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% Tapuscrit Denis Vergès
% Relecture : François Hache
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\def\Oij{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath}\right)$}
\def\Oijk{$\left(\text{O}~;~\vect{\imath},~\vect{\jmath},~\vect{k}\right)$}
\def\Ouv{$\left(\text{O}~;~\vect{u},~\vect{v}\right)$}
\newcommand{\e}{\,\text{e\,}}%%le e de l'exponentielle
\renewcommand{\d}{\,\text d}%%le d de l'intégration
\renewcommand{\i}{\,\text{i}\,}%%le i des complexes
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pdfsubject = {TES Antilles-Guyane},
pdftitle = {7 septembre 2020},
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\begin{document}
\setlength\parindent{0mm}
\rhead{\textbf{A. P{}. M. E. P{}.}}
\lhead{\small Baccalauréat ES/L}
\lfoot{\small{Antilles-Guyane}}
\rfoot{\small 7 septembre 2020}
\pagestyle{fancy}
\label{Antillesseptembre}
\thispagestyle{empty}
\begin{center}\textbf{Durée : 3 heures }

\vspace{0,5cm}

{\Large \textbf{\decofourleft~Baccalauréat  ES/L Antilles-Guyane 7 septembre 2020
~\decofourright}}
\end{center}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 1 \hfill  6 points}

\textbf{Commun à  tous les candidats}

\medskip

\emph{Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM).
Pour chaque question, quatre réponses sont proposées, parmi lesquelles une seule est correcte. Indiquer sur la copie le numéro de la question suivi de la réponse choisie. Aucune justification n'est demandée. Chaque bonne réponse rapporte un point. Une réponse incorrecte, plusieurs réponses ou une question sans réponse n'apportent ni ne retirent aucun point.}

\smallskip

\textbf{Les six questions sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\parbox{0.35\linewidth}{On considère une fonction $f$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-3~;~5]$. La courbe ci-contre est la courbe représentative de la \textbf{fonction dérivée} $f'$ de $f$.}\hfill
\parbox{0.61\linewidth}{
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-3.5,-5.5)(5.5,6)
\multido{\n=-5.5+0.1}{111}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](\n,-5.5)(\n,6)}
\multido{\n=-5.5+0.5}{23}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](\n,-5.5)(\n,6)}
\multido{\n=-5.5+0.2}{57}{\psline[linewidth=0.1pt,linecolor=lightgray](-3.5,\n)(5.5,\n)}
\multido{\n=-5+1}{12}{\psline[linewidth=0.8pt,linecolor=lightgray](-3.5,\n)(5.5,\n)}
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-3.4,-5.5)(5.5,6)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{-3}{5}{x 3 exp 3 div x dup mul sub 3 x mul sub  4 add}
\uput[u](5,0){$x$}\uput[r](0,5.8){$y$}
\end{pspicture*}
}

\medskip

\begin{enumerate}
\item La fonction $f$ est croissante sur l'intervalle :
 
\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [1,5~;~4] &\textbf{a.~~} [-2~;~0]&\textbf{c.~~}[0~;~2] & \textbf{d.~~}[3~;~4]
\end{tabularx}

\item La fonction $f$ est concave sur l'intervalle :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} [1,5~;~4] &\textbf{b.~~} $[-2~;~0]$&\textbf{c.~~}[0~;~2]&\textbf{d.~~}[3~;~4]
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

La courbe ci-dessous représente une fonction $g$ définie et dérivable sur l'intervalle $[-7~;~2]$.

La tangente au point A$(1~;~-3)$ coupe l'axe des ordonnées au point B$(0~;~-5)$.

\begin{center}
\psset{xunit=1cm,yunit=0.5cm}
\begin{pspicture}(-8,-6)(4,4)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle]{->}(0,0)(-8,-6)(4,4)
% \psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul 2.5 mul sub 4.25 x mul add 4 sub}
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x 3 exp 3 div x dup mul 2.59 mul add 0.3 mul 4 sub 0.3 add}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-7}{2}{x x x 8 add mul 1 add mul 40 sub 10 div}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-0.5}{3.5}{2 x mul 5 sub}
\uput[dr](1,-3){A}\uput[r](0,-5){B}
\psdots(1,-3)(0,-5)
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}[resume]
\item L'une des quatre courbes suivantes représente la fonction $g'$ dérivée de la fonction $g$.

 Laquelle ?

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~}&\textbf{b.~~}\\[-10pt]
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 3 exp  x dup mul 6 mul  add 13 x  mul  sub 42 sub 1 21 div neg mul}
\end{pspicture}
\end{center}
&\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x  mul 0.2958 mul}
\end{pspicture}
\end{center}\\
\textbf{c.~~}&\textbf{d.~~}\\[-10pt]
\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7.5,-6)(3.5,3.5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x dup mul mul 0.06 mul}
\end{pspicture}
\end{center}
&\begin{center}
\psset{xunit=0.5cm,yunit=0.25cm}
\begin{pspicture}(-7,-2)(2,5)
\psgrid[gridlabels=0,subgriddiv=1,gridcolor=lightgray]
\psaxes[linewidth=1.25pt,labelFontSize=\scriptstyle,Dy=2]{->}(0,0)(-7,-2)(2,5)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt]{-7}{2}{x 5.2  add x dup mul mul 0.06 neg mul}
\end{pspicture}
\end{center}
\end{tabularx}

\item  L'équation réduite de la tangente à la courbe représentative de la fonction $g$ au point A est :

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} $y = - 3x+ 1$ &\textbf{b.~~} $y = x-5$ &\textbf{c.~~} $y = 2x-5$ &\textbf{d.~~} $y = x - 4$
\end{tabularx}

\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie C}

\medskip

\begin{enumerate}[resume]
\item Soit $f$ la fonction définie et dérivable sur l'ensemble des réels par $f(x) = 5\e^{-\frac{x}{3}}$. On note
$f'$ la fonction dérivée de $f$ et, pour tout réel $x$,

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{2}{X}}
\textbf{a.~~} $f'(x) = \dfrac{-5x}{3\rule[-5pt]{0pt}{0pt}}\e^{-\frac{x}{3}}$& \textbf{b.~~}$f'(x) = 5\e^{-\frac{x}{3}}$\\ \textbf{c.~~}$f'(x) =\dfrac{-5}{3}\e^{-\frac{x}{3}}$&\textbf{d.~~}$f'(x) = \e^{-\frac{x}{3}}$
\end{tabularx}

\item  On considère la courbe ci-dessous représentative de la fonction $f$ définie sur l'ensemble des réels par $f(x) = - 3x^2 + 2x + 4$.

Dans l'algorithme ci-dessous, $a$ et $b$ sont deux réels. Quelle est la valeur de $a$ en sortie de l'algorithme ?

\parbox{0.65\linewidth}{\psset{xunit=2cm,yunit=1cm,comma=true}
\begin{pspicture*}(-1.7,-1.2)(2.2,5)
\psgrid[unit=1cm,gridlabels=0,subgriddiv=5,gridcolor=gray](-4,-2)(5,5)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.5]{->}(0,0)(-2,-2)(2.2,5)[$x$,130][$y$,-35]
%\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1}{2}{4 2 x mul add x dup mul 3 mul sub}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{-1.5}{2}{x -3 x mul 2 add mul 4 add}
\end{pspicture*}} \hfill
\parbox{0.3\linewidth}{\begin{tabular}{|l|}\hline
$a \gets 0$\\
$b \gets 4$\\
Tant que $b > 0$\\
\qquad $a \gets a+ 0,01$\\
\qquad $b \gets  - 3a^2 + 2a + 4$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
}

\medskip

\begin{tabularx}{\linewidth}{*{4}{X}}
\textbf{a.~~} 1,54&\textbf{b.~~} 1,48&\textbf{c.~~}$- 0,86$&\textbf{d.~~} $- 0,87$
\end{tabularx}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats ES n'ayant pas suivi l'enseignement de spécialité et candidats L}

\medskip

On s'intéresse à la gestion des déchets ménagers au sein d'une grande agglomération.

Grâce au développement du recyclage, les experts estiment que la quantité de déchets de l'agglomération à incinérer devrait diminuer de 5\,\% par an. Par ailleurs, suite à la signature d'un contrat, cette agglomération s'engage à partir du 1\up{er} janvier 2020 à collecter et incinérer \np{12000}~tonnes de déchets supplémentaires par an provenant d'une commune voisine. 

Durant l'année 2019, l'agglomération a incinéré \np{300000} tonnes de déchets.

On admet que la situation peut être modélisée par une suite $\left(u_n\right)$ dont le terme général $u_n$ donne, pour tout entier naturel $n$, une estimation de la quantité (exprimée en millier de tonnes) de déchets incinérés durant l'année $2019 + n$. On a ainsi $u_0 = 300$.

\bigskip

\textbf{Partie A}

\medskip

\begin{enumerate}
\item 
	\begin{enumerate}
		\item Déterminer $u_1$.
		\item Justifier, pour tout entier naturel $n$, que $u_{n+1} = 0,95u_n + 12$.
	\end{enumerate}
\item On considère la suite $\left(v_n\right)$ définie pour tout entier naturel n par $v_n = u_n - 240$.
	\begin{enumerate}
		\item Montrer que la suite $\left(v_n\right)$ est une suite géométrique de raison $0,95$ dont on précisera le premier terme $v_0$.
		\item Exprimer $v_n$ en fonction de $n$ pour tout entier naturel $n$.
		\item En déduire, pour tout entier naturel $n$, que $u_n = 60 \times 0,95^n + 240$.
	\end{enumerate}
\item Déterminer la limite de la suite $\left(u_n\right)$ et interpréter le résultat dans le contexte de l'exercice.
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

L'agglomération s'est fixé l'objectif d'une diminution de la quantité de déchets incinérés de 15\,\% d'ici 2039 par rapport à 2019.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que cet objectif ne sera pas atteint si la diminution des déchets suit les prévisions des experts.
\item
	\begin{enumerate}
		\item Dans l'algorithme ci-dessous $N$ est un nombre entier et U un nombre réel. Recopier et compléter l'algorithme afin que la variable $N$ contienne, à la fin de l'exécution de l'algorithme, l'année à partir de laquelle la quantité de déchets incinérés aura diminué de 15\,\% par rapport à 2019.
		
\begin{center}
\begin{tabular}{|l|}\hline
$N \gets 2019$\\
$U \gets 300$\\
Tant que $U \ldots$\\
\qquad $N \gets N+1$\\
\qquad $U \gets \ldots$\\
Fin Tant que\\ \hline
\end{tabular}
\end{center} 
		\item En quelle année l'objectif sera-t-il atteint?
	\end{enumerate}
\end{enumerate}

\vspace{0,5cm}

\textbf{Exercice 2 \hfill  5 points}

\textbf{Candidats de ES ayant suivi l'enseignement de spécialité}

\medskip
 
\emph{Les parties A et B sont indépendantes}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

Le graphe ci-dessous représente le tarif moyen, en euro, demandé sur un site de covoiturage pour effectuer le trajet entre des villes du sud de la France.

\begin{center}
\def\ray{0.1cm}
\psset{unit=1cm,radius=\ray}
\begin{pspicture}(0,0.5)(13.5,4.5)
\footnotesize
\Cnode*(0.7,1.2){H} \uput[d](H){\small \sc{HENDAYE}}
\Cnode*(2,3.5){B} \uput[ul](B){\sc{BORDEAUX}}
\Cnode*(3.5,1.5){T} \uput[d](T){\sc{TOULOUSE}}
\Cnode*(5,4){C} \uput[u](C){\sc{CLERMONT-FERRAND}}
\Cnode*(7,1.5){M} \uput[d](M){\sc{MONTPELLIER}}
\Cnode*(9,3.75){L} \uput[u](L){\sc{LYON}}
\Cnode*(9.5,2){A} \uput[dr](A){\sc{AVIGNON}}
\Cnode*(13,3.25){N} \uput[u](N){\sc{NICE}}
\ncline{H}{B}\ncput*{14} \ncline{H}{T}\ncput*{27} \ncline{T}{B}\ncput*{12} 
\ncline{C}{B}\ncput*{27} \ncline{T}{C}\ncput*{15} \ncline{C}{M}\ncput*{14} 
\ncline{C}{L}\ncput*{12} \ncline{M}{A}\ncput*{7} \ncline{A}{L}\ncput*{19} 
\ncline{L}{N}\ncput*{35} \ncline{A}{N}\ncput*{19} \ncline{T}{M}\ncput*{30} 
\end{pspicture}
\end{center}

\begin{enumerate}
\item En justifiant la réponse, dire si :
	\begin{enumerate}
		\item le graphe est complet ;
		\item le graphe est connexe ;
		\item il existe une chaîne eulérienne.
	\end{enumerate}
\item Une personne veut aller de Hendaye à Nice.

Déterminer, en utilisant un algorithme, le trajet qui serait le plus économique et préciser le coût de ce trajet.
\end{enumerate}

\medskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Un commercial d'une société basée à Montpellier effectue toujours les mêmes trajets: Montpellier- Toulouse, Montpellier-Clermont Ferrand et Montpellier-Avignon.

Au total, il a effectué 40 trajets aller-retour au cours de cette année en ayant parcouru \np{19200}~km et roulé $236$~heures. On donne les renseignements suivants :

\begin{center}
\begin{tabularx}{\linewidth}{|c|*{2}{>{\centering \arraybackslash}X|}}\hline
&Distance du trajet aller-retour (en km)&Durée totale du trajet aller-retour (en h)\\ \hline
Montpellier- Toulouse&480&5\\ \hline
Montpellier-Clermont Ferrand&680&9\\ \hline
Montpellier-Avignon&200&3\\ \hline
\end{tabularx}
\end{center}

On se propose de déterminer combien de trajets aller-retour de chaque sorte il a effectué. 

On note :

\begin{description}
\item[ ] $x$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier- Toulouse;
\item[ ] $y$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier-Clermont Ferrand;
\item[ ] $z$, le nombre de trajets aller-retour Montpellier-Avignon.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Justifier que $x$,\: $y$ et $z$ sont solutions du système: $\left\{\begin{array}{r c r}
\phantom{12}x + \phantom{17}y + \phantom{5}z		&=&40\\
12x + 17y+ 5z 	&=&480\\
\phantom{1}5x + \phantom{1}9y + 3z 	&=&236
\end{array}\right.$.
\item Déterminer les matrices $A$, $X$ et $B$ qui permettent d'écrire le système précédent sous
la forme $AX =B$.
\item Résoudre le système et interpréter dans le contexte de l'exercice le résultat obtenu.
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 3 \hfill 6 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip
 
\emph{Les deux parties de cet exercice peuvent être traitées de façon indépendante.}

\medskip

\textbf{Les résultats seront arrondis au millième.}

\medskip

\textbf{Partie A}

\medskip

D'après le recensement de 2017 effectué dans une agglomération, on dénombre \np{385628} habitants dont \np{276110} qui résident dans la zone dite urbaine et le reste dans la zone dite rurale. 

Les nouvelles lignes de tramway desservent la zone urbaine et la zone rurale. Une enquête fait apparaître que 60\,\% des habitants de la zone urbaine utilisent régulièrement le tramway dans leurs déplacements.

Un habitant de l'agglomération, pris au hasard, est interrogé et on note :

\begin{description}
\item[ ] $U$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération réside dans la zone urbaine \fg{};
\item[ ] $R$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération réside dans la zone rurale\fg{} ;
\item[ ] $T$ l'évènement \og l'habitant de l'agglomération utilise régulièrement le tramway\fg.
\end{description}

\medskip

\begin{enumerate}
\item Montrer que $p(U) \approx 0,716$.
\item Recopier l'arbre ci-dessous et le compléter par les probabilités correspondantes au fur
et à mesure de l'exercice.

\begin{center}
\pstree[treemode=R,nodesepB=3pt,levelsep=2.5cm,nrot=:U,shortput=nab]{\TR{}}
{\pstree{\TR{$U$~~}^{\ldots}}
	{\TR{$T$}^{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$}_{\ldots}
	}
\pstree{\TR{$R$~~}_{\ldots}}
	{\TR{$T$}^{\ldots}
	\TR{$\overline{T}$}_{\ldots}
	}
}
\end{center}

\item Calculer la probabilité que l'habitant de l'agglomération interrogé réside dans la zone urbaine et utilise régulièrement le tramway.
\item On donne $p(T) =0,51$. Calculer $p_R(T)$ et compléter l'arbre.
\item À présent, on interroge au hasard un habitant qui utilise régulièrement le tramway.

Quelle est la probabilité qu'il habite dans la zone urbaine?
\end{enumerate}

\bigskip

\textbf{Partie B}

\medskip

Les pouvoirs publics étudient le trajet le plus fréquenté, à savoir celui de la ligne A qui part à 7~h~30 du terminus T1 pour rejoindre le terminus T2. Pour cela, on mesure sur une année la durée, en minute, de ce trajet. 

On admet que cette durée peut être modélisée par une variable aléatoire $X$ qui suit la loi normale d'espérance $\mu =65$ et d'écart type $\sigma =7$.

\medskip

\begin{enumerate}
\item Quelle est la probabilité que la durée d'un trajet sur la ligne A partant à 7~h~30 du terminus T1 soit inférieure à une heure ?
\item On suppose que les durées des trajets d'un jour à l'autre sont indépendantes.

Un utilisateur emprunte ce trajet $180$ fois dans l'année. 

Quelle est la probabilité qu'il ait au plus $40$ fois une durée de trajet inférieure à une heure dans l'année ?
\end{enumerate}

\newpage

\textbf{EXERCICE 4 \hfill 3 points}

\textbf{Commun à tous les candidats}

\medskip

La courbe $(C)$ ci-dessous rend compte de la concentration des richesses des habitants d'un certain pays en 2017.

La courbe $(C)$ a pour équation $y = 2,1x^3 -1,8x^2 +0,7x$ sur l'intervalle [0~;~1].

On admet que sur l'intervalle [0~;~1], la courbe $(C)$ est située au-dessous du segment [OA] d'équation $y = x$.

\begin{center}
\psset{unit=6cm,comma=true}
\begin{pspicture}(-0.2,-0.2)(1,1.1)

%\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1,1)(0,1)

\psframe(1,1)\uput[ur](1,1){A}\uput[ur](1,0){B}\uput[dl](0,0){O}
\psline(1,1)
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{0}{1}{x 3 exp 2.1 mul x dup mul 1.8 mul sub 0.7 x mul add}
\uput[d](0.75,-0.08){Taux de la population}\uput[r](0,1.05){Taux de richesses}
\pscustom[fillstyle=solid,fillcolor=lightgray!30]{
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=red]{0}{1}{x}
\psplot[plotpoints=2000,linewidth=1.25pt,linecolor=blue]{1}{0}{x 3 exp 2.1 mul x dup mul 1.8 mul sub 0.7 x mul add}
}
\uput[r](0.8,0.5){$(C)$}
\psgrid[gridlabels=0pt,subgriddiv=10,gridcolor=lightgray](0,0)(1,1)
\pspolygon[fillstyle=solid,fillcolor=white](0,0)(1,1)(0,1)
\psaxes[linewidth=1.25pt,Dx=0.2,Dy=0.2]{->}(0,0)(0,0)(1.1,1.1)
\end{pspicture}
\end{center}

\emph{Exemple de lecture du graphique: $90$\,\% de la population détient $70$\,\% des richesses}.

On définit le coefficient de Gini $\gamma$ par le quotient  $\gamma = \dfrac{\text{aire de la partie grisée}}{\text{aire du triangle OBA}}$.

On admet que le coefficient de Gini $\gamma$ a les propriétés suivantes :

$\bullet~~$ $0\leqslant \gamma \leqslant 1$.

$\bullet~~$ Plus $\gamma$ est grand, plus la répartition des richesses au sein de la population est inégalitaire.

Le coefficient de Gini en France en 2017 était de 0,289.

\textbf{En 2017, la répartition des richesses du pays étudié était-elle plus égalitaire qu'en France ?}
\end{document}
