textbf{c.~~} $+\infty$}
}
\AQquestion{L'équation $f(x)=0$:}
{
{\textbf{a.~~} n'admet aucune solution dans $\R$},
{\textbf{b.~~} admet une seule solution dans $\R$},
{\textbf{c.~~} admet deux solutions dans $\R$}
}
\AQquestion{L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $0$ est:}
{
{\textbf{a.~~} $y=-3x+2$},
{\textbf{b.~~} $y=-x+2$},
{\textbf{c.~~} $y=x+2$}
}
\AQquestion{Le minimum de $f$ sur $\R$ est:}
{
{\textbf{a.~~} $\dfrac{1}{\text{e}^3}$},
{\textbf{b.~~} $\dfrac{-1}{\text{e}^3}$},
{\textbf{c.~~} $\dfrac{-1}{\text{e}^{-3}}$}
}
\end{alterqcm}


\smallskip

\textbf{PARTIE B : la réponse devra être justifiée.}

\smallskip

La fonction $f$ est celle définie dans la partie A. On note $C$ sa courbe représentative dans un repère orthogonal. Étudier la position relative de la courbe $C$ et de la droite $\Delta$ d'équation $y = -x + 2$ sur l'intervalle $]0~;~2[$.

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 2} \hfill 6 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

\emph{Les parties A et B de cet exercice sont indépendantes.}

\smallskip

On considère la fonction $f$ définie sur $]0~;~+\infty[$ dont on donne la représentation graphique $(C)$ dans le repère ci-dessous.
\begin{center}
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm}
\begin{pspicture*}(-0.38,-0.44)(5.24,3.16)
\psgrid[subgriddiv=0,gridlabels=0,gridcolor=lightgray](0,0)(-0.38,-0.44)(5.24,3.16)
\psset{xunit=2.0cm,yunit=2.0cm,algebraic=true,dotstyle=*,dotsize=3pt 0,linewidth=0.8pt,arrowsize=3pt 2,arrowinset=0.25}
{\small
\psaxes[xAxis=true,yAxis=true,Dx=1,Dy=1,ticksize=-2pt 0,subticks=2]{->}(0,0)(-0.38,-0.44)(5.24,3.16)
}
\pscustom[fillcolor=lightgray,fillstyle=solid]{\psplot{1}{2.72}{x-2*ln(x)}\lineto(2.72,0)\lineto(1,0)\closepath}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{2.264513746427897E-6}{5.244081763282716}{x-2*ln(x)}
\psplot{-0.38}{5.24}{(--2-1*x)/1}
\uput[-90](2.718,0){$\text{e}$}
\uput[0](0.3,3){$(C)$}
\uput[-135](0.5,1.5){$(T)$}
\psdots(1,1)
\rput[bl](1.04,1.05){$A$}
\end{pspicture*}

\end{center}

On admet que :
\begin{itemize}
\item  le point $A$ de coordonnées $(1~;~1)$ appartient à la courbe $(C)$;
\item la tangente $(T)$ en $A$ à la courbe $(C)$ passe par le point de coordonnées $(2~;~0)$;
\item la courbe $(C)$ admet une tangente horizontale au point d'abscisse 2;
\item l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe de la fonction $f$.
\end{itemize}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Donner, par lecture graphique ou en utilisant les données de l'énoncé, les valeurs de $f(1)$, $f'(1)$, et $f'(2)$, où $f'$ est la fonction dérivée de $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
\item On admet que l'expression de $f$ sur $]0~;~+\infty[$ est:

\[f(x) = ax + b + c\ln x\]

où $a$ ; $b$ et $c$ sont des nombres réels.

\medskip

	\begin{enumerate}
		\item Calculer $f'(x)$ en fonction de $x$ et de $a$, $b$ et $c$.
		\item Démontrer que les réels $a$, $b$ et $c$ vérifient le système
$\left\{\begin{array}{rcl}
a+b&=&1\\
a+c&=&-1\\[0.5ex]
a+\dfrac{c}{2}&=&0
\end{array}\right.$
		\item Déduire de la question précédente les valeurs de $a$, $b$ et $c$ puis l'expression de $f(x)$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Dans cette partie, on admet que la fonction $f$ représentée ci-dessus est définie pour tout réel $x$ appartenant à $]0~;~+\infty[$ par:

\[f(x) = x - 2\ln x.\]

\begin{enumerate}
\item Justifier que l'axe des ordonnées est asymptote à la courbe représentative de $f$.
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Calculer la dérivée $g'$ de la fonction $g$ définie pour tout réel $x\in ]0~;~+\infty[$ par :

\[ g(x) = x\ln x - x.\]

 		\item En déduire une primitive $F$ de la fonction $f$ sur $]0~;~+\infty[$.
		\item Déterminer la valeur exacte, en unités d'aire, de l'aire du domaine grisé sur le graphique ci-dessus, délimité par la courbe $(C)$, l'axe des abscisses et les droites d'équation $x=1$ et $x = \text{e}$.
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 3} \hfill 5 points}
 
\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

Au tennis, le joueur qui \og est au service \fg{} joue une première balle.

\begin{itemize}
\item Si elle est jugée \og bonne \fg, il joue l'échange et peut gagner ou perdre.
\item Si elle est jugée \og faute \fg, il joue une deuxième balle.
	\begin{itemize}
		\item Si cette deuxième balle est jugée \og bonne \fg, il joue l'échange et peut gagner ou perdre.
		\item Si cette deuxième balle est jugée \og faute \fg, il perd.
	\end{itemize}
\end{itemize}
On désigne par:

\begin{description}
\item[$S_{1}$:] l'évènement \og la 1\up{re} balle de service est \og bonne \fg{};
\item[$S_{2}$:] l'évènement \og la 2\up{e} balle de service est \og bonne \fg{};
\item[$G$:] l'évènement \og le point est gagné par le joueur qui est au service~\fg.
\end{description}

Pour le joueur Naderer qui est au service, on dispose des données suivantes :

\begin{itemize}
\item sa première balle de service est jugée \og bonne\fg{} dans 40~\% des cas;
\item sa deuxième balle de service est jugée \og bonne\fg{} dans 95~\% des cas;
\item si sa première balle de service est jugée \og bonne\fg, il gagne l'échange dans 80\,\% des cas;
\item si sa deuxième balle de service est jugée \og bonne \fg, il gagne l'échange dans 60\,\% des cas.
\end{itemize}
Pour tout évènement $A$, on note $\overline{A}$ l'évènement contraire.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Recopier et compléter l'arbre suivant:
\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesep=2.5pt]
{\Tp}
{
\pstree{\TR{$S_{1}$}^{$\ldots$}}
{\TR{$G$}^{$\ldots$}
 	\TR{$\overline{G}$}_{$\ldots$}}
	\pstree{\TR{$\overline{S_{1}}$}_{$\ldots$}}{
\pstree{\TR{$S_{2}$}^{$\ldots$}}{\TR{$G$}^{$\ldots$} 
	\TR{$\overline{G}$}_{$\ldots$}}
	\pstree{\TR{$\overline{S_{2}}$}_{$\ldots$}}
	{\TR{$\overline{G}$}^1}
}
}
\end{center}

\medskip

\item Calculer $p(S_{1}\cap G)$.
\item Montrer que la probabilité que le joueur Naderer gagne l'échange est de \nombre{0,662}.
\item Sachant que le joueur Naderer a gagné l'échange, calculer la probabilité que sa première balle de service ait été jugée \og bonne~\fg. Le résultat sera arrondi au millième.
\item Calculer la probabilité que le joueur Naderer gagne quatre échanges consécutifs. On donnera le résultat arrondi au millième.
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 5 points}

\textbf{Pour les candidats n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité }

\medskip 

D'après l'INSEE, l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros {\oe}uvre (base 100 en 2000) a évolué entre 2000 et 2007 de la manière suivante : 

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|m{2.8cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
année &2000 &2001 &2002 &2003 &2004 & 2005& 2006& 2007\\ \hline
Rang de l'année $x_{i},\;
 0\leqslant i \leqslant 7$	& 0 	&1 		&2 		&3 		&4		& 5		& 6		& 7 \\ \hline
Indice $y_{i},\; 
0\leqslant i \leqslant 7$	& 100 	&105,6 	&106,9 	&110,8 	&121,3 	&132,5	&145,5&161,8 \\ \hline
\end{tabularx}

\medskip
 
\textbf{Partie 1 : Un ajustement affine est-il possible ?}
 
\begin{enumerate}
\item  Dans un repère orthogonal, représenter le nuage de points $\left(x_{i}~;~y_{i}\right),\; 0 \leqslant i \leqslant 7$ (unités graphiques : 2~cm pour 1~année sur l'axe des abscisses ; 2~cm pour 10~unités d'indice sur l'axe des ordonnées, en graduant ce dernier à partir de $y = 90$). 
\item Expliquer pourquoi un ajustement affine de ce nuage de points ne parait pas approprié.
\end{enumerate}

\medskip
 
\textbf{Partie 2 : On essaie un autre ajustement}

\medskip

\begin{enumerate}
\item  Recopier et compléter le tableau ci-dessous ; on donnera les résultats à $10^{-2}$

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{|p{2.75cm}|*{8}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
$x_{i},\; 0\leqslant i \leqslant 7$& 0 &1 &2 &3 &4& 5& 6& 7 \\ \hline
$z_{i} = \ln y_{i}, \; 0\leqslant i \leqslant 7$&&&&&&&&\\ \hline
\end{tabularx}

\medskip 

\item 
	\begin{enumerate}
		\item À l'aide de la calculatrice, donner une équation de la droite d'ajustement de $z$ en $x$ obtenue par la méthode des moindres carrés : les coefficients seront arrondis au centième. 
	\item En déduire une expression de $y$ en fonction de $x$ sous la forme $y = A \times  \text{e}^{Bx}$ où $A$ et $B$ sont des réels. 
	\item Dans le repère précédent, représenter la fonction $f$ définie par 
	
	$f(x) = 95,6 \times  \text{e}^{0,07x}$.
	\item À l'aide de ce modèle, donner une estimation de l'indice du chiffre d'affaires du secteur du Bâtiment gros {\oe}uvre pour l'année 2009. 
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie 3 : Ce nouvel ajustement permet-il de prévoir l'avenir ?}

\medskip
 
{\small \og  Baisse des permis de construire et donc des mises en chantier, stocks de logements neufs trop importants, hausse des taux d'intérêts, des coûts des matériaux et de la main d'{\oe}uvre ... À en croire le numéro 1 de l'assurance crédit en France, qui publiait jeudi son étude intitulée \og \emph{Immobilier, construction : à quand la sortie de crise ?} \fg, le BTP français donne des signes de faiblesse. Et doit s'attendre selon l'assureur, tout d'abord à une dégradation de sa rentabilité. \fg}


\medskip
 
À la lecture de cette analyse faite en avril 2008, peut-on utiliser le modèle exponentiel de la partie 2 pour pronostiquer le chiffre d'affaires du secteur bâtiment gros {\oe}uvre en 2009 ? 

\vspace{0,5cm}

\textbf{\textsc{Exercice 4} \hfill 4 points}
 
\textbf{Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip

On considère le graphe G suivant :

\begin{center}
\psmatrix[mnode=circle,colsep=3,rowsep=1]
B 	&    & F\\
   	& E  \\
   	& C    \\
A 	&    & D
\endpsmatrix
\psset{shortput=nab,labelsep=3pt}
\ncline{1,1}{1,3}
\ncline{1,1}{4,1}
\ncline{1,1}{2,2}
\ncline{1,1}{3,2}
\ncline{4,1}{3,2}
\ncline{4,1}{4,3}
\ncline{4,3}{3,2}
\ncline{4,3}{1,3}
\ncline{4,3}{2,2}
\ncline{1,3}{2,2}
\ncline{2,2}{3,2}
\end{center}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Le graphe G est-il connexe~? Expliquer la réponse.
\item Le graphe G admet-il des chaînes eulériennes ? Si oui, en préciser une.
\item Justifier la non-existence d'un cycle eulérien pour le graphe G. Quelle arête peut-on alors ajouter à ce graphe pour obtenir un graphe contenant un cycle eulérien ?
\item Déterminer un encadrement du nombre chromatique du graphe G. Justifier la réponse.
\item Déterminer alors ce nombre chromatique, en explicitant clairement la démarche.
\item Déterminer la matrice $M$ associée à ce graphe (les sommets sont pris dans l'ordre alphabétique).
\item On donne $M^3=\begin{pmatrix}
4	&10	&8	&10	&6	&5\\
10	&6	&11	&6	&11	&10\\
8	&11	&8	&11	&11	&6\\
10	&6	&11	&6	&11	&10\\
6	&11	&11	&11	&8	&8\\
5	&10	&6	&10	&8	&4
\end{pmatrix}$.\\
Déterminer le nombre de chaînes de longueur 3 partant du sommet A et aboutissant au sommet F. Citer alors toutes ces chaînes.
\end{enumerate}
\end{document}